Các cấu trúc đại số và áp dụng

b Phục vụ công tác giảng dạy, đào lạo và hướng dẫn nghicn cứu khoa học trong sinh viên như soạn chuyên đề, hướng dẫn khoá luận tốt nghiệp, luận án thạc sĩ; góp phần bổ sung, hoàn thiện c

ĐẠI HỌC ọ ư ố c GIA HÀ NỘI

3 Đỗ Hùng Sơn (học viên Cao học)

4 Một sổ sinh viên ngành Đại số.

Hà n ộ i - 2 0 0 3 tr \ ) \ l 2 4 - À

4 M ộ t s ố sin h v iên n g à n h Đ ại số.

1 1 M ục tiêu và nội dung đề tài:

b) Phục vụ công tác giảng dạy, đào lạo và hướng dẫn nghicn cứu khoa học trong sinh viên như soạn chuyên đề, hướng dẫn khoá luận tốt nghiệp, luận án thạc sĩ; góp phần bổ sung, hoàn thiện các giáo trình Đại số đang giảng dạy.

“V ề các đại số s - tựa chính qui”.

c) 01 quyển “Bài tập Đại số và Hình học giải tích”, đề nghị xuất bản tại

N X B Đ ại học Q uốc gia Hà N ội.

d) 02 khoá luận tốt nghiệp đã bảo vệ;

01 luận án thạc s ĩ đang thực hiện.

1.3 K ết lu ậ n

Bằng v iệc hoàn thành đề tài N ghiên cứu khoa học “Các cấu trúc Đại

số và áp dụng” chúng tôi đã duy trì những hoạt động nghiên cứu khoa học

m ột cách thường xuyên, hệ thống và bổ ích, đã phục vụ đắc lực cho việc học tập và nghiên cứu khoa học trong sinh viên, góp phần đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy, đáp ứng yêu cầu của nhà ưường trong tình hình

hiện nay.

T ìn h h ìn h k in h p h í củ a để tài

Thu: Kinh phí Irường cấp 8 0 00.000 (lám triệu đổng).

Chi : Đã chi các khoản sau:

(Trần Trọng Huệ: 2.0 0 0 0 0 0 đ (Bài báo KH)

N guyễn Đức Đạt: 4 0 0 0 0 0 0 đ (Bài báo KH, viếl quyển BT Đại số và Hình học giải líc h ) )

ALGEBRAIC STRƯCTURES AND APPLICATIONS

QT 02 01

C oordinator:

Nguyen Duc Dat

Participants :

1 Prof Dr Tran Trong Hue

2 Dr Pham V iet Hung

3 D o Hung Son

4 Tran Nam Tien

5 Dinh Van Thuan

1.1 Aims and contents :

The projcct studics the algebraic structurcs such as groups, rings,

Iattices vvith the íollovving aims:

a) A pplying som e recent approaches for :

- S t u d y in g and a p p l y i n g radical th eo ry in the p r o b lc m o f

“cla ssiíy in g latlices”.

- Giving the radical characteristic o f somc ring classcs.

b) Giving aids to građuate education, training and research activities

such as vvriling text books and lecturer notes, supervising master

Ihcses, etc.

1 .2 Activities and results :

In this project, we have obtained thc follow ing results:

a) Extcnding the radical concept inừoduced previously to universal

algebras In particular, the results for lattices have been published in

paper: “Jacobson’s radical o f lattices”.

b) Studying radical o f K - algebras (K : commutative ring vvith unity),

givin g radical characteristic o f class o f s - quasi-regular algebras Result: scien tiíic paper “On the s - quasi-regular algebras”.

c) 01 text book “Problem in algebra and analytical geom etry”.

d) 02 B sc theses.

1.3 Conclusion :

In the scien tiíic research project QT 02 01, we have carried out

rcgular and useíul scicn tiíĩc aclivities in order to give ncw research rcsults

and contributions to the actual tcaching works.

7

Phần 2

NỘI DUNG CHÍNH

M ụ c lục

2 1 Mở đầu 9

2.2 Nội dung 11

2.3 Kết luận 12

Tài liệu tham khảo 13

2.1 Mở đầu

Vài nét v ế công tác giảng dạy và đào tạo ngành Đại sô'

Sau m ộ t s ố n ă m bị g iá n đoạn, từ k h o á 3 9 (n ă m 1 9 9 4 ), tại K h o a T o á n

- C ơ — T in h ọ c đã xuất h iện trở lại m ột s ố sin h v iê n n gà n h T o á n h ọ c S ố

sinh viên này, trong giai đoại 1, học c h u n g với lớp Toán — T in h ọ c ứng

d ụ n g , s a n g g ia i đ o ạ n 2 đ ư ợ c thành lập lớp riêng g ồ m 15 e m T ừ đ ó đ ến n ay,

các lớp sinh viên ngành Toán được thành lập nối tiếp nhau và do đó số sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp tại tổ Đại số - Hình học - Tô pô hàng năm đều được duy trì (xem bảng thống kê).

