Các đồng cấu của một số cấu trúc đại số và ứng dụng

Lý do chọn ñề tài khóa luận Trong chương trình Toán ở bậc ñại học, chúng ta ñã ñược nghiên cứu về các cấu trúc ñại số như nửa nhóm, nhóm, vành, trường.... ðể so sánh các cấu trúc ñại số

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài khóa luận

Trong chương trình Toán ở bậc ñại học, chúng ta ñã ñược nghiên cứu về các cấu trúc ñại số như nửa nhóm, nhóm, vành, trường trong ñó, ba cấu trúc nhóm, vành, trường thường gặp trên những tập hợp số có mặt trong chương trình phổ thông từ cấp Tiểu học, Trung học cơ sở ñến Trung học phổ thông Các cấu trúc ñại số này có mối quan hệ mật thiết với nhau ðể so sánh các cấu trúc ñại số cùng loại, ta có một công cụ là ñồng cấu, chẳng hạn ñể so sánh cấu trúc giữa hai nửa nhóm ta có ñồng cấu nửa nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai nhóm ta có ñồng cấu nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai vành ta có ñồng cấu vành ðồng cấu nối một cấu trúc này với một cấu trúc khác, là một công cụ quan trọng ñể nghiên cứu một cấu trúc qua quan hệ với một cấu trúc khác Các ñồng cấu có mối quan hệ mật

thiết với nhau và có nhiều ứng dụng trong việc giải một số bài toán ñại số

ðể tìm hiểu cấu trúc của cấu trúc X, người ta thường tìm cách thiết lập một ñồng cấu giữa cấu trúc X và một cấu trúc Y quen biết Nếu ñồng cấu tìm ñược là một ñẳng cấu thì có thể coi X là một “nhân bản” của Y về mặt cấu trúc Nếu ñồng cấu chỉ là một ñồng cấu tầm thường thì quan hệ giữa X và Y cũng chỉ

là một quan hệ tầm thường, không mang lại một thông tin mới nào về X

Nếu ta thiết lập ñược một ñẳng cấu giữa hai cấu trúc hữu hạn, ta sẽ suy ra ñược số phần tử của cấu trúc này bằng số phần tử của cấu trúc kia Như vậy, ta

ñã tính ñược số phần tử của một cấu trúc ñại số rất khó khảo sát thông qua việc tính số phần tử của một cấu trúc rõ ràng hơn

Hơn nữa, việc thay một phép toán phức tạp bằng một phép toán ñơn giản hơn là một lợi ích lớn mà khái niệm ñẳng cấu mang lại Chẳng hạn, xét ñẳng cấu:

Vì log là một ñẳng cấu từ nhóm nhân *

+

ℝ lên nhóm cộng ℝ nên nó cho phép ta thay phép nhân (mà việc nhân hai số lớn rất phức tạp) bằng phép cộng

Cụ thể ñể nhân hai số thực dương x và y với nhau, ta lấy logarit cơ số 10 của x

và y (dùng bảng logarit), sau ñó làm phép cộng log log logx + y = ( )xy Biết ( )

log xy , dùng bảng logarit ta ñược tích xy

Ngoài ra, các ñồng cấu còn nhiều ứng dụng khác như chứng minh tính chất của một cấu trúc ñại số nào ñó, tính số chiều của một không gian vectơ, chứng minh sự tồn tại của một phần tử thỏa mãn ñiều kiện cho trước…

Là một sinh viên sư phạm Toán, trên cơ sở ñã ñược trang bị những kiến thức nền tảng về ñại số và với mong muốn tiếp tục nghiên cứu các ñồng cấu ñể phát hiện thêm những mối liên hệ, ñồng thời tìm những ứng dụng của ñồng cấu trong một số vấn ñề của toán học ở bậc ñại học Chính vì vậy chúng tôi ñã lựa

chọn ñề tài “Các ñồng cấu của một số cấu trúc ñại số và ứng dụng” cho khóa

luận tốt nghiệp ñại học của mình

2 Mục tiêu khóa luận

• Phân tích và trình bày một cách hệ thống một số tính chất của ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun

• Tìm ra một số mối quan hệ giữa ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun

• ðưa ra một số ứng dụng của ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun trong giải các bài toán ñại số

3 Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu các tính chất cơ bản của của ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun

• Xây dựng một ñồng cấu giữa hai cấu trúc ñại số cùng loại

• Nghiên cứu ứng dụng của ñồng cấu trong việc khảo sát một số bài toán ñại số

4 Phương pháp nghiên cứu

ðể thực hiện khóa luận này, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận Dựa theo phương pháp này, chúng tôi tiến hành ñọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan ñến các tính chất cơ bản của ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun mà trọng tâm là các ñịnh lí về thiết lập ñẳng cấu Từ ñó hệ thống những kiến thức cơ bản về ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun Tiếp theo, dựa vào những kiến thức cơ bản

ñã nêu ở chương 1, chúng tôi nghiên cứu về cách xây dựng một ñồng cấu trên nền tảng một ánh xạ cho trước Cuối cùng, dựa vào các ñịnh lí về ñồng cấu, chúng tôi vận dụng vào giải và khai thác một số bài toán ñại số

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

● ðối tượng: ðồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun

● Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu các tính chất

cơ bản về ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun như cấu trúc của các tập ảnh, tạo ảnh qua một ñồng cấu; tính ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu và một số ứng dụng ban ñầu của chúng vào khảo sát một số bài toán ñại số trong phạm vi chương trình toán bậc ñại học

6 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu về các ñồng cấu của một số cấu trúc ñại số và ứng dụng trong giải các bài toán ñại số Với bản thân, nghiên cứu về các ñồng cấu của một số cấu trúc ñại số giúp tôi hiểu rõ hơn về các ñồng cấu của các cấu trúc ñại số và vận dụng vào những bài tập cụ thể

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài các phần: Mục lục, mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận ñược chia thành ba chương:

Chương 1 Các phép ñồng cấu

Chương 2 Xây dựng ñồng cấu từ một ánh xạ cho trước

Chương 3 Ứng dụng của các ñồng cấu

Chương 1

CÁC ðỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ðẠI SỐ

Chương này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun như ñịnh nghĩa, các ñịnh lí

và mệnh ñề về ñồng cấu, trong ñó có ñưa ra một số ví dụ và nhận xét

1.1 ðồng cấu nhóm

1.1.1 ðịnh nghĩa và ví dụ

ðịnh nghĩa 1.1 [5] Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một

nhóm Y sao cho f ab( )= f a f b( ) ( ) với mọi a b X, ∈ Nếu X Y = thì ñồng cấu

f gọi là một tự ñồng cấu của X

Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh thì gọi là một ñơn cấu nhóm, hay một phép nhúng của nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một toàn ánh gọi là một toàn cấu nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một song ánh gọi là một ñẳng cấu nhóm; một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự ñẳng cấu

Nếu có một ñẳng cấu nhóm :f X → thì ta nói X ñẳng cấu với Y và Y

viết X Y≅ Quan hệ ñẳng cấu là một quan hệ tương ñương

Ví dụ 1.1 [5] Giả sử , X Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ

→

֏

với e là phần tử trung lập của Y , là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường

Ví dụ 1.2 [5] Ánh xạ ñồng nhất 1X của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự

là ánh xạ ngược của log, là một ñẳng cấu

Ví dụ 1.6 [5] Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X Ánh xạ

1.1.2 Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu nhóm

ðịnh lí 1.1 [5] Giả sử X Y Z, , là những nhóm; f X: → và : Y g Y → là Z những ñồng cấu Thế thì ánh xạ tích

:

cũng là một ñồng cấu ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu

ðịnh lí 1.2 [5] Nếu f X: → là một ñẳng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y Y thì ánh xạ ngược f− 1:Y →X cũng là một ñẳng cấu

