Một số ứng dụng của công thức tích phân cauchy

Khóa luận tốt nghiệp “Một số ứng dụng của công thức tích phânCauchy” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu củabản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô Tạ Thị Hoà

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH Tạ Thị Hoài An

Hà Nội – Năm 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời cảm

ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy

cô trong tổ bộ môn Giải tích cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đãtận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để

em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tìnhgiúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóaluận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mong nhận đượcnhững ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn để khóa luận đượchoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Vũ Thị Dương

Khóa luận tốt nghiệp “Một số ứng dụng của công thức tích phânCauchy” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu củabản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô Tạ Thị Hoài An.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Vũ Thị Dương

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học, công thức tích phân Cauchy được đặt tên theo

tên nhà toán học Augustin - Louis Cauchy Công thức tích phân Cauchy

có vai trò rất quan trọng, là một trong những kết quả trung tâm của

giải tích phức Công thức tích phân Cauchy chỉ ra rằng giá trị của một

hàm chỉnh hình tại một giá trị có thể tính thông qua các giá trị khác

Cụ thể hơn, nếu f là hàm chỉnh hình trong hình tròn thì giá trị của f

tại một điểm trong hình tròn đó được xác định một cách duy nhất bởi

các giá trị của f trên đường tròn Vì thế, công thức tích phân Cauchy

còn được gọi là “Định lý biểu diễn” Định lý này có ứng dụng rất rộng

rãi và là khởi nguồn cho nhiều kết quả sâu sắc trong giải tích phức

Ngoài ra, công thức tích phân Cauchy chỉ ra rằng trong giải tích phức

“đạo hàm tương đương với tích phân”, tức là phép lấy vi phân phức như

phép tính tích phân, tốt hơn nữa là giới hạn đều - một kết quả không

chứng minh được trong giải tích thực Không chỉ vậy, công thức tích

phân Cauchy còn nhiều ứng dụng khác nữa như lý thuyết thặng dư áp

dụng để tính tích phân, nguyên lý môđun cực đại, định lý cơ bản của

đại số - một trong những định lý quan trọng trong ngành đại số toán

học,

Việc nghiên cứu công thức tích phân Cauchy cho thấy được ứng dụng

rất hữu ích của nó trong toán học Vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài “Một

luận tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiên cứu

- Bước đầu tìm hiểu sâu hơn về công việc nghiên cứu khoa học, về việc

nghiên cứu các hàm chỉnh hình và công thức tích phân Cauchy Nghiên

cứu một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức về số phức, các hàm số phức, công thức tích phân Cauchy

và các ứng dụng

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục Tài liệu tham khảo thì khóa

luận bao gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Công thức tích phân Cauchy

Chương 3: Một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy

MỞ ĐẦU iii

1.1 Sơ lược về số phức 2

1.1.1 Trường số phức 2

1.1.2 Dạng đại số của số phức 3

1.1.3 Số phức liên hợp và mô đun của số phức 3

1.1.4 Dạng lượng giác của số phức 5

1.1.5 Dạng mũ của số phức 5

1.1.6 Phép khai căn của số phức 6

1.2 Một số khái niệm trong mặt phẳng phức 6

1.2.1 Đường cong trong mặt phẳng phức 6

1.2.2 Miền trong mặt phẳng phức 7

1.3 Hàm chỉnh hình 8

1.4 Một số hàm phức 11

1.4.1 Hàm đa thức 11

1.4.2 Hàm số lũy thừa 12

1.4.3 Hàm số mũ 12

1.4.4 Hàm lượng giác 12

1.4.5 Hàm logarit 13

2 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 14 2.1 Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên đường cong kín 14

2.1.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 14

2.2.1 Công thức tích phân Cauchy 17

2.2.2 Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm 18

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 22 3.1 Tính tích phân phức 22

