Luận án tiến sĩ toán học phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy cơng việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Đặc biệt, từ tận đáy lịng, tơi xin cảm ơn PGS TS Đặng Quang Á Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn kiên trì dìu dắt tơi từ học viên cịn non nớt cơng việc nghiên cứu khoa học hoàn thành luận án Chính nhờ quan tâm động viên Thầy giúp cảm thấy tự tin hơn, vượt qua khó khăn, vất vả suốt trình nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy cán nghiên cứu Viện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT tạo cho môi trường làm việc thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp thực tốt công việc nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Viện Tốn góp ý nhiệt tình bảo, cho tham dự buổi Seminar khoa học Hội thảo Tốn học giúp tơi bổ sung kiến thức Toán học cần thiết cho luận án q trình nghiên cứu ii Tơi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái nguyên động viên tạo điều kiện mặt thời gian công việc giúp tập trung vào công việc nghiên cứu Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến tất đồng nghiệp bạn bè chia sẻ buồn, vui kinh nghiệm q báu sống lẫn cơng việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Luận án công việc cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, anh chị em người thân gia đình với tất lòng biết ơn sâu sắc Xin chân thành cảm ơn iii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu DDM Phương pháp chia miền BAM Phương pháp xấp xỉ biên SFBIM Phương pháp tích phân biên LPIS Giá đỡ thẳng bên Rn Không gian Euclide n chiều Ω Miền giới nội không gian Rn ∂Ω Biên miền Ω ∆ Toán tử Laplace ∇ Tốn tử Gradient C k (Ω) Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục L2 (Ω) Khơng gian hàm đo bình phương khả tích H s (Ω) Không gian Sobolev với số s k.kV Chuẩn xác định không gian V (., )V Tích vơ hướng xác định khơng gian V I Toán tử đơn vị Dα u Đạo hàm riêng u cấp |α| HA Khơng gian lượng tốn tử A iv Danh sách hình vẽ 1.1 Các véc tơ pháp tuyến tiếp tuyến điểm P 16 1.2 Miền Ω ký hiệu biên tương ứng 22 2.1 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 36 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5 48 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3 49 2.4 Miền hình học dạng L với miền Ω1 Ω2 49 2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ miền dạng L 50 2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ 51 2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tốn mơi trường lớp khơng đồng 52 2.8 Miền Ω với miền phần biên tương ứng 55 2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với hàm: a) Hàm u1 ; b) Hàm u2 ; c) Hàm u3 65 2.10 Hình miền điều kiện biên toán Motz 65 2.11 Nghiệm xấp xỉ toán Motz 66 2.12 Dáng điệu đạo hàm điểm kỳ dị 66 3.1 Miền Ω phần biên 72 3.2 Miền Ω với điều kiện biên hỗn hợp 73 3.3 Miền Ω miền 80 3.4 Bài toán vết nứt 84 v 3.5 Đồ thị nghiệm toán vết nứt 85 3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) theo SFBIM (bên phải) 85 3.7 Bản với giá đỡ bên 86 3.8 Bản với hai giá đỡ bên 86 3.9 Bài tốn có LPIS với điều kiện biên tương ứng xét 1/4 87 3.10 Bài tốn có hai LPIS với điều kiện biên tương ứng xét 1/4 87 3.11 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 91 3.12 Mặt võng 1/4 với giá đỡ có độ dài khác 96 3.13 Độ dốc theo hướng x y dọc theo giá đỡ 96 3.14 Mặt võng tồn có LPIS 96 3.15 Đường đồng mức độ võng trường hợp e/π = 0.1 97 3.16 Đường đồng mức độ võng trường hợp e/π = 0.3 97 3.17 Miền Ω