Phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn differential algebraic equations and implivit difference equations

N Ộ I DUNG I Lời nói đẩu tr 1-2 II Tóm tắt kết nghiên cứu đề tài tr 3-14 III Tài liệu tham khảo tr 15 IV Báo cáo kết thực đề tài NCKH tiếng V iệt tr 16-18 V Báo cáo kết thực đề íàỉ NCKH tiếng Anh tr 19-21 VI Tóm tắt cơng trình NCKH liên quan đến đế tài tr 22-27 VII Phụ lục: Các báo liên quan đến đề tài tr 28-104 VIII Tóm tắt luận án tiến sĩ tr 105-109 IX tr 110-111 Phiếu đăng ký kết nghiên cứu KH-CN Phẩn I Phương trình vi phân - đại số (PTVP - ĐS) phương trình sai phân ẩn (PTSP ẩn) vấn đề thời Toán học ứng dụng, thu hút quan lâm ciia nhiều nhà khoa học (xem [1 10, 14] lài liệu liên quan) Phirtttig I rì nil vi phím (lại số xuất lio n g nhiều vấn dề thực tế, từ hài tốn diều khiên dộng lực có làng hu Ọc, m ộl số hài toán cùa kỹ ih u ậ l diện cơng nghệ lu KÍ line (lén |ilm o iiịỉ pháp IIứa lờ i tạc g ià i phương trình dao hàm liê n g , phương 1lìn h ill 11 gọn lio n g hài tốn nhiễu kì dị v.v Tính khơng hài toán Cauchy hài toán hiên dối với P rV P -Đ S không tổn lại không nghiệm, phụ thuộc không liên lục nghiệm vào liệu v.v làm cho việc nghiên cứu dịnh tính giái gần PTVP-ĐS trở nên khó kliãn hấp dãn nhà khoa hoc Đ ến dã có hàng ngàn cóng (rình nghiên cứu PTVP-O S lộp trung vào số vấn (lổ sau: XAy dựng k liiíi niCm chí sơ' PTVP-ĐS Chỉ sơ' !yrV IM )S (lo mức độ iTÍn cùa phương trìn h cíĩn g nhạy cảm nghiệm Ihco Cík' (lữ liệ-ti han drill Nhiều khái niệm số (lã dược thiết lẠp số lồn cục (global index), chí sị kha qui (Im c la lìility index), số nhiều (p e rtu b a lio n index), v.v M ố i lien liệ lìiứa k liá i niỌm sơ nhu lín h giải ikrực cùa hài tcnín C a u cliv VÌI lìĩii to iíii biên clio PTVP-ĐS nhiều trường hợp lổng quái dã dược nghiên cứu Sir (lụng công cụ hình học nhiều nhà khoa học coi IT V P -Đ S Iilur I T V I ’ (lên (la tạp thu dược số kết hước (lầu dántỉ (liêu nghic-in cùa IT V P -D S Phương pliáp tu vốn tính lioíí tựa tuyến tính hná lổ n g quái (liKíc m ội sỏ nhà loán học khai lliác dê nghiên cứu hài lốn hiên (lói với n v p - ix s phi [uyên M ộ l sô phương pháp sô quen biết đỏi với lyr v p thường tlươc MỊihicn cứu áp dụng clio PTVP-ĐS, phương pháp luyến tính hước ti;i bước (cliíi yêu phương pháp rin) dể g iài hài loán CaucliỴ phương pháp brill lió i phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp c o llo i ation giải hài toán hiên cho IT V P -Đ S Phương trình sai phân ẩn xuâì Irong nhiều lốn lluix lê nhu 111ó hình kin h tố đa thành p liíin cua L e o n tie v hay m hình Leslie vổ lãng I rường 11 sơ hài tốn dicu