3.2 Sự hội tụ đều của hàm chỉnh hình 24

3.3 Chuỗi Laurent và điểm kỳ dị 27

3.3.1 Chuỗi Laurent 27

3.3.2 Điểm kỳ dị 30

3.4 Lý thuyết thặng dư 35

3.5 Tính một số tích phân thực bằng phương pháp phức 37

3.6 Định lý cơ bản của đại số 40

3.6.1 Bất đẳng thức tích phân 40

3.6.2 Định lý Liouville 41

3.6.3 Định lý cơ bản của đại số 42

3.7 Nguyên lý môđun cực đại 43

Với lý do trên ta cần xét một trường C nào đó “hoàn thiện”, đó chính

là trường số phức

Trước tiên trên trường C phải có một phần tử i thỏa mãn i2 = −1.Xét tập C = {(a, b) | a, b ∈ R} Ta trang bị trên C quan hệ bằng nhau

và các phép toán sao cho C là một trường chứa R :

(i) Quan hệ bằng nhau : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d,

(ii) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ,

(iii) Phép nhân: (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Trường C như trên được gọi là trường số phức và số i được gọi là đơn vịảo

1.1.2 Dạng đại số của số phức

Mỗi số phức z = (x, y) có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng

z = x + iy với x, y ∈ R Biểu thức x + iy gọi là dạng đại số của số phức

z Ký hiệu: z = x + iy, trong đó x = Re (z) gọi là phần thực của số phức

z, y = Im (z) gọi là phần ảo của số phức z, i gọi là đơn vị ảo của sốphức z

Vì vậy, ta có thể viết C = {x + iy | x, y ∈ R}

Nhận xét 1.1.1 Nếu số phức z có phần thực x = 0 thì z gọi là sốthuần ảo Nếu số phức z có phần ảo y = 0 thì z gọi là số thực Hai sốphức z1, z2 gọi là bằng nhau nếu Re (z1) = Re (z2) và Im (z1) = Im (z2) Mệnh đề 1.1.1 Với mọi z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 thuộc C ta có

Định nghĩa 1.1.1 Cho số phức z = x + iy Số phức có dạng x − iyđược gọi là số phức liên hợp của số phức z, ký hiệu là ¯z

Định nghĩa 1.1.2 Cho số phức z = x + iy ∈ C Khi đó số thực

r = px2 + y2 gọi là mô đun của số phức z, ký hiệu là |z|

1.1.4 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa 1.1.3 Cho số phức z = x + iy ∈ C và r = |z| Khi đó một

số thực ϕ thỏa mãn x = r cos ϕ và y = r sin ϕ được gọi là một argumentcủa z, ký hiệu ϕ = arg z

Ta có tập các argument của z là Argz = {arg z + k2π | k ∈ Z} Một

số phức có vô số argument ϕ Số thực ϕ ∈ [0, 2π] được gọi là argumentchính của z

Số phức z = x + iy có dạng lượng giác z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ)

Mệnh đề 1.1.4 (Công thức Moivre)

zn = |z|n(cos nϕ + i sin nϕ)

1.1.5 Dạng mũ của số phức

Số phức z có dạng mũ z = reiϕ, trong đó r = |z| và ϕ ∈ Argz

Ta cũng có công thức Moivre cho dạng mũ như sau

Mệnh đề 1.1.5 Với mọi số phức z và mọi số tự nhiên n ta có

Công thức trên gọi là Công thức Euler

1.1.6 Phép khai căn của số phức

Cho n là một số tự nhiên và z là một số phức Ta nói w là một cănbậc n của z nếu w thỏa mãn điều kiện wn = z