miền Ω1 , Ω2 , Ω3 98 3.18 Độ dốc theo hướng x dọc theo LPIS 101 3.19 Độ dốc theo hướng y xét điểm LPIS 101 3.20 Mặt võng 1/4 với hai LPIS 101 3.21 Mặt võng tồn có hai LPIS 101 3.22 Độ dốc theo hướng x với LPIS đặt vị trí tùy ý 102 3.23 Độ dốc theo hướng y xét điểm LPIS 102 3.24 Mặt võng 1/4 với giá đỡ đặt vị trí tùy ý 102 3.25 Đường đồng mức độ võng trường hợp e1 /π = 0.1, e2 /π = 0.2 103 vi 3.26 Đường đồng mức độ võng trường hợp e1 /π = 0.2, e2 /π = 0.4 103 vii Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ trình lặp với r = 0.5 48 2.2 Sự hội tụ trình lặp với r = 0.3 48 2.3 Sự hội tụ trình lặp giải tốn miền dạng L 50 3.1 Sự hội tụ trình lặp với hàm u1 , u2 , u3 82 3.2 Sự hội tụ q trình lặp Ví dụ 3.2.5 83 3.3 Sự hội tụ trình lặp giải toán vết nứt 84 3.4 Sự hội tụ trình lặp với hàm u1 , u2 , u3 93 3.5 Sự hội tụ q trình lặp trường hợp khơng biết trước nghiệm 94 3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn tọa độ tương ứng với LPIS 97 3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn tọa độ tương ứng với LPIS 103 viii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iv Danh sách hình vẽ iv Danh sách bảng vii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Một số ký hiệu định nghĩa 1.1.2 Không gian Sobolev 10 1.1.3 Công thức Green bất đẳng thức Poincare 12 1.2 Bài toán biên phương trình elliptic cấp hai phương trình song điều hòa 13 1.2.1 Bài toán biên phương trình elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp, không 13 1.2.2 Bài tốn biên phương trình song điều hòa 15 1.3 Các vấn đề phương pháp lặp 19 1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 19 1.3.2 Định lý hội tụ sơ đồ lặp 20 ix 1.4 Xây dựng thư viện chương trình giải toán biên hỗn hợp yếu 21 1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 23 1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann cạnh 25 Chương Phương pháp gần giải số tốn biên phương trình elliptic cấp hai 31 2.1 Phương pháp gần giải toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31 2.1.1 Mô hình tốn mặt phân cách 31 2.1.2 Một số hướng tiếp cận 33 2.1.3 Phương pháp lặp 35 2.1.4 Một trường hợp riêng 43 2.1.5 Các ví dụ thử nghiệm 46 2.2 Phương pháp lặp song song giải toán biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 53 2.2.1 Mô tả phương pháp 54 2.2.2 Nghiên cứu hội tụ phương pháp 56 2.2.3 Một trường hợp riêng 60 2.2.4 Kết thử nghiệm so sánh với số phương pháp 63 2.2.5 Áp dụng giải toán Motz 64 Chương Phương pháp giải gần tốn biên phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 68 3.1 Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hịa x 68 3.2 Phương pháp kết hợp giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 72 3.2.1 Phát biểu toán 72 3.2.2 Mô tả phương pháp 73 3.2.3 Nghiên cứu hội tụ phương pháp 75 3.2.4 Sơ đồ lặp kết hợp 79 3.2.5 Các ví dụ thử nghiệm 81 3.2.6 Giải gần toán vết nứt học 83 3.3 Phương pháp kết hợp giải gần tốn độ uốn có giá đỡ bên 86 3.3.1 Mơ hình tốn độ uốn có giá đỡ bên 86 3.3.2 Phương pháp kết hợp giải tốn với có LPIS 89 3.3.3 Phương pháp kết hợp giải tốn có hai LPIS 97 Kết luận chung 106 Danh mục cơng trình cơng bố 109 Tài liệu tham khảo 111 xi 2.2.4 Kết thử nghiệm so sánh với số phương pháp Ngồi phương pháp song song trình bày trên, để dẫn toán biên hỗn hợp mạnh dãy tốn hỗn hợp yếu áp dụng phương pháp chia miền khác, bước lặp cần giải liên tiếp hai tốn hỗn hợp yếu miền là: Phương pháp lặp tìm giá trị hàm biên phân chia Saito-Fujita ([66], 2001) phương pháp lặp tìm