Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i Mục lục Lời cảm ơn Danh sách hình vẽ Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức đồng dư thức 1.2 Một vài áp dụng phổ biến đồng dư thức số học 1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết 1.2.2 Tìm số dư phép chia Một số ứng dụng đồng dư thức 2.1 Thiết kế mơ hình 2.2 Kiểm tra mã số sách ISBN 2.3 Trò chơi xếp p quân hậu (tùy chọn) 2.4 Giải đấu vòng tròn lượt (tùy chọn) 2.5 Tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên ii iii 3 11 16 16 22 30 33 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Hồng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trân trọng công lao, quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ cơng tác Viện tốn học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn iii Danh sách hình vẽ Stt Tên hình Trang Hình 16 Hình 17 Hình 18 Hình 18 Hình 19 Hình 19 Hình 20 Hình 20 Hình 21 10 Hình 10 21 11 Hình 11 23 12 Hình 12 24 13 Hình 13 26 14 Hình 14 28 15 Hình 15 31 16 Hình 16 33 17 Hình 17 34 18 Hình 18 37 Mở đầu Karl Friedrich Gauss (1777-1855) mệnh danh "Ơng vua tốn học", ơng có đóng góp lớn đại số, hình học, vật lý, thiên văn học Disquisitiones Arithmeticae ơng đặt móng cho lý thuyết số đại Gauss nói rằng, số học thống soái toán học Một mối quan hệ đáng ý lý thuyết số quan hệ đồng dư, việc phát minh kí hiệu đặc biệt ≡ Gauss ví dụ bật lợi mà bắt nguồn từ ký hiệu thích hợp Lý thuyết đồng dư Gauss đưa giải cách có hệ thống chặt chẽ ứng dụng rộng rãi toán học Đồng dư thức phương pháp có tính chất kỹ thuật giúp bổ sung giải quyêt số vấn đề số học như: Chia hết vành số nguyên, tìm dư phép chia, Đặc biệt đồng dư thức ứng dụng to lớn đời sống thực tế như: Trong lĩnh vực truyền thông phát sửa lỗi thông điệp truyền Kiểm tra chữ số thường sử dụng để phát sai sót chuỗi chữ số thập phân kiểm tra serial tờ tiền giấy ngân hàng, nhà xuất sách, thư viện, công ty Với cơng lao, đóng góp lớn Gauss, tờ tiền Mark Đức in hình ảnh nhà tốn học Gauss đường cong chuẩn tắc tiếng ông Chúng ta thường không nhận thấy quan hệ đồng dư sống hàng ngày Qua luận văn ngồi ứng dụng biết tơi muốn nêu thêm số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Nội dung luận văn chia thành chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương 1: Trình bày kiến thức đồng dư thức vài áp dụng đồng dư thức số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết, tìm số dư phép chia Chương nghiên cứu mối quan hệ đồng dư Các mối quan hệ đồng dư có liên quan chặt chẽ, sử dụng xuyên suốt lý thuyết số Chương 2: Một số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN, chò chơi xếp p quân hậu bàn cờ pxp, lịch giải đấu vòng tròn lượt, tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Kiều Vân Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức đồng dư thức Trong chương này, ta quy ước tất chữ "a, b, c, x, y, z " biểu thị số nguyên tất môđun "m, n, " số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa đồng dư thức) Cho m số nguyên Số nguyên a đồng dư với số nguyên b theo mơđun m m|(a − b) Kí hiệu a ≡ b (mod m) Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a ≡ b (mod m) Tiếp theo ta nhắc lại số tính chất đồng dư thức Tính chất 1.1.2 (i) a ≡ b (mod m) tồn k ∈ Z để a = b + km (ii) a ≡ b (mod m) a b chia cho m số dư (iii) a ≡ a (mod m) (Tính chất phản xạ) (iv) Nếu a ≡ b (mod m), b ≡ a (mod m).