THÔNG TIN TÀI LIỆU
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC CHỦ ĐỀ 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A LÝ THUYẾT: Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C A.B A.C Nhân đa thức với đa thức WORD=>ZALO_0946 513 000 Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C D AC BC AD BD B CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Thực phép tính Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực phép tính Bài 1: Thực phép tính: 2 x x a) c) x 3 x2 2 x 1 � � � � x 2� � x 1� �2 � �2 � xy � �x y xy � 4� � � b) �3 x y � �x � d) � y xy � 2 � Giải 2 x x a) Ta có: x 2 x x x x x 2 x x x x 1� �2 � �2 � xy � �x y xy � 4� � � b) Ta có: �3 �2 � �2 � �2 �x �2 �1 � xy �x y � xy �xy � xy � � xy � �3 � �3 � �3 �2 �3 �4 3 2 2 x y x y x y xy 3 c) Ta có: 2 x 1 � �2 x � 1 � � � � � x � 2 x.�2 x x � 1.� 2x x � 3 � � � � � Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 4 x 2 x 13 x x x x x 4 x 2 3 3 x y � �x � d) Ta có: x y x2 x y � y xy � 2 � y x y xy 2 1 3 x.x x y x y y y x xy y xy 2 2 xy y 3 x y xy x x y 2 2 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 2: Thực phép tính: a) x x 1 3x x 3x b) xy x xy x x y yx x c) x x x x 1 d) x y � �x � xy � � xy � y� 1 � � � � � Giải a) Ta có: x x 1 3x x 3x x.x x.1 3x.3x x 3x x3 x x x3 x x x xy x xy x x y yx x b) Ta có: xy xy x xy xy x.x x y yx.2 x yx.2 xy x y x y x xy x y x y x y x xy x3 y x y c) Ta có: x x x x 1 x x x x x 1 2 x x x x 1 2 x x x 1 x x x 1 2 x x 2 x x 2 x x.x x.x x 2 x x x x x x 2 x x d) Ta có: x y � �x � � � xy � y� 1 � � � � � � � � xy � �x x y y x y � 1 � � � � � � Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � xy y � � xy � �x xy � 1 � � 2 � � � � � xy y � xy � xy y � �x xy � �x xy � 2 � 3� 2 � � �2 xy y � � xy xy xy xy y xy � �x xy � �x xy � 2 �� 3 3 � � � xy y � �x3 y x y x y xy � �x xy � � � 2 � �3 6 � � WORD=>ZALO_0946 513 000 x xy x2 xy y x3 y x y x y xy 2 3 6 xy y x y x y xy 2 Bài 3: Tìm giá trị biểu thức a) A x 3x x x x x b) B x y x xy x x y c) C x x x x x x x 3 d) D x x xy y y x xy y x x ; y 3 x 4 x ; y 1 Giải a) Ta có: A x 3x x 3x x x x.3x x.5 x.3x x.x x x 10 x x x3 x x3 x 10 x Tại x thay vào ta được: A 7.2 4.2 10.2 56 16 20 60 Vậy A 60 b) Ta có: B x y x xy x x y x x xy y x xy x.x x.2 y x.x x.xy y.x y.xy x xy x x y x y xy x xy 2 x y xy B 2.22 3 3 24 18 Tại x ; y 3 thay vào ta được: Vậy B Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP c) Ta có: C x x x x x x x 3 x x x x x x 12 x x x x x x x 12 x 12 x x x C 4 24 Tại x 4 thay vào ta được: Vậy C 24 d) Ta có: D x x xy y y x xy y x x y xy yx xy y x y WORD=>ZALO_0946 513 000 D 53 1 125 1 126 Tại x ; y 1 thay vào ta được: Vậy D 126 Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm giá trị x Bài 1: Tìm x , biết: a) �2 � �9 x � � x� � � x x 3 � � b) � � 2 x x 3 x x 1 10 Giải a) Ta có: 2 x x 3 x x 1 10 � 2 x x x x 10 � x 10 � x �2 � �9 x � � x� � � x x 3 � � b) Ta có: � � �2 � �9 x � �2 �1 � � x� � � � x � 3x x 3 � � � �� � � 3x x 5x 5x 3x x � � � x 6 6 Bài 2: Tìm x , biết: a) x x 3 x 1 x 1 14 b) 3x x x 1 x x x Giải a) Ta có: x x 3 x 1 x 1 14 � 1 x 3 x x 3 x x 1 1 x 1 14 � x x x x x x 14 � 4 x 12 � x 3 Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Vậy x 3 3x b) Ta có: x x 1 x x x � x x x x 1 x x x x � x x x x x x x x 20 � x x x x x x 20 � 3 x 20 � x Vậy x Bài 3: Tìm x , biết: WORD=>ZALO_0946 513 000 a) 3x x 1 x 1 x x 1 x 12 b) x 3 x x x x x c) x d) x2n 2x n y n y 2n y n x n y n y 2n 3n y 3n x3 n y 3n x6 n y n (với n ) (với n ) Giải a) Ta có: 3x x 1 x 1 x x 1 x 12 � x x x x 1 x x x 12 � x x x x x x x 12 � 4 x x 12 � x 16 � x Vậy x 16 16 b) Ta có: x 3 x x x x x � x x x 12 x x x 10 3x x 12 x 20 � x x 22 x 17 x 20 � x x 22 3x 17 x 20 � 21x � x Vậy x c) Ta có: 21 21 x 3n y 3n x3n y 3n x6 n y n � x n y n x 3n x 3n y 3n y n x n y n Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � x6n y 6n x6n y 6n � x6n x6n x6n � x6n � x Vậy x x2n 2x n y n y 2n y n x n y n y 2n d) Ta có: � x2n xn y n y 2n y n x n y 2n y 2n � x2n y 2n y 2n � x2n � x Vậy x C.PHIẾU BÀI TẬP CƠ BẢN WORD=>ZALO_0946 513 000 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC CẦN NHỚ Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích chúng lại với VÍ DỤ ( ( 4x ) 2x 4x3 - 2x + = 2x.4x3 + 2x.( - 2x) + 2x.5 ) - 2x + 2x = 4x3.2x + ( - 2x) 2x + 5.2x = 8x4 - 4x2 + 10x = 8x4 - 4x2 + 10x Khi thành thạo: ( ) A.( B + C ) = A.B + A.C 2x 4x - 2x + = 2x.4x - 2x.2x + 2x.5 A.( B + C - D ) = A.B + A.C - A.D = 8x4 - 4x2 + 10x BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Thực phép tính sau: [CB - Rèn kỹ nhân] a) ( - 2xy2 x3y - 2x2y2 + 5xy3 ( - 2x) ( x b) ) ) ( �3x2 �x + ) 3x2 2x3 �x + c) f) �4 � � � - xy� ( 3x y �6xy + 9x) � � � � � � ( 4xy + 3y �5x) x2y e) � �� � � � � � � � 10 x + y z xy � � � � � � � �� �2 � � d) Bài 2: Thực phép tính sau: [Rèn kỹ nhân cộng trừ đa thức] a) 5x2 - 3x ( x + 2) b) 3x ( x - 5) - 5x ( x + 7) e) ( ) ( c) ) 4x x3 - 4x2 + 2x 2x3 - x2 + 7x ( ) 3x2y 2x2 � y ( � 2x2 2x2y � y2 ) �x2.( 5y �3) �2x.( x �1) � 3x2.( 2y �1) �2 � � d) f) ( 25x - 4( 3x - 1) + 7x - 2x2 ) Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Bài 3: Thực phép tính tính giá trị biểu thức [Rèn kỹ tính thay số] a) A = 7x ( x - 5) + 3( x - 2) b) B = 4x ( 2x - 3) - 5x ( x - 2) c) d) ( x = x = ) C = a2 ( a + b) - b a2 - b2 + 2013 , với a = 1; b = - 1; D = m( m - n + 1) - n ( n + 1- m) ;n = - 3 m=- , với Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x y: [Rèn kỹ tính WORD=>ZALO_0946 513 000 tốn] a) b) c) d) ( ) A = x ( 2x + 1) - x2 ( x + 2) + x3 - x + ( ) ( ) B = x x3 + 2x2 - 3x + � x2 + 2x x2 + 3x ( x �1) + x - 12 ( ) ( ) ( ) C = 3xy2 4x2 �2y �6y 2x3y + + xy3 + y - ( D = 3x ( x �5y) + ( y - 5x) ( - 3y) - 1- x2 �y2 ) Bài 5: Tìm x, biết: � � � 2� � � � � � 5x � x + x = 12 � � � � � � � � � � � � a) c) 2( 5x - 8) - 3( 4x - 5) = 4( 3x - 4) + 11 b) 7x ( x - 2) - 5( x - 1) = 7x2 + d) 5x - 4x - 2� 4x - 3( 5x - 2) � � �= 182 { } Bài 6: Chứng minh đẳng thức a) a ( b �c) �b( a + c) + c ( a �b) = - 2bc b) ( ) ( ) a ( 1�b) + a a2 �1 = a a2 �b Bài tập tương tự Bài 7: Cho đơn thức: A = - x y ; +B Tính: a) AC B =- 2 xy ; C = - 3y + 2x b) B.C - A c) A.B.C A C d) B Bài 8: Thực phép tính tính giá trị biểu thức: a) A = x ( x + y) - x ( y - x) b) B = 4x ( 2x + y) + 2y ( 2x + y) - y ( y + 2x) với x = - ; y = với x= y=2; Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP c) ( ) C = 3x ( - x) - 5x ( x + 1) + x2 - x - Bài 9: Chứng tỏ đa với x = - thức sau không phụ thuộc vào biến: A = 4( x �6) �x2 ( + 3x) + x ( 5x �4) + 3x2 ( x �1) Bài 10: Tìm x a) 3x ( 4x - 3) - 2x ( - 6x) = c) 3x ( - x) + 2x ( x - 1) = 5x ( x + 3) 5( 2x - 3) + 4x ( x - 2) + 2x ( - 2x) = b) d) ( ) 3x ( x + 1) - 5x ( - x) + x2 + 2x + = PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ WORD=>ZALO_0946 513 000 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC CẦN NHỚ Quy tắc: Muốn nhân đathức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức ( )( ) B Ckia +rồi D cộng = A.Ccác + Atích D + B.C + B D với hạng tử A đa+thức với MINH HỌA ( 2x + 5) ( 4x ) ( ) ( ) - 2x + = 2x 4x3 - 2x + + 4x3 - 2x + = 2x.4x3 + 2x.( - 2x) + 2x.5 + 5.4x3 + 5.( - 2x) + 5.5 = 8x4 - 4x2 + 10x + 20x3 - 10x + 25 = 8x4 + 20x3 - 4x2 + 25 BÀI LUYỆN Bài 1: Thực phép tính sau: [CB - Rèn kỹ nhân] b) (2x 1)(3x 2)(3– x) 2 a) (x – 1)(x 2x) c) (x 3)(x 3x – 5) d) (x 1)(x – x 1) e) (2x 3x 1).(5x 2) f) (x 2x 3).(x 4) Bài 2: Thực phép tính sau: [Rèn kỹ nhân cộng trừ đa thức] a) A = (4x - 1).(3x + 1) - 5x.(x - 3) - (x - 4).(x - 3) b) ( ) B = (5x - 2).(x + 1) - 3x x2 - x - - 2x(x - 5).(x - 4) Bài 3: Thực phép tính tính giá trị biểu thức [Rèn kỹ tính thay số] a) A (x 2)( x 2x 4x 8x 16) b) B (x 1)(x x x x x x x 1) với x với x Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP c) C (x 1)(x x x x x x 1) với x 2 d) D 2x(10x 5x 2) 5x(4x 2x 1) với x 5 Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x y: [Rèn kỹ tính tốn] a) A (5 x 2)( x 1) ( x 3)(5 x 1) 17( x 3) b) B (6 x 5)( x 8) (3 x 1)(2 x 3) 9(4 x 3 2 c) C x(x x 3x 2) (x 2)(x x 1) WORD=>ZALO_0946 513 000 d) D x(2x 1) x (x 2) x x 2 e) E (x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) Bài 5: Tìm x, biết: a) 3( 1�4x) ( x �1) + 4( 3x + 2) ( x + 3) = 38 b) 5( 2x + 3) ( x + 2) �2( 5x �4) ( x �1) = 75 c) 2x2 + 3( x �1) ( x + 1) =� 5x ( x + 1) d) ( �5x) ( x + 2) + 4( x �2) ( x + 1) + 2( x �2) ( x + 2) = Bài 6: Chứng minh đẳng thức a) (x - y - z) = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx b) ( x + y - z) ( x �y) ( x c) d) ( x + y) ( x Bài = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx ) + x2y + xy2 + y3 = x4 �y4 7: ) �x3y + x2y2 �xy3 + y4 = x5 + y5 a) Chứng minh A (2 n) n 3n n n 12 với số nguyên n chia hết cho b) Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab bc ca abc a b c Chứng minh rằng: (a - 1).(b - 1).