Hình học lớp 8 toán lớp 8 ( tứ giác và hình thang )( có đáp án và lời giải chi tiết)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP HH8-C1-CD1.TỨ GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng * Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác * Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi WORD=>ZALO_0946 513 000 a) Tứ giác lồi a) Tứ giác không lồi b) Tứ giác không lồi b) Không phải tứ giác * Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 * Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600 II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN Dạng 1 Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác Kết hợp các kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu để tính ra số đo các góc � � � � Bài 1 Cho tứ giác ABCD biết A : B : C : D =4 : 3 : 2 : 1 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP a) Tính các góc của tứ giác ABCD � � b) Các tia phân giác của C và D cắt nhau tại E Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D � � cắt nhau tại F Tính CED và CFD � � � � � � Bài 2 Tính số đo các góc C và D của tứ giác ABCD biết A = 120°, B = 90° và C  2 D Dạng 2 Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác Bài 3 Cho tứ giác ABCD Chứng minh: WORD=>ZALO_0946 513 000 a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo; b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy Bài 4 Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác Chứng minh: a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD; 1 b) MA + MB + MC + MD ≥ 2 (AB + BC + CD + DA) Dạng 3.Tổng hợp Bài 5.Cho tứ giác ABCDcó AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diêu) a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD � � � � b) Tính B, D biết A = 100°, C = 60° � � 0 � � � Bài 6 Tứ giác ABCD có A  B  50 Các tia phân giác của C , D cắt nhau tại I và CID = 1150 Tính � � các góc A, B Bài 7 a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm Tính độ dài CD TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � � Bài 8 Cho tứ giác ABCD có A  B và BC = AD Chứng minh: a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC; � � b) ADC  BCD; c) AB // CD � � Bài 9 Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F Các tia phân giác của E và F cắt nhau tại I Chứng minh � � �  ABC  ADC ; EIF 2 a) 0 0 � � b) Nếu BAD  130 và BCD  50 thì IE  IF HƯỚNG DẪN Bài 1 a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau � �  1080 , C �  720 , D �  360 A  1440 , B b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được �  1260 CED Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được �  540 CFD Bài 2 HS tự chứng minh: �  500 , C �  1000 D Bài 3 a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a) Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các WORD=>ZALO_0946 513 000 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP tam giác ABC, ADC, ABD và CBD Bài 4 a) HS tự chứng minh b) Tương tự 2A a) Bài 5 a) HS tự chứng minh b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý �D � B � � Bài 6 Tính tổng C  D WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 7 a) Sử dụng Pytago b) Áp dụng a) Bài 8 a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác Bài 9 a) Gọi IF �CD   N  Theo định lý về góc ngoài của tam giác � �  FNE � E FIE VNIE có 2 ; � � D � E FNE VDNF có 2 ; � � � D �  E  F (1) FIF 2 Vậy ADE có �  1800  ( D � � E A1 ); �  1800  ( D �C �); VDFC có F 1 �F �  3600  (2 D � � �) �E A1  C 1 �C � D �  (2 D � � �)  B � D �; � A1  B A1  C 1 1 1 1 � � � � � D �  B1  D  D  B1 EIF 2 2 Thay vào (1) được TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP (ĐPCM) b) Áp dụng a) B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 1.Tính số đo góc Bài 1 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai đỉnh còn lại Bài 2 � � Cho tứ giác ABCD có A + B = 220� Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K Tính số đo của góc CKD Bài 3 WORD=>ZALO_0946 513 000 � � Tứ giác ABCD có A = C Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song với nhau hoặc trùng nhau Bài 4 � � Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB ; C = 130�; D = 110� Tính số đo góc A, góc B Dạng 2.So sánh các độ dài Bài 5 Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? Bài 6 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6 Tính độ dài AD Bài 7 Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác Bài 8 Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10 Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14 Bài 9 Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên Biết tổng S = a + b+ c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau Dạng 3 Bài toán giải bằng phương trình tô màu Bài 10 Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau Chứng minh rằng tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP HƯỚNG DẪN Bài 1 �Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau (h.1.5) � � � � Gọi C1 , D1 là số đo hai góc trong; D2 , D2 là số đo hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau là C và D Ta có:      � D �  180� C �  180� D �  360� C � D � C 2 2 1 1 1 1 Xét tứ giác ABCD có:  � �  360� C � D � A B 1 1  (1)  (2) WORD=>ZALO_0946 513 000 � � � � Từ (1) và (2) suy ra: C2  D2  A  B �Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (h.1.6) � � � � Chứng minh tương tự, ta được A2  C2  B  D Bài 2 (h.1.7) � � � � Ta có: CDx  DCy  A  B  220� (bài 1.1) � �  CDy � CDx  110� � � 2 Do đó D2  C2  110� Xét CKD có: Bài 3   �  180� D � C �  180� 110� 70� CKD 2 2 (h.1.8) Xét tứ giác ABCD có:   �D �  360� � �  360� 2C � B AC � � � � � � � � � � Vì B1  B2 , D1  D2 nên B1  D1  180� C � B1  D1  C  180� (1) � � � Xét BCM có B1  M 1  C  180� (2) � � Từ (1) và (2) suy ra D1  M 1 Do đó DN // BM Bài 4 (h.1.9) � � Vẽ đường phân giác của các góc C và D chúng cắt nhau tại E TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP �  180� 110� 130� 60� CED 2 Xét ECD có �  60� ADE  CDE (c.g.c) � � AED  CED �  DEC �  60� BCE  DCE (c.g.c) � BEC � Suy ra AEB  180�do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng � � � � ABC  360�  65� 110� 130�   55� Vậy BAD  EAD  ECD  65� Do đó Bài 5 (h.1.10) WORD=>ZALO_0946 513 000 Giả sử tứ giác ABCD có CD là cạnh dài nhất Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh còn lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC  AB  BC Xét ADC có: CD  AD  AC Do đó CD  AD  AB  BC Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì không thỏa mãn điều kiện (1) nên không có tứ giác nào mà các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 Bài 6 (h.1.11) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Xét AOB , COD vuông tại O, ta có: AB 2  CD 2  OA2  OB 2  OC 2  OD 2 Chứng minh tương tự, ta được: BC 2  AD 2  OB 2  OC 2  OD 2  OA2 2 2 2 2 Do đó: AB  CD  BC  AD 2 2 2 2 2 Suy ra: 3  6  6,6  AD � AD  9  36  43,56  1, 44 � AD  1, 2 Bài 7 (h1.12) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA  OB  a; OC  OD  c Do đó  OA  OC    OB  OD   a  c hay AC  BD  a  c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC  BD  d  b (2) Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: 2  AC  BD   a  b  c  d � AC  BD  a bc d 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Xét các ABC và ADC ta có: AC  a  b; AC  c  d � 2AC  a  b  c  d (3) Tương tự có: 2BD  a  b  c  d (4) Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2  AC  BD   2  a  b  c  d  � AC  BD  a  b  c  d Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh Bài 8 �Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ: 2 2 2 � Cho ABC , A �90� Chứng minh rằng BC �AB  AC Giải (h.1.13) � Vẽ BH  AC Vì A �90�nên H