Bậc của ánh xạ và một số ứng dụng

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Dơng Thị quỳnh giang Bậc của ánh xạ và một số ứng dụng Chuyên ngành: hình học-tôpô Mã số 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy Bình - Vinh, 2006 - mục lục Trang Lời nói đầu 3 Chơng I Những kiến thức mở đầu 5 Đ1 Đa tạp khả vi 5 Đ2 Đồng luân 16 Chơng II Bậc của ánh xạ và một số ứng dụng 21 Đ1 Định nghĩa và các ví dụ 21 Đ2 Tính chất của bậc các ánh xạ 29 Đ3 Một số ứng dụng của bậc các ánh xạ 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Lời nói đầu - 2 - Cùng với sự phát triển của đại số hiện đại, tôpô đại số là một sự liên kết sâu sắc giữa hai lĩnh vực nói trên của toán học, đã ra đời và phát triển mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Là lĩnh vực vừa đợc nghiên cứu nh một ngành độc lập, vừa đợc xem nh là một công cụ giải quyết nhiều vấn đề của toán học hiện đại. Bậc của ánh xạ : f với , là các đa tạp khả vi n-chiều = = là một khái niệm quan trọng trong tôpô đại số. Thông qua sự tính toán bậc của ánh xạ, nhiều câu hỏi thuộc lĩnh vực hình học đã đợc giải quyết. Khái niệm này còn có nhiều ứng dụng quan trọng đối với giải tích phức. Để hiểu sâu sắc hơn về khái niệm này, luận văn tập trung nghiên cứu một cách có hệ thống định nghĩa, các tính chất và một số ứng dụng điển hình của bậc các ánh xạ. Luận văn đợc chia thành hai chơng với nội dung nh sau: Chơng I Những kiến thức mở đầu Đ1. Đa tạp khả vi Đ2. Đồng luân. Chơng II Bậc của ánh xạ và một số ứng dụng Đ1. Định nghĩa bậc của ánh xạ và các ví dụ. Đ2. Tính chất của bậc các ánh xạ. Đ3. Một số ứng dụng của bậc các ánh xạ. Trong Chơng I chúng tôi chọn lọc, đa ra những kiến thức mở đầu, những kết quả quan trọng về đa tạp khả vi, những kiến thức về các ánh xạ đồng luân. Chơng II, cũng là nội dung chính của luận văn, đợc chia thành ba mục. Trong Đ1 chúng tôi đa ra định nghĩa bậc của ánh xạ : f trong trờng hợp , là các đa tạp định hớng và cả khi chúng không định hớng. Đồng thời đa ra một số ví dụ về bậc của ánh xạ. Nội dung đợc trình bày ở Đ2 và Đ3 là một số tính chất cũng nh ứng dụng điển hình của bậc các ánh xạ. - 3 - Vì năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các thầy cô giáo và các bạn vui lòng sửa chữa, góp ý. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Nhân đây, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Duy Bình, ngời đã dày công hớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, BGH, các bạn đồng nghiệp ở trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi dã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Vinh, tháng 11/2006 Dơng Thị Quỳnh Giang. Chơng I Những kiến thức mở đầu Đ1 đa tạp khả vi 1.1. Đa tạp khả vi: - 4 - 1.1.1. Định nghĩa: i, Giả sử là 2 -không gian. Nếu U mở trong và U là tập mở trong n Ă và * :U U là đồng phôi thì ( , )U đợc gọi là một bản đồ của . ii, Với p U thì ( ) n p Ă nên 1 2 ( ) ( , , ., ) n p x x x = . Khi đó 1 2 ( , , ., ) n x x x đợc gọi là hệ tọa độ địa phơng. iii, Giả sử 1 1 2 2 ( , );( , )U U là hai bản đồ của sao cho 1 2 W U U= . Khi đó 1 1 ( , )U và 2 2 ( , )U đợc gọi là phù hợp nếu tồn tại vi phôi 1 2 1 1 2 : = o W W với 1 1 2 2 ( ), ( )W W W W = = . 1.1.2. Chú ý: Ta thấy 1 2 1 1 2 :W W = o thì 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) = = =o o . Khi đó 1 2 1 o đợc gọi là công thức đổi tọa độ từ 1 1 ( , )U sang 2 2 ( , )U đối với các điểm p W . * Quy ớc: Nếu 1 2 U U = thì 1 1 ( , )U và 2 2 ( , )U là phù hợp. 1.1.3. Định nghĩa: i, Giả sử là 2 -không gian. A = {( , ) } i i i I U là họ các bản đồ trên . Nếu A thỏa mãn: = i i I U ( , ) i i U và ( , ) j j U là phù hợp, với i j thì ta nói A là một Atlas của . ii, Hai Atlas A = {( , ) } i i i I U và B = {( , ) } j j j J V đợc gọi là phù hợp nếu ( , ) i i U và ( , ) j j V phù hợp với ,i j . * Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A B cũng là một Atlas. 