ðịnh lí 1.3 [5] Giả sử :f X → là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một Y nhóm Y Thế thì

(i) f A( ) là một nhóm con của Y ;

(ii) f− 1( )B là một nhóm con chuẩn tắc của X

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì f A( ) có là nhóm con

chuẩn tắc của Y không? Khi nào thì f A( ) là nhóm con chuẩn tắc của Y ? Ta có

nhận xét sau

Nhận xét 1.1 Nếu f là một toàn cấu và A là một nhóm con chuẩn tắc của X

thì f A( )cũng là một nhóm con chuẩn tắc của Y

Thật vậy, giả sử f là một toàn cấu và A là một nhóm con chuẩn tắc của X

Ta ñã biết nếu A là một nhóm con của X thì f A( ) là một nhóm con của Y Giả sử y Y∈ và b∈ f A( ), tồn tại x X∈ sao cho ( )f x = Xét phần tử y

y by− = f x− f a f x = f x ax− ∈ f A vì x ax A− ∈

Vậy f A( ) là một nhóm con chuẩn tắc của Y

Nếu f không toàn cấu và A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì f A( )

không là nhóm con chuẩn tắc của Y Thật vậy, ta xét ví dụ sau ñây

a) Cho Y là một nhóm Lấy X là một nhóm con không chuẩn tắc của Y

:

f X → là một ñơn cấu chính tắc và A X Y = ; vậy A là nhóm con chuẩn tắc

của X và f A( )= X là nhóm con không chuẩn tắc của Y

f ℤ = không là nhóm con chuẩn tắc của S3

ðặc biệt, f là một ñẳng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm Y , nếu A là

một nhóm con chuẩn tắc của X thì ( ) f A là nhóm con chuẩn tắc của Y , khi ñó,

( )

A→ f A là một song ánh giữa hai tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X và

của Y

Hệ quả 1.1 [5] Giả sử f: X → Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm

Y Thế thì Im f là một nhóm con của Y và Ker f là một nhóm con chuẩn tắc của

X

Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng A

là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu

:

f X → với Y là một nhóm nào ñó mà ker f Y = A

ðịnh lí 1.5 [5] Giả sử f: X → Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm

Y Thế thì

(i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im f Y = ;

(ii) f là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu ker f ={ }e X

f ℤ→ℤ ñể cho 'f f =idℤ thì

1= f f' (1)= f'(2)= f(1)+ f(1) 2 (1)= f

Trong ℤ không có phần tử x nào nghiệm ñúng hệ thức 2 x= ðiều 1

vô lí này chứng tỏ f không có nghịch ñảo trái

b) Phép chiếu chính tắc :ϕ ℤ→ℤ/ 2 , ( ) [ ]ℤ ϕ x = x , là một toàn cấu không

có nghịch ñảo phải Thật vậy, giả sử phản chứng có ñồng cấu : / 2

ψ ℤ ℤ→ℤ ñể cho ϕψ =idℤ ℤ/2 Ta có [1] [1] [2] [0] 0+ = = = trong / 2

ℤ ℤ Do ñó 2 ([1])ψ =ψ([1])+ψ([1])=ψ(0) 0= trong ℤ Suy ra ([1]) 0

ψ = ∈ ℤ Từ ñó ta có

/2

[1]=idℤ ℤ([1])=ϕψ([1])=ϕ(0) 0=

Nghịch lí này chứng tỏ ϕ không có nghịch ñảo phải

(ii) ðồng cấu f là một ñơn cấu và Im f = f X( )

Hệ quả 1.2 [5] Với mọi ñồng cấu : f X → từ một nhóm X ñến một nhómY , Y

ta có:

( ) / Ker

ðịnh lí trên có thể làm mạnh thêm bằng hai ñịnh lí sau ñây:

ðịnh lí 1.7 [2] Giả sử :f X → là một ñồng cấu nhóm, K là một nhóm con Y chuẩn tắc của X và p K:X →X K/ là phép chiếu chính tắc ðiều kiện cần và

