Các cấu trúc đại số và áp dụng

ĐẠI HỌC ọ ố c GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G Đ A I H O C K H O A H O C T ự N H IÊ N 0O0- ĐỂ TÀI CÁC CẤU TRÚC ĐẠI S ố VÀ ÁP DỤNG (ALGEBRAIC STRUCTURES AND APPLICATIONS) Mã số : QT 02 01 Chủ trì đề tài : TS Nguyễn Đức Đạt Các thành viên tham gia: PGS TS Trần Trọng Huê TS P h ạm Việt Hùng Đỗ Hùng Sơn (học viên Cao học) Một sổ sinh viên ngành Đại số Hà n ộ i - 0 tr \)\l2 -À Phần BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ ÁP DỤNG M ã số: Q T 02 01 Chủ trì đề tài: TS N g u y ễ n Đ ứ c Đ t C ác thành v iê n tham gia: PG S TS Trần Trọng H u ệ TS P h m V iệ t H ù n g Đ ỗ H ù n g Sơn (h ọ c v iên C ao h ọ c ) M ộ t số sin h v iên n g n h Đ ại số 1 M ục tiêu nội dung đề tài: N g h iê n cứu c ấ u trú c đ ại số b ản n h N h ó m , V n h , D àn n h ằ m m ụ c đích : a) T iế p c ậ n m ộ t số hư ng n g h iê n cứu đ a n g đượ c q u a n tâm h iệ n nay: - N g h iê n cứu áp d ụ n g lý th u y ế t c ăn ch o to n c ấ u trú c p h â n loại dàn - Đ ặ c trư n e c ăn m ộ t số lớp vành b) Phục vụ công tác giảng dạy, đào lạo hướng dẫn nghicn cứu khoa học sinh viên soạn chuyên đề, hướng dẫn khố luận tốt nghiệp, luận án thạc sĩ; góp phần bổ sung, hồn thiện giáo trình Đại số giảng dạy 1.2 C ác kết đạt a) M rộng khái niệm cho đại số phổ dụng nói chung dàn nói riêng Bài báo khoa học “Căn Jacobson dàn” b) N ghiên cứu đại số vành giao hoán có đơn vị, chủ đề: tính chất lựa qui, hệ thức xác định đại số Bài báo khoa học “V ề đại số s- tựa qui” c) 01 “Bài tập Đại số Hình học giải tích”, đề nghị xuất N X B Đại học Quốc gia Hà Nội d) 02 khoá luận tốt nghiệp bảo vệ; 01 luận án thạc sĩ thực 1.3 K ết lu ận Bằng việc hoàn thành đề tài N ghiên cứu khoa học “Các cấu trúc Đại số áp dụng” trì hoạt động nghiên cứu khoa học cách thường xuyên, hệ thống bổ ích, phục vụ đắc lực cho việc học tập nghiên cứu khoa học sinh viên, góp phần đổi nội dung phương pháp giảng dạy, đáp ứng yêu cầu nhà ưường tình hình T ìn h h ìn h k in h p h í củ a để tài Thu: Kinh phí Irường cấp 8.000.000 (lám triệu đổng) Chi : Đã chi khoản sau: 1) TTiuố khốn chuyỏn mơn : 6.000.000 đ (Trần Trọng Huệ: 2.000.000 đ (Bài báo KH) Nguyễn Đức Đạt: 4.000.000 đ (Bài báo KH, viếl BT Đại số Hình học giải líc h )) 2) Vâl tư văn phòng : 180.000 đ 3) Hội thảo, Seminar : 1.500.000 đ 4) Các chi phí khác : 320.000 đ 0 0 0 đ Tám triộu chẵn Khoa quản lý Chủ trì đề tài t J U ò a N guyễn Đức Đạt Cơ quan chủ trì đổ lài PRCƯECT ALGEBRAIC STRƯCTURES AND APPLICATIONS QT 02 01 C oordinator: Nguyen Duc Dat Participants : Prof Dr Tran Trong Hue Dr Pham Viet Hung Do Hung Son Tran Nam Tien Dinh Van Thuan 1.1 Aims and contents : The projcct studics the algebraic structurcs such as groups, rings, Iattices vvith the íollovving aims: a) Applying som e recent approaches for : - S tu d y in g and a p p ly in g radical th eory in the p rob lcm “cla ssiíy in g latlices” - Giving the radical characteristic o f somc ring classcs of b) Giving aids to građuate education, training and research activities such as vvriling text books and lecturer notes, supervising master