một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường thpt

Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT trình bày về các kiến thức chuẩn bị, một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ, như: các bài toán tính toán, các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán chứng minh bất đẳng thức...và một so61 bài toán vận dụng.

Khoa khoa học tự nhiên

Một số ứng dụng của phương pháp toạ độ trong việc giảI toán ở trường thpt

Người hướng dẫn: Ths Nguyễn Chớ Thanh Người thực hiện : Nguyễn Phương Thảo

Lớp K 4 ĐHSP Toán

Phú Thọ, Tháng 06 năm 2009

2

MỤC LỤC

Lời núi ủầu……… .3

Mục lục……… 4

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị 6

Chương II: Một số lớp bài toán giải bằng phương phỏp toạ ủộ 2.1 Các bài toán tính toán 15

2.2 Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình 18

2.3 Các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình 20

2.4 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức 22

2.5 Các bài toán tìm cực trị 23

2.6 Các bài toán tìm quỹ tích 26

2.7 Các bài toán dựng hình 28

Chương III: Một số bài toỏn vận dụng 30

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo……….52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác Chính

vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết

Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655) Đặc trưng của môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm của mình Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc

vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa

ñộ Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị Điều ñó

ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa

ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”

Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích

4

j

y

y

M(x, y)

Chương 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng

Hệ tọa ñộ afin (O;
i,
j) có cơ sở ( i j

, ) gồm hai vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ

Descartes vuông gãc) KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1)

1.2 Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm

Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
, j
), nếu vectơ a
ñược Hình 1.1

viết dưới dạng: a
= xi y j
+ 
thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a

Kí hiệu: a
=(x, y)

Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ OM
ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm

M Kí hiệu: M(x, y) ⇔ OM
= +xi
y j

1.3 Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ: a
=( ,a a1 2);b
=( , )b b1 2

vµ c¸c ®iÓm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta có:

• a
= b
⇔ 1 1

2 2







=

=

• a
+ b
= (a1+ b1, a2+ b2)

• a b
− =
(a1−b a1, 2−b2)

• ka
=(ka ka1, 2)

• a
= a12+ a22

• AB= ( )2 ( )2

y y

x B−x A + B− A

• a b

⇔a b1 2 =a b2 1

• a
⊥ ⇔b
a b1 1+a b2 2 =0

• Nếu a
, b
khác 0
thì: cos( ,a b

) = 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

a b a b

+

1.4 Các công thức liên quan

§iÓm M(x ,y

M M )chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠-1⇔ MA
=k MB

1

B A

x

B A

y















−

−

§iÓm I (x1 , y1)là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB 1 2

B A x

B A y















+

=

⇔

+

=

§iÓm M là trọng tâm cña ∆ABC ⇔ 3

3

B

y M













=

=

Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ 0

§ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n
= ( A, B); vect¬ chØ ph−¬ng u
(-B, A)

Đường thẳng ñi qua ñiểm M (x y0, 0) và có vectơ pháp tuyến n
=( A, B)

có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0

Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M (x y ) và có 0, 0

vect¬ chØ ph−¬ng u
( a, b) là: 0

0







Phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M (x y ) và 0, 0 cã

vectơ chỉ phương u
( a, b) là: x x0 y y0

Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (x y0, 0) và có hệ số góc k cho

trước: y = k(x- x0) + y0

6

a

a'

n

n'

O

x

y

z

M

i

k

j

M'

Phương trỡnh ủường thẳng ủi qua A( a, 0) và B(0, b) cú phương trỡnh:

1

a+ =b (còn gọi là phương trình đoạn chắn)

Cho chựm ủường thẳng xỏc ủịnh bởi hai ủường thẳng cắt nhau:

(d1): A x B y C1 + 1 + =1 0 và ủường thẳng (d2): A x B y C2 + 2 + 2 =0

Khi ủú mọi ủường thẳng của chựm cú phương trỡnh dạng:

α(A x B y C1 + 1 + 1)+β(A x B y C2 + 2 + 2)=0 với 2 2

0

α β+ ≠

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đường thẳng (d1) có phương trình:

Ax + By +C = 0 và một điểm M(x y ) Khoảng cách từ M đến đường 0, 0

thẳng (d1) được tính theo công thức: d(M, d1)= 0 0

2 2

Ax By C

A B

Góc giữa hai đường thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đường thẳng (a) có phương trình: Ax + By +C = 0 và (a’) có

phương trình: A’x + B’y +C’ = 0 Khi đó:

góc α giữa hai đường thẳng (a) và (a’) được

tính theo công thức: cosα=

' ' ' '

+ + + Hỡnh 1.2

Như vậy: 2 đường thẳng (a) và (a’) vuông góc với nhau ⇔ AA'+BB' 0=

Đường tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phương trình là:

(x- a) 2+ (y- b)2= R2

1.5 Khỏi niệm hệ trục tọa ủộ trong khụng gian

Cho 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz ủụi một vuụng gúc

với nhau và chung một điểm gốc O Gọi i
, 
j , k

là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox,

Oy, Oz Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay (O; , ,

i j k
)

1.6 Tọa ủộ vectơ - Tọa ủộ ủiểm Hỡnh 1 3

+ Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
,
j k,
),nếu vectơ

a



ñược viết dưới dạng: a
= xi y j
+ 
+zk
thì

c p số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a
,

kí hiệu: a
=(x, y, z)

+ Trong không gian Oxyz, tọa ñộ của vectơ OM
ñược gọi là tọa ñộ của

ñiểm M Kí hiệu: M(x, y, z) ⇔ OM
= +xi
y j
+zk

1.7 Phép tính vectơ: Trong không gian cho các véctơ:

1 2 3 ( , , )

a
= a a a ; b
=( , , )b b b1 2 3 và các ñiểm M (1 x y z ); 1, ,1 1 M (2 x y z ) 2, 2, 2

Ta có:

 a
+ b
= (a1+b a1, 2+b a2, 3+b3)

 a b
− =
(a1−b a1, 2−b a2, 3−b3)  ka
=(ka ka k1, 2, a )3

 M M
1 2 =(x2−x y1, 2−y z1, 2−z1)

Khoảng cách d giữa hai ñiểm M1(x y z1 , 1 , 1) và M2(x y z2 , 2 , 2) là ñộ dài

của vectơ M M
1 2, ñược xác ñịnh bởi: d = ( ) (2 ) (2 )2

x −x + y −y + z −z

Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k: MM
1=k MM
2

ñược xác ñịnh bởi công thức:

1 1 1

x kx x

k

y

k

z kz z

k



















−

−

−

• Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M1M2 Khi ñó

x x y y z z

8

A

D

A

B C

C D

A'

B'

C' D'

Nếu u
=(x y z1, ,1 1); v
=(x y z2 , 2 , 2) thì: u v

= x x1 2+ y y1 2+z z1 2

• Đặc biệt: u
⊥v
⇔u v

=0

Nếu u
≠0
, v
≠0
thì: cos(u v

, ) = .

u v

u v



Tớch vevtơ (hay tớch cú hướng) của hai vectơ u x y z
( 1 , 1 , 1) và

( 2, 2, 2)

v x y z
kớ hiệu là u v

,  là một vectơ xỏc ủịnh bởi:

u v

,  = 1 1 1 1 1 1

Cỏc tớnh chất: u
và v
cộng tuyến ⇔ u v

, =0

u
⊥u v

,  và v
⊥u v

,  u v,  u v .sinα



 = 

trong ủú α là gúc giữa hai vectơ u
và v
u v

, = −v u

, 

ku v

, =u kv
,
=k u v

,  k∈ R

,u v t

+ =
 u v

, +u t

, 

Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ u
, v
, t
đồng phẳng là: ,u v t


 =0

1.8 Các công thức liên quan

Diện tích của tam giác có các đỉnh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) đ−ợc cho bởi công thức:

2

= 


hay:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

y y z z z z x x x x y y S

△

Thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ AB
, AD
, 
AA' là:

Vhộp= 


AB AD AA;  '

Thể tích hình tứ diện ABCD là:

V tứ diện =1 ;





Điểm G là trọng tâm ∆ABC khi và chỉ khi:

Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi:

Vectơ n
≠0
nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P) gọi là vectơ pháp tuyến của (P)

Mặt phẳng (P) qua M(x y z )0, 0, 0 có vectơ pháp tuyến là n A B C
( , , ) có phương trình là: A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0

Phương trình tổng quát của mp(P) là: Ax+By+Cz+D=0 với

0

A +B +C > )

Một số trường hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0) mp: Ax + Cz+D = 0 song song với Oy

mp: Ax+ D = 0 song song với mp(yOz) mp: x= 0 là mp(yOz)

∆ABC có n
=

AB AC,  là vectơ pháp tuyến của mp(ABC)

Phương trình x y z 1

a+ + =b c được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c≠0)

 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng- Chùm mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0 Khi đó: (P)≡(P’)⇔A:B:C:D=A’:B’:C’:D’

(P)(P’) ⇔ : : ': ': '







=

≠

(P) cắt (P’) ⇔A:B:C≠A’:B’:C’

10

M

d' u

u'

Nếu (P) cắt (P’) theo đường thẳng (∆) thì mọi mặt phẳng qua (∆) có phương trình: λ (Ax+ By+ Cz+D) +à(A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, (λ à2+ 2 ≠0)

 Phương trình của đường thẳng:

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0, (P) ∩(P’)= (∆) Khi đó phương trình tổng quát của (∆) là:

Ax By Cz D 0 (1)

A’x B’y C’z D’ 0 (2)







+ + + =

mp(1) có vectơ pháp tuyến n
1 =( , , )A B C , mp(2) có vectơ pháp tuyến

2 ( ', ', ')

n = A B C



Khi đó: u
=n n

1, 2 là vectơ chỉ phương của (∆)

Đường thẳng (∆) qua điểm M(x y z0, 0, 0) có vectơ chỉ phương ( , , )u a b c

có: + Phương trình tham số là:

0 0 0











= +

= +

= +

+ Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0

ư = ư = ư (a.b.c≠0)

 Vị trí tương đối của các đường thẳng

Cho đường thẳng (d) qua M0(x y z0, 0, 0) có vectơ chỉ phương ( , , )u a b c
,

đường thẳng (d’) qua M(x' , ' , '0 y 0 z 0) có vectơ chỉ phương ( ', ', ')u a b c
Khi

đó:

+ d và d’ đồng phẳng ⇔ u u MM
, '

 0 =0

+ d cắt d’ ⇔ , ' 0 0

: : ': ': '

u u MM





=

≠






+ d d’⇔a: b: c = a’: b’: c’≠ (x0 ' ưx0) (: y0 ' ưy0) (: z0 ' ưz0) ( tức là , 'u u

cùng phương nhưng không cùng phương M M
0 0')

+ d ≡d’⇔ u
; 'u
; M M
0 0' cùng phương

u'

d1

d2

Mo

Mo' h

⇔ a: b: c = a’: b’: c’=(x0'ưx0) (: y0'ưy0) (: z0'ưz0) + d và d’ chéo nhau ⇔ u u MM
, '

 0 ≠0

 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng (d):

0 0 0











= +

= +

= +

qua M(x y z0, 0, 0) có vectơ chỉ phương

( , , )

u a b c
và mp(P): Ax + By + Cz + D=0 có vectơ pháp tuyến n
=( , , )A B C

0

A +B +C ≠ )

+ (d) cắt (P) khi và chỉ khi: Aa + Bb + Cc ≠0

+ (d) song song với (P) khi và chỉ khi:

Aa Bb Cc= 0







+ + + + + ≠

+ (d) nằm trên (P) khi và chỉ khi:

Aa Bb Cc = 0

Ax By Cz D = 0







 Khoảng cách

Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 (x y z0, 0, 0)

Khi đó khoảng cách từ M0 tới (P) được xác định như sau :

Ax

+ + +

=

+ +

Cho điểm M1 và đường thẳng (d) đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u
Khi

đó khoảng cách từ M1 tới (d) được xác định như sau:

;

u




• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Trong không gian cho 2 đường thẳng chéo nhau có phương trình tham số:

(d1):

