Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn

Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG THÁI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG PHÂN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG THÁI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG PHÂN THỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Vũ Văn Khương TS Lê Đình Định Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Vũ Văn Khương TS Lê Đình Định Các kết công bố 05 báo viết chung đồng tác giả cho phép sử dụng luận án 01 báo tác giả luận án Các kết luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khoa học tác giả khác Hà Nội, ngày 17 tháng năm 2019 Tác giả luận án Trần Hồng Thái LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Vũ Văn Khương TS Lê Đình Định Các Thầy dành nhiều thời gian, công sức, tận tâm dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học, ln động viên khích lệ tác giả vượt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc Thầy Trong q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy, cô môn Giải tích, khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội, đặc biệt GS TSKH Nguyễn Văn Mậu TS Vũ Nhật Huy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình học tập hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học đồng nghiệp mơn Tốn, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tác giả có thời gian điều kiện để chuyên tâm nghiên cứu khoa học Cuối cùng, tác giả xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình, người sát cánh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh mục hình vẽ, đồ thị Mở đầu Chương 1: 1.1 1.2 Kiến thức chuẩn bị Phương trình sai phân cấp cao 14 1.1.1 Các định nghĩa 14 1.1.2 Phân tích ổn định tuyến tính 16 1.1.3 Kết so sánh 17 1.1.4 Định lý hội tụ 18 Hệ phương trình sai phân 19 1.2.1 Các định nghĩa ổn định 19 1.2.2 Hệ tuyến tính hóa hệ phương trình sai phân 21 Chương 2: Sự ổn định điểm cân số dạng phương trình sai phân cấp cao dạng phân thức 2.1 14 24 Sự ổn định tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức 25 2.1.1 Sự ổn định tiệm cận điểm cân phương trình (2.1) 2.1.2 Sự ổn định tiệm cận điểm cân phương trình (2.2) 2.2 2.3 ba dạng phân thức 34 2.2.1 Đặt vấn đề khái niệm mở đầu 34 2.2.2 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.25) 36 Sự ổn định tồn cục nghiệm phương trình sai phân cấp bốn dạng phân thức 44 2.3.1 Đặt toán 44 2.3.2 Sự ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân 46 2.3.3 Ví dụ minh họa 49 Sự ổn định tiệm cận điểm cân số hệ phương trình sai phân dạng phân thức 3.2 31 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình sai phân cấp Chương 3: 3.1 27 54 Sự ổn định tiệm cận nghiệm hệ phương trình sai phân cấp dạng phân thức 55 3.1.1 Đặt toán 55 3.1.2 Tính bị chặn nghiệm 56 3.1.3 Phân tích ổn định nghiệm 58 3.1.4 Ví dụ minh họa 67 Sự ổn định tiệm cận nghiệm hệ phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức 73 3.2.1 Đặt toán 73 3.2.2 Tính bị chặn nghiệm 73 3.2.3 Phân tích ổn định nghiệm 77 3.2.4 Ví dụ minh họa Kết luận kiến nghị 85 95 Danh mục cơng trình khoa học cơng bố luận án 96 Tài liệu tham khảo 97 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên không âm R tập số thực R+ tập số thực không âm Rk không gian véc tơ thực k−chiều {xn }∞ n=−k dãy số thực x điểm cân JF ma trận Jacobi x chuẩn véc tơ x B(a, r) cầu mở tâm a bán kính r xT chuyển vị véc tơ x ∈ Rk ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A J khoảng tập số thực B tích Decartes hai tập A B ∃x tồn x ∀x với x lim xn giới hạn dãy số {xn } limn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } limn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } tr trang ✷ kết thúc chứng minh n→∞ DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình vẽ Trang Hình 2.1 50 Hình 2.2 50 Hình 2.3 51 Hình 2.4 52 Hình 2.5 52 Hình 3.1 69 Hình 3.2 70 Hình 3.3 72 Hình 3.4 87 Hình 3.5 88 Hình 3.6 90 Hình 3.7 92 Hình 3.8 93 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Phương trình sai phân xuất nhiều