ñủ ñể có một ñồng cấu nhóm f ':X K/ → sao cho Y f = f p' K là K ⊂Ker f Khi ñó, f ' ñược xác ñịnh duy nhất

ðịnh lí 1.8 [2] Giả sử f X: → X' là một ñồng cấu nhóm, K' là một nhóm con chuẩn tắc của X', và K = f− 1( ')K Khi ñó, K cũng là một nhóm con chuẩn tắc

và có duy nhất một ñơn cấu nhóm f X K: / → X K'/ ' làm giao hoán biểu ñồ sau:

Hệ quả 1.3 [2] Giả sử K là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi ñó mỗi

nhóm con chuẩn tắc của G K/ ñều có dạng H K/ trong ñó H là một nhóm con chuẩn tắc của G chứa K Hơn nữa / G H ≅( / ) / (G K H K/ )

Hê quả 1.4 [2] Giả sử H và K là các nhóm con của G Nếu H ñược chứa trong

nhóm chuẩn hóa của K trong G thì H ∩K là một nhóm con chuẩn tắc của H và

với mọi a, b ∈X Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X

Nhận xét 1.3 [5] Ta không ñòi hỏi mọi vành ñều có ñơn vị, nên không bắt buộc

mọi ñồng cấu vành :f X → phải có tính chất là (1 ) 1Y f X = , ngay cả trong Y

trường hợp X và Y có ñơn vị (tương ứng là 1 X và 1Y) Tuy nhiên, nếu f ≠ 0

và Y là một miền nguyên thì từ hệ thức (1 ) (1 ) f x f X = f(1 )X và suy ra rằng (1 ) 1X Y

Một ñồng cấu vành ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu vành (hay một phép nhúng vành)

Một ñồng cấu vành ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu vành

Một ñồng cấu vành ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một ñẳng cấu vành Nếu có một ñẳng cấu vành :f R→ 'R thì ta nói vành R ñẳng cấu với

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc

Ví dụ 1.9 Ánh xạ ñồng nhất 1 X của một vành X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X

Ví dụ 1.10 [5] Giả sử A là một iñêan của một vành X Ánh xạ

Ví dụ 1.12 [5] Phép chiếu tự nhiên π:ℤ→ℤ/nℤ, ( )π x =[ ]x , là một ñồng cấu vành, ñối với mọi n≥ 0

1.2.2 Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu vành

ðịnh lí 1.9 [5] Giả sử X, Y, Z là những vành và :f X → và : Y g Y → là Z những ñồng cấu Thế thì ánh xạ tích

:

cũng là một ñồng cấu ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu

(i) f A là một vành con của Y ; ( )

(ii) f − 1( )B là một iñêan của X

Vậy ( )f I là một iñêan của Y

Nếu f không là toàn cấu và A là iñêan của X thì ( ) f A không là iñêan của Y

Thật vậy, ta xét ví dụ sau ñây:

Cho Y là một vành, X là một vành con của Y , X không là iñêan của Y

Xét ñơn cấu chính tắc :f X → Y

Lấy A X= , khi ñó A là một iñêan của X và ( ) f A =X là vành con của Y nhưng không là iñêan của Y

Chẳng hạn :f ℤ→ℚ

n֏n

là ánh xạ nhúng tự nhiên từ vành số nguyên ℤ vào trường số hữu tỉ ℚ Tuy nhiên ℤ là iñêan của ℤ nhưng ( )f ℤ không là iñêan của ℚ

Nhận xét 1.5 Nếu P là một iñêan nguyên tố của Y thì f− 1( )P là một iñêan

nguyên tố của X Kết quả này không còn ñúng nếu ta thay giả thiết “nguyên tố”

bằng giả thiết “tối ñại”

Thật vậy, P là iñêan của Y suy ra f− 1( )P là một iñêan của X

Giả sử hai phần tử x x1, 2 thuộc X sao cho 1

Nếu P là iñêan tối ñại của Y thì không thể kết luận f− 1( )P là iñêan tối ñại của