M ặt khác, năm 1994, Đại học Quốc gia Hà N ội được thành lập với

m ục tiêu đào tạo đa ngành, đa lĩnh vực, chất lượng cao V iệc hoàn thiện các khung chương trình và các bộ giáo trình được đẩy mạnh Tổ Đại số - Hình

h ọ c - T ồ p ô Irong g ia i đ o ạ n n à y đã ra c á c g iá o trình đại s ố quan trọng:

- Đại số và Hình học giải tích (2000 - Trần Trọng H uệ) (giáo trình

đành cho các k h o a phi t o á n ) ,

- Đại số Đại cương (2001 - Trần Trọng Huệ)

Một sô'đề tài nghiên cứu khoa học đã thực hiện

Đ ể đáp ứng yêu cầu đào tạo của nhà trường, Tổ Đại số - Hình học -

Tô pô đã thúc đẩy công tác nghiên cứu khoa học Ngoài những đề tài của Giáo sư N guyễn Hữu V iệt Hưng, nhóm nghicn cứu của chúng tôi đã Ihực hiện các đề tài:

- Phân loại các cấu trúc đại số, 1996, chủ trì: TS N guyễn Đ ức Đạt (cấp đại học Khoa học Tự n h i ê n ) ,

- Đại số và ứng dụng, 2001, chủ trì: PG S.TS Trần Trọng Huệ (cấp Đại học Q uốc gia Hà N ộ i )

Bằng các đề tài này chúng tôi đã duy trì các hoạt động N ghiên cứu khoa học để tiếp cận với các xu hướng nghiên cứu đang được quan tâm hiện nay, phục vụ m ột cách đắc lực cho công tác giảng dạy, đào tạo và góp phẩn thúc đẩy v iệc học tập và nghiên cứu khoa học trong sinh viên.

Đ ề lài QT.02.01: Các cấu trúc đại s ố và áp dụng

Trong đề tài N ghiên cứu khoa học này, chúng tôi quan tâm chủ yếu tới Lý thuyết căn, áp dụng nó cho việc nghiên cứu dàn và vành.

b) N g h i ê n cứu tính chất tựa chín h qui, c á c h ệ thức x á c đ ịnh că n củ a c á c

đại số, lổng quát hoá một cách có hệ thống các tính châ't chính qui và lựa chính qui đã được định nghĩa và nghicn cứu bởi các tác giả trước, đưa ra đặc trưng căn của lớp R các đại số s - tựa chính qui [5].

c) V iết quyển “Bài tập Đại số và Hình học giải tích”, bổ sung cho bộ giáo trình Đại s ố (vốn chưa có các quyổn bài tập).

Năm 1952, Amitsur [1] đã đưa ra khái niệm p - căn trên dàn đẩy đủ, trong đó p là H - quan hệ [1, 3, 7].

Ở đ â y , c h ú n g tôi áp d ụ n g khái n iệ m p - căn c h o c á c dàn T u y n h iê n ,

việc chỉ ra H - quan hệ p và p - căn thường khó Trước hết, chúng tôi đề

x u ấ t m ộ t H - q u a n h ệ p trên c á c dàn đ ầ y đủ và n g u y ê n tử, c h ứ n g m in h sự

tồn tại p - căn trên các dàn đó Để áp dụng cho lý thuyết dàn, ta xét các

dàn L có C(L) là dàn đối nguyên tử Căn Jacobson r(L) của dàn L được định

nghĩa bằng p - căn của dàn C *(L) - dàn đối ngẫu của C(L) V ậy căn Jacobson của dàn L được hiểu là giao của tập tất cả các tương đẳng tối đại của dàn L.

Căn Jacobson của dàn L có ý nghĩa trong việc phân loại các dàn mà trong đề tài này chúng tôi đã đạt được một kết quả quan trọng, đó là định lý:

“Dàn phân phối không tầm thường luôn là dàn r - nửa dơn” [3].