Từ công thức Moivre ta nhận thấy mỗi số phức z có đúng n căn bậc nđược cho bởi công thức

wk = √n

r

cosϕ + k2π

n + i sin

ϕ + k2πn

,

với k = 0, 1, , n − 1, trong đó r = |z| và ϕ = arg z Như vậy

cos ϕ + k2π

n + i sin

ϕ + k2πn

, k = 0, 2, , n − 1



Nếu a ∈ C và r > 0 thì D (a, r) là đĩa mở tâm a, bán kính r và

D (a, r) = {z : |z − a| < r} Đĩa đóng {z : |z − a| 6 r} được ký hiệu là

D (a, r) và C (a, r) là đường tròn tâm a, bán kính r

1.2.1 Đường cong trong mặt phẳng phức

Giả sử ϕ (t) và ψ (t) là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a, b](a < b) Khi đó phương trình

z = z (t) = ϕ (t) + iψ (t) , a ≤ t ≤ b

cho biểu diễn tham số của đường cong liên tục L = z ([a, b]) trong C.Đường cong được gọi là trơn nếu nó có biểu diễn tham số z = z (t) =

ϕ (t) + iψ (t) sao cho ϕ và ψ là các hàm có đạo hàm liên tục với

Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại t1, t2 ∈ (a, b)

để ϕ (t1) + iψ (t1) = ϕ (t2) + iψ (t2) 6= ϕ (a) + iψ (a) được gọi là đườngcong Jordan hay chu tuyến

Ta gọi (1.1) là điều kiện Cauchy- Riemann.

∂f

∂z =

12

 ∂f

∂x − i∂f

∂y

, ∂f

∂ ¯z =

12

Do đó ta có thể viết lại điều kiện Cauchy-Riemann như sau

∂f

∂ ¯z (z0) = 0.

Định nghĩa 1.3.2 (Hàm chỉnh hình) Hàm w = f (z) xác định trênmiền Ω ⊂ C được gọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) tại z0 ∈ Ωnếu hàm f (z) có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó củađiểm z0, tức là, tồn tại ε > 0 sao cho f (z) có đạo hàm tại mọi điểm

z ∈ D(z0, ε)

Nhận xét 1.3.1

(i) Hàm w = f (z) xác định trên Ω ⊂ C được gọi là hàm chỉnh hình trênmiền Ω nếu hàm f (z) chỉnh hình tại mỗi điểm thuộc miền Ω Hàm f (z)chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng C được gọi là hàm nguyên

(ii) Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp Ω là miền tùy ýtrong C còn f là ánh xạ đi từ Ω vào C bởi phép nghịch đảo

Như vậy, khi z0 hữu hạn còn f (z0) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0nếu 1

f (z) chỉnh hình tại z0 Còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0nếu f  1

không tồn tại (xét các giới hạn theo hướng theo trục thực và trục ảo).

Định lí 1.3.2 Cho g là hàm chỉnh hình trên tập mở Ω1 và f là mộthàm phức liên tục trên tập mở Ω Giả thiết

(i) H (Ω) là một không gian vectơ trên C

(ii) H (Ω) là một vành

(iii) Nếu f ∈ H (Ω) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ Ω thì 1

f ∈ H (Ω)

(iv) Nếu f ∈ H (Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là một hằng số.

Chứng minh Ta chứng minh (iv)

Do f chỉ nhận giá trị thực nên ∂f

∂x và

∂f

∂y cũng chỉ nhận giá trị thực.Hơn nữa, do f là hàm chỉnh hình nên từ điều kiện Cauchy- Riemann tacó

Nhận xét 1.4.1 Hàm đa thức là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặtphẳng phức nên nó là hàm nguyên

1.4.2 Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng f (z) = zn với z ∈ C

Nhận xét 1.4.2 Hàm lũy thừa là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặtphẳng C và có đạo hàm f0(z) = nzn−1

1.4.5 Hàm logarit

Định nghĩa 1.4.3 Cho miền G ∈ C, hàm bất kỳ log : G −→ C thỏamãn elog (z) = z được gọi là hàm logarit trên G

Cho arg z là argument của z và z 6= 0 Khi đó

log z := log |z| + i arg z

Chú ý 1.4.1 Một số tính chất hàm log trên trường số thực không cònđúng trên trường số phức

Mệnh đề 1.4.2 Nếu log là hàm logarit chỉnh hình trên miền G ∈ Cthì log khả vi trên G với

d

dz log (z) =

1

z.

