Ánh xạ co và một số ứng dụng

1 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài khóa luận Như chúng ta ñã biết, lý thuyết hàm và giải tích hàm là những nội dung chính của giải tích toán học hiện ñại. Nó có vai trò ñặc biệt quan trọng ñối với toán học cơ bản và ứng dụng. ðây là môn học khá quan trọng ñối với sinh viên khoa toán học trong các trường ðại học. Trong chương trình học, sinh viên bước ñầu ñược trang bị những kiến thức về không gian metric, trong ñó có ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co. Ánh xạ co là một trường hợp riêng, quan trọng của ánh xạ liên tục. Trong một phép ánh xạ f từ X vào chính nó có thể có những ñiểm mà ảnh của nó trùng với chính nó, những ñiểm như thế, tức là những ñiểm x sao cho ( ) f x x = gọi là ñiểm bất ñộng trong ánh xạ. Nguyên lý ánh xạ co của Banach ñối với các ánh xạ co trên không gian metric ñầy ñủ là một kết quả kinh ñiển của Toán học. Sau khi ñược Banach chứng minh, nguyên lý ánh xạ co trở thành một trong những vấn ñề thu hút rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Việc tìm ra ñiểm bất ñộng của ánh xạ có nhiều ứng dụng trong giải tích, nhất là trong lý thuyết các phương trình (vi phân, ñạo hàm riêng, tích phân). Với mong muốn ñược hiểu rõ hơn về sự duy nhất nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số, sự tồn tại nghiệm của phương trình vi – tích phân và xét sự hội tụ của dãy số. ðưa ra hệ thống các ví dụ và bài tập áp dụng nguyên lý ánh xạ co. Với những lí do trên tôi lựa chọn ñề tài: “Ánh xạ co và một số ứng dụng” cho khóa luận tốt nghiệp ðại học của mình. 2. Mục tiêu khóa luận + Mục tiêu khoa học công nghệ: Hệ thống lại cơ sở lý thuyết về ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co cùng một số kiến thức liên quan. + Sản phẩm khoa học công nghệ: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co ñể xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số, một số phương trình vi – tích phân và sự hội tụ của dãy số. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu lí thuyết về ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co và một số kiến thức liên quan. + Hệ thống một số bài tập về sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số, một số phương trình vi – tích phân ñặc biệt và sự hội tụ của dãy số. 4. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan ñến cơ sở lí thuyết ánh xạ co và một số ứng dụng. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa các kiến thức về vấn ñề nghiên cứu một cách ñầy ñủ, khoa học và kết hợp ñưa vào các bài tập cụ thể. + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu + ðối tượng: Nguyên lý ánh xạ co. + Phạm vi: Sử dụng nguyên lý ánh xạ co ñể xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số, một số phương trình vi – tích phân và sự hội tụ của dãy số. 6. Ý nghĩa khoa học Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành toán của trường ðại học Hùng Vương có mong muốn tiếp tục tìm hiểu về ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co. Bản thân em, bên cạnh việc tìm hiểu về một số ứng dụng của ánh xạ co ñã nắm vững hơn những kiến thức ban ñầu của giải tích hàm. 3 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành các chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chính của chương là những khái niệm cơ bản về không gian metric, ánh xạ liên tục, không gian metric ñầy ñủ, ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co. ðây là những kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu về một số ứng dụng của ánh xạ co. Các kiến thức trong chương này ñược trích từ các tài liệu [3], [4], [7]. 1.1. Không gian metric 1.1.1. Khái niệm không gian metric ðịnh nghĩa 1.1: Cho X là một tập khác rỗng. Hàm số : d X X × → ℝ ñược gọi là một metric (hay là một khoảng cách) trên X nếu nó thỏa mãn các tiên ñề sau: i) ( , ) 0 d x y ≥ ∀x, y ∈ X và ( , ) 0 d x y = ⇔ x = y. ii) ( , ) ( , ) d x y d y x = ∀x, y ∈ X. iii) ( , ) ( , ) ( , ) d x y d x z d z y ≤ + ∀x, y, z ∈ X. Tập X cùng với metric d xác ñịnh trên nó ñược gọi là không gian metric và ñược kí hiệu (X, d). Ví dụ 1.1: Tập hợp các số thực ℝ là không gian metric, với metric ( ) , , , d x y x y x y = − ∈ ℝ (1) Thật vậy, hệ thức (1) xác ñịnh một ánh xạ từ tích ñề các × ℝ ℝ vào tập số thực ℝ . Với hai phần tử bất kỳ , x y ∈ ℝ , ta có: 0 x y − ≥ ( ) , 0 d x y ⇔ ≥ và ( ) , 0 0 d x y x y x y = ⇔ − = ⇔ = . Do ñ ó ánh x ạ (1) th ỏ a mãn tiên ñề i) v ề metric. V ớ i hai ph ầ n t ử b ấ t k ỳ , x y ∈ ℝ , ta có x y y x − = − hay ( ) ( ) , , d x y d y x = . Ánh x ạ (1) th ỏ a mãn tiên ñề ii) v ề metric. V ớ i ba ph ầ n t ử , , x y z ∈ ℝ ta có: 5 x y x z z y x z z y − = − + − ≤ − + − , nên ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ≤ + . Ánh x ạ (1) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric. Vì v ậ y, h ệ th ứ c (1) xác ñị nh m ộ t metric trên ℝ . Do ñ ó t ậ p h ợ p các s ố th ự c là m ộ t không gian metric. Ví dụ 1.2: Cho t ậ p X φ ≠ nào ñấ y. V ớ i hai ph ầ n t ử b ấ t k ỳ , x y X ∈ ta ñặ t ( ) 1; , 0; x y d x y x y ≠  =  =  (2) Khi ñó, hệ thức (2) xác ñịnh một ánh xạ từ tích ñề các X X × vào tập số thực ℝ . Ta kiểm tra ánh xạ (2) thỏa mãn các tiên ñề metric. Với hai phần tử bất kỳ , x y X ∈ , khi ñó ( ) , 0 d x y ≥ . N ế u x y = thì theo (2) ta có ( ) , 0 d x y = , nh ư ng x y ≠ thì ( ) , 1 d x y = , nên ( ) , 0 d x y = khi và ch ỉ khi x y = . Do ñ ó ánh x ạ (2) th ỏ a mãn tiên ñề i) v ề metric. V ớ i hai ph ầ n t ử b ấ t k ỳ , x y X ∈ , ta có: N ế u x y = thì y x = , do ñ ó ( ) ( ) , , 0 d x y d y x = = . N ế u x y ≠ thì y x ≠ , do ñ ó ( ) ( ) , , 1 d x y d y x = = . Vì v ậ y, v ớ i m ọ i , x y X ∈ thì ( ) ( ) , , d x y d y x = . Ánh x ạ (2) th ỏ a mãn tiên ñề ii) v ề metric. V ớ i ba ph ầ n t ử , , x y z X ∈ , khi ñ ó: Gi ả s ử x y = , thì ( ) , 0 d x y = . Theo ch ứ ng minh trên ta có: ( ) ( ) , 0, , 0 d x z d z y ≥ ≥ , do ñ ó ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ≤ + . Gi ả s ử x y ≠ , thì ( ) , 1 d x y = . N ế u z x = , thì z y ≠ , do ñ ó ( ) ( ) , 0, , 1 d x z d z y = = , suy ra ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y = + . N ế u z y = , thì z x ≠ và b ằ ng cách t ươ ng t ự ta có ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y = + . N ế u , z x z y ≠ ≠ , thì ( ) ( ) , , 1 d x z d z y = = , do ñ ó ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ≤ + . 6 Nên ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , x y z X d x y d x z d z y ∀ ∈ ≤ + . Ánh x ạ (2) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric. Vì v ậ y, h ệ th ứ c (2) xác ñị nh m ộ t metric trên X . Không gian metric t ươ ng ứ ng g ọ i là không gian metric r ờ i r ạ c. Ta g ọ i metric (2) là metric r ờ i r ạ c trên t ậ p X . Ví dụ 1.3: Không gian Euclide k ℝ là không gian metric với metric d xác ñịnh như sau: Nếu ( ) 1 2 , , , k x x x x = và ( ) 1 2 , , , k y y y y = là hai phần tử của k ℝ thì ( ) 1 2 2 1 , n i i i d x y x y =   = −     ∑ (3) Với mọi , k x y∈ ℝ ta có 1 2 2 1 0 n i i i x y =   − ≥     ∑ nên ( ) , 0 d x y ≥ và ( ) 1 2 2 1 , 0 0 n i i i d x y x y =   = ⇔ − =     ∑ 0, 1, i i x y i n ⇔ − = ∀ = . Do ñ ó h ệ th ứ c (3) th ỏ a mãn tiên ñề i) v ề metric. V ớ i m ọ i , k x y ∈ ℝ ta có ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 , n n i i i i i i d x y x y y x = =     = − = −         ∑ ∑ ( ) , d y x = . H ệ th ứ c (3) th ỏ a mãn tiên ñề ii) v ề metric. D ễ ki ể m tra h ệ th ứ c (3) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric, ta ñể ý r ằ ng n ế u 1 2 1 2 , , , , , , , k k a a a b b b là nh ữ ng s ố th ự c thì: 1 1 2 2 2 2 1 1 1 k k k i i i i i i i a b a b = = =     ≤         ∑ ∑ ∑ Th ậ t v ậ y, ñặ t 2 2 1 1 1 , , k k k i i i i i i i a b a b α β δ = = = = = = ∑ ∑ ∑ . 7 Ta có ( ) 2 2 1 2 0 k i i i t t a t b α δ β = + + = + ≥ ∑ với mọi số thực t , do ñó 2 0 δ αβ ′ ∆ = − ≤ , t ứ c là ta có b ấ t ñẳ ng trên. Gi ả s ử ( ) 1 2 , , , k x x x x = , ( ) 1 2 , , , k y y y y = và ( ) 1 2 , , , k z z z z = là ba ph ầ n t ử b ấ t kì c ủ a k ℝ . Khi ñ ó: ( ) ( ) 2 2 2 1 , k i i i i i i i d x z x z x y y z = = − ≤ − + − ∑ = 2 2 1 1 1 2 k k k i i i i i i i i i i i x y x y y z y z = = = − + − − + − ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1 1 1 1 2 k k k k i i i i i i i i i i i i x y x y y z y z = = = = ≤ − + − − + − ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 1 1 k k i i i i i i x y y z = =   = − + −       ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) 2 , , d x y d y z = + . T ừ ñ ó ( ) ( ) ( ) , , , d x z d x y d y z ≤ + . H ệ th ứ c (3) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric. V ậ y h ệ th ứ c (3) xác ñị nh m ộ t metric trên không gian k ℝ . Không gian metric t ươ ng ứ ng v ẫ n kí hi ệ u là k ℝ và th ườ ng g ọ i là không gian Euclide, còn metric (3) g ọ i là metric Euclide. Nhận xét 1.1: Trên cùng một tập có thể xác ñịnh nhiều metric khác nhau. Chẳng hạn trên cùng tập k ℝ , ngoài metric Euclide có thể xác ñịnh các metric khác sau: ( ) 1 1 , k j j j d x y x y = = − ∑ (4) và ( ) 1 , ax j j j k d x y m x y ∞ ≤ ≤ = − (5) Dễ thấy hệ thức (4) thỏa mãn tiên ñề i), ii) về metric. 8 Với ba vector bất kỳ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 , , , ; , , , ; , , , k k x x x x y y y y z z z z = = = thuộc k ℝ ta có: ( ) 1 1 1 , k k j j j j j j j j d x y x y x z z y = = = − = − + − ∑ ∑ ( ) 1 k j j j j j x z z y = ≤ − + − ∑ 1 1 k k j j j j j j x z z y = = = − + − ∑ ∑ = ( ) ( ) 1 1 , , d x z d z y + . nên ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , d x y d x z d z y ≤ + . Do ñ ó h ệ th ứ c (4) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric. Vì v ậ y h ệ th ứ c (4) xác ñị nh m ộ t metric trên không gian k ℝ . T ươ ng t ự , ta th ấ y h ệ th ứ c (5) th ỏ a mãn các tiên ñề i), ii) v ề metric. M ặ t khác, v ớ i ba vector b ấ t k ỳ thu ộ c k ℝ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 , , , ; , , , ; , , , k k x x x x y y y y z z z z = = = , 1,2, , j k = ta luôn có: { } { } ax ,1 ax ,1 j j j j j j j j j j x y x z z y m x z j k m z y j k − ≤ − + − ≤ − ≤ ≤ + − ≤ ≤ L ấ y maximum ở v ế trái theo j ta ñượ c: { } { } { } max , 1 ax , 1 ax , 1 j j j j j j x y j k m x z j k m z y j k − ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ + − ≤ ≤ . Hay ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ∞ ∞ ∞ ≤ + . Do ñ ó h ệ th ứ c (5) th ỏ a mãn tiên ñề iii) v ề metric. Vì v ậ y h ệ th ứ c (5) xác ñị nh m ộ t metric trên không gian k ℝ . Ví dụ 1.4: Cho C [a,b] tập các hàm số giá trị thực xác ñịnh và liên tục trên ñoạn [ ] , a b là không gian metric, vớ i metric: ( ) ( ) ( ) , ax a t b d x y m x t y t ≤ ≤ = − (6) và ( ) ( ) ( ) , b a d x y x t y t dt = − ∫ (7) Vì các hàm số ( ) ( ) , x t y t liên tục trên [ ] , a b , nên hàm số ( ) ( ) x t y t − cũng liên tục trên [ ] , a b . Do ñó hàm số này ñạt giá trị lớn nhất trên ñoạn [ ] , a b 9 và tồn tại tích phân trên ñoạn [ ] , a b . Suy ra mỗ i h ệ th ứ (6) và (7) xác ñị nh m ộ t ánh x ạ t ừ tích ñề các vào t ậ p s ố th ự c ℝ . Khi ñ ó, v ớ i h ệ th ứ c ( ) ( ) ( ) , ax a t b d x y m x t y t ≤ ≤ = − (6), ta có: V ới hai hàm số bất kỳ ( ) ( ) , x t y t ∈ C [a,b] ta có ( ) ( ) [ ] 0, , x t y t t a b − ≥ ∀ ∈ nên ( ) ( ) ( ) , ax a t b d x y m x t y t ≤ ≤ = − 0 ≥ và ( ) , 0 d x y = ( ) ( ) ax 0 a t b m x t y t ≤ ≤ ⇔ − = ( ) ( ) [ ] 0, , x t y t t a b ⇔ − = ∀ ∈ ( ) ( ) [ ] , , . x t y t t a b x y ⇔ = ∀ ∈ ⇔ = Do ñó hệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề i) về metric. V ới hai hàm số bất kỳ ( ) ( ) , x t y t ∈ C [a,b] ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , x t y t y t x t t a b − = − ∀ ∈ nên ( ) ( ) ( ) , ax a t b d x y m x t y t ≤ ≤ = − ( ) ( ) ax a t b m y t x t ≤ ≤ = − ( ) , d y x = . Nên h ệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề ii) về metric. V ới ba hàm số bất kỳ ( ) ( ) ( ) , , x t y t z t ∈ C [a,b] ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t z t z t y t − ≤ − + − , nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax ax ax a t b a t b a t b m x t y t m x t z t m z t y t ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ − + − , do ñó ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ≤ + . V ậy hệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề iii) về metric. Khi ñó hệ thức (6) xác ñịnh một metric trên C [a,b] . Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là C [a,b] . Còn v ới hệ thức ( ) ( ) ( ) , b a d x y x t y t dt = − ∫ (7) V ới hai hàm số bất kỳ ( ) ( ) , x t y t ∈ C [a,b] ta có: 10 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0, , , 0 b a x t y t t a b d x y x t y t dt − ≥ ∀ ∈ ⇒ = − ≥ ∫ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , 0 0 , , b a d x y x t y t dt x t y t x y t a b = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∀ ∈ ∫ . Nên h ệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề i) về metric. Với hai hàm số bất kỳ ( ) ( ) , x t y t ∈ C [a,b] , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , x t y t y t x t t a b − = − ∀ ∈ ( ) ( ) , , d x y d y x ⇒ = . Do ñó hệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề ii) về metric. Với ba hàm số bất kỳ ( ) ( ) ( ) , , x t y t z t ∈ C [a,b] ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t z t z t y t − ≤ − + − , do ñó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a x t y t dt x t z t dt z t y t dt − ≤ − + − ∫ ∫ ∫ , hay ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d z y ≤ + . Nên h ệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề iii) về metric. Vì v ậy, hệ thức (7) xác ñịnh một metric trên C [a,b] . Không gian metric t ương ứng kí hiệu là [ ] , L a b C . 1.1.2. Sự hội tụ trong không gian metric ðịnh nghĩa 1.2: Ta nói dãy { } n x của không gian metric ( ) , X d , hộ i t ụ ñế n ph ầ n t ử 0 x c ủ a X n ế u ( ) 0 lim , 0. n n d x x →∞ = Khi ñ ó, ta vi ế t 0 n x x → , ho ặ c 0 lim . n n x x →∞ = ð i ể m 0 x ñượ c g ọ i là gi ớ i h ạ n c ủ a dãy { } n x trong không gian metric ( ) , X d . Ví dụ 1.5: S ự h ộ i t ụ trên ñườ ng th ẳ ng ℝ là s ự h ộ i t ụ c ủ a m ộ t dãy s ố theo ngh ĩ a thông th ườ ng. [...]... nó thành không gian ñ y ñ 1.4 Ánh x co và nguyên lý ánh x co 1.4.1 Ánh x co Cho m t không gian metric X b t kì M t ánh x f t X vào b n thân nó g i là ánh x co, n u có m t s 0 ≤ θ < 1 sao cho: d ( f ( x1 ) , f ( x2 ) ) ≤ θ d ( x1 , x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ X Nh n xét 1.3: Ánh x co là ánh x liên t c Th t v y, l y x0 ∈ X b t kỳ, cho ε > 0 , v i m i x ∈ X , theo ñ nh nghĩa ánh x co ta có: d ( f ( x ) , f ( x0... δ suy ra θ Như v y, ánh x d ( f ( x ) , f ( x0 ) ) ≤ θ d ( x, x0 ) < θ ε =ε θ f liên t c t i x0 , v i b t kỳ x0 ∈ X V y ánh x f liên t c 1.4.2 Nguyên lý ánh x co ð nh nghĩa 1.5: Cho X là m t không gian b t kỳ và f là m t ánh x t X (ho c t p con c a X ) vào X ði m x ∈ X ñư c g i là ñi m b t ñ ng c a f n u x = f ( x ) Nguyên lý ánh x co: M i ánh x co f t không gian metric ñ X vào b n thân nó ñ u... x và y sao cho: 34 f ( x ) − f ( y ) = f ′ ( c )( x − y ) ≤ θ x − y Suy ra f là ánh x co, theo nguyên lý ánh x co t n t i duy nh t x ∈ ℝ sao cho f ( x ) = x Hay phương trình f ( x ) − x = 0 có nghi m duy nh t Ví d 2.12: Cho không gian metric X ñ y và ánh x f : X → X n u f n là ánh x co thì t n t i duy nh t x0 ∈ X sao cho f ( x0 ) = x0 Bài gi i Do X là không gian metric ñ y ñ và f n là m t ánh x co. .. F ( K ) ⊆ K Khi ñó F : K → K là ánh x co Do K hình c u ñóng nên K là ñ y ñ Theo nguyên lý ánh x co, F : K → K có duy nh t m t ñi m b t ñ ng V y ánh x F : B → Y có m t ñi m b t ñ ng H qu 1.2: Cho E là m t không gian Banach, U ⊂ E m và F : U → E là ánh x co v i h ng s co α < 1 Cho f : U → E là m t trư ng g n v i F và f ( x) = x − F ( x) Khi ñó: i) f : U → E là m t ánh x m ii) f : U → f (U ) là m... phương trình sau: 2 x + 1 = cos x Bài gi i 1 1 Phương trình ñã cho tương ñương v i x = cos x − 2 2 Xét hàm s f :ℝ → ℝ 1 1 x ֏ f ( x ) = cos x − 2 2 1 1 Khi ñó f ( x ) là hàm s kh vi trên ℝ và f ′ ( x ) = − sin x ≤ 2 2 Theo ñ nh lý Lagrange ∀x, y ∈ ℝ, ∃c n m gi a x và y sao cho: f ( x ) − f ( y ) = f ′ ( c )( x − y ) ≤ 1 x− y 2 Suy ra f là ánh x co, theo nguyên lý ánh x co ánh x f có ñi m b t ñ ng x... gi i Xét ánh x f t không gian metric ñ y ñ ℝ vào chính nó f : ℝ→ℝ x ֏ f ( x ) = m sin 2 x v i ( m < 1) Khi ñó hàm s f ( x ) = m sin 2 x , ∀x ∈ ℝ là hàm s kh vi trên ℝ và f ′ ( x ) = 2m sin x cos x = m sin 2 x ≤ m < 1 Theo ñ nh lý Lagrange ∀x, y ∈ ℝ, ∃c n m gi a x, y sao cho f ( x ) − f ( y ) = f ′ ( c )( x − y ) ≤ m x − y (trong ñó m < 1 ) Suy ra f là ánh x co, theo nguyên lý ánh x co thì ánh x ñ ng... Xét ánh x f t không gian metric ñ y ñ ℝ vào chính nó f :ℝ → ℝ 1 x ֏ f ( x ) = ln (1 + x 2 ) 4 Khi ñó hàm s f ′( x ) = 1 f ( x ) = ln (1 + x 2 ) , ∀x ∈ ℝ là hàm s kh vi trên ℝ và 4 1 x 1 ≤ ; ∀x ∈ ℝ (áp d ng b t ñ ng th c Cauchy) 2 2 1+ x 4 Theo ñ nh lý Lagrange ∀x, y ∈ ℝ, ∃c n m gi a x, y sao cho f ( x ) − f ( y ) = f ′ ( c )( x − y ) ≤ 1 x− y 4 Suy ra f là ánh x co, theo nguyên lý ánh x co thì ánh. .. metric, f : X → Y , g : Y → Z là nh ng ánh x liên t c thì g 0 f : X → Z là m t ánh x liên t c 1.2.2 Phép ñ ng phôi Song ánh f : X → Y t không gian metric X lên không gian metric Y ñư c g i là m t phép ñ ng phôi n u f và f −1 : Y → X ñ u là nh ng ánh x 11 liên t c Khi ñó song ánh f : X → Y là m t phép ñ ng phôi khi và ch khi v i m i dãy { xn } nh ng ph n t c a X và v i m i x0 ∈ X , lim xn = x0 ⇔ lim... , ( n → +∞ ) 28 Ví d 2.5: Cho s th c a và dãy s th c { xn } xác ñ nh b i:  x1 = a    xn+1 = ln ( 3 + cos xn + sin xn ) − 2012; n=1, 2,  Ch ng minh r ng dãy s { xn } có gi i h n h u h n khi n → +∞ Bài gi i ð t f ( x ) = ln ( 3 + cos x + sin x ) − 2012 , x ∈ ℝ thì f ′( x ) = cos x − sin x 3 + sin x + cos x T ñó, s d ng ánh giá cos x − sin x ≤ 2; sin x + cos x ≤ 2 ta suy ra f ′( x ) ≤ 2 3+ 2 =... Phương trình ñã cho tương ñương v i x = π − a sin x Xét ánh x A t không gian metric ñ y ñ ℝ vào chính nó A: ℝ → ℝ x ֏ Ax = π − a sin x v i a < 1 V i m i x, x′ ∈ ℝ ta có: Ax − Ax′ = a sin x − a sin x′ = 2 a cos ≤2a x + x′ x − x′ sin 2 2 x − x′ = a x − x′ v i a < 1 2 Suy ra Ax − Ax′ ≤ a x − x′ , a < 1 Do ñó A là ánh x co Theo nguyên lý ánh x co, ánh x A có ñi m b t ñ ng x duy nh t T c là, x ∈ ℝ th a