Hệ quả 1.5 [5] Giả sử : f X → là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y

Y Thế thì Im f là một vành con của Y và Kerf là một iñêan của X

Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng A

là một iñêan của vành X ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu : f X → với Y là Y

một vành nào ñó mà ker f = A

ðịnh lí 1.12 [5] Giả sử :f X → là một ñồng cấu từ một vành X ñến một Y vành Y Thế thì

(i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im f = ; Y

(ii) f là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf ={ }0

(iii) f là một ñẳng cấu nếu và chỉ nếu f có nghịch ñảo (tức là có một

ñồng cấu vành f Y': →X sao cho f f' =id X , ff '=id Y )

Các mệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng

(ii) ðồng cấu f là một ñơn cấu và Im f = f X( )

Hệ quả 1.6 [5] Với mọi ñồng cấu : f X → là từ một vành X ñến một vành Y

Y , ta có

Mệnh ñề 1.3 [2] Giả sử : f X → là một ñồng cấu vành và A là một iñêan Y của X ðiều kiện cần và ñủ ñể có một ñồng cấu vành f X A: / → sao cho Y

f = f p , trong ñó p X: →X A/ là phép chiếu chính tắc, là A⊂Kerf Khi ñó,

f ñược xác ñịnh duy nhất

ðịnh lí ñồng cấu vành có thể ñược làm mạnh hơn như sau:

Mệnh ñề 1.4 [5] Giả sử : f X →X'là một ñồng cấu vành và A' là một iñêan của X , và ' A = f− 1( ')A Khi ñó, có duy nhất một ñơn cấu vành

'

'

Hệ quả 1.7 [2] Giả sử A là một iñêan của vành X Khi ñó mỗi iñêan của vành

thương X A ñều có dạng / B A, trong ñó B là một iñêan của X chứa A Hơn /

ðịnh lí 1.14 [5] (ðịnh lí Trung Hoa về dư) Giả sử X là một vành giao hoán, có

ñơn vị, và ( )A i 1≤ ≤i n là n iñêan của X sao cho A i +A j =X với i ≠ j Lúc ñó ta có

ðịnh lí Trung Hoa về dư thường ñược áp dụng cho vành các số nguyên ℤ Giả

sử m là một số nguyên lớn hơn 1, và giả sử

i

k r i i

ðịnh nghĩa 1.4 [6] Một ánh xạ f từ A-môñun M vào A-môñun M’ ñược gọi là

một ñồng cấu A-môñun hay ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau:

(i) f x y( + )= f x( )+ f y( )với mọi x y M, ∈ ;

(ii) f ax( )=af x( )với mọi a A ∈ và với mọi x M∈

Nếu ñồng cấu f là một ñơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng

ñược gọi là một ñơn cấu, toàn cấu, ñẳng cấu Hai A-môñun M và M' ñược gọi

là ñẳng cấu, và viết là M ≅M ', nếu tồn tại một ñẳng cấu A-môñun từ M ñến

và gọi Im f là ảnh của ñồng cấu f , Ker f là hạt nhân hay hạch của ñồng cấu

f Coker f =M’ / Im f ñược gọi là ñối hạch của f , còn Coim f =M Kerf/

ñược gọi là ñối ảnh của f

Nhận xét 1.6 [6] Cho ñồng cấu các A-môñun :f M →M' Khi ñó f là ñồng cấu không khi và chỉ khi Ker f =M ; f là một toàn cấu khi và chỉ khi

Imf =M', và f là một ñơn cấu khi và chỉ khi Ker f ={ }0M Do f cũng là một ñồng cấu giữa hai nhóm abel M và M', nên ( )f − = −x f x( ) với x M∈ , và

Ví dụ 1.16 [6] Cho N là một môñun con của A-môñun M , thì ta có môñun

thương M N/ Khi ñó, quy tắc :p M →M N/ cho bởi ( )p x = là một ñồng x

cấu A-môñun Hơn thế nữa, p còn là một toàn cấu, ñược gọi là toàn cấu chiếu chính tắc Toàn cấu này có Ker p N=

Mệnh ñề ñơn giản dưới ñây sẽ giúp cho việc kiểm tra ñồng cấu có phần nhanh chóng hơn kiểm tra qua ñịnh nghĩa

Mệnh ñề 1.5 [6] Ánh xạ : f M →M' là một ñồng cấu các A-môñun khi và chỉ khi

f ax by+ =af x +bf y với mọi a b A, ∈ và mọi , x y M∈

Cho M và N là các A-môñun, kí hiệu Hom M N A( , ) là tập tất cả các ñồng cấu từ M vào N Trong trường hợp A là một vành giao hoán, thì với mọi

Tập Hom M N A( , ), với các phép toán xác ñịnh như vậy, trở thành một A-môñun, ñược gọi là môñun các ñồng cấu từ M ñến N

Nếu vành A không giao hoán thì Hom M N A( , ) chỉ là một nhóm abel với phép cộng ñồng cấu

1.3.2 Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu môñun

Mệnh ñề 1.6 [6] Nếu các ánh xạ : f M →M ' và là hai ñồng cấu các A-môñun, thì ánh xạ tích gf cũng là một ñồng cấu A-môñun từ M và M ''

ðịnh lí 1.15 [6] Cho :f M →M ' là một ñồng cấu các A-môñun Khi ñó ta có các khẳng ñịnh sau:

(i) Nếu ' N là một môñun con của M', thì f − 1( ')N là một môñun con của

M , trường hợp riêng Ker f là một môñun con của M

(ii) Nếu N là một môñun con của M , thì ( ) f N là một môñun con của

'

M , trường hợp riêng Im f là một môñun con của M '

(iii) f là ñơn cấu khi và chỉ khi Ker f = 0

Hệ quả 1.9 [6] Cho : f M →N là một ñồng cấu các A-môñun

Khi ñó ta có M / Ker f ≅Im f , và nếu f là toàn cấu thì M / Ker f ≅N

Hệ quả 1.10 [6] (ðịnh lí ñẳng cấu Nother thứ nhất)

Cho P là một môñun con của N và N là một môñun con của môñun M Khi ñó ta có ñẳng cấu

Hệ quả 1.11 [6] (ðịnh lí ñẳng cấu Noether thứ hai)

Nếu M và N là hai môñun con của cùng một môñun thì ta có

(M +N)/ N ≅M / (M ∩N)

Chương 2

XÂY DỰNG ðỒNG CẤU TỪ MỘT ÁNH XẠ CHO TRƯỚC

Chương này ñưa ra một số mệnh ñề về xây dựng ñồng cấu giữa các cấu trúc ñại số từ một ánh xạ cho trước, trong ñó có ñưa ra một số ví dụ minh họa; tìm ra một số mối liên hệ giữa ñồng cấu nhóm, ñồng cấu vành và ñồng cấu môñun

2.1 Xây dựng ñồng cấu nhóm từ một ánh xạ cho trước

Mệnh ñề 2.1 Giả sử X là một nhóm, Y là một tập hợp, : f X → là một song Y ánh Khi ñó ta có thể trang bị phép toán ñể Y là một nhóm và f là một ñẳng cấu nhóm

+) ðặt e Y = f e( )X Khi ñó, y Y∀ ∈ ta có

1

1

( ( ) ( ))

( ( ))

( ( ))

Y X X X e y f e y f f f e f y f e f y f f y y − − − − = = = = = Tương tự ta có *y e Y = , y Y y ∀ ∈ Vậy Y có phần tử trung lập e Y +) y Y∀ ∈ , ñặt 1 ( 1 1) ( ) y− = f f− y − Suy ra ta có ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 * * ( ) ( ) ( )

( )

X Y

f e e

−

−

=

= Tương tự ta cũng có y− 1*y e= Y

Vậy mọi y Y∈ , 1 ( 1 1)

