Các đồng cấu của một số cấu trúc đại số và ứng dụng

1 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài khóa luận Trong chương trình Toán ở bậc ñại học, chúng ta ñã ñược nghiên cứu về các cấu trúc ñại số như nửa nhóm, nhóm, vành, trường trong ñó, ba cấu trúc nhóm, vành, trường thường gặp trên những tập hợp số có mặt trong chương trình phổ thông từ cấp Tiểu học, Trung học cơ sở ñến Trung học phổ thông. Các cấu trúc ñại số này có mối quan hệ mật thiết với nhau. ðể so sánh các cấu trúc ñại số cùng loại, ta có một công cụ là ñồng cấu, chẳng hạn ñể so sánh cấu trúc giữa hai nửa nhóm ta có ñồng cấu nửa nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai nhóm ta có ñồng cấu nhóm, so sánh cấu trúc giữa hai vành ta có ñồng cấu vành ðồng cấu nối một cấu trúc này với một cấu trúc khác, là một công cụ quan trọng ñể nghiên cứu một cấu trúc qua quan hệ với một cấu trúc khác. Các ñồng cấu có mối quan hệ mật thiết với nhau và có nhiều ứng dụng trong việc giải một số bài toán ñại số. ðể tìm hiểu cấu trúc của cấu trúc X, người ta thường tìm cách thiết lập một ñồng cấu giữa cấu trúc X và một cấu trúc Y quen biết. Nếu ñồng cấu tìm ñược là một ñẳng cấu thì có thể coi X là một “nhân bản” của Y về mặt cấu trúc. Nếu ñồng cấu chỉ là một ñồng cấu tầm thường thì quan hệ giữa X và Y cũng chỉ là một quan hệ tầm thường, không mang lại một thông tin mới nào về X. Nếu ta thiết lập ñược một ñẳng cấu giữa hai cấu trúc hữu hạn, ta sẽ suy ra ñược số phần tử của cấu trúc này bằng số phần tử của cấu trúc kia. Như vậy, ta ñã tính ñược số phần tử của một cấu trúc ñại số rất khó khảo sát thông qua việc tính số phần tử của một cấu trúc rõ ràng hơn. Hơn nữa, việc thay một phép toán phức tạp bằng một phép toán ñơn giản hơn là một lợi ích lớn mà khái niệm ñẳng cấu mang lại. Chẳng hạn, xét ñẳng cấu: * log : log x x + → ℝ ℝ ֏ 2 Vì log là m ộ t ñẳ ng c ấ u t ừ nhóm nhân * + ℝ lên nhóm c ộ ng ℝ nên nó cho phép ta thay phép nhân (mà vi ệ c nhân hai s ố l ớ n r ấ t ph ứ c t ạ p) b ằ ng phép c ộ ng. C ụ th ể ñể nhân hai s ố th ự c d ươ ng x và y v ớ i nhau, ta l ấ y logarit c ơ s ố 10 c ủ a x và y (dùng b ả ng logarit), sau ñ ó làm phép c ộ ng ( ) log log log x y xy + = . Bi ế t ( ) log xy , dùng b ả ng logarit ta ñượ c tích xy . Ngoài ra, các ñồ ng c ấ u còn nhi ề u ứ ng d ụ ng khác nh ư ch ứ ng minh tính ch ấ t c ủ a m ộ t c ấ u trúc ñạ i s ố nào ñ ó, tính s ố chi ề u c ủ a m ộ t không gian vect ơ , ch ứ ng minh s ự t ồ n t ạ i c ủ a m ộ t ph ầ n t ử th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n cho tr ướ c… Là m ộ t sinh viên s ư ph ạ m Toán, trên c ơ s ở ñ ã ñượ c trang b ị nh ữ ng ki ế n th ứ c n ề n t ả ng v ề ñạ i s ố và v ớ i mong mu ố n ti ế p t ụ c nghiên c ứ u các ñồ ng c ấ u ñể phát hi ệ n thêm nh ữ ng m ố i liên h ệ , ñồ ng th ờ i tìm nh ữ ng ứ ng d ụ ng c ủ a ñồ ng c ấ u trong m ộ t s ố v ấ n ñề c ủ a toán h ọ c ở b ậ c ñạ i h ọ c. Chính vì v ậ y chúng tôi ñ ã