nằm trên tia đối của tia AC Xét HBC và HBA vuông tại H, ta có: BC 2  HB 2  HC 2   AB 2  HA2    HA  AC  2  AB 2  HA2  HA2  AC 2  2 HA AC  AB 2  AC 2  2 HA AC 2 2 2 Vì HA AC �0 nên BC �AB  AC ( dấu “=” xảy ra khi H �A tức là khi ABC vuông) �Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi(h.1.14) � � � � Ta có: A  B  C  D  360� � Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90�, giả sử A �90� WORD=>ZALO_0946 513 000 2 2 2 2 2 Xét ABD ta có BD �AB  AD  10  10  200 suy ra BD  200 , do đó BD  14 Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15) � � � Nối CA, Ta có: ACD  ACB  BCD  360� Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120� � � Giả sử ACB �120�, do đó ACB là góc tù 2 2 2 2 2 Xét ACB có AB �AC  BC  10  10  200 Suy ra AB  200 � AC  14 Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14 Bài 9 (h.1.16) Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau Ta có thể giả sử a < b < c < d Ta có: a + b+ c > BD + c > d Do đó a + b+ c + d > 2d Ta đặt a + b+ c + d = S thì S > 2d (*) Ta có: SMa � S = ma ( m�N) (1) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP SMb � S = nb ( n �N) (2) SMc � S = pc ( p �N) (3) SMd � S = qd ( q �N ) (4) Từ (4) và (*) � qd > 2d do đó q> 2 Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra m> n> p> q> 2 Do đó q �3; p �4; n �5; m�6 WORD=>ZALO_0946 513 000 1 a 1 b 1 c 1 d = ; = ; = ; = Từ (1), (2), (3), (4) suy ra m S n S p S q S 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b+ c + d + + + � + + + = =1 S Ta có: 6 5 4 3 m n p q 19 �1 Từ đó: 20 , vô lí Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau Bài 10 Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ nếu hai người quen nhau Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng tô màu đỏ �Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Xét D ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào cũng có một đoạn thẳng màu đỏ Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét liền) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP (h.1.18) Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau �Trường hợp mọi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất là ba đoạn thẳng màu xanh Không thể mọi điểm 9.3 �N đều là đầu mút của ba đoạn thẳng màu xanh vì khi đó số đoạn thẳng màu xanh là 2 Như vậy tồn tại một điểm là đầu mút của nhiều nhất là hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn đó là điểm A, do đó A là đầu mút của ít nhất là sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) WORD=>ZALO_0946 513 000 Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác có ba cạnh cùng màu (đây là bài toán cơ bản về phương pháp tô màu) chẳng hạn đó là D BCD (h.1.20) Trong D BCD có một cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh của D BCD cùng màu đỏ Khi đó tứ giác ABCD là tứ giác có các cạnh và đường chéo được tô đỏ, nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 1: a) Có tứ giác nào có 4 góc nhọn không? b) Một tứ giác có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn, bao nhiêu góc tù, bao nhiêu góc vuông? � 0 � 0 � 0 � Bài 2: a) Cho tứ giác ABCD có A = 55 ;B = 110 ;D = 75 Tính số đo góc C � 0 � 0 � 0 b) Cho tứ giác ABCD có A = 55 ;B = 107 ;C = 72 Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D 0 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ Bài 3: Tứ giác ABCD có C  100 ,D  60 ,A : B  3:2 Tính các góc A và B � � � � � � 0 0 0 Bài 4: Cho tứ giác ABCD biết B + C = 200 , B + D = 180 ; C + D = 120 a) Tính số đo các góc của tứ giác � � � = C +D AIB � � 2 b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của A và B của tứ giác Chứng minh: Bài 5: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm các tia phân giác của các góc C và D TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP 0 � 0 � � a) Tính COD biết