Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange và hermite (LV thạc sĩ)
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ NGA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ NGA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu
THÁI NGUYÊN - 2018
Trang 3MỤC LỤC
1.1 Bài toán nội suy Lagrange 11.2 Bài toán nội suy Hermite 91.3 Bài toán nội suy Lagrange - Newton 18Chương 2 Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm
2.1 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm đơn 212.2 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm bậc tùy ý 26
3.1 Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên 433.2 Một số bài toán xác định đa thức 503.2.1 Tìm đa thức khi biết các nghiệm của nó 503.2.2 Sử dụng công thức nội suy Lagrange để xác định hệ số của
đa thức 533.2.3 Một số bài toán xác định đa thức khác không liên quan đến
các công thức nội suy 56
Trang 4MỞ ĐẦU
Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bàitoán liên quan tới đa thức thường xuyên được đề cập Những dạng toán nàythường được xem là thuộc loại khó, hơn nữa phần kiến thức về nội suy đa thứclại không nằm trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tíchbậc trung học phổ thông
Như ta đã biết, công thức nội suy Lagrange đã được đề cập ở bậc phổ thông.Tuy nhiên công thức nội suy Hermite chỉ có trong các tài liệu chuyên khảo Vìvậy, tôi chọn đề tài luận văn ”Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange
và Hermite”
Luận văn nhằm cung cấp một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange vàHermite để tìm nguyên hàm của hàm phân thức
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương
Chương 1 Nội suy Lagrange và nội suy Hermite
Chương 2 Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm phân thứcChương 3 Một số dạng toán liên quan
Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập áp dụng giảicác đề thi HSG quốc gia và Olympic liên quan
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Xin được gửilời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và chỉđạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình tìm hiểu tài liệu,viết và hoàn thiện Luận văn Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các quý thầy
cô trong Bộ môn toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, các Thầy Cô trường Đại họcKhoa học Tự nhiên Hà Nội, các Thầy Cô Viện Toán học đã tận tình giảng dạy,quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính để em hoàn thànhkhoá học và bảo vệ luận văn Thạc sĩ Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn
bè và cơ quan, đoàn thể nơi tôi công tác là Trường Trung học Phổ thông ThuỷSơn, Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, đã tạo mọi điều kiện về vật chất lẫntinh thần trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018
Tác giả
Hoàng Thị Nga
Trang 5Chương 1 Nội suy Lagrange và nội suy Hermite
Chương này được dành để trình bày về các bài toán nội suy Lagrange, bài toánnội suy Hermite và bài toán nội suy Lagrange-Newton, từ định lí, hệ quả cho đếnmột số ví dụ tính toán cụ thể
1.1 Bài toán nội suy Lagrange
Trong một số trường hợp, để tính tổng hữu hạn các phân thức, người ta thường
sử dụng một số tính chất của đa thức, đặc biệt là công thức nội suy Lagrange.Dưới đây là một số đồng nhất thức cơ bản và áp dụng của chúng
Định lý 1.1 (Đồng nhất thức Lagrange) Nếu x1, x2, , xm là m giá trị tuỳ ý,đôi một khác nhau và f (x) là đa thức bậc nhỏ thua m thì ta có đồng nhất thứcsau
f (x) = f (x1) (x − x2)(x − x3) (x − xm)
(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm)++f (x2) (x − x1)(x − x3) (x − xm)
(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)+ · · · + f (xm) (x − x1)(x − x2) (x − xm−1)
(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1). (1.1)Chứng minh Ta cần chứng minh công thức
Nhận xét rằng vế trái của công thức là một đa thức bậc không quá m − 1 và có
ít nhất m nghiệm phân biệt là x1, x2, , xm Vậy đa thức trên phải đồng nhấtbằng 0
Hệ quả 1.1 Từ Định lý 1.1, ta thu được các đồng nhất thức sau đây
Trang 6√2)(x − √
3)(x −√
7)(√
2(x − a)(x − b)(c − a)(c − b) ≡ x2 (a < b < c).Định lý 1.2 Giả sử f (x) là một đa thức bậc nhỏ thua hoặc bằng m − 2 (m > 2)
và x1, x2, , xm là m giá trị đôi một khác nhau cho trước tuỳ ý Khi đó, ta
có đồng nhất thức
f (x1)(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) +
f (x2)(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)
(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1) ≡ 0
Chứng minh Nhận xét rằng vế trái của đẳng thức đã cho chính là hệ số củahạng tử ứng với bậc m − 1 trong cách viết chính tắc của đa thức f (x) Đồng nhấtcác hệ số đồng bậc ta có ngay điều phải chứng minh
Dưới đây, ta xét một số ứng dụng trực tiếp của đồng nhất thức Lagrange
c + d + a(c − b)(d − b)(a − b)(x − b)+
d + a + b(d − c)(a − c)(b − c)(x − c) +
a + b + c(a − d)(b − d)(c − d)(x − d)
≡ x − a − b − c − d(x − a)(x − b)(x − c)(x − d).
Trang 73Lời giải Thật vậy, ta cần chứng minh
(a + b + c + d) − a(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) +
(a + b + c + d) − b(b − a)(b − c)(b − d)(b − x)+
+ (a + b + c + d) − c
(c − a)(c − b)(c − d)(c − x) +
(a + b + c + d) − d(d − a)(d − b)(d − c)(d − x)+
+ (a + b + c + d) − x(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = 0.
Ta có, với đa thức bậc nhất
f (y) = a + b + c + d − y, y1 = a, y2 = b, y3 = c, y4 = d, y5 = x,
theo Định lý 1.2 ta sẽ thu được ngay điều phải chứng minh
Định lý 1.3 Cho x1, x2, , xm là m giá trị tuỳ ý đôi một khác nhau Đặt
n 1
(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) +
xn2(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)
n m
(xm− x1)(xm− x2) (xm − xm−1).Khi đó
c) Để tính Sn khi n > m − 1 ta làm như sau:
Giả sử x1, x2, , xm thoả mãn phương trình bậc m
αm+ p1.αm−1+ p2.αm−2 + · · · + pm−1.α + pm = 0,
Trang 8(−1)k.pk = x1x2x3 xk+ · · ·Nhân cả hai vế của phương trình trên với αk, ta được
αm+k+ p1.αm+k−1 + p2αm+k−2+ · · · + pm−1.αk+1 + pm.αk = 0
Thay α trong đẳng thức này lần lượt bởi x1, x2, , xm; và lần lượt chia đẳngthức thứ nhất cho
(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm),đẳng thức thứ hai cho
(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm) ., rồi cộng vế với vế các đẳng thức mới vừa nhận được, ta thu được
Sm+k+ p1.Sm+k−1 + · · · + pm−1.Sk+1 + pm.Sk = 0 (1.2)Đặt k = 0, ta thu được Sm + p1Sm−1 = 0
Do đó Sm = −p1 = x1 + x2 + · · · + xm
Nhờ đẳng thức (1.2) ta sẽ lần lượt tính tiếp các biểu thức Sm+1, Sm+2,
Ta đặt lần lượt
1(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) = α1;
1(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm) = α2;
1(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1) = αm.Khi đó ta có
Sn = xn1α1 + xn2α2 + · · · + xnmαm.Xét
|x1z| < 1, |x2z| < 1, , |xmz| < 1,
Trang 9Luận văn đủ ở file: Luận văn full