khiên (ối ưu rời rạc v.v M ặt khác nhiều PTSP fill lie (|iiá cua vice lị i rục liố IT V M X S L ý tliu yê t IT S P rin tuyến tính với hệ số háng dã clirợc xây ilu iiị! k liii hoàn c 1111111 lìm nhiều ứng dụng lý thuyết diều khiển lõi ưu m i lac Tuy nliiOn có rAt ÍI kêì t|u;i b ic l tr r s p ẩn luyến lín h khơng dừng \à l r I SP ân phi HiyOn (xem [II) Tù năm IW dẽii seniiiui phương pháp g iải phương liìn h vi p11ãn ịiõ m CỈS Phạm K ỳ Anh (ÌS Nguyền ỉlĩrii C ịn” 1’tìS Nguyễn llữ u Dư I S v n Moinifi I inh c ù n g c c n g h iê n c ứ u s in h v h ọ c v ic n c a o h ọ c d ã têip ĩ r u n g m i l i i i ’ 11 c ứ u I 11ÚI s ú v n đề vể PTVP-ĐS PTSP ẩn Những kết mà thành viên semina dã thu dược IÌI (xem [2-5J, [12], [16]): Thiết lẠp dược diều kiện giíti (Urợc giải (lirợc tltiv nliAt nghiện) t ho hài toán hiên nhiều điểm dối với IT V P -Đ S chi' số ỉ Irirờiig hơp qui VÌI khơng qui Sir dụng phương pháp bấn bội, lẠp bội, lạp tie giúi hài loiín hiên cho H VP-ĐS tựa tuyến tính Thiết lập cơng thức hán kính ổn dịnh cho PTVP-ĐS tun tính hệ sỏ hàng Đề xuâl khái niệm số cho PTSP ẩn luyến tính, khơng (lùníí Nghiên cứu lính giỉii dirựơc giái dược tluy loán hicn Iihicu (liếm cho IT S I’ ẩn tuyến tính chí số Trong khn khổ tie lài này, Inrớc hết chứng nghiên cứu (láiiịỉ (liộii liỌm cẠ11 hán kính oil định hệ nhiễu kì dị PTVP-t),S Chúng lơi tin chứng ló riiniỉ hán kính ổn (lịnh liệ nhiễu kì dị hội lụ đến m inim um tua hiín kính ổn định cua họ lim gọn "hiến chậm " hệ lớp hiên "n lu in h " lliiim sị ( • Ticp ilico, môi liên hệ n VP-ĐS PTSPiiii, 111:ậII (lược: lừ việc lờ i lịic hoá H V P -Đ S liiMig sơ tlổ Euler dã diuíc lliic l lập Sụ hội lụ cua nghiệm cùa hài lồn C aucliv VÌ1 hài tốn biên hai diem cho lr rs p All tới Ii” hiệm cũa hài toán lươn Lĩ ứng cho IT V P -Đ S hước lưới drill clí'11 khơng (lã (lược c liiliifi minh Kèì Từ vể sau, ta ln giả lliic t sau: hệ (1.1) cócác tính chủt i E \ I , A 22 không suy hiên ii in tl{/■-’.>.> A j> \ —■ / < I iii rr( h T>, A '2 ), rr{ I - 11 , A 11 — A ị' ẢJ -2 A-Ji) c c Định lý 1.1 'lo n tạ i f > sctn cli() hệ ( I I ) on (lịnh tiậ iì t ận với r' Chứng m inh ( I I ) qui việc chứng ló n( E , A ) r tlú nhó Oi'in vớir i I < |ỉ), í Ị \ r >) o ( E \ \ , A \ \ - A ị ỉ A ^-2 A'2ì) 'Ill XĨI ma tIỘ11 chuyền cỉia (I I) Iilnr cua lie hién clinm biên Iihanli: (/,(/) - ĩ) , Ụ ) \ r , ( n « p ; u Cr's(t) - !) I C ị i r : v - \,(D) - ,ĩ) 1n ụ ) 'Í ỉ í n G VƠ ) - ( 'Á lK n I r o n g d ó À - /1|1 h j4 ia (íf£2 L- v4M ) '/Ỉ2 i;Ổ , = B | A v iự t E - u - A-a) C ị ( C -i{tfE -n _ - A - n ) " xM \ \ D , = ('-ỉỤcE-2 - / W ’ tfa- Các ma trộn/ì / ) ( " I> nhận từ À f , B f l C f, D f tương ứng cách cho ( — Định lý 1.2 Bán kính ơn đinh n ia hệ ( ỉ ỉ ) k lii f r € ( r) đủ bé dược cho hới ( õiif> lluh {s u p (p,R| | , ( | | } K lii ( — bán kính (hì (lịnh d id lie //í/í ÍỊỌ/I rs - {su p ,c ,:E|Ị(7.s'(f)||}~\ C uối CÍIIIự, bán kính ổn (tịnh cùa liệ lớp hiến nhanh fFJti!