(c - 1) = Bài 8: Tìm x Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP a) ( x �2) ( x �1) = x ( 2x + 1) + ( 2x - 1) ( x c) ) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 5) �x ( x + 2) ( x + 2) �( x �2) ( x �2) = 8x ( x + 1) ( x d) �x + = 2x3 �3x2 + e) b) ) + 2x + �x3 �3x2 + 16 = �8x2 = 27 Bài 9: Tính giá trị biểu thức : a) A x 2021x 2021x 2021x 2021x 2021x 2021 x 2020 b) B x10 20 x 20 x � 20 x 20 x 20 với x 19 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ WORD=>ZALO_0946 513 000 Bài 1: a) x 2x x 2x b) 6 x 17 x x c) x 6x 4x 15 d) x e) 10x 4x 15x 11x f) x 6x 11x 12 Bài 2: a) A = 6x + 23x - 13 Bài 3: b) B = - 5x + 26x - 28x - 5 a) A x 32 Với x A 32 211 8 b) B x Với x B 256 255 7 c) C x Với x C 128 129 d) D x Với x 5 D 5 Bài 4: a) A = - 50 ; c) C 1; b) B = - 13; d) D 3; e) E Bài 5: a) x 59 b) x = c) x 3 d) x 0; x Bài 6: HS tự biến đổi VT = VP Bài 7: Biến đổi: A = 5n + 5n + 10M5 (t/c chia hết tổng) b) = (a - 1)(bc - b - c + 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - = abc - ab - bc - ca + a + b + c - = abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - = abc - abc + 1- = x0 � � x 4 ; Bài 8: a) � R; b) x �� c) x = ; d) x 10 e) x = Bài 9: a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x vào biểu thức, ta có: A = x6 - (x + 1)x5 + (x + 1)x4 - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 - (x + 1)x + x + Trang 10 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP A x y x y 3xy 3xy 1. 12 3xy xy 3xy xy Vậy A B x3 y x y Bài 2: Cho x y xy Tính Giải Áp dụng đẳng thức, ta được: B x3 y x y x y x xy y x y x y x y 3xy x y 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Theo x y , xy thay vào B ta được: B x y x y 3xy x y 3.5 16 140 Vậy B 140 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) x 48 x 64 x x b) x x 27 x 27 x 4 x3 c) x x d) x2 x x2 1 x3 x 1 x Giải x 48 x 64 x x 8 x a) Ta có: 3.2 5.23 36 Thay x vào ta được: b) Ta có x3 x 27 x 27 x 3 x 3 4 3 73 343 Thay x 4 vào ta được: c) Ta có: x3 x 1 x x 1 x x x2 x 1 x 1 x 1 x x 62 43 x 1 1 Thay x vào ta được: d) Ta có: x2 2x x2 1 x3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 1 28 2 13 Thay x vào ta được: 13 Trang 21 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: +) Giá trị lớn biểu thức dạng: m Q x �m A x Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi A x m (với m số) � GTLN +) Giá trị lớn biểu thức A x Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi Q x n �n A x n dạng (với n số) � GTNN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức WORD=>ZALO_0946 513 000 a) A x x b) B x x Giải A x x x x x 1 �6 a) Ta có: Vậy giá trị lớn biểu thức A x � x 1 b) Ta có: 43 �9 � 27 �3 � 43 B x 3x 3� .x x � 4 � x �� �4 � �2 � 43 3 x0� x Vậy giá trị lớn biểu thức B Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 a) A x x 14 b) B x x Giải a) Ta có: A x x 14 x x 1 12 x 1 12 �12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 12 2x 1 � x 2 1 � 1� 7 B x x x .x �x � � 4 � 2� 4 b) Ta có: 2 1 x 0� x 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A x x 1 b) B x x x x Giải Trang 22 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 1 � 1� 3 x x x .x �x � � 4 � 2� 4 a) Ta có: Do x x đạt giá trị nhỏ 2 �3 � 1 A�� x 0� x � � 2 Giá trị nhỏ 4 2 b) Ta có: B x x x x x x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 �0 