lĩnh vực đời sống xã hội: kinh tế, sinh học, y học, tốn học, Thí dụ, để dự báo dân số tỉnh đó, theo dân số năm 2018 A, tốc độ tăng dân số a%, ta làm sau: Gọi năm 2018 0, năm 2019 1, năm 2020 2, Gọi dân số năm thứ n yn , dân số năm thứ (n+1) yn+1 = yn + a%.yn = a 1+ yn ta đưa việc dự báo dân số việc giải phương trình sai 100 phân   yn+1 = + a yn , 100  y0 = A Thí dụ khác, để tìm nghiệm phương trình đại số siêu việt f (x) = (1) (a; b), f (x) f (x) khơng đổi dấu f (a).f (b) < 0, ta dùng phương pháp Newton theo công thức   f (xn )  xn+1 = xn − , f (xn )   x = c (2) có nghĩa thay phương trình (1) phương trình sai phân (2) để tìm nghiệm gần xn phương trình (1) Phương trình sai phân xuất dạng tuyến tính phi tuyến Đã có phương pháp giải để tìm nghiệm tường minh nhiều (a) Đồ thị nghiệm xn hệ (3.46) (b) Đồ thị nghiệm yn hệ (3.46) (c) Điểm hút hệ (3.46) Hình 3.8: Đồ thị nghiệm hệ (3.46) với x−1 = 4.5, x0 = 0.9, y−1 = 1.2, y0 = 93 Kết luận Chương Nội dung chương nghiên cứu ổn định tiệm cận toàn cục hai lớp hệ phương trình sai phân dạng phân thức (3.3) (3.21) Kết thu sau: Chỉ điều kiện đủ cho tồn điểm cân dương phân tích ổn định điểm cân dương hai lớp hệ phương trình sai phân dạng phân thức (3.3) (3.21) Đây kết mở rộng tự nhiên từ lớp phương trình sai phân sang hệ phương trình sai phân, góp phần hồn thiện hướng nghiên cứu lớp phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức Đưa vài ví dụ minh họa cho tính ổn định điểm cân dương với đồ thị vẽ phần mềm Matlab 94 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Xét tính ổn định tiệm cận địa phương điểm cân hai lớp phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên dạng phương trình sai phân cấp ba dạng phân thức Chứng minh điểm cân lớp phương trình sai phân cấp bốn dạng phân thức ổn định tiệm cận toàn cục Đưa điều kiện đủ để hai lớp hệ phương trình sai phân dạng phân thức có điểm cân dương phân tích ổn định điểm cân dương Đưa số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết với đồ thị chúng vẽ phần mềm Matlab Tiếp theo kết luận án, tác giả thấy số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình sai phân dạng phân thức ứng dụng sinh học Nghiên cứu ổn định điểm cân hệ phương trình sai phân dạng phân thức ứng dụng sinh học, kinh tế 95 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN V V Khuong, T H Thai (2010), "On the asymptotics of the xn−3 − (xn + xn−1 )3 difference equation xn = ", Com1 + xn xn−1 + xn−1 xn−2 + xn xn−2 mun Appl Anal 14, pp 443–446 V V Khuong, T H Thai (2010), "A note on global behaviour of solutions and positive nonoscillatory solutions of rational difference equation", Int J Math Anal 4, pp 1975–1984 V V Khuong, T H Thai (2014), "Qualitative behavior of difference equation of order two and positive nonoscillatory solutions", Acta Math Vietnam 39, pp 111–119 (Scopus) T H Thai, V V Khuong (2016), "Stability analysis of a system of second-order difference equations", Math Methods Appl Sci 39, pp 3691–3700 (SCIE ) V V Khuong, T H Thai (2017), "On the recursive sequence αxn xn−1 xn+1 = + ", Southeast Asian Bull Math 41, pp βxn + xn−1 xn 37–44 T H Thai (2018), Asymptotic behavior of the solution of a system of difference equations, Int J Difference Equ 13, pp 157–171 96 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Mai Nam Phong (2016), Nghiên cứu tính chất nghiệm số dạng phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [2] M T Aboutaleb, M A El-Sayed, A E Hamza (2001), "Stability α − βxn of the recursive sequence xn+1 = ", J Math Anal Appl γ + xn−1 261, pp 126–133 [3] R P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities, Second Ed., Dekker, New York [4] A M Amleh, E A Grove, D A Georgiou, G Ladas (1999), "On xn−1 the recursive sequence xn+1 = α + ", J Math Anal Appl xn 233, pp 790–798 [5] A M Amleh, N Kruse, G Ladas (1999), "On a class of difference equations with strong negative feedback", J Difference Equ Appl 5, pp 497–515 97 [6] P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), "Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations", Acta