2 ) G iá o sư T rầ n T rọ n g H u ệ đ ề c ập tới c ăn c ủ a c á c đại s ố ư ê n v à n h g ia o

hoán, có đơn vị:

Trong lý thuyết vành, các tính chất tựa chính qui và chính qui đã

đ ư ợ c đ ư a ra v à đ ư ợ c n g h iê n cứu bởi n h iề u tá c g iả , c h ẳ n g h ạ n n h ư f - c h ín h

q u i [2], s - c h ín h q u y [6J T ro n g đ ề tài n à y , G S H u ệ đ ã đ ề x ư ớ n g k h á i n iệ m

đ ạ i s ố s - tự a c h ín h q u i, đ ư a ra đ iề u k iệ n c ầ n và đ ủ đổ m ộ t lớp c á c đ ạ i s ố s

- lựa c h ín h q ui là m ộ t lớp căn th eo n g h ĩa K u r o s h - A m itsu r T ừ đ ó đ ã x â y

11

dựng được các lược đồ xác định các lớp cãn bởi các chuỗi hình thức có dạng

|7 ] Sinh viên Đinh Văn Thuấn (Khoá 44) hoàn ihành khoá luận “Dàn các tương đẳng” cũng phục vụ cho đổ tài này [8].

4) H iện nay, các sinh viên đang học môn đại số cao cấp và đại số tuyến lính m ong muốn có một quyển Bài tập vừa sát chương trình, vừa hệ thống, vừa dỗ sử dụng để hoàn thành một môn học được cho là trừu tượng, khó nắm bắt Cuốn Bài tập Đại số và Hình học giải tích mà chúng tôi biên soạn, phần nào đáp ứng được nguyện vọng của sinh viên và bổ sung vào bộ giáo trình của Khoa.

2.3 K ết lu ận

Được sự tài trợ của Nhà trường và sự giúp đỡ của Phòng Khoa học - Công nghệ, Khoa Toán - Cơ - Tin học, đề tài QT 02 01 do chúng tôi chủ trì đã thành công tốt đẹp, đạt được các kết quả là :

2 bài báo khoa học ,

1 q u y ể n g iá o trình ,

2 k h o á luận tốt n g h iệ p .

Đ ổ tài còn có khả năng liếp tục phát triển và mở rộng.

Chúng tôi xin chân Ihành cảm ơn Nhà trường, Ban lãnh đạo Phòng Khoa học - C ông nghệ, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo điều kiện cho công tác nghiên cứu khoa học của chúng tôi Chúng tôi chân thành cảm ơn các đồng nghiệp và các thành viên trong đề tài đã nhiệt tình Iham gia và đóng góp rất nhicu đổ đề tài thành công tốt đẹp.

Tài liệu tham khảo

[ 1 ] s A Amitsur, General theory o f radicals I, Radicals in com plctc laltices, Amer J Math., 74 (1952), 774 - 786.

[2] R L Blair, A note on f - rcgularity in rings, Proc Amer Math Soc.,

13

Phần 3

PHỤ LỤC

Ph ần n à y tập hợp c á c tài liệu m in h chứ ng c h o n ộ i d u n g của phần 2

G ồ m c ó :

1) Bài báo khoa học :

- Căn Jacobson của d à n ,

tác g iả N g u y ễ n Đ ứ c Đ ạ t

2) Bài báo khoa học :

- V ề c á c đại s ố s — tựa ch ín h qui ,

tác g iả Trần T rọng H u ệ .

3) Q uyển Bài tập Đại số và Hình học giải tích ,

tác g iả N g u y ễ n Đ ứ c Đ ạ t

4 ) K hoá luận tốt nghiệp :

- M ột số vấn đề về căn trên dàn đầy đủ ,

tác g iả Trần N a m T iế n .

- D àn các tương đảng ,

tác g iả Đ in h V ă n T huấn

5 ) P h iế u đ ă n g k ý k ết quả.

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HẢ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI TẠP CHÍ KHOA HỌC s ố 4 NÁM 2002

CĂN JACOBSON CỬA DÀN

NGUYỄN ĐỨC DAT Khoa Toán - Cơ - Tin hoc Trường ĐH KHTN • ĐH QG Hà Nội

I M ỏ Đ Ẩ l

Lý thuyết cân đã đươc nghiên cứu rộng rãi cho vành", tại đó căn được định nghĩa dựa tiên các cấu trúc con đãc biệt, đó là các i-đê-an [4] Vì các 1-đẽ-an cùa vành K lâp thành dàn đầy đú C(K) nên thay cho căn cùa vành K ta có thế nói căn trẽn dàn C(K) Năm 1952, Amitsua [1] đã đưa ra khái niêm p-cãn trên dàn đáy đu, trong đó p là H- quan hệ (Định nghĩa 2.1) Tuv nhiên, việc chi ra H-quan hệ p và chứng minh sự tổn tại cúa p-cãn đói với một lớp dàn là một việc khó, vì thực chất, đó chính là việc chi ra một kiểu cân cụ thể.