A  120 , B  90 � � � b) Tính COD theo A và B c) Các tia phân giác của góc A và B cắt nhau ở I và cắt các tia phân giác các góc C và D thứ tự ở E và F Chứng minh rằng tứ giác OEIF có các góc đối bù nhau 0 � � Bài 6: Cho tứ giác ABCD, A  B  50 Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O Cho biết �  1150 COD Chứng minh rằng AB ^ BC � � 0 Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 180 ,CB = CD Chứng minh AC là tia phân giác của � BAD WORD=>ZALO_0946 513 000 2 2 2 2 0 ˆ ˆ Bài 8: Tứ giác ABCD có C  D  90 Chứng minh rằng A C  BD  A B  CD Bài 9: Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất � � Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A  C tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở N Chứng minh rằng: BM / / CN HƯỚNG DẪN Bài 1:a) Không có tứ giác nào có 4 góc nhọn Tổng các góc của 1 tứ giác bằng 3600 Do đó, một tứ giác có nhiều nhất ba góc nhọn, có nhiều nhất ba góc tù, nhiều nhất 4 góc vuông � � � � � 0 0 Bài 2: a) A + B + C + D = 360 � C = 120 � 0 0 b) Tương tự tính được D = 126 Vậy góc ngoài đỉnh D có số đo là 54 ( ) � B � A � +B � 3600 - 1000 + 600 A = = = = 400 0 � 0 � 2 5 5 Bài 3: 3 Từ đó tính được A  120 B  80 � � � � � � Bài 4:a) Từ giả thiết ta có: 2B  2C  2D  200� 180� 120�� B  C  D  250� � � � � � Vì A + B + C + D = 360�� A = 110� � = 250�- (C � + D) � = 250�- 120�= 130� B � = 200�- B � = 200�- 130�= 70� C �  1200  C �  1200  700  50 0 D TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � � ) C�+ D � B = 180�- A�+ B�= 360 - (A�+ B� AI = 2 2 2 b) Trong tam giác ABI: 0 0 0 0 � � � � � � Bài 5: a) Tứ giác ABCD có A  B  C  D  360 � 120  90  C  D  360 �D �  (C �D �) : 2  1500 : 2  750 �D �  150 0 � C �C 1 1 0 � � COD có C1  D1  75 nên �  1800  (C �D � )  1800  750  1050 COD 1 1 � � �  A B COD 2 b) Giải tương tự như câu a Đáp số: WORD=>ZALO_0946 513 000 � � �  CD EIF 2 c) Chứng minh tương tự như câu b, ta được 0 � � � � �  EIF �  A  B  C  D  360  1800 COD 0 0 0 � � 2 2 Do đó: Suy ra: OEI  OFI  360  180  180 � � �  1800  C � D �  1800  C  D COD 2 2 2 Bài 6:Xét D COD có   � � � � (vì C1  C2 ; D1  D2 ) Xét tứ giác ABCD có �  1800  COD   �D �  3600  A �B � , C  �B � 3600  A 2   180 0  1800  do đó �B � A 2 � � �  A  B COD 0 0 � � � 2 Vậy Theo đề bài COD  115 nên A  B  230   �  2300  500 : 2  900 B 0 � � Mặt khác, A  B  50 nên Do đó AB ^ BC Bài 7:Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD � � � Ta có ADC  IBC (cùng bù với ABC AD = IB, DC = BC Từ đó ta có ADC  IBC � � Suy ra: DAC  BIC và AC = I C � � � Tam giác ACI cân tại C nên BAC  BIC  DAC � Vậy AC là phân giác trong BAD TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Bài 8:Gọi O là giao điểm AD và BC 0 0 � � � Ta có C  D  90 nên O  90 Áp dụng định lí Py – ta – go, 2 2 2 Ta có AC  OA  OC BD 2  OB2  OD 2 Nên     AC 2  BD 2  OA 2  OB2  OC 2  OD 2  AB2  CD 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 9: Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có các bất đẳng thức: MA + MC �AC, MB + MD �BD Từ đó suy ra MA + MB + MC + MD �AC + BD MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trùng với I Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì MA + MB + MC + MD nhỏ nhất Bài 10: Xét tứ giác ABCD có:   �D �  360o  A �C �  360o  2C � B o � � � � � � � Vì B1  B2 ; D1  D2 nên B1  D1  180  C �D � C �  180o (1) �B 1 1 o � � � Xét BCM có B1  M1  C  180 (2) � � Từ (1) và (2) suy ra D1  M1 Do đó BM / / CN TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP HH8-C1-CD2 HÌNH THANG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang ABCD (AB // CD): AB: đáy nhỏ CD: đáy lớn AD, BC: cạnh bên * Nhận xét: WORD=>ZALO_0946 513 000 - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau Hình thang ABCD (AB // CD): AD//BC  AD = BC; AB = CD AB = CD  AD // BC; AD = BC * Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1 Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một tứ giác Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu … để tính ra số đo các góc 0 � Bài 1 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D  60 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP a) Tính chất � 4 B  � � � b) Biết D 5 Tính B và C 0 � � � � Bài 2 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A  D  20 , B  2C Tính các góc của hình thang Dạng 2 Chứng minh hình thang, hình thang vuông Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông � Bài 3 Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D Chứng minh rằng ABCD là hình thang và chỉ rõ WORD=>ZALO_0946 513 000 cạnh đáy và cạnh bên của hình thang Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D Tứ giácABCD là hình gì ? Vì sao? Dạng 3 Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vuông � � Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của B và C cắt nhau ở I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F a) Tìm các hình thang b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F c) Chứng minh EF = BE + CF 0 � � Bài 6 Cho hình thang vuông ABCD có A  D  90 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH vuông góc với CD tại H a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H c) Tính diện tích hình thang ABCD HƯỚNG DẪN Bài 1 a) HS tự làm> Tìm được  = 1200 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP 0 0 � � b) HS tự làm Tìm được B  48 và C  132 0 0 0 0 � � � � � � � � Bài 2 Chú ý A , D và B , C là các cặp góc trong cùng phía A  100 , D  80 , B  120 , C  60 � � Bài 3 Chú ý tam giác CBD cân tại C Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng minh được ADB  CBD Bài 4.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông Bài 5 a) HS tự tìm WORD=>ZALO_0946 513 000 b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân giác c) Suy ra từ b) Bài 6 HS tự chứng minh B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1 Cho ABC Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD  AB Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE  AC Chứng minh tứ giác BECD là hình thang Bài 2 Cho ABC vuông cân tại A Ở phía ngoài ABC vẽ BCD vuông cân tại B Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang � A1  3x  9� ,�A  8x  9�và góc ngoài tại đỉnh A là � Bài 3 Cho tứ giác ABCD có D  2x  9� a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? 0 � � � b) Phân giác của �B và C cắt nhau ở I Cho biết B  C  32 Tính các góc của BIC Bài 4 Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD , biết AB  4cm , CD  8cm , BC  5cm , AD  3cm Chứng minh: ABCD là hình thang vuông TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP AB P CD  Bài 5 Cho hình thang ABCD  Biết AB  CD, AD  BC Chứng minh : a) AD  BC  CD  AB b) BC  AD  CD  AB � AB P CD  Bài 6 Cho hình thang ABCD  có M là trung điểm của BC và AMD  90� Chứng minh: DM là � phân giác của ADC AB P CD  Bài 7 Cho hình thang ABCD  WORD=>ZALO_0946 513 000 D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC Chứng minh: AD  AB  CD a) Phân giác của �A và � D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC b) Cho AD  AB  CD Chứng minh: phân giác của �A và � HƯỚNG DẪN Bài 1 AB  AD � ABD cân tại A 180�� BAC � ABD  � 2  1 AE  AC � AEC cân tại A 180�� BAC � ACE  � AEC  � 2 Từ  1 ,  2  AEC  � ABD �� � BD P EC � BDCE là hình thang Bài 2  2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP ABC vuông cân tại � � BAC  90� � � � A � �ABC  45� BCD vuông cân tại B � � BCD  45� � �  � ABC  BCD   45� � AB P CD � ABDC là hình thang � Mà BAC  90� � ABDC là hình thang vuông WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 3 � � a) Ta có A  A1  180�  3x  9� 180� � 8x  9� � x  18� � � D  45� � � � �A  135� � � A  45� �1 �� � � � D  A1 � AB