Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptíc không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Tư NHIÊN BÀI TỐN BIÊN t l ì VĨI PHƯƠNG TltÌN II VÀ 1IỆ Plll/OIMG I IỈIM I ELL1PTÍC K IIƠ \G TUN TÍNH Mã số: QT- 02- 03 CHÚ TRÌ ĐỂ TÀI : HỒNG QUỐC TỒN r 11 •SỊ- H Nội 2003 ' L ĩí.lỉiỉ ti Dĩ/£55~ BAO CAO TOM TẢT a Tén đê tài: Bài tốn biên phương trình hệ phương trình elliptíc khơng tuyến tính b Mã sơ: QT- 02-03 c Chú trì đề tài: Hồng Quốc Tồn d Muc tiêu nội dung nghiên cứu: Lý thuyết tồn nghiệm phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng elliptíc tuyến tính nghiên cứu tồn diện đầy đu mà kết đẹp đẽ lý thuyết tốn biên elliptíc đa tạp compắc Ván đề tương tự phương trình hệ phương trình elliptíc khơng tuyến tính nghiên cứu nghiêm túc từ nhiều năm Tuy nhiên kết rát khiêm tốn Trong đề tài nghiên cứu vấn đề quan tâm tồn nghiệm tốn biên hệ phương trình dạo hàm riêng elliptíc tuyến tính với phẩnchính lù tốn tư Laplace: Huu — -A// + q[x)-u —au + Jv + /i(u, v) Hqv - -Ai' + (i(x)v = ổu + -}(' + fi(u, u) II 1,/ií - 0, u\ị)U = , u(.ư) v ( s ) —> k h i |x | —r +OC íỉ mớ khơng bị chặn Ra với biên trơn d í l q{x) hàm xác định n,Q,/ỡ, , ổ tham số thực, /i(u, v), f 2(u, v) hàm tuỷến tính u,v Phưưng pháp nghiên cứu toán phi tuyến áp dụng đay kết hợp phương pháp điểm bất động Banach, Schauder phương pháp xấp xi phương pháp nghiệm ưên nghiệm Với giá thiết thích hợp chúng tơi chứng minh định lý vé tổn nghiệm nghiệm dương tốn Dirichlet khơng gian V^(Q) e Kết quá: - Hướng dần luận văn Thạc sĩ bảo vệ thành công ngày 26-3-2003 - bai báo f Tình hình kinh phí: Đã sử dụng theo khoán hựp đồng ( 000.000 đ) Xác nhặn Ban chu nhiệm Khoa Toán- Co- Tin học Xác nhận cua Trường Chủ trì đề tài ABSTRACT Bounđary- value problem for the system of non-linear elliptic equations by Hoang Quoc Toan The existence theory of linear elliptic partial differential equations is in a íairly complete form, one should seriously consider non-linear equations In thc present work, we are interested in the study of the following variational problem: ( - A u +- (ị ( x )) u - a u + p v + /i( u , v) ( — A /' + uịítiì where đỏ (J, v(x) —> |x| —> +oo (1 -2 ) la hăng số thực > 0,đ' > 0,q(x) hàm số xác định Q thoả mãn giả thiết sau u cho q(x) > qo - ữ|) Với u,v,ũ,v e R Như /i(0,0) = , / 2(0 , ) = , từ (1-4) ta lại có ư)| < /ci(ịu| + |y|) 1/ (11 , y)| < k2(\u\ + M ) , u , v e M Dưới ta sử dụng ký hiệu quen biết i) Giá sử u : íì —> R hàm đủ trơn, la ký hiệu (-ịp-, ■■• , Du Au = 73 véc tơ gradient toán tứ Laplace ii) C’X(S2) = {u ■.íì —> K khả vi vơ hạn íì} C^ịíì) = {u : u e r x (fì) có giá compắc Í2} H l {Q) không gian Sobolev thông thường Khơng gian l'f/°(Q)xe7íỉ[l] : Trong Cq°(íì ) ta xác định chuẩn 1/2 I N I , = ( £ \Du\2 + qu2dx C oc (íì) (1-5) Mu,v € C j c (íì) (1-6) Vu tích vơ hướng aq [ u , c ) = / ( D u D r + (juu)dj\ Với giá thiết (1-3) dáng điệu cua hàm q(x) vế phải (1-5) xác định chn c ^ ( í ì ) Định Iiịỉhĩa Ta ịiọi klìơtìịị gian nhạn bủng cácli b ó sung C£°(í>) ỉ/u’° chỉiấìì (1-5) Tính chất cứa khơng gian V^Q) xác định định lý sau Định lý 1.1 Vq{tt) khủng gian H ilber t trừ m ật L2(Q) Đống thời p h é p nhúng V°(Q) vào L2{íĩ) liên tục compact Chứng minh Không gian v ° { ũ ) không gian Hilbert cách xây dựng Hơn u € Vq°(íl) u € L2(fì) có ước lượng: INI £,2(0 ) < C-|M|v°(fì)- Do phép nhúng Vq{£ì) vào L2(íì) liên tục Ta cần chứng minh phép nhúng compact Ta ký hiệu: Với R > ÍÌ'R — { x G í i : ||x|| > R, } B/i hình cấu có tám gốc toạ độ với bán kính R , íìr = B r DÍ T Khi với u e ^( )) la có: Ị u2dx < sup { - Ị — ì JưH f(R) = N111V,Í>,( í hàm I q(j:)irdx < e{R)\\u\\ị0(ư ) rrưH\q{x)J JưH q R J tồn nhờ gia thiết (1-3) dáng điệu R —> +oo ( (R) —►0 Như với u € V'°(íì), ta có ước lượng: IMI/-(n) = [ JũH < IMIií(n) + Ể(-ft)IMIv°(n' JưR n*7) Giá sứ {Uk}?=i dãy bị chặn v ^ í ì ) i!"fc|lr°(nì - k - -2 • Khi dó với R > dãy {uk |iĩ„}n=i day bị chặn lronE H^ Í I r ) Vì t t H miền bị chặn R" nên ánh xạ nhúng H l { n R) vào L2{QR) liên tục compact Do đó, tồn dãy hội tụ mạnh L2{íì r ) Ta chứng minh {it*,}*! dãy hội tụ L2(Q) Thật vậy, với R > ta có \Wk, — < 11'Ufct - ukj\\‘ị,2(ỊìR) + Ễ(-ft)llu A:, - u kj\\vOịỉì'R)- Chú ý \\uk-, - ukj ||v'0(fi'R) —\\uk, —ukj Ilv'0(f2) —2A/ Mặt khác e{R) -> R —>+ 00 , với ĩ] > tuỳ ý tồn /?.() > cho: f ( * o ) I K " u kj lli'0(n'H) < rì- Với /? dã chọn, dãy hội tụ mạnh L2(íìHll), tồn số /0 > cho với L,j > lo ta có: „2 I K , - u k,\\h f c - i, ( f f , - ) ¥ > ) + (v *.¥ > ) — ị [ H q - ) - [ỏuữ + Ỉ Ả 11"! i;fc - i) ] (#) + Letting k -4 +oo under (3-6), (3-7) a.1.1 (3-8) 'VP grt / ^ _ r/