l ự a ch ọ n ñề tài “Các ñồng cấu của một số cấu trúc ñại số và ứng dụng” cho khóa lu ậ n t ố t nghi ệ p ñạ i h ọ c c ủ a mình. 2. Mục tiêu khóa luận • Phân tích và trình bày m ộ t cách h ệ th ố ng m ộ t s ố tính ch ấ t c ủ a ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un. • Tìm ra m ộ t s ố m ố i quan h ệ gi ữ a ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un. • ðư a ra m ộ t s ố ứ ng d ụ ng c ủ a ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un trong gi ả i các bài toán ñạ i s ố . 3. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu • Nghiên c ứ u các tính ch ấ t c ơ b ả n c ủ a c ủ a ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un. • Xây d ự ng m ộ t ñồ ng c ấ u gi ữ a hai c ấ u trúc ñạ i s ố cùng lo ạ i. • Nghiên c ứ u ứ ng d ụ ng c ủ a ñồ ng c ấ u trong vi ệ c kh ả o sát m ộ t s ố bài toán ñạ i s ố 3 4. Phương pháp nghiên cứu ðể th ự c hi ệ n khóa lu ậ n này, chúng tôi ch ủ y ế u s ử d ụ ng ph ươ ng pháp nghiên c ứ u lí lu ậ n. D ự a theo ph ươ ng phá p nà y, chú ng tôi ti ế n hà nh ñọ c và nghiên c ứ u tài li ệ u, giáo trình có liên quan ñế n các tính ch ấ t c ơ b ả n c ủ a ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un mà tr ọ ng tâm là các ñị nh lí v ề thi ế t l ậ p ñẳ ng c ấ u. T ừ ñ ó h ệ th ố ng nh ữ ng ki ế n th ứ c c ơ b ả n v ề ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un. Ti ế p theo, d ự a vào nh ữ ng ki ế n th ứ c c ơ b ả n ñ ã nêu ở ch ươ ng 1, chúng tôi nghiên c ứ u v ề cách xây d ự ng m ộ t ñồ ng c ấ u trên n ề n t ả ng m ộ t ánh x ạ cho tr ướ c. Cu ố i cùng, d ự a vào các ñị nh lí v ề ñồ ng c ấ u, chúng tôi v ậ n d ụ ng vào gi ả i và khai thác m ộ t s ố bài toán ñạ i s ố . 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu ● ðối tượng: ðồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un. ● Phạm vi nghiên cứu: Khóa lu ậ n ch ỉ t ậ p trung nghiên c ứ u các tính ch ấ t c ơ b ả n v ề ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un nh ư c ấ u trúc c ủ a các t ậ p ả nh, t ạ o ả nh qua m ộ t ñồ ng c ấ u; tính ñơ n c ấ u, toàn c ấ u, ñẳ ng c ấ u và m ộ t s ố ứ ng d ụ ng ban ñầ u c ủ a chúng vào kh ả o sát m ộ t s ố bài toán ñạ i s ố trong ph ạ m vi ch ươ ng trình toán b ậ c ñạ i h ọ c. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa lu ậ n là tài li ệ u tham kh ả o cho các sinh viên chuyên ngành Toán có mong mu ố n tìm hi ể u sâu v ề các ñồ ng c ấ u c ủ a m ộ t s ố c ấ u trúc ñạ i s ố và ứ ng d ụ ng trong gi ả i các bài toán ñạ i s ố . V ớ i b ả n thân, nghiên c ứ u v ề các ñồ ng c ấ u c ủ a m ộ t s ố c ấ u trúc ñạ i s ố giúp tôi hi ể u rõ h ơ n v ề các ñồ ng c ấ u c ủ a các c ấ u trúc ñạ i s ố và v ậ n d ụ ng vào nh ữ ng bài t ậ p c ụ th ể . 