(Tính chất đối xứng) (v) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) (Tính chất bắc cầu) Tính chất 1.1.3 Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a + c ≡ b + d (mod m) ac ≡ bd (mod m) Hệ 1.1.4 (i) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a − c ≡ b − d (mod m) (ii) Nếu a ≡ b (mod m) c số nguyên bất kỳ, a + c ≡ b + c (mod m), ac ≡ bc (mod m), a − c ≡ b − c (mod m), a2 ≡ b2 (mod m) (iii) Nếu a ≡ b (mod m), an ≡ bn (mod m) với n số nguyên dương Tính chất 1.1.5 (i) Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = 1, a ≡ b (mod m) (ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = d, a ≡ b (mod m d ) Chứng minh (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), có (c, m) = d Ta có m|(ac − bc), ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km Chia hai vế cho d ta dc (a − b) = k md Biết ( dc , md ) = 1, md |(a − b) Vậy a ≡ b (mod m) Tính chất 1.1.6 Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ), a ≡ b (mod [m1 , m2 , , mk ]) Hệ 1.1.7 Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ), với m1 , m2 , , mk đơi ngun tố Khi a ≡ b (mod m1 m2 mk ) Hệ 1.1.8 Mỗi số ngun có 0, 1, 2, , (m − 1) đồng dư theo môđun m Ví dụ 1.1.9 (Tìm số thứ sáu ngày mười ba năm) Đồng dư sử dụng để tìm số thứ Sáu ngày mười ba năm cho Dù có hay khơng thứ Sáu ngày mười ba xảy tháng định phụ thuộc vào hai yếu tố: Thứ mà có ngày mười ba tháng trước số ngày tháng trước Giả sử năm khơng nhuận ta muốn tìm số ngày thứ Sáu năm này, giả sử ta biết ngày mười ba xảy vào tháng mười hai năm ngoái Lấy Mi số tháng từ tháng mười hai năm ngoái đến tháng mười năm nay, lấy Di số ngày tháng Mi Các giá trị Di tương ứng 31, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30 Ta đặt tên cho ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy tương ứng số từ đến 6; Do thứ Sáu Ta có Di ≡ di (mod 7), ≤ di < Các giá trị tương ứng di 3, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, Mỗi giá trị di biểu diễn số mười ba tháng Mi phải cộng vào để tìm ngày mười ba rơi vào tháng Mi+1 Chẳng hạn ngày 13 tháng 12 năm 2000, ngày thứ Tư Vì vậy, ngày 13 tháng năm 2001 vào (3 + 3) = ngày 6, tức ngày thứ Bảy i dj (mod 7), ≤ i ≤ 12 Khi đó, ti biểu diễn cho tổng Lấy ti = j=1 số 13 tháng mười hai phải di chuyển để xác định ngày thứ mười ba tháng Mi Chẳng hạn, t3 ≡ d1 + d2 + d3 = + + ≡ (mod 7) Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáu ngày để xác định ngày 13 tháng ba năm 2001; Đó ngày (3 + 6) = ngày = ngày thứ Ba Chú ý nhiều giá trị khác ti theo môđun 3, 6, 6, 2, 4, 0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm thặng dư nhỏ theo môđun Biết ngày 13 tháng 12, sử dụng thặng dư nhỏ để xác định ngày mười ba tháng Mi năm khơng nhuận Bảng tóm tắt tương ứng với lựa chọn ngày 13 tháng tháng năm không nhuận, tương ứng với lựa chọn ngày 13 tháng 12 năm trước Từ bảng ta thấy có nhiều ba ngày thứ Sáu ngày 13 năm không nhuận Đối với năm nhuận, nhiều giá trị khác di 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2; Các giá trị tương ứng ti 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, Từ xây dựng bảng tương tự cho năm nhuận ... chẽ, sử dụng xuyên suốt lý thuyết số Chương 2: Một số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN,... Trình bày kiến thức đồng dư thức vài áp dụng đồng dư thức số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết, tìm số dư phép chia Chương nghiên cứu mối quan hệ đồng dư Các mối quan hệ đồng dư có liên quan... Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức đồng dư thức 1.2 Một vài áp dụng phổ biến đồng dư thức số học 1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết 1.2.2 Tìm số dư phép chia Một