Ihcses, etc 1.2 Activities and results : In this project, we have obtained thc following results: a) Extcnding the radical concept inừoduced previously to universal algebras In particular, the results for lattices have been published in paper: “Jacobson’s radical o f lattices” b) Studying radical o f K - algebras (K : commutative ring vvith unity), giving radical characteristic o f class o f Result: scientiíic paper “On the s- s- quasi-regular algebras quasi-regular algebras” c) 01 text book “Problem in algebra and analytical geom etry” d) 02 B sc theses 1.3 Conclusion : In the scientiíic research project QT 02 01, we have carried out rcgular and useíul scicntiíĩc aclivities in order to give ncw research rcsults and contributions to the actual tcaching works Phần NỘI DUNG CHÍNH M ụ c lục Mở đầu 2.2 Nội dung 11 2.3 Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 2.1 Mở đầu Vài nét v ế công tác giảng dạy đào tạo ngành Đại sô' Sau m ộ t s ố n ăm bị giá n đoạn, từ k h oá (n ăm 94), K h o a T oán - C — Tin h ọ c xuất h iện trở lại m ột s ố sinh v iên ngành Toán h ọ c S ố sinh viên này, giai đoại 1, học ch u n g với lớp Toán — Tin h ọ c ứng d ụ n g, sa n g giai đ oạn thành lập lớp riêng g m 15 em Từ đ ó đ ến nay, lớp sinh viên ngành Toán thành lập nối tiếp số sinh viên làm khố luận tốt nghiệp tổ Đại số - Hình học - Tơ pơ hàng năm trì (xem bảng thống kê) Số sinh viên Khoá Sĩ số K 39 15 K 40 34 K41 38 K 42 69 K 43 50 K 44 50 12 ngành Đại số Mặt khác, năm 1994, Đại học Quốc gia Hà Nội thành lập với m ục tiêu đào tạo đa ngành, đa lĩnh vực, chất lượng cao V iệc hồn thiện khung chương trình giáo trình đẩy mạnh Tổ Đại số - Hình h ọ c - T p Irong gia i đ oạn n ày c c g iá o trình đại s ố quan trọng: - Đ i số tu yến tính H ình h ọ c giải tích (1997 - Trần Trọng H u ệ ) , - Đại số Đại cương (1998 - Nguyễn Hữu V iệt H n g ), - Đại số tu yến tính (1999 - N g u y ễ n Hữu V iệt H n g ), (,) Sĩ sô' lớp có xơ dịch năm - Đại số Hình học giải tích (2000 - Trần Trọng Huệ) (giáo trình đành cho k h oa phi t o n ) , - Đại số Đại cương (2001 - Trần Trọng Huệ) Một sô'đề tài nghiên cứu khoa học thực Đ ể đáp ứng yêu cầu đào tạo nhà trường, Tổ Đại số - Hình học Tơ pơ thúc đẩy cơng tác nghiên cứu khoa học Ngoài đề tài Giáo sư N guyễn Hữu Việt Hưng, nhóm nghicn cứu Ihực đề tài: - Phân loại cấu trúc đại số, 1996, chủ trì: TS N guyễn Đức Đạt (cấp đại học Khoa học Tự n h i ê n ) , - Đại số ứng dụng, 2001, chủ trì: PG S.TS Trần Trọng Huệ (cấp Đại học Quốc gia Hà N ộ i ) Bằng đề tài trì hoạt động N ghiên cứu khoa học để tiếp cận với xu hướng nghiên cứu quan tâm nay, phục vụ m ột cách đắc lực cho công tác giảng dạy, đào tạo góp phẩn thúc đẩy việc học tập nghiên cứu khoa học sinh viên Đ ề lài QT.02.01: Các cấu trúc đại s ố áp dụng Trong đề tài N ghiên cứu khoa học này, quan tâm chủ yếu tới Lý thuyết căn, áp dụng cho việc nghiên cứu dàn vành Đ ã thực hiện: a) C h u y ể n khái n iệ m n h óm , vành san g dàn - m ộ t cấu trúc đại s ố k h n g c ó phép tốn - n g i (do đ ó k h ô n g c ó n h ữ ng cấu trúc đặc biệt nhóm chuẩn tắc, idcal) Kết áp dụng cho toán cấu trúc