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Mặt khác: �� � x0 x2 � �� � � B � �� x 1 � x 1 x � �� � �x � �x Vậy giá trị nhỏ biểu thức B x Bài 4: Chứng minh x x 10 dương với x Giải x x 10 x 2.2.x x Ta có: Ta thấy x 2 �0 � x dương với x B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP Tìm hệ số x đa thức sau khai triển : a ) A x x x 3 3x 1 2 3 b) B x 1 x x 3 x 1 2 Giải a ) A x x x x x3 x 27 x 27 27 x 27 x x 28 x 38x 36 x 36 Vậy hệ số x 38 b) B x x x x x x 27 x 27 27 x 27 x x 28 x3 31x 28 x 23 Vậy hệ số x -31 Tính giá trị biểu thức a ) A x 0, x 0, 01 x 0,9 b) B x3 x x x 19 Trang 23 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP c )C x x3 3x x x x Giải a ) Ta có : A x 0, x 0, 01 x 0, x 0,1 x 0,1 2 x 0,9 � A 0,9 0,1 Với WORD=>ZALO_0946 513 000 b) Ta có: B x 3x x x3 3x 3x x 1 B 19 1 8000 8001 Với x 19 c) Ta có : C x4 x3 x2 x x x3 x2 x x x x x x x x 1 x x � C 1 81 82 Với Tính hợp lý : a) A 3562 1442 2562 2442 c)C 1632 92.136 462 b) B 2532 94.253 47 d ) D 1002 982 22 992 972 12 Giải 356 144 356 144 500.212 53 3562 1442 a) A 500.12 2562 2442 256 244 256 244 b) B 2532 94.253 472 2532 2.47.253 472 253 47 3002 90000 c)C 1362 92.136 462 1362 2.46.136 462 136 46 902 8100 d ) D 1002 982 22 992 972 12 1002 992 982 972 22 12 100 99 100 99 98 97 98 97 1 1 Trang 24 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 100 99 98 97 1 100 99 100 1 99 51 50 101 101 101 101.50 5050 Tính giá trị biểu thức : 2 20212 2020 2019 2019 2020 2021 A 20203 2020 1 20203 1 Giải 20212 20202 2019 20192 2020 2021 A 20203 20202 1 20203 1 20212 2020 2020 1 WORD=>ZALO_0946 513 000 20192 20202 2020 1 2020 1 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2020 1 2020 2020 1 2019 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) A x y xy y x 2020 b) M x y z x xy z Giải a) Ta có : A x xy y x x y y 2018 x y x 1 y 1 2018 �2018 2 Vậy giá trị nhỏ A 2018 x 1; y 1 c)M x xy y x x z z x y 1 2 4 1 � 1� x 1 �z � �2 � 2� � �x y � � 2x � x y z � � � �z Dấu xảy � Vậy giá trị nhỏ M 2 1 x yz Tìm x, biết : Trang 25 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP a ) x x 3 x x 3 19 2 b) x x x x x 15 c ) x 1 x x x 3x x 17 Giải a ) x x 3 x x 3 19 2 � x x x 3 12 x x x 3 19 2 � 20 x � x x 3 � � � 19 WORD=>ZALO_0946 513 000 � 20 x 19 � 20 x 18 � x 10 b) x x x x x 15 � x3 x x 15 � x 15 � x � x c ) x 1 x x x 3x x 17 � x 1 x 3x x 17 � x3 x 3x x3 x 17 � x 17 � x 10 � x 10 2 2 Biết xy 11 x y xy x y 2016 Hãy tính giá trị : x y Giải 2 Ta có: x y xy x y 2016 xy x y x y 2016 11 x y x y 2016 12 x y 2016 � x y 168 x y x y xy 1682 2.11 28202 Mà A a a 1 b2 b 1 3ab a b 1 ab Cho a b Tính giá trị biểu thức : Giải Trang 26 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Ta có : A a3 a b3 b2 3ab a b 3ab ab a 3ab a b b3 a b 2ab a b a b 73 392 Chứng minh với x ta có : a ) x x 10 b) x x c) x x Giải a) x x 10 WORD=>ZALO_0946 513 000 � x2 6x � x 3 (luôn ) b) x 3 x � x 8x 18 � x x 16 � x 4 (luôn đúng) c) x x � 1� � x x � �x � 4 � 2� (luôn ) 10 Tìm x, y biết : a) x x y y b)4 x y 20 x y 26 