Toán lớp 8 ( đại số và hình học)(có đáp án chi tiết)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP CHỦ ĐỀ 1: PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc nhân đa thức với đa thức: WORD=>ZALO_0946 513 000 Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Thực phép nhân: a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) b) (- 10x3 + y c) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) Giải a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x b) (- 10x3 + y - = 5x4y – 2xy2 + xy c) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) = x4 – 2x3 – 37x2 + 15x – Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: x(x – y) + y(x + y) x = - y = Giải Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 Khi x = - y = 3, giá trị biểu thức là: ( - )2 + 32 = Chú ý: Trong dạng tập « TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC », việc thực phép nhân rút gọn thay giá trị biến vào làm cho việc tính tốn giá trị biểu thức dễ dàng thường nhanh Ví dụ 3: Tính C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8 Chú ý: Lũy thừa bậc n đơn thức nhân đơn thức cho n lần Để tính lũy thừa bậc n đơn thức, ta cần: - Tính lũy thừa bậc n hệ số - Nhân số mũ chữ cho n Ví dụ 4: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến: a) F = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP b) G = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) Giải a) Ta có: F = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + = Kết số, đa thức không phụ thuộc vào giá trị x b) Ta có: G = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = - 24 Kết số, đa thức không phụ thuộc vào giá trị x WORD=>ZALO_0946 513 000 Ví dụ 5: Tìm x, biết: a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100 b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 Giải a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100  60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100  50x = -100 => x = - b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138  0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138  -0,69x = 0,138 => x = 0,2 DẠNG BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ DẠNG 1/ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH: * Phương pháp: Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC để thực phép tính * Bài tập vận dụng: 1) 3x2(2x3 – x + 5) 2) (4xy + 3y – 5x)x2y 3) (3x2y – 6xy + 9x)(- xy) 4) - xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) 5) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) 6) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) 7) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) 8) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy 9) -3ab.(a2 - 3b) 10) (x2 – 2xy + y2 )(x - 2y) 11) (x + y + z)(x – y + z) 12) 12a2b(a - b)(a + b) 13) (2x2 - 3x + 5)(x2 - 8x + 2) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP DẠNG 2: TỐN TÌM x * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử không chứa ẩn (hằng số) sang vế phải - Từ tìm x * Bài tập vận dụng WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 1: Tìm x biết a) b) 3(1 - 4x)(x - 1) + 4(3x - 2)(x + 3) = - 27 c) (x + 3)(x2 - 3x + 9) – x(x - 1)(x+1) = 27 d) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = e) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44 f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 Bài 2: Tìm x biết: (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) = Hướng dẫn Một biểu thức mà có lũy thừa bậc lẻ số phải (-2 + x2)5 = => (-2 + x2) = hay x2 = Vậy x = x = Bài 3: Cho đa thức: f(x) = 3x2 – x + g(x) = x – a)Tính f(x).g(x) b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = Hướng dẫn a) Ta có: f(x).g(x) = (3x2 – x + 1)(x – 1) = 3x3 – 3x2 – x2 + x + x – = 3x3 – 4x2 + 2x – b) Ta có: f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = (3x3 – 4x2 + 2x – ) + x2[1 – 3(x – 1)] = 3x3 – 4x2 + 2x – + x2(1 – 3x + 3) = 3x3 – 4x2 + 2x – + x2 – 3x3 + 3x2 = 2x – Do f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 2x – = 2x = + 2x = x = TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP DẠNG 3: RÚT GỌN RỒI TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC: * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Cộng (trừ) đơn thức đồng dạng với để có dạng rút gọn biểu thức - Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn để tính giá trị biểu thức * Bài tập vận dụng Bài 1: Tính giá trị biểu thức: E = x(x – y) + y(x + y) x = - y = WORD=>ZALO_0946 513 000 Giải Ta có: E = x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 Khi x = - y = 3, giá trị biểu thức E = ( - )2 + 32 = Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau : A = 5x(4x2 - 2x + 1) – 2x(10x2 - 5x - 2) với x = 15 B = 5x(x - 4y) - 4y(y - 5x) với x = ; y = C = 6xy(xy – y2) - 8x2(x - y2) - 5y2(x2 - xy) với x = ; y = D = (y2 + 2)(y - 4) – (2y2 + 1)(y – 2) với y = DẠNG 4: CM BIỂU THỨC CĨ GIÁ TRỊ KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Cộng (trừ) đơn thức đồng dạng với để rút gọn biểu thức - Nếu biểu thức sau rút gọn số kết luận biểu thức hơng phụ thuộc vào biến số * Bài tập vận dụng Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + D = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) E = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) DẠNG 5: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC: * Phương pháp: TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC để biến đổi vế phức tạp đẳng thức cho kết vế cịn lại, đẳng thức chứng minh - Nếu hai vế đằng thức phức tạp, ta biến đổi đồng thời vế đẳng thức cho chúng biểu thức thứ ba, lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải biến đổi có kết chứng tỏ đẳng thức cho chứng minh * Bài tập vận dụng WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau: a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) Hướng dẫn a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc VT = a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = ab – ac – ab – bc + ac – bc = - 2bc = VP Vậy đẳng thức chứng minh b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) VT = a – ab + a3 – a = a3 – ab = a(a2 – b) = VP Vậy đẳng thức chứng minh c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) VT = ab – ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VP Vậy đẳng thức CM Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b – 10) Bài 3: Cho a + b + c = 2p CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) Hướng dẫn Xét VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a) = (a + b + c) (a + b + c – 2a) = (a + b + c)(b + c – a ) = (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac ) = b2 + c2 + 2bc – a2 = VT Vậy đẳng thức c/m DẠNG 6: TOÁN LIÊN QUAN VỚI NỘI DUNG SỐ HỌC * Phương pháp: TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Bài tốn thường gặp: Tìm số tư nhiên; tìm số tự nhiên liên tiếp; thỏa mãn yêu cầu Chú ý: - Có thể gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + 1; n + 2; n + ; - Có thể gọi số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2n ; 2n + 2; 2n + ; 2n + ; - Có thể gọi số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2n + ; 2n + 3; 2n + ; * Bài tập vận dụng Bài Tìm số chẵn liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối WORD=>ZALO_0946 513 000 192 đơn vị Bài Tìm số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối 146 đơn vị DẠNG 7: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CĨ QUY LUẬT (TỐN NÂNG CAO) Bài1/ Tính giá trị của: Bài 2/ Tính giá trị biểu thức : N  1 118    117 119 117 119 117.119 39 Bài 3/ Tính giá trị biểu thức : a) A = 5x5 - 5x4 + 5x3 - 5x2 + 5x - x = b) B = x2006 – 8.x2005 + 8.x2004 - +8x2 - 8x – x = Bài 4: Tính giá trị biểu thức: M = x10 – 25x9 + 25x8 – 25x7 + … - 25x3 + 25x2 – 25x + 25 với x = 24 Hướng dẫn Thay 25 = x + ta được: M = x10 - (x + 1)x9 + (x + 1)x8 – (x + 1)x7 + … - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 25 M = x10 – x10 – x9 + x9 + x8 – x8 – x7 + … - x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 25 M = 25 – x Thay x = 24 ta được: M = 25 – 24 = Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = x3 – 30x2 – 31x + , x = 31 b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , x = 14 Hướng dẫn a) Vì x = 31 , nên thay 30 = x – 1, ta có A = x3 – (x – 1)x2 – x.x + = x3 – x3 + x2 – x2 + = TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Vậy với x = 31 A = b) Vì x = 14 , nên thay 15 = x + ; 16 = x + ; 29 = 2x + ; 13 = x -1, ta có B = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + x(x – 1) = x5 – x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = -x Vậy với x = 14 B = - 14 DẠNG 8: BÀI TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT * Phương pháp: WORD=>ZALO_0946 513 000 Muốn chứng minh biểu thức A chia hết cho số a ta làm sau: - Dùng tính chất chia hết: + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 2k + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 3k + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 2k + Cần chứng minh chia hết cho a => chứng minh A có dạng a.k - Kết hợp tính chất chia hết tổng (một hiệu) cho số * Bài tập vận dụng: Bài 1/ a) CMR với số nguyên n : (n2 - 3n + 1)(n + 2) – n3 + chia hết cho b) CMR với số nguyên n : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hết cho Đáp án: a) Rút gọn BT ta 5n2 + 5n chia hết cho b) Rút gọn BT ta 24n + 10 chia hết cho Bài 2: CMR a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 Hướng dẫn a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 Ta có: 817 – 279 – 913 = (34)7 – (33)9 – (32)13 = 328 – 327 – 326 = 326(9 – – 1) = 326 = 34.5.322 = 405 322 => chia hết cho 405 Hay 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 Ta có: 122n + + 11n + = 122n 12 + 11n 112 = 12 144n + 121 11n = 12.144n – 12.11n + 12.11n + 121.11n TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP = 12(144n – 11n) + 11n(12 + 121) = 12.(144 – 11) M + 133.11n M biểu thức Mỗi số hạng chia hết cho 133, nên 122n + + 11n + chia hết cho 133 Bài 3: Cho x số gồm 22 chữ số 1, y số gồm 35 chữ số CMR: xy – chia hết cho Hướng dẫn Vì x gồm 22 chữ số nên x chia cho dư 1, hay x có dạng: x = 3n + (n Z) Vì y gồm 35 chữ số nên y chia cho dư 2, hay y có dạng: y = 3m + (m Z) Khi xy – = (3n + 1)(3m + 2) – = 9n.m + 6n + 3m + – WORD=>ZALO_0946 513 000 = 3(3n.m + 2n + m) = 3k ; với k = 3n.m + 2n + m Z Vậy xy – chia hết cho Bài 4: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a) Rút gọn biểu thức 7A – 2B b) CMR: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 Hướng dẫn a) Ta có: 7A – 2B = 7(5x + 2y) – 2(9x + 7y) = 35x + 14y – 18x – 14y = 17x b) Nếu có x, y thỏa mãn A = 5x + 2y chia hết cho 17 , ta c/m B = 9x + 7y chia hết cho 17 Ta có 7A – 2B = 17x 17 Mà A 17 nên 7A 17 Suy 2B 17 Mà (2,17) = Suy B 17 PHẦN LUYỆN TẬP Bài Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; Bài Đơn giản biểu thức tính giá trị chúng TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) 3 với a = b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1 c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - với a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = Bài Thực phép tính sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; WORD=>ZALO_0946 513 000 2 b) 2x a - a(1 + 2x ) - a - x(x + a); c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a) Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bài Chứng minh biểu thức sau 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bài Thực phép tính: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); c) x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( x - 1) (2x - 3); e) (x - 7)(x - 5); 1 f) (x - )(x + )(4x - 1); Bài Chứng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bài Thực phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); Bài Viết biểu thức sau dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 11 Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) WORD=>ZALO_0946 513 000 10 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP CHUN ĐỀ 1: TỨ GIÁC VÀ HÌNH THANG A/ LÝ THUYẾT I/ Tứ giác * Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 1800 II/ Hình thang Định nghĩa: AB // CD � �� BC // AD � Tứ giác ABCD hình thang WORD=>ZALO_0946 513 000 2.Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh đáy hình bình hành Hình thang vng: Hình thang vng hình thang có hai góc vng Hình thang cân �AB // CD � �� � � �� C=D �� �=B � A �� � Tứ giác ABCD hình thang cân * Tính chất: Trong hình thang cân: + Hai cạnh bên + Hai đường chéo * Dấu hiệu nhân biết: + Hình thang có hai đường chéo hình thang cân + Hình thang có hai góc chung cạnh đáy hình thang cân B/ CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: TÍNH CÁC GĨC CỦA TỨ GIÁC (HÌNH THANG) I/ Phương pháp: Vận dụng kiến thức sau: - Tổng góc tứ giác 360o - Tổng hai góc kề bù 180o - Tổng góc tam giác 180o - Hai góc nhọn tam giác vng có