3 5�C ��C 56c 76c 1 L�i m8 9 u 2 L�i ; m u 5 CH�"NG 1 KI&N TH?C CHU@N �� 1 1 M�t s�� nh �� �a chung v��ph��ng ���nh �o �m riêng 1 2 H�i ���y�u 1 3 Không gian Sobolev 1 4 ���n t����a ��i ���[.]
5 C C 56c 76c L i m8 9:u L i ;.m u CH "NG KI&N TH?C CHU@N ng 1.1 M ts 1.2 H i y u 1.3 Không gian Sobolev 1.4 1.5 nh nt a a chung v ph i nh o m riêng n Dirichlet 10 nh ! Lax-Milgram 14 CH "NG M T S NH V I MB T NG 18 2.1 " c nh ! i#m b$t ng a nh % co 18 2.2 " c nh ! i#m b$t ng a nh % không &'n 26 2.3 " c nh ! i#m b$t ng a nh % liên 33 CH "NG I N DIRICHLET c I V I H! PH "NG CHAN 40 (t toán 40 ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG 3.1 #$NH 3.2 S) t*n i a nghi+m y u a i n Dirichlet 43 50 L i kBt 52 i li>u tham CD.o L I ME FU Ph ng nh vi phân o m riêng b môn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhi u i n /ng & ng c nh : ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, ! thuy t n h*i Ph ng nh vi phân o m riêng 1n m i quan h+ quan ,ng v3i ! thuy t % c su$t Hi+n ph ng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c y u nghiên c/u m t v$n quan ,ng nh v)c kinh t i 5nh nh - c6 phi u M t s nh v)c n ,c hi+n i c nh : 7! thuy t bi#u di8n 2m, 7! thuy t tr 9ng l :ng t , 7! thuy t c không gian thu;n nh$t < V=t ! n ph ng nh vi phân o m riêng 2ng vai quan ,ng M t nh v)c quan ,ng nh$t ph ng di+n /ng & ng, 5nh n khoa ,c > m t nh?ng n i dung y u a -@i c ph ng nh vi phân o m riêng Tuy nhiên nhi u i n ph ng nh vi phân o m riêng > vi+c m nghi+m a r$t ph/c p m(c &A n -@n v m(t c$u c B2i chung không ph ng C p chung # -@i c ph ng nh vi phân o m riêng i u ng 9i ta quan tâm nghiên c/u c ph ng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i < t*n i nh$t nghi+m a V3i i "VG mHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng O o P i / +n Dirichlet 91i v2i h> ph u th ng IXng luYn vZn N : không gian Euclide th)c N chi u ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω y t*n i S! hi+u ∂u ( x ) u ( x + hei ) − u ( x ) n u gi3i = lim h → ∂xi h ei = ( 0, 0, , 0, i, 0, , ) : Vect n u xi , n < th/ i α = (α1 , α , , α N ) : a T s α i ∈ + α = α1 + α + + α N : b=c a a T s ∂ , i = −1, D = ( D1 , D2 , ∂x j D j = −i αj αj D j = ( −1) N ∆u = i =1 α ∂ j ∂α α α , D = ( −1) α ∂x1α1 ∂x2α ∂xαNN ∂x j j u xi xi = tr ( D 2u ) : C ( Ω ) : không gian ( ) C Ω : không gian n t Laplace m u :Ω → c m u ∈ C ( Ω ) , u liên c C ∞ ( Ω ) : không gian c ( ) ∞ k =0 a u c C k ( Ω ) : không gian C∞ Ω = , DN ) : Vect gradient liên m u :Ω → m u :Ω → c u @ vi n c$p k @ vô n ( ) ( ) c C k Ω v3i C k Ω : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , Dα u liên c u v3i >,i α , α ≤ k C0k ( Ω ) : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , u - compact Lp ( Ω ) : không gian c m u : Ω → , u o :c Lebesgue u Lp ( Ω ) µ} = 0} , f p Lloc ( Ω ) không gian c m u : Ω → , u ∈ Lp (U ) v3i >,i U compact Ω C k ,α ( Ω ) , C k ,α ( Ω ) , k = 1, 2, ; ≤ α ≤ : c khơng gian Hưlder o 10 W pk ( Ω ) , H k ( Ω ) , H k ( Ω ) , k = 0,1, ; ≤ p ≤ ∞ : t=p c không gian Sobolev CH NG KI N TH C CHU N 1.1 MHt s1 9Knh [,D\a chung vG ph 'n (1.1) nh (1.1) Knh [,D\a 1.2 Ph & ng ng :c ,i gi i nh m riêng (1.1) o cn u m :c t$t @ :c , i c α ≤k f ( x) Ph ng nh :c , i Ph ng nh o c m ' cho n nh thu n nh t n u f ≡ m riêng (1.1) α =k :c , i n a n nh n u 2 & ng aα ( x ) Dα u + a0 ( x, u, Du, , D k −1u ) = Qa n nh n u 2 aα ( x ) Dα u = f ( x ) Trong aα ( x ) < ms u Ph ng nh o α =k Ph ng 5nh < o m riêng (1.1) aα ( x, u, Du, :c , i t a n nh n u 2 & ng , D k −1u ) Dα u + a0 ( x, u , Du , nh o m riêng (1.1) :c ,i o m riêng b=c cao nh$t , D k −1u ) = phi n n u C thu c không n 1.2 HHi /6 yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3 U'y {un } ch/a X :c , i h i y u n u∈X n u u * , un → u * , u v3i >,i u * ∈ X * NhYn U^t 1.1 N u &'y {un } h i nu &'y {un } h i y u M t &'y h i y u &'y ch(n u ≤ lim inf un N u {un } h i y u n u n u n →∞ Knh 7L 1.1 Cho X Khi t n im t không gian Banach { } ( ( X *) * = X ) n { }h i y unk ⊂ {un } u ∈ X cho unk y {un } y u ch n n u NhYn U^t 1.2 M t &'y ch(n không gian Hilbert ch/a m t &'y h i y u 1 VWt X = Lp ( Ω ) X * = Lq ( Ω ) , + = , < q ≤ ∞ M t phi m m n p q 5nh ch(n f Lp ( Ω ) th# :c bi#u di8n d 3i & ng fgdx , g ∈ Lq ( Ω ) f Ω TN f n h i y u n f thu c Lp ( Ω ) gf n dx → fgdx , n → ∞ v3i >,i g ∈ Lq ( Ω ) (1.2) Ω X Lp ( Ω ) a : không gian Ω a Lq ( Ω ) , Lp ( Ω ) i ng4u C @n % n u ch(n L ( Ω ) v3i < p < ∞ th# 5ch < q < ∞ V=y tN mPi &'y m t &'y h i y u Qa >'n (1.2) KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact p Knh 7L 1.2 !" s y { fn} y #$c m Lp ( Ω ) cho fn − f Khi t n Lp ( Ω ) →0 { } y f nk ⊂ { f n } cho: im t f nk → f h.k.n Ω h.k.n Ω v%i h ∈ Lp ( Ω ) f nk ( x ) ≤ h ( x ) v%i &'i k 1.3 Không gian Sobolev Knh [,D\a 1.4 (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev W pk ( Ω ) = {u : Ω → : Dα u ∈ Lp ( Ω ) , ∀ α ≤ k } NhYn U^t 1.3 V3i p = , không gian H k ( Ω ) = W2k ( Ω ) , k = 0,1, H không gian Hilbert (Ω) ≡ L (Ω) Knh [,D\a 1.5 N u u ∈ W pk ( Ω ) chuGn au :c % c nh nh sau: p u W pk := (Ω) Dα u dx p , 1≤ p < ∞ α ≤k Ω ess sup Dα u , α ≤k Cho &'y {un } , u ∈ Wpk ( Ω ) Khi {un } lim un − u n →∞ p=∞ Ω :c , i W pk ( Ω ) h i n u W pk ( Ω ) n u =0 S5 hi+u un → u W pk ( Ω ) Knh 7L 1.3 V%i m(i k = 1, 2, không gian ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev W pk ( Ω ) Banach Không gian Sobolev W pk ( Ω ) không gian n n u # ) n u 1< p < ∞ H n n*a W2k ( Ω ) không gian Hilbert v%i ch vô h %ng 10 u, v W2k ( Ω ) D a uDα vdx = α ≤k Ω NhYn U^t 1.4 Z,i bao 2ng o W pk ( Ω ) Khi a C0∞ ( Ω ) W pk ( Ω ) o W pk ( Ω ) = C0∞ ( Ω ) W pk ( Ω ) { = u ∈ Wpk ( Ω ) : Dα u ∂Ω } = 0, ∀ α ≤ k − o H 0k ( Ω ) = W2k ( Ω ) Knh [,D\a 1.6 Không gian H −k ( Ω) M t m f ∈ H −k ( Ω ) n u f Trong ph;n y ta xWt vai quan ,ng c a không gian H 0k ( Ω ) +i ng,u nh ! phi m ch(n H 0k ( Ω ) m n 5nh ng > nh ! :c 05 hi+u ng Sobolev 2ng m t Knh [,D\a 1.7 Z-@ s X < Y c không gian Banach X :c ,i - ng liên c Y n u t*n i nh % n 5nh i: X →Y cho i ( x) Y ≤ c x X , v3i ∀ x ∈ X v3i c > hMng s Khi ta *ng nh$t X v3i không gian i ( X ) ⊂ Y X :c ,i - ng compact < o Y n u nh % i bi n t=p t=p compact t ng i Y Knh 7L 1.4 Cho Ω ⊂ N # N o Lebesgue ch(n X nh (Ω) < ∞ , ≤ p ≤ q < ∞ Lq ( Ω ) ⊂ Lp ( Ω ) N u N ( Ω ) = +∞ - i chung Knh 7L 1.5 !" s Ω Khi ( ) C k ,β Ω nh / không ng mi0n compact t - ng liên N ng +i ( ) c C k ,α Ω Knh 7L 1.6 ( Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s Lipschitz, k ∈ , ≤ p ≤ ∞ Khi 11 k∈ , ≤ α < β ≤ mi0n ch n v%i biên compact Ω⊂ N N u kp < N , ≤ q ≤ 1p - ng Np N − kp ta # W pk ( Ω ) compact n u q < N u ≤ m < k − - ng liên Np N − kp N N < m +1 , ≤ α ≤ k − m − p p ( ) C m ,α Ω c Lq ( Ω ) W pk ( Ω ) - ng liên ta # compact n u α < k − m − 1p - ng c N p o NhYn U^t 1.5 nh ! mi n Ω ch(n c không gian W pk ( Ω ) >,i ng Sobolev v4n ng Knh 7L 1.7 (BNt 9`ng th c a -;bQ^) !" s Ω nh #4a Ω , u ∈ H 01 ( Ω ) Khi mi0n ch n N ,d 2ng u dx ≤ d Du dx Ω Knh 7L 1.8 !" s Ω⊂ N Ω ch n thu c l%p C , t n mi0n i h5ng s+ c = c ( Ω ) cho v%i &'i u ∈ H 01 ( Ω ) ta # 2 u dx ≤ c Ω 1.4 u dσ Du dx + Ω ∂Ω +n tS ;Ja P i / +n Dirichlet S5 hi+u H −1 ( Ω ) = ( H 01 ( Ω ) ) * không gian c phi m m n 5nh liên H (Ω) , L ( Ω) ⊂ H (Ω) Ta 0! hi+u −∆ nt −1 −∆ : H 01 ( Ω ) → H −1 ( Ω ) (1.3) % c (1.4) nh theo công th/c ( −∆u, v ) = ( Du, Dv ) , v3i >,i u, v ∈ H 01 ( Ω ) Khi v3i u , v ∈ C0∞ ( Ω ) ta ( −∆u, v ) = DuDvdx Ω 12 c ... , nh lý Lax-Milgram cho ∀u, v ∈ X :c g,i toán t liên k t v3i d ng song n tính a ( u, v ) khơng - gian Hilbert X Hay a ( u, v ) :c g,i d ng song n tính liên k t v3i toán t A D ng song n tính liên... [6] Ch ph