Một số ứng dụng của công thức khai triển taylor vào giải toán

1 Trờng Đại học hùng vơng Khoa khoa học tự nhiên Bộ môn toán o0o Lê Hải Ly Một số ứng dụng của công thức khai triển taylor vào giải toán Khoá luận tốt nghiệp: Đại học S phạm toán Ngời hớng dẫn: Cử nhân Trần Công Tấn Giảng viên bộ môn Toán Khoa Khoa học tự nhiên Phú Thọ, tháng 5 năm 2008 2 Mục lục Nội dung Trang Mục lục 2 Lời nói đầu 4 Chơng 1. Cơ sở lý thuyết 6 1.1.Các định lý về giá trị trung bình 6 1.1.1. Định lý Rolle 6 1.1.2. Định lý Lagrange 6 1.2. Công thức Taylor 6 1.2.1. Định lý (Taylor) 6 1.2.2. Dạng khác của công thức Taylor 7 1.2.3. Công thức Taylor Young 7 1.2.4. Công thức Maclaurin 8 1.2.5. Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thờng gặp 8 1.2.6. Khai triển hàm thành chuỗi Taylor 11 Chơng 2. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm một biến 13 2.1. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng 13 2.2. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn 15 2.3. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số 20 2.4. ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của hàm số 24 2.5. ứng dụng công thức khai triển Taylor chứng minh các bất đẳng thức tích phân và các bài toán về tổ hợp 27 2.5.1. Các bất đẳng thức tích phân 27 2.5.2. Các bài toán về tổ hợp 32 3 Chơng 3. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm hai biến 37 3.1. Tóm tắt lý thuyết 37 3.2. ứng dụng để viết các công thức khai triển và công thức xấp xỉ 38 3.3. Các bài toán về cực trị 41 3.3.1. Lý thuyết về cực trị của hàm số hai biến số 41 3.3.2. Các bài tập 42 Bài tập áp dụng 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 4 Lời nói đầu Trong chơng trình Toán cao cấp ở các trờng Đại học S phạm, Đại học Kỹ thuật hiện nay, học phần Giải tích đóng một vai trò quan trọng và đợc phân bố ngay từ những kỳ học đầu tiên của một số trờng Đại học. Với một chơng trình học dài và lợng kiến thức lớn ngời học thờng cảm thấy khó khăn khi học môn học này. Một trong những vấn đề khó khăn mà ngời học gặp phải là việc vận dụng công thức khai triển của chuỗi vào giải toán, đặc biệt là việc vận dụng công thức khai triển Taylor. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ngời học cảm thấy hứng thú khi học, ghi nhớ và vận dụng các công thức này trong việc giải toán. Trên thực tế chúng ta đã biết, để tính giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và luỹ thừa, để tính giới hạn của một hàm số có thể dựa vào định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc Lopitan, hay tìm cực trị của hàm bằng bảng biến thiên hoặc xét dấu với đạo hàm cấp hai, Tuy nhiên, việc tính các giá trị gần đúng của các hàm số khác nh hàm số lợng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, không dễ dàng và đơn giản nh vậy hay cũng có một số hàm mà bằng các phơng pháp trên chúng ta cha thể tìm đợc giới hạn và điểm cực trị của chúng. Khi đó vấn đề đặt ra tiếp theo là làm thế nào để tính giá trị, tính giới hạn, tính cực trị, của các hàm số này. Trong các giáo trình giải tích hiện nay phơng pháp hay đợc sử dụng nhất để giải quyết những vấn đề này là áp dụng công thức khai triển Taylor. Chính vì vậy tôi chọn khoá luận: Một số ứng dụng của công thức khai triển Taylor vào giải toán. Với việc hệ thống lại những áp dụng của công thức khai triển Taylor, khoá luận sẽ là tài liệu tham khảo giúp ngời học thấy rõ hơn vai trò và sự cần thiết của việc học tập môn học, cũng nh thấy đợc sự cần thiết của việc thờng xuyên theo dõi hệ thống các vấn đề và tăng cờng thực hành vận dụng các kiến thức đã học là một điều không thể thiếu đối với ngời học toán. Ngoài phần mục lục, lời nói đầu, bài tập áp dụng và tài liệu tham khảo khoá luận gồm 3 chơng: Chơng 1. cơ sở lý thuyết 5 Chơng 2. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm một biến Chơng 3. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm hai biến Chơng 1 là một số lý thuyết đầu tiên về công thức Taylor và các công thức khai triển của một số hàm sơ cấp. Chơng 2 chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng của công thức Taylor với hàm một biến nh: Tính gần đúng, tính giới hạn, tính khả vi, tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức tích phân và các bài toán về tổ hợp. Chơng 3 chúng ta sẽ nghiên cứu một số ứng dụng của công thức Taylor với hàm hai biến nh viết công thức khai triển, công thức xấp xỉ, tìm cực trị của hàm. Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Công Tấn cùng toàn thể các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán, Trờng Đại học Hùng Vơng đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này. Trong quá trình thực hiện có thể không tránh khỏi những thiếu sót rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn. Tác giả 6 Chơng 1. cơ sở lý thuyết 1.1. Các định lý về giá trị trung bình 1.1.1. Định lý Rolle Giả sử hàm số f: [a, b] R liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) sao cho f(c) = 0. 1.1.2. Định lý Lagrange Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) sao cho f(b) f(a) = f(c)(b a). 1.2. Công thức Taylor 1.2.1. Định lý (Taylor) Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên [a, b] và có đạo hàm cấp n+1 trên (a, b). Khi đó tồn tại một điểm c (a, b) sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (n) (n 1) 2 n n 1 f (a) f (a) f (a) f (c) f(b) f(a) b a b a b a b a 1! 2! n! n 1 ! + + = + + + + + + (1) Đẳng thức (1) vẫn đúng trong trờng hợp a > b. Khi đó [a, b] đợc thay bởi [b, a] và khoảng (a, b) đợc thay bởi (b, a). Công thức (1) gọi là công thức Taylor. Biểu thức ( ) ( ) (n 1) n 1 n f (c) R b a n 1 ! + + = + đợc gọi là phần d Lagrange. Chú ý: Có thể biểu diễn phần d n R dới nhiều dạng khác nhau. Nhng ở đây ta sẽ nói tới phần d dạng Cauchy. Nếu hàm số f thoả mãn các giả thiết của định lý trên thì tồn tại một số (a, b) sao cho: ( ) ( ) ( ) (n) 2 n n f (a) f (a) f (a) f(b) f(a) b a b a b a R 1! 2! n! = + + + + + (2) trong đó: 7 ( )( ) (n 1) n n f ( ) R b a b n! + = (3) biểu thức (3) đợc gọi là phần d dạng Cauchy. Trong công thức (1) và công thức (2) thay b bởi x, ta đợc n n f(x) P (x) R (x). = + Với: ( ) ( ) ( ) (n) 2 n n f (a) f (a) f (a) P (x) f(a) x a x a x a 1! 2! n! = + + + + và ( ) ( ) (n 1) n 1 n f (c) R x a n 1 ! + + = + hoặc ( )( ) (n 1) n n f ( ) R x a x n! + = , trong đó c, là những số thực nằm giữa a và x. n P (x) đợc gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm số f tại điểm a và n R (x) đợc gọi là phần d theo thứ tự dạng Lagrange và dạng Cauchy. Nếu ( ) n x a lim R x 0 = thì với x đủ gần a, có thể xấp xỉ f(x) bởi đa thức n P (x) . 1.2.2. Dạng khác của công thức Taylor Trong các công thức (1) và (2) ta đặt 0 x = a, h = b a, ta đợc b = 0 x + h và công thức Taylor có dạng: (n) 2 n 0 0 0 0 0 n f (x ) f (x ) f (x ) f(x h) f(x ) h h h R 1! 2! n! + = + + + + + (4) Với số d dạng Lagrange, ta có c = 0 x + h, là một số sao cho 0 < < 1 và ( ) (n 1) n 1 0 n f (x h) R h n 1 ! + + + = + (5) Với số d dạng Cauchy, ta có 0 x h = + , 0 < < 1, b (1 )h = , và ( ) (n 1) n n 1 0 n f (x h) R 1 h n! + + + = (6) Chú ý rằng số thực trong cả hai công thức (5) và (6) đều thuộc khoảng (0, 1) nhng nói chung chúng khác nhau. Tuỳ theo trờng hợp ta sẽ sử dụng công thức Taylor với phần d dạng này hay dạng kia. 1.2.3. Công thức Taylor Young 8 Định lý: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n 1 trên một lân cận của điểm 0 x và có đạo hàm cấp n tại 0 x . Khi đó: (n) 2 n n 0 0 0 0 0 f (x ) f (x ) f (x ) f(x h) f(x ) h h h h . (h), h 0 1! 2! n! + = + + + + + (7) Trong đó ( ) h 0 lim h 0 = (7) gọi là công thức Taylor Young; ( ) ( ) n n h h o h = gọi là phần d dạng Young. 