/') \> ỉ'h x‘ ì< ‘ tị1'!' hài r F - { sup,f-,rBII r // (/) II} KOI I|tui mục íịl (lưực phái biêu sau: Định lý 1.3 lim , I T/í/ /í{ 7's-, /.} Đ ịnh lý 1.3 mớ rộng kết luơng ứng cùa V.Dragan K II K r, I Hơn chúng minh định lý 1.3 lại dơn giản râl nliiều chứng minh cùa cùa V.Diagíin, Kỹ tlmậl sử dụng tillin g minh định lý 1.3 có 11lổ áp (lụ iiị! cho biú tốn tổng quát hơn: {!■: I (,.)!/' AỊ/, Irong dó Lj , /■’, A ma trận dã cho E có lliê suy liiõn §2 M ỏ i liên hệ PTVP-ĐS PTSP ẩn Trước hêì ta nhắc lại khái niệm chí sơ' cua PTVP-ĐS Theo C ìiiepcnlm ” v;i M ã r/ IT V P -Đ S lu yen tính khơng dừng A ị l Ị r ' i lìd ỵ r A, ì ì f - f R /(/; t e / ị/„ ’|, 2.1 T" X"' ) (Ị G ("(./, K ” ’ ) cho có chí so]néu: i Tồn lại phcp chiếu Q e c l (./, I R ™ ) lên K er A {t), lức Q - í/) - Q (ỉ) lin Ợ Í/) K e i-4 (/), V/ f / ii M il l lã 11 Cí(f) T iorni (lược A ịi) [ ì ì ( l) ( J ( t ) không suy hiên V/ •- / I l(í| kli niệm in s i’ rin clií sơ I (lã clirợc (lề xuũt Tính (luoc liiiii Iihíìl cú;ihài lốn "iá liị him drill \'ÌI bìu loiín Hiên nliKU (licm cho IM.SI’ i'm chí sỏ I (lã đirơc kháo sál Nhằm chứng tỏ khái niệm số PTSP ẩn dưa liựp lý, Irong mục chứng rời rạc PTVP-ĐS số1 (2.1) bàng phương pháp Euler hiện, ta thu PTSP ẩn số I Hơn nữa, nghiệm cùa hỉii Inán Cauchy toán biên nhiều điểm cúa PTSP rill hội tụ lới nghiệm cua loán C auchy VÌI hài tốn hicn (Ương ứng cho IT V P -Đ S Giả sứ PTVP-ĐS (2.1) có chí số I K hi dó rankv4(/) = r, ( I V III) Xci k liiii liiể ti kì tlị A ( l) 11(1 )5J(/) V 1( I ), Mong tlú giá ihiél c;ic m;i liiìn liu v giai) I ! e ( ' ( / , V e r l ( / , R m xm ) cịn r,(t.) e ma liiìn ilừ ím g chéo với giá trị kì dị ịự ) ^ ^ (7, (7) > nằm dường chéo cliín li Dặt Q (t) = V ( t ) Q * V ịt.) dó Q * d i a g ( , r ) Q (t) phép chiêu ươn lên K e r /l(/) Mơn ma trận G (1 , t ) : A ịt ) T > (111 bé k liú iig suy biến ||G’ ' ( / , t ) | | ^ c/ t Clio N số nguyên dương ĐẠI r dổu / thìm li N cloạn | / „ , / „ I I ], ( T - ị))/N bước lưới t ua phim hoiich (), Ã7 - 1, lio n g dó II A Ụ n );U „ ọ ụ „y ,v „r= I vụ„)-u„ /(I I III K í hiệu 1,, *'■ (/„) [n i),K) V - I V Xct lược dồ Euler giải PTVP-ĐS (2.1) A „ = •r ,, + -1 ~ - - I iì„.v „ - f/„ (7* = Ĩ Ũ T l ) 2.2 T liay A „ t „ I I - (A „ - t B „ ) x u I TtỊ„ ( 71 - , /V ì) Đ ịn h [ý san cliìy chứng ló