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các ph ầ n: M ụ c l ụ c, m ở ñầ u, k ế t lu ậ n, tài li ệ u tham kh ả o, n ộ i dung c ủ a khóa lu ậ n ñượ c chia thành ba ch ươ ng: Chương 1. Các phép ñồng cấu Chương 2. Xây dựng ñồng cấu từ một ánh xạ cho trước Chương 3. Ứng dụng của các ñồng cấu 4 Chương 1. CÁC ðỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ðẠI SỐ Ch ươ ng này trình bày m ộ t cách có h ệ th ố ng nh ữ ng ki ế n th ứ c c ơ b ả n v ề ñồ ng c ấ u nhóm, ñồ ng c ấ u vành và ñồ ng c ấ u mô ñ un nh ư ñị nh ngh ĩ a, các ñị nh lí và m ệ nh ñề v ề ñồ ng c ấ u, trong ñ ó có ñư a ra m ộ t s ố ví d ụ và nh ậ n xét. 1.1. ðồng cấu nhóm 1.1.1. ðịnh nghĩa và ví dụ ðịnh nghĩa 1.1 [5]. Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một nhóm Y sao cho ( ) ( ) ( ) f ab f a f b = với mọi , a b X ∈ . Nếu X Y = thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X . Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh thì gọi là một ñơn cấu nhóm, hay một phép nhúng của nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một toàn ánh gọi là một toàn cấu nhóm; một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một song ánh gọi là một ñẳng cấu nhóm; một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự ñẳng cấu. Nếu có một ñẳng cấu nhóm : f X Y → thì ta nói X ñẳng cấu với Y và viết X Y ≅ . Quan hệ ñẳng cấu là một quan hệ tương ñương. Ví dụ 1.1 [5]. Giả sử , X Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ X Y x e → ֏ với e là phần tử trung lập của Y , là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường. Ví dụ 1.2 [5]. Ánh xạ ñồng nhất 1 X của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X . Ví dụ 1.3 [5]. Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X . ðơn ánh chính tắc A X a a → ֏ là mộ t ñơ n c ấ u g ọ i là ñơ n c ấ u chính t ắ c. 5 Ví dụ 1.4 [5]. Xét ánh x ạ t ừ nhóm nhân các s ố th ự c d ươ ng * + ℝ ñế n nhóm c ộ ng các s ố th ự c ℝ * log : log x x + → ℝ ℝ ֏ Trong ñ ó log x là lôgarit c ơ s ố 10 c ủ a x. Vì ( ) log log log xy x y = + , nên log là m ộ t ñồ ng c ấ u. ðồ ng c ấ u này còn là m ộ t song ánh nên là m ộ t ñẳ ng c ấ u. Ví dụ 1.5. Xét ánh x ạ t ừ nhóm c ộ ng các s ố th ự c ℝ ñế n nhóm nhân các s ố th ự c d ươ ng * + ℝ * 10 x x + → ℝ ℝ ֏ là ánh x ạ ng ượ c c ủ a log, là m ộ t ñẳ ng c ấ u. Ví dụ 1.6 [5]. Gi ả s ử A là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a m ộ t nhóm X. Ánh x ạ : / ( ) h X X A x h x xA → = ֏ là m ột ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm thương / X A . ðồng cấu này còn là một toàn c ấu, gọi là toàn cấu chính tắc. Ví dụ 1.7. Cho G là một nhóm và a G ∈ . Ánh xạ : a G G ϕ → xác ñịnh bởi 1 ( ) a x axa ϕ − = là m ột tự ñẳng cấu của G. ðịnh nghĩa 1.2 [5]. Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử trung lập của X và Y ñược kí hiệu theo thứ tự là X e và Y e . Ta kí hiệu: Im ( ) f f X = { } 1 Ker ( ) ( ) Y Y f x X f x e f e − = ∈ = = và gọi Im f là ảnh của ñồng cấu f , Ker f là hạt nhân của ñồng cấu f . 6 1.1.2 Một vài ñịnh lí và mệnh ñề về ñồng cấu nhóm ðịnh lí 1.1 [5]. Giả sử , , X Y Z là những nhóm; : f X Y → và : g Y Z → là những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích : gf X Z → cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu. ðịnh lí 1.2 [5]. Nếu : f X Y → là một ñẳng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y thì ánh xạ ngược 1 : f Y X − → c ũ ng là m ộ t ñẳ ng c ấ u. ðịnh lí 1.3 [5]. Gi ả s ử : f X Y → là m ộ t ñồ ng c ấ u t ừ m ộ t nhóm X ñế n m ộ t nhóm Y . Th ế thì (i) ( ) X Y f e e = ; (ii) [ ] 1 1 ( ) ( ) f x f x − − = v ớ i m ọ i x X ∈ . ðịnh lí 1.4 [5]. Gi ả s ử : f X Y → là m ộ t ñồ ng c ấ u t ừ m ộ t nhóm X ñế n m ộ t nhóm Y , A là m ộ t nhóm con c ủ a X và B là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a Y . Th ế thì (i) ( ) f A là m ộ t nhóm con c ủ a Y ; (ii) 1 ( ) f B − là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a X . N ếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì ( ) f A có là nhóm con chuẩn tắc của Y không? Khi nào thì ( ) f A là nhóm con chuẩn tắc của Y ? Ta có nhận xét sau. Nhận xét 1.1. Nếu f là một toàn cấu và A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì ( ) f A cũng là một nhóm con chuẩn tắc của Y . Thật vậy, giả sử f là một toàn cấu và A là một nhóm con chuẩn tắc của X . Ta ñã biết nếu A là một nhóm con của X thì ( ) f A là một nhóm con của Y . Giả sử y Y ∈ và ( ) b f A ∈ , tồn tại x X ∈ sao cho ( ) f x y = . Xét phần tử 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . y by f x f a f x f x ax f A vì x ax A − − − − = = ∈ ∈ 7 V ậ y ( ) f A là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a Y . N ế u f không toàn c ấ u và A là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a X thì ( ) f A không là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a Y . Th ậ t v ậ y, ta xét ví d ụ sau ñ ây. a) Cho Y là m ộ t nhóm. L ấ y X là m ộ t nhóm con không chu ẩ n t ắ c c ủ a Y . : f X Y → là m ộ t ñơ n c ấ u chính t ắ c và A X = ; v ậ y A là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a X và ( ) f A X = là nhóm con không chu ẩ n t ắ c c ủ a Y . b) Xét 2 nhóm 2 X = ℤ và 3 Y S = = { (1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)} 2 3 : 0 (1) 1 (1 2) f S → ℤ ֏ ֏ f là m ộ t ñồ ng c ấ u. Ta có 2 ℤ là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a 2 ℤ nh ư ng ( ) ( ) { } 2 ( ) 1 , 1 2 f = ℤ không là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a 3 S . ðặ c bi ệ t, f là m ộ t ñẳ ng c ấ u t ừ m ộ t nhóm X ñế n m ộ t nhóm Y , n ế u A là m ộ t nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a X thì ( ) f A là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a Y , khi ñ ó, ( ) A f A → là m ộ t song ánh gi ữ a hai t ậ p h ợ p các nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a X và c ủ a Y . Hệ quả 1.1 [5]. Giả sử f: X → Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm Y. Thế thì Im f là một nhóm con của Y và Ker f là một nhóm con chuẩn tắc của X. Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh một bộ phận khác rỗng A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X ta có thể xác ñịnh một ñồng cấu : f X Y → với Y là một nhóm nào ñó mà ker f A = . 8 ðịnh lí 1.5 [5]. Giả sử f: X → Y là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm Y. Thế thì (i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im f Y = ; (ii) f là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu { } ker . X f e = Mệnh ñề 1.1 [2]. Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu nhóm. (i) Nếu có một ñồng cấu ': f Y X → sao cho ' X f f id = (khi ñó ' f ñược gọi là một nghịch ñảo trái của f ) thì f là một ñơn cấu. (ii) Nếu có một ñồng cấu ': f Y X → sao cho ' Y ff id = (khi ñó ' f ñược gọi là một nghịch ñảo phải của f ) thì f là một toàn cấu. (iii) f là một ñẳng cấu nếu và chỉ nếu có một ñồng cấu ': f Y X → sao cho ' X f f id = , ' Y ff id = . Khi ñó 1 ' f f − = cũng là một ñẳng cấu. Nhận xét 1.2. Các mệnh ñề ñảo của (i) và (ii) ñều không ñúng. Ta xét các ví dụ sau ñây: a) ðồng cấu : f → ℤ ℤ ñược cho bởi ( ) 2 f x x = . ðây rõ ràng là một ñơn cấu, nhưng không có nghịch ñảo trái. Thật vậy, nếu có ñồng cấu ': f → ℤ ℤ ñể cho ' f f id = ℤ thì 1 ' (1) '(2) (1) (1) 2 (1) f f f f f f = = = + = . Trong ℤ không có phần tử x nào nghiệm ñúng hệ thức 2 1 x = . ðiều vô lí này chứng tỏ f không có nghịch ñảo trái. b) Phép chiếu chính tắc : / 2 , ( ) [ ] x x ϕ ϕ → = ℤ ℤ ℤ , là một toàn cấu không có nghịch ñảo phải. Thật vậy, giả sử phản chứng có ñồng cấu : / 2 ψ → ℤ ℤ ℤ ñể cho /2 id ϕψ = ℤ ℤ . Ta có [1] [1] [2] [0] 0 + = = = trong / 2 ℤ ℤ . Do ñó 2 ([1]) ([1]) ([1]) (0) 0 ψ ψ ψ ψ = + = = trong ℤ . Suy ra ([1]) 0 ψ = ∈ ℤ . Từ ñó ta có /2 [1] ([1]) ([1]) (0) 0 id ϕψ ϕ = = = = ℤ ℤ . 9 Nghịch lí này chứng tỏ ϕ không có nghịch ñảo phải. ðịnh lí 1.6 [5]. (ñịnh lí ñồng cấu nhóm) Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu từ một nhóm X ñến một nhóm Y, : / Ker p X X f → là toàn cấu chính tắc từ nhóm X ñến nhóm thương của X trên hạt nhân của f .Thế thì (i) Có một ñồng cấu duy nhất : / Ker f X f Y → sao cho tam giác sau / Ker f X Y p f X f → ց ր là giao hoán, tức là f f p = ; (ii) ðồng cấu f là một ñơn cấu và Im ( ) f f X = . Hệ quả 1.2 [5]. Với mọi ñồng cấu : f X Y → từ một nhóm X ñến một nhóm Y , ta có: ( ) / Ker f X X f ≅ . ðịnh lí trên có thể làm mạnh thêm bằng hai ñịnh lí sau ñây: ðịnh lí 1.7 [2]. Giả sử : f X Y → là một ñồng cấu nhóm, K là một nhóm con chuẩn tắc của X và : / K p X X K → là phép chiếu chính tắc. ðiều kiện cần và ñủ ñể có một ñồng cấu nhóm ': / f X K Y → sao cho ' K f f p = là Ker K f ⊂ . Khi ñó, ' f ñược xác ñịnh duy nhất. ðịnh lí 1.8 [2]. Giả sử : ' f X X → là một ñồng cấu nhóm, ' K là một nhóm con chuẩn tắc của ' X , và 1 ( ') K f K − = . Khi ñó, K cũng là một nhóm con chuẩn tắc và có duy nhất một ñơn cấu nhóm : / '/ ' f X K X K → làm giao hoán biểu ñồ sau: 10 ' ' / '/ ' f K K f X X p p X K X K → ↓ ↓ → trong ñó, K p và ' K p là các phép chiếu chính tắc. Hệ quả 1.3 [2]. Giả sử K là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi ñó mỗi nhóm con chuẩn tắc của / G K ñều có dạng / H K trong ñó H là một nhóm con chuẩn tắc của G chứa K. Hơn nữa / ( / ) / ( / ) G H G K H K ≅ . Hê quả 1.4 [2]. Giả sử H và K là các nhóm con của G. Nếu H ñược chứa trong nhóm chuẩn hóa của K trong G thì H K ∩ là một nhóm con chuẩn tắc của H và HK KH = là một nhóm con của G. Hơn nữa / / ( ). HK K H H K ≅ ∩ 1.2. ðồng cấu vành 1.2.1. ðịnh nghĩa và ví dụ ðịnh nghĩa 1.3 [5]. Một ñồng cấu (vành) là một ánh xạ f từ một vành X ñến một vành Y sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a b f a f b f ab f a f b + = + = với mọi a, b ∈ X. Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X. Nhận xét 1.3 [5]. Ta không ñòi hỏi mọi vành ñều có ñơn vị, nên không bắt buộc mọi ñồng cấu vành : f X Y → phải có tính chất là (1 ) 1 X Y f = , ngay cả trong trường hợp X và Y có ñơn vị (tương ứng là 1 X và 1 Y ). Tuy nhiên, nếu 0 f ≠ và Y là một miền nguyên thì từ hệ thức (1 ) (1 ) (1 ) x X X f f f = và suy ra rằng (1 ) 1 X Y f = . Một ñồng cấu vành ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu vành (hay một phép nhúng vành). [...]... (b3 b1 )    = b2 b1 + b3.b1 V y B là m t vành và f là m t ñ ng c u vành M nh ñ 2.6 Gi s X , Y là các vành, S ⊂ X Các ph n t trong X sinh ra b i các ph n t trong S nh các phép toán c ng và nhân Gi s F , F ' : X → Y là các ñ ng c u vành th a mãn F ' S = F S Khi ñó F = F ' Ch ng minh Vì các ph n t trong X sinh ra b i các ph n t trong S nh phép toán c ng và nhân nên v i m i x ∈ X , ta có x = ∑ ∏ s... ng c u vành ñ ng th i là m t toàn ánh ñư c g i là m t toàn c u vành M t ñ ng c u vành ñ ng th i là m t song ánh ñư c g i là m t ñ ng c u vành N u có m t ñ ng c u vành f : R → R ' thì ta nói vành R ñ ng c u v i vành R ' , và vi t R ≅ R ' Ví d 1.8 [5] Gi s A là m t vành con c a m t vành X ðơn ánh chính t c A→ X a֏a là m t ñ ng c u g i là ñơn c u chính t c Ví d 1.9 Ánh x ñ ng nh t 1X c a m t vành X... tích tenxơ và m t s ng d ngkhác, trong ñó có ñưa ra m t s ví d và bài t p c th ñ minh h a 3.1 Ch ng minh tính ch t c a m t c u trúc ñ i s ð tìm hi u c u trúc c a c u trúc X , ngư i ta thư ng tìm cách thi t l p m t ñ ng c u gi a c u trúc X và m t c u trúc Y quen bi t N u ñ ng c u tìm ñư c là m t ñ ng c u thì có th coi X là m t “nhân b n” c a Y v m t c u trúc Như v y, t s hi u bi t v c u trúc quen bi... ng c u vành f ' : Y → X sao cho ff ' = idY ) thì f là m t toàn c u (iii) f là m t ñ ng c u n u và ch n u f có ngh ch ñ o (t c là có m t ñ ng c u vành f ' : Y → X sao cho f ' f = id X , ff ' = idY ) Các m nh ñ ñ o c a (i) và (ii) ñ u không ñúng ð nh lí 1.13 [5] (ñ nh lí ñ ng c u vành) Gi s f : X → Y là m t ñ ng c u t m t vành X ñ n m t vành Y , p : X → X / Kerf là toàn c u chính t c t vành X ñ n vành... c u các A-môñun khi và ch khi f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ) v i m i a, b ∈ A và m i x, y ∈ M Cho M và N là các