1.2.4. Công thức Maclaurin Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n + 1 trên một lân cận của điểm 0. Trong các công thức (4), (5), (6) thay 0 x bởi 0 và h bởi x, ta đợc ( ) (n) 2 n n f (0) f (0) f (0) f(x) f(0) x x x R x 1! 2! n! = + + + + + , trong đó, ( ) ( ) (n 1) n 1 n f ( x) R x x n 1 ! + + = + , 0 < < 1 (phần d dạng Lagrange) hoặc ( ) ( ) ( ) (n 1) n 1 n f ( x) R x 1 x n 1 ! + + = + , 0 < < 1 (phần d dạng Cauchy) công thức trên đợc gọi là công thức Maclaurin. 1.2.5. Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thờng gặp a) = x f(x) e Ta có: (n) x f (x) e = , x và mọi n, (n) f (0) 1 = với mọi n. áp dụng công thức Maclaurin ta đợc: ( ) 2 3 n n 1 x x x x x x x e 1 e 1! 2! 3! n! n 1 ! + = + + + + + + + , x , (0,1) . b) f(x) = ln(1+x), x >1 Ta có: ( ) ( ) 1 1 f x 1 x 1 x = = + + , 9 ( ) ( )( ) 2 f x 1 1 x − ′′ = − + , ( ) ( )( )( ) 3 f x 1 2 1 x − ′′′ = − − + , …………… ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n (n) f x 1 n 1 ! 1 x − − = − − + . Do ®ã: f(0) = 0, f’(0) = 1, f”(0) = –1, …, (n) n 1 f (0) = ( 1) (n 1)! − − − . Vµ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (n 1) n 1 n n 1 n 1 n f ( x) x R x x 1 n! 1 x n 1 ! n 1 ! + + − − + = = − + + + θ θ θ VËy ( ) 2 3 n n 1 n 1 n n 1 x x x x 1 ln(1 x) x ( 1) ( 1) 2 3 n n 1 (1 x) + − + + = − + − + − + − + + θ , x ∀ > –1, (0,1) ∈ θ . c) f(x) = (1+x) α Ta cã: ( ) ( ) 1 f x 1 x α α − ′ = + , ( ) ( )( ) 2 f x 1 1 x α α α − ′′ = − + , …………… ( ) ( ) ( )( ) n (n) f x 1 n 1 1 x α α α α − = − − + + . Do ®ã f(0) = 1, f’(0) = α , f”(0) = ( ) 1 α α − , …, (n) f (0) ( 1) ( n 1) α α α = − − + . Tõ ®ã: ( ) 2 n n ( 1) ( 1) ( n 1) (1 x) 1 x x x R x 2! n! − − − + + = + + + + + α α α α α α α , trong ®ã: ( ) ( ) n 1 n 1 n ( 1) ( n) R x (1 x) x n 1 ! − − + − − = + + α α α α θ , (0,1) ∈ θ ,(phÇn d− d¹ng Lagrange) hoÆc ( ) ( ) n n 1 n 1 n ( 1) ( n) R x 1 (1 x) x n! − − + − − = − + α α α α θ θ , (0,1) ∈ θ ,(phÇn d− d¹ng Cauchy) hoÆc ( ) n n R x x (x) ε = , trong ®ã x 0 lim (x) 0 ε → = , (phÇn d− d¹ng Young). 10 + Nếu n là một số nguyên dơng thì n 2 n n(n 1) n(n 1) 1 (1 x) 1 nx x x 2! n! + = + + + + , x vì n R (x) 0 = , x . Đây là công thức khai triển nhị thức Newton đã biết. Ta xét một vài trờng hợp đặc biệt: + Với 1 = ta có: 2 3 n n n 1 1 x x x ( 1) x R (x) 1 x = + + + + + , với ( ) n n R x x (x) = , trong đó x 0 lim (x) 0 = tức là n n R (x) o(x ) = ,(x 0), (phần d dạng Young). + Thay x bởi x ta đợc: 2 3 n n 1 1 x x +x x x (x) 1 x = + + + + + , trong đó x 0 lim (x) 0 = . d) f(x) = sinx Ta có: (n) f (x) sin x n 2 = + . Do đó, ( ) 2k f (0) sin(k ) 0 = = , ( ) 2k+1 k f (0) sin k ( 1) . 2 = + = áp dụng công thức Maclaurin với n = 2k, ta có: 3 5 2k 1 k 1 2k x x x sin x x ( 1) R (x) 3! 5! (2k 1)! = + + + , x trong đó ( ) ( ) ( ) 2k 1 2k 1 2k 1 2k f ( x) x R (x) x sin x k 2k 1 ! 2k 1 ! 2 + + + = = + + + + , (0,1) ,(phần d dạng Lagrange). e) f(x) = cosx Ta có: (n) f (x) cos x n 2 = + . [...]... của công thức Taylor Kết luận chơng 2 Trong chơng này tác giả trình bày với cấu trúc nh sau: 2.1 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng 2.2 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn 35 2.3 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của h m số 2.4 ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của h m số 2.5 ứng dụng công thức khai triển Taylor chứng minh các... bất đẳng thức tích phân v các b i toán về tổ hợp Với 27 bài tập có lời giải cụ thể trong 5 ứng dụng đã giúp chúng ta giải quyết đợc những vấn đề về tính gần đúng, tính giới hạn, tính cực trị, tính khả vi, các bài toán về bất đẳng thức tích phân và tổ hợp của một số hàm phức tạp Chơng 3 ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm hai biến 3.1 Tóm tắt lý thuyết Công thức Taylor đối... nhiều hàm số có thể tính xấp xỉ bởi những đa thức với sai số đủ nhỏ và có rất nhiều phơng pháp tính xấp xỉ một hàm số bởi một đa thức, trong đó phơng pháp đợc sử dụng phổ biến nhất hiện nay trong các giáo trình Giải tích là phơng pháp sử dụng công thức khai triển Taylor Để thấy rõ hơn về ứng dụng khai triển Taylor vào tính gần đúng chúng ta xét các bài tập sau: B i tập 1: Tính gần đúng số e Lời giải Thay... Chứng tỏ f cũng khả vi tại x = 0 và có đạo hàm f = 1 12 Nhận xét: Cũng nh trong ứng dụng để xét tính giới hạn, nhờ có các khai triển cơ bản đó chúng ta đã dễ dàng xét tính khả vi của một số hàm phức tạp 2.5 ứng dụng công thức khai triển Taylor chứng minh các bất đẳng thức tích phân v các b i toán về tổ hợp 2.5.1 Các bất đẳng thức tích phân Định lý: (Công thức Taylor với phần d tích phân) Giả sử hàm số. .. khả vi liên tục trên khoảng đó Đối với hàm số một biến số khái niệm khả vi và có đạo hàm là hai khái niệm tơng đơng Để thấy đợc ứng dụng của công thức khai triển Taylor trong việc xét tính khả vi của hàm số ta xét các bài tập sau: B i tập 1: Xét tính khả vi của hàm số f(x) = 3 ex 1 x x2 sau tại điểm x = 0 2 Lời giải Theo công thức Taylor, xét khai triển của hàm e x đến o(x 3 ) ta có: x 2 x3 x x 2... vào những khai triển cơ bản ở mục 1.2.5 chúng ta đã giải quyết đợc bài toán tìm giới hạn của một số hàm mà bằng định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc Lopitan cha thể tìm giới hạn đó Nhng để có thể làm đợc các bài toán trên chúng ta buộc phải ghi nhớ các công thức khai triển của một số hàm sơ cấp và vận dụng thật đúng chỗ Tuỳ vào từng bài và từng trờng hợp mà chúng ta sử dụng phần d của các khai triển. .. hệ số của t p , p = 0, n + m trong các khai triển (2) và (3) bằng nhau p p p 1 p 1 p Vì vậy: Cn + m = C0 Cm + C1 Cm + + Cn C1 + Cn C0 n n m m (đpcm) B i tập 5: Sử dụng công thức khai triển (1 + x)10 hãy so sánh hai số (1,1)10 và 2 Lời giải n Từ dạng khai triển: (1 + x) =1 + nx + n(n 1) 2 n(n 1) 1 n x + + x ta có công 2! n! thức khai triển của (1 + x)10 , (n = 10): Có 11 số hạng, do đó có một số. .. gần đúng của các hàm số Trong phần trình bày này tác giả chỉ muốn đa ra để các bạn thấy công thức Taylor đã có đóng góp nh thế nào cho toán học khi mà khoa học kỹ thuật hiện đại cha phát triển 2.2 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn Chúng ta đã biết để tìm giới hạn của một hàm số có thể dựa vào định nghĩa, tính chất, định lý hay quy tắc Lopitan Tuy nhiên, cũng có một số hàm số mà bằng... điểm cực trị mà bài toán yêu cầu 2.4 ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của h m số Ta đã định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm qua đạo hàm của hàm số tại điểm đó Hàm số có vi phân tại một điểm khi nó có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm đó Vì vậy, nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm nào đó, ngời ta cũng nói rằng nó khả vi tại điểm đó Hàm số có đạo hàm liên tục trên một khoảng gọi là... 2.1 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng Trên thực tế chúng ta đã biết, để tính giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và luỹ thừa Tuy nhiên, việc tính các giá trị của hàm số khác nh các hàm số lợng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, không dễ dàng và đơn giản nh vậy Có khi chúng ta không thể tính đợc giá trị chính xác của một hàm số nhng . gặp 8 1.2.6. Khai triển hàm thành chuỗi Taylor 11 Chơng 2. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm một biến 13 2.1. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính. đúng 13 2.2. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn 15 2.3. ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số 20 2.4. ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét. một số dạng toán hàm một biến Chơng 3. ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm hai biến Chơng 1 là một số lý thuyết đầu tiên về công thức Taylor và các công thức