Trong bài này, chúng tòi đề xuất một H-quan hệ p trên các dàn nguyên tử và chứng minh sự tổn tại p-cãn trên các dàn đó Kết quả này được áp dụng để nghiên cứu căn cùa dàn dựa trên các tương đắns cúa chứns Nếu dàn L có dàn các tương đán2 C(L) là dàn đối nguvên tứ thì căn Jacobson r(L) cùa L đươc định nghĩa bằng o-cãn của dàn C*(L) Căn r(L) tỏ ra là một còng cụ hữu ích trong bài toán về cấu trúc và phàn loại các dàn mà Định lý 2.10 là mõt kết quả thú vị.

II CÁC KHẢI NIÊM VÀ KẾT QUẢ

Trước hết, ta nhắc lai mòt sò' khái niệm và kết quả trong [1].

c luôn được hiểu là dàn đầy đủ với các phần tử nhò nhất và lớn nhất được ký hiệu lần lượt là 0 C và l c (hoặc 0 và 1).

Đ ịn h ng h ĩa 2.1 Quan hệ p h a i ngói trẽn dàn c dược gọi là H-quan hệ nếu :

(a) (a ,b)ep, a b e C = >a>b.

(c) (a.b)ep c > b =>(a v c , c) e p.

Nếu (u.b) €p ta nói a là p-phăn từ trẽn b, trong trường hợp b = 0 ra nói a là p- plỉấn tứ Dàn con A (đày đù) cùa c đươc gọi là p-nửa đơn nếu (X, 0A) € p, X 6 A chì

là p - phấn lừ trên b, đác biệt, khi b p 1 thì b là p - phấn từ.

Ta xét dàn c đầy đủ và cũng là dàn nguyên tử với tập các nguyên từ A = Ị t; I i € 11 Định nghĩa 2.4 Ta định nghĩa quan hệ p hai ngòi trên c như sau : a, b € c (a,b)

Dẻ dàng nhàn thây p thoả mãn (a) và (b) Giả sừ a b G c chúng được viết như ớ (2.4)

và c e c c > b Ta có a V c = (x V c) V ( V t ,) và c = X V c (vì X < b < c), vây (a V c , c)

J J

6 p tức p thoả mãn (c).

M ệnh đề 2.6 Dàn c dấy đù và nguyên tủ luôn luôn có p-căn.

ra chính là p-cân cùa c Theo (2.4) to là p-phần từ cần chi ra nó cũng là p - phần từ.

• a) Nếu lo = 1 thì lo p 1 theo (2.2) a).

b) Nếu to * 1, ta chì ra răng [to, 1] là p-nửa dơn Bãng phản chứng, giả sừ 3d > ^ , (d to) e p, suy ra 3x e c, to = X V to và d = X V to Vây to > X và do đó d = to, màu thuẩn với giả thiết d >

12

con như i-đê-an trên vành Vậy ta sẽ xét dàn các tương đấng C(L) của dàn L, nó là dàn

đầy đù với các phần tứ nhò nhất và lớn nhất được kv hiệu lấn lượt là A và X Nếu C(L) là

dàn nguyên tử (với nguvèn từ là các tương đấng nhỏ nhất khác A) thì cãn cúa dàn L được hiếu là p-cãn r(C(L), p) với p được định nghĩa như (2.4) Trong bài này ta mới chi quan tâm tới cãn Jacobson của dàn, được định nghĩa như sau*:

Định nghĩa 2.7 Già sử L là một dàn với C(L) là dàn đối ngu\én tử Khi đó r(C'(L),

p) dược gọi là cún Jacobson hav r-căn cùa dàn L và được kỷ hiệu là r(L) s ế u r(L) = A,

ta nói L là dàn r-nừa đơn.

Khi đó, C(Nj) s L, và C*(NS) 2 L4 VỚI L j , L 4 ờ hình (H.l) Vậy r(N5) = t Hơn nữa dàn thương là dàn 4 phần tử ( 0 X, z , 1 Ị và r = A (A trên dàn thương).

Dưới đây ta sẽ xét r-cãn cùa các dàn phân phối Trước hết ta có :

Bổ đề 2.9 Nếu p là dàn phán phoi và x y 6 p , x < y thì trên p có rương dẳnẹ §óm

dũng 2 lớp : X và y

lọc chưa y, khong chưa X *7 ^ 0 vì F; É 7 Dẻ dàng suv ra <7 với quan hệ c thoá mãn các điểu kiện cúa Bổ để Zom, vậy nó có phấn tử tối đai, đươc ký hiệu là F.