Math Vietnam 29, pp 23–39 [7] P K Anh, L C Loi (2001), "On multipoint boundary-value problems for linear implicit nonautonomous systems of difference equations", Vietnam J Math 29, pp 281–286 [8] P K Anh, L C Loi (2006), "On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations", Adv Difference Equ Art ID 43092, pp 1–19 [9] P K Anh, D S Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations", Int J Difference Equ 1, pp 181–193 [10] P K Anh, H T N Yen (2004), "On the solvability of initialvalue problems for nonlinear implicit difference equations", Adv Difference Equ 2004, pp 195–200 [11] P K Anh, H T N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems", J Math Anal Appl 321, pp 921–929 [12] P K Anh, H T N Yen, T Q Binh (2004), "On quasi-linear implicit difference equations", Vietnam J Math 32, pp 75–85 [13] L Berg (1968), Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen, Dt Verlag Wiss, Berlin [14] L Berg (2002), "On the asymptotics of nonlinear difference equations", Z Anal Anwend 21, pp 1061–1074 98 [15] L Berg (2004), "Inclusion theorems for nonlinear difference equations with applications", J Difference Equ Appl 10, pp 399–408 [16] L Berg (2005), Corrections to "Inclusion theorems for nonlinear difference equations with applications", J Difference Equ Appl 11, pp 181–182 [17] L Berg (2008), "On the asymptotics of the difference equations xn−3 = xn (1 + xn−1 xn−2 )", J Difference Equ Appl 14, pp 105– 108 [18] L Berg, S Stevi´c (2011), "On the asymptotics of the difference equation yn (1 + yn−1 yn−k+1 ) = yn−k ", J Difference Equ Appl 17, pp 577–586 [19] L Berg, S Stevi´c (2011), "On some systems of difference equations", Appl Math Comput 218, pp 1713–1718 [20] K Berenhaut, S Stevi´c (2006), "A note on positive nonoscillatory xpn−k solutions of the difference equation xn+1 = α+ p ", J Difference xn Equ Appl 12, pp 495–499 [21] K Berenhaut, S Stevi´c (2007), "The difference equation xn+1 = xn−k has solutions converging to zero", J Math Anal α + k−1 c x i=0 i n−i Appl 326, pp 1466–1471 [22] E Camouzis, G Ladas (2008), Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton, London 99 [23] R DeVault, G Dial, V L Kociˇc, and G Ladas (1998), "Global behavior of solution of xn+1 = αxn + f (xn , xn−1 )", J Difference Equ Appl 3, 311–330 [24] Q Din (2014), "Global stability of a population models", Chaos Solitons Fractals 59, pp 119–128 [25] Q Din (2015), "Qualitative nature of a discrete predator-prey system", Contemporary Methods in Mathematical Physics and Gravitation 1, pp 27–42 [26] Q Din (2015), "Global behavior of a plant-herbivore model", Adv Difference Equ., doi: 10.1186/s13662-015-0458-y [27] Q Din, E M Elsayed (2014), "Stability analysis of a discrete ecological model", Computational Ecology and Software 4, pp 89– 103 [28] Q Din, M A Khan (2016), "Global stability of a system of exponential difference equations", Contemporary Methods in Mathematical Physics and Gravitation 1, pp 71–85 [29] Q Din, M Ozair, T Hussain, U Saeed (2016), "Qualitative behavior of a smoking model", Adv Difference Equ., doi: 10.1186/s13662-016-0830-6 [30] S Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, 3rd Ed., Springer-Verlag, New York 100 [31] D V Giang, D C Huong (2005), "Nontrivial periodicity in discrete delay models of population growth", J Math Anal Appl 305, pp 291–295 [32] D V Giang, D C Huong (2005), "Extinction, persistence and global stability in models of population growth", J Math Anal Appl 308, pp 195–207 [33] C H Gibbons, M R S Kulenovi´c, G Ladas (2000), "On the α + βxn−1 recursive sequence xn+1 = ", Mathematical Science Reγ + xn search Hot-Line 4, pp 1–11 [34] E A Grove, G Ladas (2005), Periodicities in Nonlinear Difference Equations, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, London [35] D C Huong (2006), "On the asymptotic behavior of solutions of a nonlinear difference equation with bounded multiple delay", Vietnam J Math 34, pp 163–170 [36] D C Huong (2009), "Oscillation for a nonlinear difference equation", Vietnam J Math 37, pp 537–549 [37] D C Huong (2016), "Asymptotic stability and strict boundedness for non-autonomous nonlinear difference equations with timevarying delay", Vietnam J Math 44, pp 789–800 [38] D C Huong, N V Mau (2013), "On a nonlinear difference equation with variable delay", Demonstratio Math 46, pp 123–135 101 [39] D C Huong, P T Nam (2008), "On the oscillation, convergence and boundedness of a nonlinear difference equation with multiple delay", Vietnam J Math 32, pp 151–160 [40] V V Khuong (2008), "On the positive nonoscillatory solution of p xn−k the difference equations xn+1 = α + ", Appl Math J xn−m Chinese Univ 24, pp 45–48 [41] V V Khuong (2009), "On the positive nonoscillatory solution of α p xn−2 + the difference equations xn+1 = ", Commun Appl xn xn Anal 12, pp 199–208 [42] V V Khuong (2009), "A note on the difference equation xn+1 = k xn−k ", Panamer Math J 19, pp 67–77 α+ k−1 x i=0 n−i [43] V V Khuong, T H Thai (2012), "Asymptotic behavior of some population models", J Appl Math Bioinformatics 2, pp 165–176 [44] V V Khuong, T H Thai (2014), "Asymptotic behavior of the solutions of system of difference equations of exponential form", J Difference Equ Art ID 936302, pages [45] V L Kocic, G Ladas (1993), Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications, Kluwer Academic, Dordrecht [46] W A Kosmala, M R S Kulenovi´c, G Ladas, C T Teixeira p + yn−1 (2000), "On the recursive sequence yn+1 = ", J Math qyn + yn−1 Anal Appl 251, 571–586 102 [47] Y K Kuang, J M Cushing (1996), "Global stability in a nonlinear difference-delay equation model of flour beetle population growth", J Difference Equ Appl 2, pp 31–37 [48] M R S Kulenovi´c, G Ladas (2002), Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, Chapman & Hall/ CRC, Boca Raton, London [49] M R S Kulenovi´c, O Merino (2002), Discrete Dynamical Systems and Difference Equations with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Fla, USA [50] M R S Kulenovi´c, M Nurkanovi´c (2003), "Global asymptotic behavior of a two dimensional system of difference equations modeling cooperation", J Difference Equ Appl 9, pp 149–159 [51] M R S Kulenovi´c, Z Nurkanovi´c (2005), "The rate of convergence of solution of a three dimensional linear fractional systems of difference equations", Zbornik radova PMF Tuzla - Svezak Matematika 2, pp 1–6 [52] M R S Kulenovi´c, M Nurkanovi´c (2006), "Asymptotic behavior of a competitive system of linear fractional difference equations", Adv Difference Equ Art ID 19756, pp 1–13 [53] G Ladas (1996), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 2, pp 449–452 [54] G Ladas (1998), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 4, pp 497–499 103 [55] G Ladas (1999), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 5, pp 211–215 [56] G Ladas (2000), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 6, pp 481–483 [57] X Li, D Zhu (2002), "Global asymptotic stability for a nonlinear delay difference equations", Appl Math J Chinese Univ Ser B 17, pp 183–188 [58] X Li, D Zhu (2004), "Global asymptotic stability for two recursive difference equations", Appl Math Comput 150, pp 481–492 [59] X Li, D Zhu (2004), "Two rational recursive sequences", Comput Math Appl 47, pp 1487–1494 [60] X Li (2005), "Qualitative properties for a fourth-order rational difference equation", J Math Anal Appl 311, pp 103–111 [61] X Li (2013), "Global dynamics for a higher order rational difference equation", Rocky Mountain J Math 43, pp 1261–1280 [62] X Li, R P Agarwal (2007), "The rule of trajectory structure and global asymptotic stability for a fourth-order rational difference equation", J Korean Math Soc 44, pp 787–797 [63] E El-Metwally, E A Grove, G Ladas, R Levins, M Radin (2001) , "On the difference equation, xn+1 = α + βxn−1 e−xn ", Nonlinear Anal 47, pp 4623–4634 104 [64] T Nesemann (2001), "Positive nonlinear difference equations: some results and applications", Nonlinear