phân loại dàn [3] b) N g h i ê n cứu tính chất tựa qui, c c hệ thức x c định củ a c c đại số, lổng qt hố cách có hệ thống tính châ't qui lựa qui định nghĩa nghicn cứu tác giả trước, đưa đặc trưng lớp R đại số s - tựa qui [5] c) V iết “Bài tập Đại số Hình học giải tích”, bổ sung cho giáo trình Đại số (vốn chưa có quyổn tập) 10 2.2 Nội dung 1) Nhằm mục đích nghiên cứu cách tổng quát hơn, cấu trúc đại số nói chung, đề tài trước định nghĩa cãn th eo tương đ ẳ n g cá c Đ ại s ố phổ dụ ng [4] Trong đề tài này, TS Nguyễn Đức Đạt tiếp tục nghiên cứu tương đẳng Vì tương đẳng trcn Đại số phổ dụng A lập thành dàn đầy đủ C (A ) nên thay cho đại số A ta nói dàn C(A) Năm 1952, Amitsur [1] đưa khái niệm p - dàn đẩy đủ, p H - quan hệ [1, 3, 7] Ở đ â y , c h ú n g áp dụ ng khái n iệ m p - ch o c c dàn T u y n h iên , việc H - quan hệ p p - thường khó Trước hết, chúng tơi đề xu ất m ộ t H - q uan hệ p cá c dàn đ ầ y đủ n g u y ê n tử, ch ứ ng m in h tồn p - dàn Để áp dụng cho lý thuyết dàn, ta xét dàn L có C(L) dàn đối nguyên tử Căn Jacobson r(L) dàn L định nghĩa p - dàn C*(L) - dàn đối ngẫu C(L) Vậy Jacobson dàn L hiểu giao tập tất tương đẳng tối đại dàn L Căn Jacobson dàn L có ý nghĩa việc phân loại dàn mà đề tài đạt kết quan trọng, định lý: “Dàn phân phối khơng tầm thường dàn r - nửa dơn” [3] 2) G iá o sư T rần T rọ n g H u ệ đề cập tới c ủ a c ác đại s ố ê n v àn h g ia o hốn, có đơn vị: Trong lý thuyết vành, tính chất tựa qui qui đ ợ c đ a đư ợ c n g h iê n cứu n h iề u tá c g iả, ch ẳn g h ạn n h f - c h ín h qui [2], s - c h ín h q u y [6J T ro n g đề tài n ày , G S H u ệ đ ã đ ề xướ ng k h i n iệ m đ ại s ố s - tự a c h ín h q u i, đưa đ iề u k iệ n c ần đ ủ đổ m ộ t lớp đ ại số s - lựa c h ín h qui m ộ t lớp theo ngh ĩa K u ro sh - A m itsur Từ đ ó x â y 11 26 Tran Trong Hue An algebra A is saiđ to be an S - quasi regular algebra everv element o ỉ A is S — quasi regular T h e o r e m If the class s = {5,4 : A 00 —> A }a£W is a regulasity then the class R of all S — quasi regulai algebras ỉs a radical class in w if and only i ỉ the foUowing condition is satiũed: * I Ĩ I is an S — quasi regular ideal o í algebra A and for every element a o í A there exists an elem en t X o ỉ A°° such th a t p r i ( x ) = a a nd S a ( x ) = mod I , then th e algebra A is S — quasi regulas ProoỊ Assume th a t the class R of all S — quasi regular algebras is a radical class Suppose th a t / is an 5-quasi regular ideal of the algebra A and for every elem ent a of A there exists an elem ent X of such th a t pri (x) = a and S a (x ) = m od I We have to show th a t the algebra A is S-quasi regular Let us consider the factor algebra A / I Take an element ă of A / I By hypothesis there exists an elem ent X of ^1°° su ch th a t pri (x) = a and S a ( x ) = morì I For the n atu ral hom om orphism p : A — ■* A / I we have the com m utative diagram following A°° (2 ) (.A/ I)°° — Take X = p°°(x) It is clear that pri(x) = A/I ã S a / j (x ) = S A/ i ( p °°(x)) = p( Sa( x) ) = S a (x ) = Thereíore the elem ent ã is 5-quasi regular This implies the - quasi