( )

y− f f− y −

∃ =   sao cho y y* − 1= y− 1*y e= Y

Do ñó Y là một nhóm và f là một ñẳng cấu nhóm

Mệnh ñề 2.2 Giả sử , X Y là các nhóm X là nhóm tự do sinh bởi cơ sở là tập S

{ 1, , ,2 n}

S = s s s f X: → là một ánh xạ Y

Khi ñó f có mở rộng thành ñồng cấu f X: → Y

1 2 1

1 2 k ( ) ( )1 i i k

với εi = ±1,i=1, ;k εi j = ±1,s i j ∈S j, =1,k

Dễ chứng minh ñược f là một ñồng cấu

Mệnh ñề 2.3 Cho G và ' G là hai nhóm, ánh xạ f S: →G', trong ñó S là tập sinh của G Khi ñó nếu tồn tại ñồng cấu F G: →G’ sao cho F S = thì F là f duy nhất

k n n

k n

Ví dụ 2.1 Nhóm cộng ℤ là nhóm cyclic sinh bởi S ={ }1 ; (ℝ*,.) là một nhóm Với mỗi ánh xạ f S: → ℝ Khi ñó tồn tại duy nhất một ñồng cấu * F:ℤ→ℝ*

sao cho F S= f

Thật vậy, xét f S: → ℝ *

1֏1

Nên ( )F a =g a( ), với mọi a thuộc ℤ

Vậy F = hay F là duy nhất g

Mệnh ñề 2.4 Cho X là nhóm sinh bởi tập S với S={x }i i I∈ , Y là nhóm bất kỳ

và f X: → , : Y g X → là các ñồng cấu nhóm Khi ñó f Y = khi và chỉ khi g

ðiều kiện ñủ Nếu f x( )i =g x( )i , ∀i I ∈ ta phải chứng minh f = Thật g

vậy, với mọi x thuộc X ta có 1 2

1n 2n n k

k

x x x= x ; x i∈S i, =1, ; ,k k n i ∈ℤ ; i I∈ Thế thì

k n

Nên ( )f x =g x( ), với mọi x thuộc X Vậy f = g

Mệnh ñề 2.5 Tập hợp các số tư nhiên ℕ với phép cộng là một nửa nhóm

Giả sử G là một nhóm f :ℕ→G là một ñồng cấu nửa nhóm Khi ñó f mở rộng

ñược duy nhất thành ñồng cấu nhóm

Từ ñó suy ra: f '(− =n) f(− =n) f n( )− 1

Do ñó f = f '

Khái quát: Giả sử A là một nửa nhóm có luật giản ước, có phần tử ñơn vị B

là nhóm ñối xứng của A Coi A ⊂ G là một nhóm : B f A → là một ñồng G nửa nhóm Khi ñó f có thể mở rộng duy nhất thành ñồng cấu f B: → G

Ta mở rộng f thành ánh xạ f :ℤ→ℝ\ 0{ }

3

13

n

n

n n

−

֏

֏ n∀ ∈ ℕ +,∀m n, ∈ℕ ta có: (f m n+ )= f m n( + ) 3= m n+ =3 3m n = f m f n( ) ( )

f− b f− b lần lượt là tạo ảnh của b1 và b2

Khi ñó, B cùng với hai phép toán trên là một vành

A A

Suy ra e B+ = +b b e B = b

Do ñó B có phần tử trung lập là e B

.

A B

f e e

n n

n n

n n

Giả sử F A c: [ ]→ và ': [ ]B F A c → là các ñồng cấu vành với c là phần tử B

siêu việt trên A

Khi ñó ta cũng có: F =F'⇔F c( )=F c'( ) và F A=F' A

2.3 Xây dựng ñồng cấu môñun từ một ánh xạ cho trước

Mệnh ñề 2.7 Cho M là một A-môñun, ( , ) N + là một nhóm abel, : f M →N là một ñẳng cấu nhóm Khi ñó ta có thể trang bị một phép nhân ngoài ñể N một A-môñun và f M: →N là một ñẳng cấu