Ta lại dặt Jx = jz € p |z < x | i-đê-an chính sinh bới X Hiến nhiên J n F = 0 Vày tập các i-đê-an chứa X và rời nhau với F là tãp khác rỗng, theo Bổ đề Zom có phán tư tối đai được ký hiệu là J.

Tóm lại, ta có J n F = 0 và * € J, y e F Ta chứng minh J u F = p Băng phan

i) Ta chì ra 3j 6 J, j V z e F Thật vậv, nếu Vj 6 J, j V z ểF, ta Iấv K = ( J u | z| ) , dàn con sinh bời J và z hiển nhiên K n F = 0 Đãt J, = (t e p 1 3k € K, t < k ) Ta thấy J| là i-đê-an và Jị n F = 0 vì nếu 3f e Jị n F thì f < k 6 K (3k), suy ra k Ễ F màu thuẫn với cách lấy K Vậv Jj n F = 0 và J, D J, mâu thuẫn với tính tối đai cùa J.

ii) Một cách tương tư, ta cũng chí ra được 3f e F, z A f e J.

Từ i), ii) và từ tính chất phân phối cúa p, suy ra :

(z V j ) A f = (z A f) V (j A 0 G F n J.

Điều nàv mâu thuẫn với F ^ J = 0 Phép chúng minh bằng phan chứng kết thúc, ta

có J u F = p hay J, F làm thành một phàn hoach cùa p Vậy có quan hệ tương đương gồm 2 lớp X = J ỹ = F và vì J là i-đê-an, F là lọc dễ dàng suy ra nó là tươno đẩng.

Bổ đề được chứng minh

Đ i n h Iv 2.10 D àn p h â n p h ố i có hơn 1 phấn tủ là r-n ử a dơn.

a) Ta chứng tò p có r-căn Theo Bổ đề 2.9, p có các tương đẳng 2 lớp, vì chi có 2 lớp nên các tương dẳng này là lối đại Vây C(P) có đối nguyên từ Giả sử a là tương đãng

và a * t- Dàn thương Ỳa cũnê ^ p^ân p^ỏ‘ V1 n° c° 4 uá I phần tử nên có tương đẳng

2 lớp tương đảng này được viẻt dưới dạng Ya ’ tronỗ đó b là tương đẩng trên P v à a c b

14

Hiến nhiên b là tương đẳng 2 lớp VậymỒiVe*C(P), a * X đéu được chặn trẽn bởi một đối nguyên từ suy ra C(P) làJidàn đối nguyên tử, do đó tổn tại p-cần.trèn dàn C*(P), tức p

có r-cãn.

b) Ta có r(L) = V = A t i = Ht, trong đó 11 i e I là các tương đẳng 2 lớp Ta chứng minh P|t = A Giả sừ X ỵ e C; X 2 y Nêu X < V hoăc y < X thì có tương đảng 2

lớp các dàn r-nửa đơn chứa tất cá các dàn phân phối, vì vậy khái niêm r-cãn còn đươc

tiếp tục áp dung cho việc nghiên cứu cấu trúc các dàn k h ôns phàn phối

T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O

[1] Amitsua S.A General theory of rađicals /, Radicals in compleĩe lattices, Amer

J Math 74(1952), 7 7 4 - 786.

[2] Cohn P.M ưniversal algebia, Harper and Row, 1965.

[3] Grảtzer G General laỉtice theory. Akademie-Verlag, Berlin, 1978.

[4] Szász R.A Radicals of nngs. Akademiai K;adó Budapest 1981.

T Ó M T Á T

Bài báo nơhiẽn cứu khái niệm căn cùa dàn Tác giả đã áp dung khái niêm p-cãn cua Amitsua (1952) tronơ n°hiẽn cứu dàn các tương đẳng của dàn, nhờ đó đưa ra đinh nghĩa cãn Jacobson r(L) của các dàn L có tương đảng tối đai đồng thời chi ra áp dung hữu ích cùa cân r(L) trong bài toán về cấu trúc và phân loai các dàn.

SUMMARY

ON JACOBSON’S RADICAL OF LATTICES

N G Ư Y E N DL'C D A T

The paper deals with the definition and application of the radical of lattices It is

shovvn that the p- r adi cal proposed by Am i t s ua (1952) can be used for siudying the

lattice of congruences on lattices Following it Jacobson’s radical, denoted by r(L), is defined for lattice L vvhich has maximal congruences Furthermore, a useíul application

o f J a c o b s o n ’s radical for solving the probl em of structure and classification of lattices is

investigated.

16