1.1.4. Định nghĩa: i, Atlas A đợc gọi là cực đại nếu mọi Atlas B của mà B A thì B=A. ii, Nếu A là một Atlas n -chiều cực đại trên thì A đợc gọi là một cấu trúc khả vi n -chiều trên . iii, Một 2 -không gian có cấu trúc khả vi n -chiều đợc gọi là đa tạp khả vi n -chiều. - 5 - * Nhận xét: - Atlas cực đại A gọi là cấu trúc khả vi nếu 1 i j o là vi phôi, với ,i j . - Khi nói là đa tạp khả vi thì ta chỉ biết Atlas với số bản đồ ít nhất. 1.2. Đa tạp con, đa tạp tích. 1.2.1. Định nghĩa: Cho đa tạp khả vi m -chiều và là không gian con n - chiều của (0 ) m n . Giả sử tại mỗi điểm của có một bản đồ ( , )U trên , 1 2 ( ) ( , , ., ) m y y y y = sao cho 1 { : . 0} + = = = = n m U y U y y . Khi đó tất cả các cặp ( , )V với / ; = = U V U là ánh xạ đồng phôi lên {0} n ìĂ , làm thành một bản đồ khả vi trên . Không gian với cấu trúc khả vi B = {( , ) } j j j J V trên là một đa tạp khả vi và đợc gọi là đa tạp con n -chiều của . 1.2.2. Định nghĩa: Cho là đa tạp khả vi m -chiều với Atlas A = {( , ) } i i i I U . là đa tạp khả vi n -chiều với Atlas B = {( , ) } j j j J V . Kí hiệu: : ( ) ( ) m n ij i j i i j j f U V U V + ì ì Ă 1 1 ( , ) ( , ., , , ., ) m n a b a a b ba Khi đó , {( , ) } i j ij i j U V fì là một Atlas của ì và ì với cấu trúc khả vi trên là một đa tạp m n+ chiều, gọi là đa tạp tích của hai đa tạp và . 1.3. ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp. 1.3.1. Định nghĩa: Giả sử , là các đa tạp. ánh xạ : f đợc gọi là khả vi nếu: f liên tục Với mọi bản đồ ( , )U của và ( , )V của sao cho 1 ( )U f V W = đều có 1 1 2 : ( ) ( ( ))f W W W W = =o o khả vi. 1.3.2. Định lý: ánh xạ : f khả vi khi và chỉ khi với mọi bản đồ ( , )U trên và mọi bản đồ ( , )V trên sao cho ( )f U V ta có với - 6 - 1 ( ), : ( , ., ), 1, ., i i m y f x x U y h x x i n = = = , trong đó i h là những hàm m biến thực khả vi. Chứng minh: * Nếu f là một ánh xạ khả vi thì do tính liên tục của f , với mỗi p có một bản đồ ( , )U tại p và một bản đồ ( , )V tại ( ) f p sao cho ( )f U V . Với mỗi cặp bản đồ nh thế ta có 1 h f = o o khả vi, mà: 1 1 1 ( , ., ) ( ) ( ( )) ( )( ( )) ( ) ( , ., ) n m y y y f x f x h x h x x = = = = =o o 1 ( , ., ) i i m y h x x = . * Ngợc lại, với mọi bản đồ ( , )U của và ( , )V của sao cho 1 1 ( ) ( ) ( )f U V U f V W U f V = ta có với ( ), : = y f x x U 1 ( , ., ), 1, ., i i m y h x x i n= = với i h là những hàm khả vi. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ., ) ( , ., ) ( ) ( , ., ) ( ( )) ( , ., ) ( )( ( )) ( , ., ) ( )( , ., ) ( , ., ) n m m m m m m y y h x x y h x x f x h x x f x h x x f x x h x x = = = = = o o o o 1 f h =o o khả vi. Vậy f khả vi. 1.3.3. Hệ quả: ánh xạ : f khả vi khi và chỉ khi với mọi cặp bản đồ ( , )U trên và ( , )V trên sao cho ( )f U V , các hàm tọa độ ( ), ( 1, ., ) i f x i m= khả vi trên U . 1.3.4. Định lý: Tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi. Chứng minh: Giả sử : , : f g là các ánh xạ khả vi. Khi đó với mọi bản đồ ( , )U trên ; ( , )V trên và ( , )W trên sao cho: ( )f U V , các hàm số ( ), ( 1, ., ) i f x i m= khả vi trên U . ( )g V W , các hàm số ( ), ( 1, ., ) j i g y j n= khả vi trên V . Khi đó: ( ) ( ) ( )h U g f U g V W= o và ij j i h g f= khả vi trên U , do đây là tích các hàm tọa độ khả vi. Vậy, : h là ánh xạ khả vi. - 7 - 1.4. Vectơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc với đa tạp tại một điểm. 1.4.1. Định nghĩa: i, Cho là đa tạp khả vi m -chiều. ánh xạ khả vi : ( , ) a b sao cho 0 ( )t p = đợc gọi là đờng cong khả vi trên đa tạp , đi qua p . ii, Ký hiệu: F ( ) { : |= Ăp f f khả vi trong lân cận p U chứa }p . Ta gọi vectơ tiếp xúc với tại p là ánh xạ :v F ( ) Ăp 0 ( ) ( ( )) | = ìa t d f v f f t dt . Khi đó vectơ tiếp xúc với tại p cũng đợc gọi là vectơ tiếp xúc với đa tạp tại p . * Nhận xét: g v là ánh xạ tuyến tính. g ( . ) ( ). ( ) ( ). ( ), ,v f g g p v f f p v g g f= + F ( ), p p . 