regularity of the algebra A / I Since radical classes are closed under extension (see [1 ], p 31; theorem 4.13) the algebra A is S- quasi regular Conversely, assum e th a t the S- regularity satisfying the condition of the theorem We shall show th a t the class R of all s - quasi regular algebras is a radical class Since the zero algebra is S-quasi regular, the class R is not empty Let B be an image of S- quasi regular algebra A under the hom om ophism / Now let b be an arb itra ry elem ent of the algebra B T hen there exists an elem ent a of A such th a t b — f ( a ) Since A is an S- quasi regular algebra there is an elem ent X o ĩ A°° such that pr-[(x) = a and /i(x ) = Take y = It is clear th at p r \ ( y ) = b By the com m utative diagram ( l) we have SB(y) = SB(f°°(x)) = f.SA(x) = f(SA(x)) = /(0 ) = Thereíore the algebra B is S-quasi regular T his im plies the class R of all 5-quasi regular algebras is hom om orphically closed Let p denote the set of all R -ideals of an algebra A Since zero ideal is an /ỉ-ideal, this set is not em pty N o v consider a chain {B a , a £ I } in p The set B = u B a is an ideal of A Take an a rb itra ry elem ent b of B Then there is Q € I such th a t G B a Bv hypothesis there exists an elem ent X of B°° such that p rj(x ) = b and b q (x) = For the em bedding i Q : B a — > B we have the following corrưnutative diagram On the s - quasi regnlar algebras ■27 Ba oo i°° Ị B °° Take y = have ■ « (3) Sb > B It is clear th a t pri(y ) — ia {b) = ò By the com m utative diagram (3) we ■Ss(y) = s (ĩ°°(x)) = i.S s (x ) - i(0) = Therefore the elem ent b is 5-quasi regular This implies th at B is an /?-ideal of A The ideal B is an upper bound of the chain {B a , a £ I } in the set p By Z om ’s lemma the sẹt p has a m axim al /?-ideaỊ say R (A ) We have to show th a t R ( A / R ( A ) ) — {0} Assume th a t R ( A / R ( A ) ) = B / R ( A ), where B is an ideal of A and R (A ) c B Since the algebra B Ị R ( A ) is S- quasi regular, every elem ent b of B there exists an element Q of ( B / R(A))°° such th a t p r i(a ) = b and SB/R(A)(a ) = õ Clearly, there exists an element X of B°° such th at p r i(x ) — b and p°°(x) — a, where p is the n atu ral hom omorphism of B onto B / R ( A ) We have the following com m utative diagram B co J g _> p“ | (.B / R ( A ) ) ° ° B H (4) 5b-/ — -> B / R ( A ) We have p{SB(x)) = s B/ R(a).p°° (x) = SB/R(A){a) = õ This implies S b ( x ) = m od /Ỉ(i4) By the condition of the theorem the ideal B is S-quasi regular Therefore B is an /ì-ideal containing /Ễ-ideal R(A) By the m aximal property of /?(.4) we have B = R (A ) Hence R ( A / R ( A ) ) = {0} The proof of the theorem is therịre íinish P r o p o s itio n The class R o f aỉl S-quasi regular algebras is aradical class iíth e following condition is satisũed: For every element a o ĩ the algebra A i f there exists an element X o í Ẩ°° such that pr\{x) — a and the element S a ( x ) is S-quasi regular then the element a is ãlso S-quasi reguỉar ProoỊ Assume th a t I is an S-quasi regular ideal of an algebra A and for every element a