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct











= +

= +

= +

(d2):

0 0 0











= +

= +

= +

;

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) được

12

P

(d)

(d') w

n

tính theo công thức:

( , )

, '

d d d








 Góc

Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho 2 đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương lần lượt là: u
=(p, q, r) và u
'=(p’, q’, r’)

Góc giữa 2 đường thẳng (d) và (d’) được tính theo công thức:

cos((d), (d’)) =

2 2 2 2 2 2

+ + + + + +

Đặc biệt: (d) ⊥ (d’) ⇔pp’ + qq’+ rr’ = 0

Góc giữa hai mặt phẳng:

Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0

0

A +B +C ≠ ), n
=( , , )A B C và (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (A'2+B'2+C'2 ≠0), ' ( ', ', ')n
= A B C

Khi đó: Góc α giữa (P) và (P’) được tính theo công thức:

cosα=

AA BB CC

Đặc biệt (P) ⊥ (P’) khi và chỉ khi:

AA’ + BB’ + CC’ = 0

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( 2 2 2

0

và đường thẳng (d) có phương trình:

0 0 0

z z ct











= +

= +

= +

, ( 2 2 2

0

a + + ≠b c )

Khi đó: góc ϕ giữa (d) và (P) đ−ợc tính theo công thức:

sinϕ=

2 2 2 2 2 2

Aa Bb Cc

+ + + + , 0 ≤ϕ ≤ 900

Đặc biệt: (d) (P) hoặc (d) ⊂(P) khi và chỉ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0

14

A

D

A'

B'

C'

D'

y z

c

x

Chương 2: Một số lớp bài toán giảI bằng phương pháp

toạ độ 2.1 Cỏc bài toỏn tớnh toỏn

Phương pháp giải:

+ Chọn hệ tọa độ thích hợp:

- Trong mặt phẳng, chọn hệ tọa độ có 2 đường thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của 2 đường thẳng đó

- Trong không gian, chọn hệ tọa độ có đỉnh và các trục Ox, Oy, Oz là tam diện vuông hoặc ta vẽ thêm một số đường để được một tam diện vuông Gắn các trục Ox, Oy, Oz thích hợp

+ Biểu diễn các điểm đ9 cho qua hệ tọa độ vừa chọn Tìm phương trình các

đường, mặt đ9 cho

+ Sử dụng các kiến thức hình học giải tích, phương trình đường, mặt, các công thức tính khoảng cách, diện tích, góc, thể tích để làm sáng tỏ yêu cầu bài toán

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3 kích thước là a, b, c Hmy tính khoảng cách giữa hai đường chộo nhau BD và CD’ theo các kích thước a, b, c

Giải:

Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz trùng với các tia AB, AD, AA’( Hỡnh 2.1) Theo cách đặt đó và theo bài ra ta có:

A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0)

Vì: CD’ (A’BD) nên d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]

Mặt phẳng A’BD có phương trình: x y z 1

a+ + =b c

Do đó: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]=

B

y

M

N

P

=

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 0 1

1 1 1

abc

a b b c c a

+ +

Vậy khoảng cách giữa BD và CD’ bằng

2 2 2 2 2 2

abc

a b +c b +a c

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông cân tại C Trên các cạnh BC, CA, AB lần

l−ợt lấy các điểm M, N, P sao cho: MB NC PA

Chứng minh rằng: a) CP⊥ MN

b) CP= MN

Giải:

Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy sao cho: O≡C, tia Ox≡CA, tia

Oy≡CB (hỡnh 2.2) Ta có toạ độ các điểm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1)

Từ giả thiết ta đặt: MB NC PA k

MC = NA = PB= ( k > 0)

Do đó:











=

=

=











1 1

1 1

k k

k k



















= +

= + + +







Hỡnh 2.2

1

1

1 1

M

k k N k k P



















+

⇒

+ + +

⇒ ( , 1)

1

k MN

k k

− +



; 1

k CP

+ +



a ) Ta thấy: MN CP
.
=0⇒ MN ⊥CP b)

2

2

MN



;

2

2

2

CP

+



Vậy MN= CP (đpcm)