tổng 90o - Nếu hình thang, liên quan tới hai đáy song song ta có: + Hai góc so le Hai góc đồng vị + Hai góc kề cạnh bên có tổng 180o II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm x hình vẽ sau 11 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Bài 2: Tìm x hình vẽ sau WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài (Trang 66 SGK) Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Tính góc ngồi tứ giác hình a b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình b (tại đỉnh tứ giác chọn � � � � góc ngồi): A1  B1  C1  D1  ? c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? Bài 4: Cho tứ giác ABCD góc B = 80o, D = 120o góc ngồi đỉnh C 130o Tính góc A? Bài 5: Cho tứ giác ABCD, tia phân giác góc A góc B cắt M Các tia phân giác � � góc C góc D cắt N Chứng minh AMB  CND  180 ? Bài 6: Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD; góc B = 900, góc A = 600, góc D = 1350, a) Tính góc C b) Từ A ta kẻ AE vng góc với đường thẳng CD Tính góc tam giác AEC Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có góc A = góc D = 900 ; góc B C khác a) Chứng minh: AB // DC b) Chứng tỏ hai góc B C phải có góc nhọn c) Khi góc C nhọn chứng minh AB < DC Bài (Trang 71 SGK Tốn Tập 1): Tìm x y hình 21, biết ABCD hình thang có đáy AB CD 12 o TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � � � � Bài (Trang 71 SGK Tốn Tập 1): Hình thang ABCD (AB // CD) có A  D  20 ; B  2C Tính góc hình thang Bài 10 Hình thang vng ABCD có A = D = 90o , đường chéo BD vng góc BC BD = BC a) Tính góc hình thang b) Biết AB = 3cm Tính BC CD � � � C � � � Bài 11 Cho tứ giác ABCD biết B + = 2000, B + D = 1800; C + D = 1200 a) Tính số đo góc tứ giác � � b) Gọi I giao điểm tia phân giác A B tứ giác Chứng minh: o WORD=>ZALO_0946 513 000 � � �  CD AIB Bài giải: 0 � � � � � � a) Từ giả thiết ta có: 2B  2C  2D  200  180  120 � B  C  D  250 � � � � � Vì A  B  C  D  360 � A  110 �  2500  C �D �  2500  1200  1300 B  0  �  2000  B �  2000  130  70 C 0 0 �  120  C �  120  70  50 D b) Trong tam giác ABI:   �B � �B � 3600  A �D � A C � AIB  180    2 � � Bài 12 Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 1800, CB = CD Chứng minh AC tia phân giác � BAD Bài giải: Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD � � � Ta có ADC  IBC (cùng bù với góc ABC ) AD = IB, DC = BC Từ ta có ADC  IBC � � Suy ra: DAC  BIC AC = IC � � � Tam giác ACI cân C nên BAC  BIC  DAC � Vậy AC phân giác góc BAD Bài 13 Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC cắt E, cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CED BFC cắt I Tính góc EIF theo góc tứ giác ABCD Bài giải: 13 hai TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP FI cắt BC K, suy K thuộc đoạn BC �  EKI �  IEK � � góc ngồi  IKE) � EIF ( EIF � �  BFK �  IEK � ( CKF = B góc ngồi  FBK)   �  900  �  1800  B �C � � BFK BFC   �  1800  A �B � � IEK �  900  AEB � � � B � + 900  B  C  90  EIF �C � B �B � A �B � A WORD=>ZALO_0946 513 000 Vậy �C � B �D � A  1800   2 DẠNG 2: CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG (HÌNH THANG CÂN) I/ Phương pháp - Chứng minh tứ giác có cạnh đối song song => Tứ giác hình thang - Chứng minh tứ giác hình thang cân: + Bước 1: Chứng minh tứ giác hình thang + Bước 2: Chứng minh hình thang có hai đường chéo (hai góc kề đáy nhau) II/ Bài tập vận dụng Bài 1: (Bài trang 71 sgk - Toán tập 1) Tứ giác ABCD có AB = BC AC phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang Bài Cho tứ giác ABCD có AD = DC, đường chéo AC phân giác góc  Chứng minh ABCD hình thang Bài giải: Ta có AD = DC nên tam giác ADC cân D � � � Suy DCA = DAC = BAC Suy AB//CD (hai góc so le nhau) Vậy ABCD hình thang Bài Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, BC 50cm, AD = 30cm Chứng minh ABCD hình thang vng Bài giải: Gọi H trung điểm CD Ta có DH = CH = 40cm Xét hai tam giác ABH CHB có: � � = AB = CH = 40cm, ABH  CHB (so le trong), BH = HB Suy ABH = CHB (c-g-c) � AH = CB = 50cm Tam giác ADH có: AD2 + DH2 =402 + 302 = 502 = AH Suy tam giác ADH vng D Vậy hình thang ABCD hình thang vng Bài 4: Cho tam giác ABC vng A BC = 2cm Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân E a) Chứng minh tứ giác AECB hình thang vng? b) Tính góc cạnh hình thang AECB 14 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Bài 