of ^4 there exists an elem ent X of A such th at p r i(z ) = a and S a {x ) = mod I Therịre the elem ent S a ( x ) belongs to the ideal I Since I is an S-quasi regular ideal, tỊae elem ent S A(x) is S-quasi regulax By hypothesis the element a is 5-quasi regiilar T hus the algebra ,4 is S-quasi regular T he condition of Theorem is satisfied This completes the proof of Proposiúon S o m e e x p r e ss io n s d e íìn itin g rad ical cla sses We consider a iníìnite set of indeterm inants {Í ,Í >"-}- Kị t i , /{'-algebra of polynom ials in non-com m utative indeterm inants t \ , t n denotes the Tran Trong Hue 28 D e íỉn itio n The ỉormed serie / = f n is Sãid to be admissible i f the folIowmg condin=1 tions are satisũed for 71 = 1,2, i) ỉn € K[tỵ .,tn]; degfrỊ_> i i ) / ( t i , , < n , , , ) e K [ t i , , t n } t It is clear to see th a t each admissible íorm al serie / deồnes an S ( f ) - regularity S(f) = {S(f)A :Ả~>—>A}AW, where S ( f ) A (a.ị, a 2, ) = ỉ ( a u a 2, )■ For the sake of brevity we shall call an admissible formal serie / a radical expression if the class R( f ) of all S ( f ) - quasi regular algebras is a radical class P r o p o s itio n The following íormal series areracUcal expressions 1) f((ì\ Q2 Qf3 Q4 ) = t \ + Q Í2 + » ÍiÍ + a %G K i — a 3Í2j-i+ &4Í2Ì-1 ^2 (i-i) wbere j= i 1.2 sa tisíy the condition Q1 Q3 = Q2 Ck4 - Ịỹ (ổ i , 02> @3 ) — h + ^2ỉ^i^ 2i-f-a where Pi € + / ^ 1^3 + $3 í = 1.2,3 1=2 satisíy the condition 0102 = or /3i/?2 = /?3 ^(ĩĩl q) — Ểi -Ị- Q —1)^1 t= l —1 whcr€ ữ K TTl £ N 4) ĩp(m,p(t) q(t)) = h + ' £ p ( t i ) t 2i+ạ L')mP(ti) -p{ti)tl{m+2) - \ q{ t i ) where p(t) e K [t ],q (t ) € A"[í] m € N Proo/In order to prore that / ( q i , 02 , 0tz),g(l3i, /?2 , /33 ), vKm : a ) and ĩp(m, p(t) q(t)) are radical expressions we shall show th a t each of them dìnes an 5- regularity satisíying the condition of P roposition First we prove thaĩ the S(ỉ(ai Q2 -Q3 a 4)) - quasi regularity satisíìes the condition of Proposition Assum e th a t for the element a of the algebra there exists an element I = (« , , ) of A°° such th at = ] and the element b = ( / ( a Ị Q2 , Q4 ))^ (x ) is S (/(q ị Ữ2 -Q3 Q4 )) - quasi regular we have Ni b = ũ\ + ữ\ 0-2 + 0:20-10,2 + Q31221- I ^1 °2 (i + 1) + Ct4a2i~lO-2{i^ì)^ i= l where Nị = m in{m ax {2 : , - ^ 0};max{z : (1- ) Ỷ 0}}' By Deíỉnition there exists an element y = (bị.b ) of 00 such th a t b\ = b and ( / ( q ; Q2 -C13 , Q4))^(ỉ/) = Thereíore W6 have ữi + Q} i ế : - 'ìứ / ỉỊ í > M —T z ý y* % ^ ¥ * / /.: -p ' ■ ■ r~ - - ...Phần BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ ÁP DỤNG M ã số: Q T 02 01 Chủ trì đề tài: TS N g u y ễ n Đ ứ c Đ t C ác thành v iê n tham... áp dụng cho việc nghiên cứu dàn vành Đ ã thực hiện: a) C h u y ể n khái n iệ m n h óm , vành san g dàn - m ộ t cấu trúc đại s ố k h n g c ó phép tốn - n g i (do đ ó k h n g c ó n h ữ ng cấu trúc. .. ết lu ận Bằng việc hoàn thành đề tài N ghiên cứu khoa học ? ?Các cấu trúc Đại số áp dụng? ?? chúng tơi trì hoạt động nghiên cứu khoa học cách thường xuyên, hệ thống bổ ích, phục vụ đắc lực cho việc