Chứng minh Lấy H := {log (z) : z ∈ G} là tập ảnh của hàm log

Hàm f : H −→ G được xác định bởi f (z) = ez và hàm g = log (z) Tathấy rằng g là hàm liên tục, f0 6= 0, f (g (z)) = z Nên theo định lý 1.3.2

CÔNG THỨC TÍCH PHÂN

CAUCHY

hình trên đường cong kín

2.1.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Goursat) [1] Nếu hàm w = f (z) liên tục trongmiền đơn liên Ω và γ là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trongΩ,thì với mọi ε > 0 tồn tại một hình đa giác P ⊂ Ω có các đỉnh trên γsao cho

Z

< ε

Chúng ta xem chứng minh trong tài liệu tham khảo [1]

Định lí 2.1.1 (Định lý Cauchy) [1] Nếu hàm w = f (z) chỉnh hình

trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc γ ⊂ Ω ta có

(1) Trường hợp γ = ∂4 với 4 là tam giác mà 4 ⊂ Ω

(2) Trường hợp γ = ∂P với P là đa giác

(3) Trường hợp tổng quát, γ là chu tuyến trơn từng khúc tùy ý Trườnghợp này ta sử dụng “Bổ đề Goursat” để chứng minh

Chứng minh chi tiết xem trong tài liệu tham khảo [1]

Định lí 2.1.2 Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn có biên là một chutuyến trơn từng khúc Khi đó nếu f là hàm liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂Ω vàchỉnh hình trên Ω thì Z

∂Ω

f dz = 0

2.1.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên

Ta gọi Ω là miền n- liên (hay đa liên bậc n) nếu biên là Ω gồm cóchu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1, , γn−1 đôi một không giao nhaunằm trong Ωγ, nghĩa là

∂Ω = γ ∪ γ1 ∪ γ2 ∪ ∪ γn−1.Chiều dương của ∂Ω được quy ước như Hình 1

2.2 Công thức tích phân Cauchy

2.2.1 Công thức tích phân Cauchy

Định lí 2.2.1 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω ∈ C và z0 ∈ Ω.Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂ Ω sao cho Ωγ ⊂ Ω và γ không đi qua z0,

ta có công thức tích phân Cauchy

f (z0) = 1

2πiZ

Ta thực hiện phép biến đổi η = z0+ ρeiϕ, khi đó dη = ieiϕdϕ Vế phảicủa đẳng thức (2.3) trở thành

f z0 + ρeiϕ
− f (z0) dϕ + 2πif (z0)

Chú ý rằng khi ρ −→ 0 thì do tính liên tục của f ta có

2.2.2 Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm

Định lí 2.2.2 (Định lý M-L) Giả sử f là hàm liên lục trên đườngcong γ : [a, b] −→ C và |f (z) | ≤ M với mọi z ∈ γ∗, ( γ∗ là ảnh của γ)

Nếu L là độ dài của đường cong γ thì

Z

γ

f (z) dz

... tách thành hai tích phân để tính vàkhơng áp dụng cơng thức tích phân Cauchy cho hàm

g (z) = sin πz

2 + cos πz2

Khi tích phân cho 2πig... data-page="28">

Chứng minh hoàn toàn tương tự phép quy nạp tốn học tachứng minh f có đạo hàm cấp, đạo hàm cáchàm chỉnh hình Ω (2.4) với n = 0, 1,

Công thức (2.4) thường gọi cơng thức tích phân Cauchy. .. 24

2.2 Cơng thức tích phân Cauchy< /h3>

2.2.1 Cơng thức tích phân Cauchy

Định lí 2.2.1 Giả sử f hàm chỉnh hình miền Ω ∈ C z0