c)9 x y y 12 x Giải a) x x y y � x x 1 y y � x 1 y 2 � x 1 0; y 2 x 1 , y (vì �0 ) � x 1; y b)4 x y 20 x y 26 � x 20 x 25 y y 1 � x 5 y 1 � x 5 2 y 1 0 x , y 1 (vì �0 ) Trang 27 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � x ; y 1 c )9 x y y 12 x � x 12 x y y 1 � x y 1 2 � 3x �x y 1 0 3x , y 1 (vì �0 ) ;y WORD=>ZALO_0946 513 000 11 Chứng minh không tồn x; y thỏa mãn: a ) x y x y 10 b)3 x y 10 x xy 29 c )4 x y y xy Giải a ) x y x y 10 � x2 4x y y � x y 1 Mà x 2 2 y 1 �5 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề b)3 x y 10 x xy 29 � x xy y x 10 x 29 � x y x 2,5 16,5 Mà x y 2 x 2,5 16,5 �16,5 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề c )4 x y y xy � x xy y y y 1 � x y y 1 Mà 2x y 2 y 1 �4 Suy x, y thỏa mãn đề 12 Tìm giá trị lớn biểu thức : a ) A 15 x x b) B x x c)C x y x y Giải Trang 28 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP A 15 x x 31 16 x x 31 x �31 a) Ta có : Vậy giá trị lớn A 31 x 4 B x x x �6 b) Ta có Vậy giá trị lớn B x C 10 x x y y 10 x y �10 c) Ta có : Vậy giá trị lớn C 10 x 2; y 2 2 13 Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện x y 3; x y 17 Tính giá trị biểu WORD=>ZALO_0946 513 000 3 thức x y Giải Ta có: x y � xy x y xy 17 xy 9 17 4 x3 y x y 3xy x y 27 4 63 14 Cho x y a b 1 x y a3 b3 2 2 Chứng minh : x y a b Giải Ta có đẳng thức : a b x y a b3 3ab a b x y 3xy x y (2) Kết hợp với (1) (2) suy xy ab Mặt khác, từ (1) suy x y (1) (3) a b � x y xy a b 2ab 2 2 Kết hợp với (3) suy : x y a b 15 Cho a b c p Chứng minh rằng: a )2bc b c a p p a b) p a p b p c a b c p 2 2 Giải 2bc b c a b c a 2 a) Ta có: b c a b c a p p a p p a Vế trái vế phải Điều phải chứng minh Trang 29 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP p a b) Ta có : p b p c 2 p 2ap a p pb b p pc c p2 p a b c a2 b2 c p p.2 p a b c a b c p Vế trái vế phải Điều phải chứng minh 16 Cho A 99 { 2020 ch�s�9 Hãy so sánh tổng chữ số A với tổng chữ số A Giải WORD=>ZALO_0946 513 000 Ta có : A 99 { 2020 ch�s�9 2020 1 102020 nên A 10 104040 2.102020 99 9800 01 12 123 2019 2019 Tổng chữ số A : �2019 18180 Tổng chữ số A : �2020 18180 Vậy tổng chữ số A tổng chữ số A 17 Chứng minh rằng: Nếu a b b c c a a b 2c b c 2a c a 2b 2 2 a b c Hướng dẫn giải – đáp số Giải a b 2c a b b c 2a b c c a 2b c a 0(*) Áp dụng đẳng thức : a b 2c b c 2a c a 2b 2 x2 y x y x y 2 ta có : a b 2a 2c 2b 2c a c b c b c 2b 2a 2c 2a b a c a c a 2c 2b 2a 2b c b a b Kết hợp với (*) ta có : 4 a c b c 4 b a c a 4 c b a b � a c b c b a c a c b a b � ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b � a b c ab bc ac � 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac Trang 30 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP � a 2ab b b 2bc c c 2ca a � a b b c c a 2 a b � � bc � a b c � � ca 0 � n 18 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n hợp số (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n số chẵn � n 2k k �N - Với n số lẻ Đặt WORD=>ZALO_0946 513 000 n n 2k n 16k M4 nên n hợp số n 2k 1 k �N * , k 1 ta có: n 4n n 2.n 2n 4n