giá trị đạo hàm biên phân chia Đặng Quang Á-Vũ Vinh Quang ([12], 2006) Cả hai phương pháp tiến hành giải tốn hỗn hợp yếu hai miền Chúng tơi tiến hành thử nghiệm phương pháp cho tốn hình chữ nhật với l1 = l2 = 1, a = 0.5 Xuất phát từ nghiệm cho trước u(x1 , x2 ) tính vế phải điều kiện biên tương ứng toán (2.2.1) Sau tiến hành xác định nghiệm xấp xỉ u(k) (x1 , x2 ) ba phương pháp Trong thử nghiệm chọn bước lưới h = 1/64, tiêu chuẩn dừng lặp ε = 10−4 Các hàm nghiệm chọn sau: u1 = sin x1 sin x2 , u2 = (1 − x1 )2 sin x2 + (1 − x2 )2 sin x1 , u3 = ex1 sin x2 + ex2 sin x1 Trong bảng số liệu, ký hiệu τ tham số lặp, k số lần lặp error sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ tính chuẩn max Các thử nghiệm thực máy tính với vi xử lý Qua kết thử nghiệm (Bảng 2.4, 2.5, 2.6) ta thấy phương pháp lặp song song cho phép giải toán đồng thời hệ thống tính tốn song song, nhiên vấn đề tăng tốc độ hội tụ cần nghiên cứu tiếp để phương pháp hiệu 63 Bảng 2.4 Sự hội tụ phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm u1 Bảng 2.5 Sự hội tụ phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm u2 Bảng 2.6 Sự hội tụ phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm u3 2.2.5 Áp dụng giải toán Motz Ta xét toán Motz [51] với điều kiện biên tương ứng sau: ∆u = 0, x ∈ Ω, u = 0, x ∈ OD, u = 500, x ∈ AB, ∂u = 0, x ∈ OA ∪ BC ∪ CD, ∂ν 64 (2.2.27) Hình 2.9: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với hàm: a) Hàm u1 ; b) Hàm u2 ; c) Hàm u3 Ω = {(x, y)| − x 1, y 1} Sự kỳ dị xuất x = y = 0, điều kiện biên thay đổi đột ngột từ u = sang ∂u/∂y = (Hình 2.10) Vì vậy, để giải tốn Motz, ta chia miền Ω Hình 2.10: Hình miền điều kiện biên toán Motz thành hai miền Ω1 (bên trái) Ω2 (bên phải) với biên nhân tạo Γ điểm O Khi tốn Motz đưa hai toán hỗn hợp yếu hai miền Ω1 Ω2 tương ứng Sử dụng phương pháp lặp song song ta nhận đồ thị nghiệm xấp xỉ tốn Motz sau 38 lần lặp (Hình 2.11) Kết giống kết nghiệm xấp xỉ tính với 15 hệ số tốn Motz Z C Li đồng nghiệp giải phương pháp xấp xỉ biên [48] Kết khảo sát gián đoạn mạnh giá trị đạo hàm có thay đổi đột ngột loại điều kiện biên qua điểm kỳ dị (điểm phân cách điều kiện biên Dirichlet Neumann) 65 Hình 2.11: Nghiệm xấp xỉ tốn Motz Hình 2.12 Như vậy, qua kết thử nghiệm tính tốn chứng tỏ Hình 2.12: Dáng điệu đạo hàm điểm kỳ dị tiến đến điểm phân chia điều kiện biên Dirichlet Neumann giá trị đạo hàm tiến đến vô cùng, điều phù hợp với tính chất tốn học thực tế điểm thường xảy tượng gãy nứt vật liệu Nhận xét Trên sở kết đạt lý thuyết nhiều ví dụ thực nghiệm tính tốn, chúng tơi có số nhận xét sau đây: • Phương pháp lặp song song hội tụ trường hợp riêng khoảng tham số lặp tối ưu τ Từ ta sử dụng phương pháp lặp song song giải toán biên hỗn hợp 66 hệ thống tính tốn song song • Để phương pháp lặp song song hiệu việc tăng tốc độ hội tụ phương pháp cần nghiên cứu hướng tăng tốc độ hội tụ áp dụng phương pháp ngoại suy theo tham số [10, 11] Kết luận chương Chương trình bày kết nghiên cứu việc phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm ẩn hàm, dựa vào tính chất gián đoạn hệ số qua mặt phân cách đưa toán biên với hệ số gián đoạn toán đơn giản miền có tính chất liên tục Với tốn biên phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh xây dựng sơ đồ lặp song song cho phép giải toán biên hỗn hợp hệ thống tính tốn song song Áp dụng phương pháp giải toán Motz khảo sát kỳ dị xuất điểm phân cách loại điều kiện biên Sự hội tụ phương pháp lặp chứng minh lý thuyết số trường hợp riêng thiết lập cơng thức tính tham số lặp tối ưu xác định khoảng tham số lặp tối ưu Sự hội tụ phương pháp độ xác nghiệm xấp xỉ cịn kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm Các kết áp dụng giải số toán mẫu so sánh với phương pháp khác cho thấy hiệu phương pháp lặp đề xuất chương Trên sở kết đạt được, tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với phương pháp khác cho tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trình bày chương 67 Chương Phương pháp giải gần tốn biên phương trình song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hòa kiểu song điều hòa lớp phương trình mơ tả nhiều tốn học Chương trình bày kết nghiên cứu phương pháp kết hợp ý tưởng: hạ cấp phương trình, chia miền kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đưa lời giải hai toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem) tốn độ uốn có giá đỡ bên (Problems for Plates with Partial Internal Supports) Các kết công bố công trình [19] [20] 3.1 Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hịa Lý thuyết phương trình song điều hịa thu hút quan tâm lớn nhiều nhà học nhà toán học Năm 2003 tổng quan Meleshko [54] tạp chí "Applied Mechanics Review" 68 Hội kỹ sư học Mỹ trình bày số khía cạnh lịch sử tổng kết nhiều phương pháp mà nhà học sử dụng để giải tốn song điều hịa hai chiều phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức số phương pháp gần giải tích phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov-Galerkin với hàm sở chọn hàm trơn số miền đặc biệt hình chữ nhật, hình ellip, Trong vấn đề định tính đánh giá độ phức tạp (khối lượng tính tốn) phương pháp chưa đề cập đến Các phương pháp gần giải tích nhiều tác giả sử dụng để giải phương trình song điều hịa phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm [56], phương pháp phương trình tích phân biên [8, 35, 36, 25] Đặc biệt, [8] Cakoni F đồng nghiệp xét đến vấn đề định tính tốn biên hỗn hợp với phương trình song điều hòa ∆2 u = Ω, ∂u u = f, = g ΓD , ∂ν M u = p, N u = q ΓN , (3.1.1) M N tốn tử vi phân nhắc đến chương Bằng phương pháp phương trình tích phân biên, tác giả chứng minh rằng: Với f ∈ H 3/2 (ΓD ), g ∈ H 1/2 (ΓD ), p ∈ H −1/2 (ΓN ) q ∈ H −3/2 (ΓN ), toán biên hỗn hợp (3.1.1) tồn nghiệm yếu H (Ω, ∆2 ), n o 2 −2 ˜ H (Ω, ∆ ) := u ∈ H (Ω) : ∆ u ∈ H (Ω) 2 ˜ −2 (Ω) không gian đối ngẫu H (Ω) Đây kết quan với H trọng làm sở cho giải số toán vết nứt phần sau 69 luận án Một số phương pháp số hữu hiệu giải phương trình song điều hịa nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Trước hết phải kể đến phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phần tử biên [37, 38] Các phương pháp rời rạc hóa tốn vi phân dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn Một số tác giả khác rời rạc hóa tốn Dirichlet cho phương trình song điều hịa nhờ phương pháp phổ Galerkin sử dụng hàm sở đa thức đặc biệt Chẳng hạn Bialecki [6] sử dụng đa thức Legendre đa thức Chebyshev xây dựng thuật tốn có độ phức tạp O(N ) N số nút chia cạnh hình vng Trong phương pháp số giải lặp để tìm nghiệm số trị cho lớp tốn biên phương trình song điều hịa phương trình kiểu song điều hịa, cách tiếp cận đưa toán cấp cao toán cấp hai với mục đích sử dụng phần mềm phương pháp thuật tốn hữu hiệu có sẵn toán cấp hai sử dụng hiệu Ý tưởng đưa việc giải toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hịa dãy tốn phương trình Poisson thực Meller, Dorodnisyn Palsev [50, 58] Một cách khác đưa tốn biên Dirichlet cho phương trình song điều hịa