5: Cho ∆ ABC vuông cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa điểm A, vẽ BD vng góc với BC, BD = BC a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Biết AB = 5cm Tính CD Bài 6: Cho ∆ ABC Từ điểm O tam giác kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt CB E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB F Chứng minh tứ giác ADOF hình thang cân Bài 7: Cho ∆ ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = AE Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân Bài 8: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD CE Gọi I trung điểm BC, J trung điểm ED, O giao điểm BD CE Chứng minh: a) Tứ giác BEDC hình thang cân b) BE = ED = DC c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng Bài 9: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác ACD BCE Gọi M, N, P, Q trung điểm AE, CD, BD, CE a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Chứng minh MP = DE WORD=>ZALO_0946 513 000 DẠNG 3: BIẾT TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG – CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ KHÁC I/ Phương pháp Dựa vào đặc điểm hình thang cân, hình thang vng: cạnh bên nhau, đường chéo nhau, hai góc kề đáy nhau, góc so le (đồng vị) tạo hai đáy song song, yếu tố vng góc ….để từ chứng minh yếu tố liên quan hình như: + Hai đoạn thẳng + Hai góc + Tam giác tam giác cân … II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD Kẻ đường cao AH, BK Chứng minh DH = CK Bài 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh OA = OB ; OC = OD Bài 3: Hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB cạnh bên AD Chứng minh CA tia phân giác góc C Bài 4: Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vng góc với cạnh bên BC, DB phân giác góc D Biết BC = 3cm Tính chu vi hình thang Bài 5: Hình thang cân ABCD , gọi O giao điểm hai cạnh bên AD BC; gọi E giao điểm hai đường chéo Chứng minh OE đường trung trực củ hai đáy Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), O giao điể m AC BD, I giao điểm AD BC a) Chứng minh OA = OB, OC = OD b) Gọi M, N l ần lượt trung điểm c nh AB, CD Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm BD, AC, DC Gọi H giao điểm đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc BC Chứng minh: a) H trực tâm tam giác EFK b) Tam giác HCD cân 15 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Bài Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB Độ dài đường cao BH độ dài đườ ng trung bình MN (M thuộc AD, N thuộc BC) hình thang ABCD Vẽ BE // AC (E thuộc DC) a) Chứng minh DE = MN/2 b) Gọi O giao điểm AC BD, chứng minh tam giác OAB cân c) Tam giác DBE vng cân Bài Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) AD cắt BC O a) Chứng minh  OAB cân b) Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh ba điểm I, J, O thẳng hàng c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD N Chứng minh MNAB, MNDC hình thang cân Bài giải: � � a) Vì ABCD hình thang cân nên C = D suy OCD tam giác cân � � � � Ta có OAB = D = C = OBA (hai góc đồng vị) � Tam giác OAB cân O b) OI trung tuyến tam giác cân OAB nên OI đường cao tam giác OAB � OI  AB Mà AB // CD nên OI  CD Tam giác OCD cân O có OI  CD nên OI cắt CD trung điểm J CD Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng c) Xét  ACD  BDC có: AC = BD (2 đường chéo hình thang cân) AD = BC (2 cạnh bên hình thang cân) CD = DC Do  ACD =  BDC (c-c-c) � � � � Suy ACD = BDC hay MCD = NDC � � Hình thang MNDC có MCD = NDC nên MNDC hình thang cân � MC = ND � AC – MC = BD – ND � AM = BN Hình thang MNAB có hai đường chéo AM BN nên MNAB hình thang cân WORD=>ZALO_0946 513 000 16 ... (4 x + 7)(x + 4) = (2 x + 1 )(5 x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x )(( x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1 )( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) WORD=>ZALO_0946... - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 11 Tìm x, biết: a) (2 x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3 x - 5)(x - 4); b) (8 x - 3 )(3 x + 2) - (4 x + 7)(x +... a) b) 3(1 - 4x)(x - 1) + 4(3 x - 2)(x + 3) = - 27 c) (x + 3)(x2 - 3x + 9) – x(x - 1)(x+1) = 27 d) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = e) (3 x – 3 )(5 – 21x) + (7 x + 4 )(9 x – 5) = 44 f) (x + 1)(x + 2)(x + 5)