Anal 47, pp 4707–4717 [65] H M El-Owaidy, A M Ahmed, M S Mousa (2004), "On asymptotic behaviour of the difference equation xn+1 = α + xn−k xn ", Appl Math Comput 147, pp 163–167 [66] I Ozturk, F Bozkurt, S Ozen (2006), "On the difference equation yn+1 = (α + βe−yn )/(γ + yn−1 )", Appl Math Comput 181, pp 1387–1393 [67] G Papaschinopoulos, M A Radin, C J Schinas (2011), "On the system of two difference equations of exponential form: xn+1 = a + bxn−1 e−yn , yn+1 = c + dyn−1 e−xn ", Math Comput Model 54, pp 2969–12977 [68] G Papaschinopoulos, M A Radin, C J Schinas (2012), "Study of the asymptotic behavior of the solutions of three systems of difference equations of exponential form", Appl Math Comput 218, pp 5310–5318 [69] G Papaschinopoulos, C J Schinas (2012), "On the dynamics of two exponential type systems of difference equations", Comput Math Appl 64, pp 2326–2334 [70] G Papaschinopoulos, N Fotiades, C J Schinas (2014), "On a system of difference equations including negative exponential terms", J Difference Equa Appl 20, pp 717–732 105 [71] G Papaschinopoulos, G Ellina, K B Papadopoulos (2014), "Asymptotic behavior of the positive solutions of an exponential type system of difference equations", Appl Math Comput 245, pp 181–190 [72] G Papaschinopoulos, N Psarros, K B Papadopoulos (2015), "On a cyclic system of m difference equations having exponential terms", Electron J Qual Theory Differ Equ., doi: 10.14232/ejqtde.2015.1.5 [73] H Sedaghat (2003), Nonlinear Difference Equations: Theory with Applications to Social Science Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands [74] G Stefanidou, G Papaschinopoulos, C J Schinas (2010), "On a system of two exponential type difference equations", Comm Appl Nonlinear Anal 17, pp 1–13 [75] S Stevi´c (2002), "A note on the difference equation xn+1 = αi k i=0 pi ", J Difference Equ Appl 8, pp 641–647 xn−i [76] S Stevi´c (2002), "On the recursive sequence xn+1 = α+βxn−1 1+g(xn ) ", In- dian J Pure Appl Math 33, pp 1767–1774 [77] S Stevi´c (2003), "Asymptotic behaviour of a nonlinear difference equation", Indian J Pure Appl Math 34, pp 1681–1689 [78] S Stevi´c (2006), "Asymptotic behaviour of a class of nonlinear difference equations", Discrete Dyn Nat Soc Art ID 47156, 10 pages 106 [79] S Stevi´c (2006), "On positive solutions of a (k + 1)th order difference equation", Appl Math Lett 19, pp 427–431 [80] S Stevi´c (2007), "Asymptotics of some classes of higher order difference equations", Discrete Dyn Nat Soc Art ID 56813, 20 pages [81] S Stevi´c (2011), "On a system of difference equations", Appl Math Comput 218, pp 3372–3378 Stevi´c (2012), "On the difference equation xn xn−k ", Appl Math Comput 218, pp 6291–6296 b + cxn−1 xn−k [82] S = [83] S Stevi´c, M A Alghamdi, A Alotaibi, E M Elsayed (2017), "On a class of solvable higher-order difference equations", Filomat 31, pp 461–477 [84] S Stevi´c, M A Alghamdi, A Alotaibi, N Shahzad (2013), "On a nonlinear second order system of difference equations", Appl Math Comput 219, pp 11388–11394 [85] S Stevi´c, M A Alghamdi, D A Maturi, N Shahzad (2014), "On the periodicity of some classes of systems of nonlinear difference equations", Abstr Appl Anal Art ID 982378, pages ˇ [86] S Stevi´c, B Iricanin, Z Smarda (2015), "Boundedness character of a fourth-order system of difference equations", Adv Difference Equ., doi: 10.1186/s13662-015-0644-y 107 ... minh nhiều lớp phương trình tuyến tính Đối với phương trình phi tuyến chưa có phương pháp chung để giải đa dạng kiểu phương trình Nghiên cứu phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến lâu phát... thay phương trình (1) phương trình sai phân (2) để tìm nghiệm gần xn phương trình (1) Phương trình sai phân xuất dạng tuyến tính phi tuyến Đã có phương pháp giải để tìm nghiệm tường minh nhiều lớp. .. , x0 ∈ J 14 nghiệm phương trình (1.1) tồn xác định (k + 1) giá trị ban đầu Một nghiệm phương trình (1.1) số với n ≥ −k gọi nghiệm cân Nếu xn = x¯ với n ≥ −k nghiệm cân phương trình (1.1) x¯