lương lliíc li khái niệm chí số I c lio r r V Í M ) S PTS1> án Định lý 2.1 Phương pháp Enlei áp chilly cho P ỉ \ l J-ỉ)S liiy ru lin li ( lu ,\ò / dẫn tic'll PTSP an luyến tính ch i sị ị Chứng minh chilli tv 2.1 qui vé kiểm Ira lính khong SLIV hiùii cua mil Irạn( ' n i l A „ -I- ( Ạ , - T ÌÌ„ ) V „ ịQ * V 'Ị với r > dù ) : bé Định lý 2.2 J}hn'(fin> pháp E uier úp (lụitíỊ hài tpán f>icĩ trị htui ilàn liò i với m r-Đ S tun lính ch ỉ số ì hội III Tiếp theo la quan tàm đến loán biên hai (liếm cho ỉy[ V I ’-ĐS (2.1) tức lìm nghiệm IM V P -Đ S (2.1 ) tlio ả mãn d ie II k ic ii h iõii I C r >■{ !') Im ng dó ] lộ lờ i rac •) f \ R " ' , ( \ u C t lu n g ỨHị> A „.I € lit c c v e c tơ 'ĩ~■' ) m a lậ m ch o m ine k h i áp tỉỊ111Ịi c ó n g thức lũ ile ! h ten IÌI „ , 1- ( A „ ■- T Ỉ Ỉ u ) r „ I T (2 ì thành /i/ith i thin ii/ 1’h iiịị p h p I'lt lc i' l i i i ’ii liộ i lụ, tức (2.1S) íịìtu ihíCi ), n k ( /i'J I< ) = d im DS\ hold P R O O F Lot, K „ J < h sa tisfy the assum ptions It moans that im f exists N € Ì (R2/) 311CỈ1 that Kb = J T(b)J2iN (58) I f X is a s o lu tio n o f (1 ), then D x = T v where V satisfies (52) C o n d itio n (53) turns into M v(a) + N v(b) — (5 ) while the relation (54) takes the form MTJuM = Nr J.aN (no) T h í! c o n d itio n (50) moans H in t rank (/v 0r A '„ + h'll h'h) = It) l.m n s [■ M N we o b ta in that, i.e., ( M T , N T ) is o f fu ll rank 21 Wc recall [I 1, ThVon'in 3.2, C h a p t e r 11], f.hat t,he b o u n d a ry condition (59) yields a sclf-ii(ljoint hound;)IV value pro ble m fo r (52) i f and o n ly i f (60) is valid and ( M ' \ N r ) is o f full l iiuk In the o|>posil,(> d ire c tio n : I f (52) and (GO) form a solf-adjoint B V I \ then one ;:an define h „ , K h by (57) and (58) T lin y satisfy the assumptions N u m e ric a l consequences Tho decoupling o f t.ho linear D A E in to the IN H O D E and the a l^chiiiic con­ straints in Section ’Ỉ sliows Ilia), 1.1)0 dynam ic properties of l)AF, a ir hand, ail indnx-2 I h ’SSonhorg system is n um erically (|U iilili('(l if a n d o n l y i l HO is i t s a d jo in t , , a n d ( lie n , t i l l ! n u m e r ic a l b o u n d a r y v a lu e p r o b l e m also well reproduces the dynam ics On t,lio ot.lior hand, cnm bininn i(>vcmciil o f I,lie |)a.|)f’ r R eferences [ 1] A A b m o v , K B a li.a , V I U ly a n o v a , L F Y u k iin o , On a IK 111I in fill s e lf-a d jo in t ri^ o n v a liie p ro b le m for c e rta in (lifforc’u tia l iil^ c lii iic 7-!)7:i, 2002 Ti;uisl;i1 ( IKỈ) I'll K IỈAI.I,A, H M a ii z , a unified app ro.uli 1.0 litwvir (liilrirnl i ll -ilf/rhi ;iir r>