n 2n 1 n 2n n2 22 k n 2n 2k n n 2n 2k n Ta có: n 2n 2k n n 2k n 22 k 2n 22 k n 2k 1 22 k 1 22 k 2 n 2k 1 22 k 2 2 n k n k n mà n n n n suy n hợp số n Vậy n hợp số với n số tự nhiên lớn 19 2 a) Cho a b Tìm giá trị nhỏ A a b b) Cho x y Tìm giá trị lớn B xy Giải a) Ta có: a b a b a b2 � a b 2A A A Vậy giá trị nhỏ A a b b) Từ x y � x y suy B y y y y2 y y2 B y �8 Vậy giá trị lớn B y 2; x Trang 31 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP 20 Tìm giá trị nhỏ A x2 y 2 biết x y xy 12 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Giải Từ giả thiết, ta có x y 3xy 12 � xy x y 24 Ta có : A x y x y xy x y x y 24 x y 24 2 2 �x �x 2 x y 0� � ;� y � �y Vậy giá trị nhỏ A 24 WORD=>ZALO_0946 513 000 21 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: a b b c c a 2010 3 Tính giá trị A a b bc c a biểu thức Giải Đặt a b x; b c y; c a z � x y z � z x y x y z 210 � x y x y 210 � 3 xy x y 210 Ta có : � xyz 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz 70 2 5 nên x, y, z � 2; 5;7 � A a b b c c a 14 2 22 Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x y 2020 Giải 2 Từ x y 2020 suy x; y chẵn lẻ TH1: Nếu x; y chẵn Đặt x 2m; y 2n 4m 4n 2018 � 2m 2n 1009 Vế trái chẵn, cịn vế phải lẻ Vơ lí TH2: Xét x; y lẻ Đặt x 2k 1; y 2q Ta có : 2m 1 2n 1 2018 � 4m 4m 4n 4n 2018 Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vơ lí 2 Vậy khơng tồn số nguyên x; y thỏa mãn x y 2020 D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CẦN NHỚ 1) (A +B) = A + 2AB + B Trang 32 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 2) 3) (A - B) A2 - B = ( A - B ) ( A + B ) 4) (A +B) 5) (A - B) 6) 7) = A2 - 2AB + B = A + 3A2B + 3AB + B = A - 3A2B + 3AB - B ( ) ( ) A + B = ( A + B ) A - AB + B A - B = ( A - B ) A + AB + B WORD=>ZALO_0946 513 000 BÀI TỰ LUYỆN Khai triển biểu thức sau: � � � � x - 3� � � � � � � a) ; ( 2x b) ) + 3y 2.Tính giá trị biểu thức sau giá trị ra: a) x + 12x + 48x + 64 x = ; b) x - 6x + 12x - x = 22 Rút gọn biểu thức sau: ( x + 3) ( x a) ) ( - 3x + - 54 + x3 ( 2x + y) ( 4x b) ); ) ( - 2xy + y2 - ( 2x - y) 4x2 + 2xy + y2 ) 4.Tính nhanh giá trị biểu thức sau: 2 a) 34 + 66 + 68.66; 2 b) 74 + 24 - 48.74 So sánh cặp số sau: a) A = 2008.2010 với B = 2009 ; b) ( )( )( )( ) A = ( + 1) 22 + 24 + 28 + 216 + 32 với B = 6.Tìm x, biết: 2 a) 16x - (4x - 5) = 15 b) (2x + 3) - 4(x - 1)(x + 1) = 49 c) (2x + 1)(1- 2x) + (1- 2x) = 18 2 d) 2(x + 1) - (x - 3)(x + 3) - (x - 4) = e) (x - 5) - x(x - 4) = ( a - b) Chứng minh đẳng thức f) (x - 5) + (x - 4)(1- x) = 2 = ( a + b) �4ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x �2x + c) C = ( x �1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 6) b) B = x �x + 2 d) D = x + 5y �2xy + 4y + Trang 33 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2x2 � 3x + b) B = � x2 � 4x �2 a) A = � C = ( �x) ( x + 4) 8x2 + 4xy � y2 + c) d) D = � 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến 2 b) B = 9x �6xy + 2y + a) A = 25x �20x + 2 c) E = x � 2x + y + 4y + d) D = x �2x + 11 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương WORD=>ZALO_0946 513 000 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 3 � � � � � 1 � � �2 27 � � � � � � � � � � x = x x - 33 = x3 - x2 + x - 27 � � � � �.3 + 3.