A-môñun, kí hi u HomA ( M , N ) là t p t t c các Añ ng c u t M vào N Trong trư ng h p A là m t vành giao hoán, thì v i m i f , g ∈ HomA ( M , N ) và v i m i a, b ∈ A , ta xác ñ nh ñ i tư ng af + bg như sau : ( af + bg )( x) = af ( x) + bg ( x) v i m i x ∈ M Khi ñó, b i A là m t vành... Cho ñ ng c u các A-môñun f : M → M ' Khi ñó f là ñ ng c u không khi và ch khi Ker f = M ; f là m t toàn c u khi và ch khi Im f = M ' , và f là m t ñơn c u khi và ch khi Ker f = {0M } Do f cũng là m t ñ ng c u gi a hai nhóm abel M và M ' , nên f (− x) = − f ( x) v i x ∈ M , và f (0 M ) = 0 M ' Ví d 1.13 Gi s M , N là các A-môñun Ánh x f :M → N x֏0 là m t ñ ng c u Ví d 1.14 Gi s M , N là các A-môñun... v i m i x, y ∈ M và m i c, d ∈ A Do ñó af + bg ∈ HomA ( M , N ) T p HomA ( M , N ) , v i các phép toán xác ñ nh như v y, tr thành m t A-môñun, ñư c g i là môñun các ñ ng c u t M ñ n N N u vành A không giao hoán thì HomA ( M , N ) ch là m t nhóm abel v i phép c ng ñ ng c u 1.3.2 M t vài ñ nh lí và m nh ñ v ñ ng c u môñun M nh ñ 1.6 [6] N u các ánh x f : M → M ' và là hai ñ ng c u các A-môñun, thì... vành ð nh lí 1.9 [5] Gi s X, Y, Z là nh ng vành và f : X → Y và g : Y → Z là nh ng ñ ng c u Th thì ánh x tích gf : X → Z cũng là m t ñ ng c u ð c bi t tích c a hai ñ ng c u là m t ñ ng c u 11 ð nh lí 1.10 [5] Gi s f : X → Y là m t ñ ng c u t m t vành X ñ n m t vành Y Th thì (i) f (0) = 0 ; (ii) f ( − x) = − f ( x) v i m i x ∈ X ð nh lí 1.11 [5] Gi s f : X → Y là m t ñ ng c u t m t vành X ñ n m t vành... c a m t vành X Ánh x h : A→ X / A x֏ x+a là m t ñ ng c u t vành X ñ n vành thương X / A ð ng c u này còn là toàn c u, g i là toàn c u chính t c Ví d 1.11 Gi s X và Y là hai vành, ánh x X →Y x֏0 v i 0 là ph n t không c a Y , là m t ñ ng c u g i là ñ ng c u không Ví d 1.12 [5] Phép chi u t nhiên π : ℤ → ℤ / nℤ, π ( x) = [ x ] , là m t ñ ng c u vành, ñ i v i m i n ≥ 0 1.2.2 M t vài ñ nh lí và m nh... t ñơn c u và Im f = f ( X ) H qu 1.6 [5] V i m i ñ ng c u f : X → Y là t m t vành X ñ n m t vành Y , ta có f ( X ) ≅ X / Kerf 14 M nh ñ 1.3 [2] Gi s f : X → Y là m t ñ ng c u vành và A là m t iñêan c a X ði u ki n c n và ñ ñ có m t ñ ng c u vành f : X / A → Y sao cho f = f p , trong ñó p : X → X / A là phép chi u chính t c, là A ⊂ Kerf Khi ñó, f ñư c xác ñ nh duy nh t ð nh lí ñ ng c u vành có th . cứu một cấu trúc qua quan hệ với một cấu trúc khác. Các ñồng cấu có mối quan hệ mật thiết với nhau và có nhiều ứng dụng trong việc giải một số bài toán ñại số. ðể tìm hiểu cấu trúc của cấu trúc. ñược số phần tử của cấu trúc này bằng số phần tử của cấu trúc kia. Như vậy, ta ñã tính ñược số phần tử của một cấu trúc ñại số rất khó khảo sát thông qua việc tính số phần tử của một cấu trúc. nhúng vành). 11 Một ñồng cấu vành ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu vành. Một ñồng cấu vành ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một ñẳng cấu vành. Nếu có một ñẳng cấu vành