1.4.2. Định lý: Với mọi , 1,2, ., p p U i m = đặt | p i x : F ( ) p Ă ( ) | | = a p p i i f f f x x . Khi đó : | p i x là véc tơ tiếp xúc với tại p . Chứng minh: Ta cần tìm cung ( ) ( ) ( ) ( ) : . | , = i i p i d t f t f f dt x F ( ) p . Thật vậy: Đặt ( ) : , i a b ( ) 1 2 1 1 , , ., , , , ., i i i m t p p p p t p p + +a trong đó ( ) 1 , ., m p p p và ( ) 0 ,a b . Khi đó ( ) 0 i p = . Ta có : ( ) ( ) 0 1 2 1 1 . | ( , , , , , , , ) = + = + i t i i i m d d f t f p p p p t p p dt dt = 0 0 | = = ì m i t i i dx f x dt = ( ) | | = p p i i f f x x - 8 - | p i x tiếp xúc với đờng cong ( ) i t tại p hay | p i x là véc tơ tiếp xúc với tại p . 1.4.3. Định nghĩa: Ký hiệu = p p ={véc tơ tiếp xúc với đa tạp tại p }. Khi đó p cùng với hai phép toán : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ,+ = + g p v v f v f v f v v f F ( ) p ( ) ( ) ( ) , , = ì g Ă p v f v f v làm thành một không gian véc tơ với cơ sở | p i x và gọi là không gian tiếp xúc với đa tạp tại p . Ký hiệu = p p :không gian tiếp xúc với đa tạp . 1.5. ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi. Giả sử là đa tạp m -chiều với cấu trúc khả vi ( ) { } , i i i I U , là đa tạp n - chiều với cấu trúc khả vi ( ) { } , j j j J V . ( ) : , af p f p là ánh xạ khả vi. p là không gian các véc tơ tiếp xúc với đa tạp tại p . ( ) f p là không gian các véc tơ tiếp xúc với đa tạp tại ( ) f p . 1.5.1. Định nghĩa: ánh xạ tiếp xúc của f tại p là ( ) : p p f p f đợc xác định nh sau: nếu p v là véc tơ tiếp xúc với đờng cong tại p thì ( ) ' = p f v v là véc tơ tiếp xúc với đờng cong ( ) f t ì tại ( ) 'p f p= . ( p f còn đ- ợc ký hiệu ( ) 'f p hay * p f ). Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra các kết quả sau: 1.5.2. Mệnh đề: i, ứng với ánh xạ đồng nhất 1 : ta có: ( ) 1 1 = p p . - 9 - ii, ( ) : p p f p f là ánh xạ tuyến tính. Đặc biệt nếu f là vi phôi thì p f là đẳng cấu tuyến tính, p . iii, Cho : f và : h là các ánh xạ khả vi. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) , = ì p p f v h v h f v . iv, Cho : , : f g là các ánh xạ khả vi, p . Khi đó ( ) ( ) ( ) ì = ì p p f p g f g f . 1.6. k - dạng vi phân trên đa tạp. 1.6.1. Các dạng đa tuyến tính thay dấu. a, Định nghĩa: Cho là không gian véc tơ Ơclid n -chiều. ánh xạ: : . = ìì ì Ă 1 442 4 43 k k đợc gọi là dạng k-tuyến tính nếu và chỉ nếu: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , ., , ., , , , , , , , , i i k i k i k x x x x x x x x x x à à + = + * Nhận xét: i, Dạng k-tuyến tính bằng 0 nếu có một biến bằng 0, đặc biệt triệt tiêu tại O(0,,0). ii, ( ) 1 1 1 1 , , ( , ., ) k k k i k i x x x x = = . b, Định nghĩa: Dạng k-tuyến tính đợc gọi là phản đối xứng nếu và chỉ nếu: ( ) ( ) 1 1 , , , ., , ., , , , ., , ., i j k j i k x x x x x x x x = . (ở đây i x và j x đổi chỗ cho nhau, còn các t x khác giữ nguyên). Kí hiệu: ( ) { | = k là dạng k-tuyến tính phản xứng trên } k ( ) k là không gian vectơ. c, Định nghĩa: Nếu ( ), ( ) k l thì tích ngoài của chúng là phần tử 1 1 1 1 ( , ., ) ( 1) ( , ., ) ( , ., ) ( )! k l k k k l i i i i i i i i x x x x x x k l + + + = ì + , trong đó tổng lấy theo - 10 -