P CD � ABCD là hình thang b) ABCD là hình thang B � C  180� �� � � mà B  C  32� C  32� � C  180� �� C  74� �� B  106� �� � ABC � � ABI  IBC  � ABI  � IBC  53� 2 �� BI là tia phân giác của ABC � TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � DCB � � DCI  ICB  � CI là tia phân giác của DCB � DCI  � ICB  37� 2 ��   � BIC  1800  � IBC  � ICB  180�  530  37 0   90� � � � BIC BIC  IBC  ICB  180 � � Xét có: Bài 4 E �DC  Qua B , kẻ BE P AD  Hình thang ABCD có đáy AB và CD � AB P CD WORD=>ZALO_0946 513 000 � AB P DE � ABED là hình thang Mà BE P AD � AD  BE , AB  DE (theo tính chất hình thang có hai cạnh bên song song) Mà AD  3cm , AB  4cm � BE  3cm , DE  4cm Có DC  DE  EC , DC  8cm , DE  4cm � EC  4cm � BE 2  CE 2  32  4 2  25 � 2 2 2 �� BC  BE  CE 2 2 BC  5  25 � � BEC vuông tại E (theo định lý Pytago đảo) Có BEC  90� �� Mà � ADC  � BEC  BE P AD  ADC  90� �� Mà ABCD là hình thang � ABCD là hình thang vuông Bài 5: TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP E �DC  Qua B kẻ BE P AD  Hình thang ABCD có đáy AB và CD � AB P CD � AB P DE � ABED là hình thang Mà BE P AD � AD  BE , AB  DE (theo tính chất hình thang có hai cạnh bên song song) DC  DE  EC � DC  DE  EC � DC  AB  EC  DE  AB  Có (1) WORD=>ZALO_0946 513 000 AD  BC  EC  BE  AD  a) Xét BEC có BE  BC  EC (bất đẳng thức tam giác) � (2) Từ (1) và (2) � AD  BC  DC  AB BC  AD  EC  BE  AD  b) Xét BEC có BC  BE  EC (bất đẳng thức tam giác) � (3) Từ (1) và (3) � BC  AD  DC  AB Bài 6 Gọi E là giao điểm của AB và DM Có AB P CD � � AEM � � � EBM �� � MDC � DCM Xét BEM và CDM có: � BME  � CMD (2 góc đối đỉnh) BM  CM (M là trung điểm BC ) � EBM  � DCM (so le trong) � BEM  DCM  g.c.g  � EM  MD � M là trung điểm của ED Xét AED có: AM AM  DE do � AMD  90�   là đường cao AM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của ED ) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � AED cân tại A �� AED  � ADM � � Mà AEM  MDC �  � ADM  � CDM  � AEM  ADC � DM là phân giác của � Bài 7 WORD=>ZALO_0946 513 000 AIE  � AIB a) Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho � � BAD � BAI  � DAI  � 2 (1) AI là tia phân giác của BAD � � ADC � � ADI  CDI  � 2 (2) DI là tia phân giác của ADC � � � AB P CD  mà BAD  ADC  180� (3) � BAD � ADC � DAI  � ADI    90� 2 2 Từ (1), (2) và (3) � � � � Mà AID : DAI  AID  AID  180� AID  90� �� � � � Mà BIA  AID  DIC  180� BIA  � DIC  90� �� Mà   � AIE  � EID  90�� AID  90� DIE  � DIC �� Xét AIE và AIB có: � EAI  � BAI AI chung � AIE  �AIB AIE  �AIB và � TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � AEI  BAI  g.c.g  � AE  BD (4) Chứng minh tương tự có DEI  DCI  g.c.g  � DE  DC (5) Mà AD  AE  DE (6) Từ (4), (5) và (6) � AD  AB  DC b) Gọi I là trung điểm của BC � BI  CI Gọi H là giao điểm của DI và AB Xét BIH và CID có: � BIH  � CID (2 góc đối đỉnh) BI  CI � IBH  � ICD  AB P CD  � BIH  CID  g.c.g  � BH  CD � AB  BH  AB  CD � AH  AD � AHD cân tại A � � �� ADI  � AHD Mà AHD  IDC  AB P CD  ADI  � IDC �� ADC � DI là tia phân giác của � BIH  CID  Có ID  IC  � I là trung điểm của DH � AI là đường trung tuyến của ADH Mà AHD cân tại A � AI là tia phân giác của � DAB WORD=>ZALO_0946 513 000 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP WORD=>ZALO_0946 513 000 ... Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A  D  20 , B  2C Tính góc hình thang Dạng Chứng minh hình thang, hình thang vng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng � Bài Tứ giác. .. đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tô đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 1: a) Có tứ giác có góc nhọn khơng? b) Một tứ giác có nhiều... cân B Chứng minh tứ giác ABDC hình thang � A1  3x  9� ,�A  8x  9? ?và góc ngồi đỉnh A � Bài Cho tứ giác ABCD có D  2x  9� a) Tứ giác ABCD hình gì? Vì sao? � � � b) Phân giác �B C cắt I Cho