dãy tốn cấp hai thuộc Glowinski Pironneau [28], phương pháp lặp dẫn tốn song điều hịa toán cấp hai chứng minh hội tụ xong không thu đánh giá tốc độ hội tụ vấn đề chọn tham số lặp không đề cập tới Năm 1992, Abramov Ulijanova [3] đề xuất phương pháp lặp đưa toán biên Dirichlet với phương trình song điều hịa dãy 70 toán cấp hai dự đoán phương pháp hội tụ không chứng minh lý thuyết, số thực nghiệm chứng tỏ điều Sau đó, phương pháp chung để nghiên cứu hội tụ trình lặp đưa toán cấp cao dãy toán cấp hai với ý tưởng là: đưa toán cấp cao phương trình với tốn tử đối xứng xác định dương dương hoàn toàn liên tục khơng gian Hilbert thích hợp áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho phương trình cuối đề xuất phát triển [14, 15], sau tác giả [78] sử dụng phương pháp chia miền giải tốn song điều hịa với điều kiện biên đơn giản u ∆u cho toàn biên xét Năm 2009, tác giả Đặng Quang Á Lê Tùng Sơn [17] đề xuất phương pháp lặp (không chia miền) giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp chênh cấp đạo hàm có dạng (Hình 3.1): ∆2 u = f Ω, ∂u ∂∆u = g1 , = g2 Γ1 , ∂x ∂x ∂u u = g3 , + b∆u = g4 Γ2 , ∂y ∂u ∂∆u = g5 , = g6 Γ3 , ∂x ∂x u = g7 Γ4 ∪ Γ5 , ∂u − b∆u = g8 Γ4 , ∂y (3.1.2) ∆u = g9 Γ5 , Để giải tốn song điều hịa với điều kiện biên phức tạp (chênh ba cấp đạo hàm, mơ tả Hình 3.2) chúng tơi nghiên cứu phương pháp kết hợp ý tưởng hạ cấp phương trình, chia miền lặp hiệu chỉnh đạo hàm cách: Trước hết đưa tốn song 71 Hình 3.1: Miền Ω phần biên điều hịa tốn cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sau bước lặp ta sử dụng phương pháp chia miền kết hợp với lặp hiệu chỉnh đạo hàm đưa toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh toán biên hỗn hợp yếu dễ giải Sự hội tụ phương pháp chứng minh lý thuyết kiểm tra qua ví dụ thử nghiệm, từ áp dụng giải gần hai tốn điển hình học tốn vết nứt tốn độ uốn có giá đỡ bên 3.2 3.2.1 Phương pháp kết hợp giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Phát biểu toán Xét toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dạng tổng quát sau: ∆2 u = f Ω, u = g0 Γ1 , ∂u = g1 ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , ∂ν ∂∆u = g2 Γ2 , ∂ν (3.2.1) Ω hình chữ nhật (−L, L) × (0, 1), Γ1 = SA ∪ SC , Γ2 = SB ∪ SD ∪ SE , SA , SB , SC , SD SE phần biên Γ = ∂Ω (Hình 72 3.2 ), ∆ tốn tử Laplace, f gi (i = 0, ) hàm cho trước Ω phần biên Γ tương ứng Bài toán (3.2.1) với vế phải phương trình khơng với Hình 3.2: Miền Ω với điều kiện biên hỗn hợp điều kiện biên đặc biệt hai mơ hình toán nứt gãy hai chiều (model fracture problems) nghiên cứu Li đồng nghiệp [45] Trong [25] Elliotis, Georgios Xenophontos giải xấp xỉ kiểu tốn phương pháp tích phân biên hàm kỳ dị (Singular Function Boundary Integral Method-SFBIM) nhiên hội tụ phương pháp chưa khẳng định mặt lý thuyết 3.2.2 Mô tả phương pháp Giả thiết tốn (3.2.1) có nghiệm đủ trơn Đặt ∆u = v Ω, 73 v|Γ1 = ϕ Khi đó, tốn (3.2.1) đưa dãy toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sau ∆v = f Ω, v = ϕ Γ1 , ∂v = g2 Γ2 , ∂ν ∆u = v (3.2.2) Ω, u = g0 Γ1 , (3.2.3) ∂u = g1 Γ2 , ∂ν ϕ hàm chưa biết có quan hệ với u qua điều kiện thứ ba (3.2.1) Γ1 , công thức ∂u = g1 Γ1 ∂ν Quá trình lặp tìm ϕ thực sau: (3.2.4) (i) Cho ϕ(0) ∈ L2 (Γ1 ), ví dụ, ϕ(0) = Γ1 (ii) Biết ϕ(k) Γ1 (3.2.5) (k = 0, 1, ), giải hai toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh ∆v (k) = f Ω, v (k) = ϕ(k) Γ1 , (3.2.6) ∂v (k) = g2 Γ2 , ∂ν ∆u(k) = v (k) Ω, u(k) = g0 Γ1 , ∂u(k) = g1 Γ2 ∂ν 74 (3.2.7) (iii) Tính xấp xỉ ϕ (k+1) =ϕ (k)  ∂u(k)  −τ