� � x� � � � � � � � � � � 2 � � � � � � � a) Ta có: � ( 2x Ta có: b) ) ( ) + 3y = 2x2 ( ) 2 + 2x2 3y + 3.2x2.( 3y) + ( 3y) = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 a) Ta có: x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = ( x + 4) Thay x = vào biểu thức cuối ta kết 1000 b) Ta có: x3 - 6x2 + 12x - = x3 - 3.x2.2 + 3.x.22 - 23 = ( x - 2) Thay x = 22 vào biểu thức cuối ta kết 8000 ( x + 3) ( x Ta có: a) ) ( ( 2x + y) ( 4x b) Ta có: ) ( ) ( ) - 3x + - 54 + x3 = x3 + 33 - 54 + x3 = x3 + 27 - 54 - x3 = - 27 ) ( - 2xy + y2 - ( 2x - y) 4x2 + 2xy + y2 ) 3 � � = ( 2x) + y3 - � = ( 2x) + y3 - ( 2x) + y3 = 2y3 (�2x) - y3� � � � a) Ta có: 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662 = ( 34 + 66) = 1002 = 10000 b) Ta có: 742 + 242 - 48.74 = 742 - 2.24.74 + 242 = ( 74 - 24) = 502 = 2500 a) Ta có: A = 2008.2010 = ( 2009 - 1) ( 2009 + 1) = 20092 - Vậy A < B Trang 34 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP b) Ta có: ( )( )( )( ) A = A ( - 1) = ( - 1) ( + 1) 22 + 24 + 28 + 216 + ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ( )( ) = 22 - 22 + 24 + 28 + 216 + )( )( ) = 24 - 24 + 28 + 216 + = 28 - 28 + 216 + = 216 - 216 + = 232 - Vậy A < B a) x = 1; b) x = 3; x= 12 d) x= e) c) x = - ; 21 WORD=>ZALO_0946 513 000 f) x= Biến đổi VP = VT ngược lại � 1� 3 � B =� x- � + � � � � � � 2� 4 b) a) c) A = ( x - 1) + �4 ( )( ) ( d) ) C = x2 + 5x - x2 + 5x + = x2 + 5x - 36 �- 36 D = ( x - y) + ( 2y + 1) + �2 � 3� 49 49 � B= - 2� x+ � � � � � � � 4� b) a) c) A = �( x + 2) �2 C = - ( x + 1) 2 d) D = - ( 2x - y) - 4x2 �3 10.a) A = ( 5x - 2) + �3 > c) E = ( x - 1) + ( y + 2) + �1 > b) B = ( 3x - y) + y2 + �1 > D = ( x - 1) + �1 > d) 11 Gọi số tự nhiên liên tiếp x - 2; x - ; x; x + ( x γ �;x Ta có: ( )( 2) ) A = ( x - 2) ( x - 1) x ( x + 1) = ( x - 2) ( x + 1) x ( x - 1) = x2 - x - x2 - x đặt x - x = t ( ) A + = x2 - x - A + = ( t - 2) t + = t - 2t + = ( t - 1) 2 Vậy A + số phương Toán Học Sơ Đồ-ĐT/Zalo 0945943199-LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TRỌN BỘ CẢ NĂM- Trang 35 ... ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP b) Ta có: ( )( )( )( ) A = A ( - 1) = ( - 1) ( + 1) 22 + 24 + 28 + 216 + ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ( )( ) = 22 - 22 + 24 + 28 + 216 + )( )( ) = 24 - 24 + 28 + 216 + = 28... a) 3( 1�4x) ( x �1) + 4( 3x + 2) ( x + 3) = 38 b) 5( 2x + 3) ( x + 2) � 2( 5x �4) ( x �1) = 75 c) 2x2 + 3( x �1) ( x + 1) =� 5x ( x + 1) d) ( �5x) ( x + 2) + 4( x �2) ( x + 1) + 2( x �2) ( x +... Trang TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP a) ( x �2) ( x �1) = x ( 2x + 1) + ( 2x - 1) ( x c) ) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 5) �x ( x + 2) ( x + 2) ? ?( x �2) ( x �2) = 8x ( x + 1) ( x d) �x + = 2x3 �3x2 + e)
Ngày đăng: 15/09/2021, 11:30
Xem thêm: