Cấu trúc đại số và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGU N TH THẮ C U TR C ĐẠI S V NG NG KHÓA LUẬN T T NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngàn Đ HÀ NỘI - 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGU N TH THẮ C U TR C ĐẠI S V NG NG KHÓA LUẬN T T NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Đ Ngƣờ ƣớng dẫn khoa học GVC VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI - 2014 ỜI C ƠN Vƣơng T ông - n- Sinh viên Ng Nguyễn Thị Thắm nT T ắ K36C-SP Tốn ỜI C Đ N Vƣơng T ơng C ng ng Sinh viên Ng Nguyễn Thị Thắm nT T ắ K36C-SP Toán C C ỞĐ U L ch sử nghiên c u c tài ng ph m vi nghiên c u c Nhi m vụ nghiên c u c tài tài u K t c u c a khóa lu n NỘI DUNG CHƢƠNG NHỮNG KIẾN TH C LIÊN QUAN é i s m ngơi tính ch t ĩ 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Tính ch t 1.2 Quan h th t n ngơi tính ch t ĩ 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Tính ch t 1.2.4 Quan h c bi t CHƢƠNG C U TR C ĐẠI S 2.1 C VÀ NG D NG i s s p th t ĩ 2.1.2 Ví dụ C c bi t 10 2.2.1 Nhóm t 10 2.2.2 Nhóm Aben t 16 2.2.3 Nhóm Aben h u h n sinh 19 Nguyễn Thị Thắm K36C-SP Toán ng c u nhóm 26 2.2.5 Nhóm gi c 27 2.2.6 Ứng dụng 28 2.3 Các l c bi t 29 2.3.1 Mi n nguyên 29 2.3.2 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa) 32 2.3.3 Vành 33 34 Ơ 34 2.3.5 Vành Artin vành Noether 36 2.3.6 Vành nguyên t vành nửa nguyên t 39 2.3.7 Vành nguyên th y vành nửa nguyên th y 40 38 nh nử 39 41 42 2.3.10 Ứng dụng 43 C c bi t 44 M 44 M 46 43 M nh 48 44 M i x 49 A 2.4.5 M 2.4.6 M 50 51 2.4.7 Ứng dụng 52 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KH O 54 Nguyễn Thị Thắm K36C-SP Tốn ỞĐ U ọn m Vƣơng : C Thơng ng ng ng n ĩ Đ ƣ ng ng n ụ N ng n M M M P ƣơng ng Nguyễn Thị Thắm n K36C-SP Toán ận ụ : C : Ch :C ụ Nguyễn Thị Thắm K36C-SP Toán CHƢƠNG NHỮNG KIẾN TH C LIÊN QUAN 1.1 P é n i s m ngơi tính ch t 1.1.1 Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 1.1 Cho X   , ta g é is f :XX X ánh x ng vi t xfy Kí hi u: , *,  é Ta m r nh X m t f : X m  X Ta is ng vi t f  x1, x2 , , xm  N u X t p h u h n có n ph n tử ta có th c: S é is nh X là: nn S é is m nh X là: nn m 1.1.2 Ví d ng ℕ phép tốn (1) Phép c ngơi (2) Phép nhân ma tr n c p t p h p ma tr n c p phép tốn ngơi 1.1.3 Tính ch t Ta vi t phép toán theo l i nhân: (1) K t h p: V i m i x, y, z  X (2) Giao hoán: V i m i x, y  X (3) T n t i ph n tử trung hòa ( (4) :  xy  z  x  yz  xy  yx ): - T   X cho:   x  x    x, x  X , - T e  X cho: ex  xe  x,x  X M x X x  X cho: x   x  x  x   , x1  X cho: x.x1  x1.x  e Nguyễn Thị Thắm K36C-SP Toán 1.2 Quan h th tự n ngơi tính ch t 1.2.1 Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 1.2 nh X  Y m t b ph n R  X  Y Ta g i quan h N u  x, y   R ta vi t xRy nói x có quan h Rv i y; xét theo quan h bao hàm  hẹp nh t, X  Y r ng nh t Kí hi u: R, S, , , , ~ - N u X  Y R quan h nh X - M r ng ta g i b ph n R  X1  X  nh X1  X   X n quan h n xác  Xn 1.2.2 Ví d (1) th c a m t ánh x f : X  Y cho ta m t ví dụ v quan h hai ngơi (2) xRy n u x  y g i quan h ng nh t X (v i X t p b t kỳ) 1.2.3 Tính ch t Cho R quan h (1) (2) nh X, R có tính ch t sau: Ph n x : V i m i x  X , xRx i x ng: V i m i x, y  X , n u xRy yRx (3) B c c u: V i m i x, y, z  X n u xRy , yRz xRz (4) Ph n x ng: V i m i x, y  X , gi sử xRy , yRx x  y 1.2.4 Hai quan h ngô ặc bi t  Đ n ng ĩ 1.3 (Quan h ) Quan h hai ngơi R có tính ch t: ph n x h i x ng, b c c u quan kí hi u là: ~ x, y  X , n u x ~ y theo quan h ~ ta xem x y u giúp r t nhi u ho Nguyễn Thị Thắm ng th c ti n c i K36C-SP Toán 2.3.7 Vành nguyên thuỷ vành n a nguyên thuỷ a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.16 Gi sử C i c a vành R T p h p D  r  R : R C an ph i t hai phía l n nh t ch a C Dc nguyên thuỷ bên ph i c a R n u t n t i m t R c g i m n nh t ch a C  Đ n ng ĩ 2.17 c g i vành nguyên thuỷ bên ph i n u 0 Vành R nguyên thuỷ bên ph i c a  Đ n ng ĩ 2.18 C MR Ta g i giao c a t t c i c a MR MR kí hi u b i Rad  MR   MR J y Rad  M R   A AM  Đ n ng ĩ 2.19 a MR Ta g i t ng c a t t c c MR kí hi u Soc MR  N u MR y Soc  M R   Soc MR   c  E , E ch y kh p t EM a MR  Đ n ng ĩ 2.20(Vành nửa nguyên th y) R c g i vành nửa nguyên thuỷ (bên ph i) n u Rad  R  ĩ Chú ý: nên t suy vành nửa nguyên thuỷ bên ph i ửa nguyên th y bên trái b) Các ví d R (1) M (2) M Nguyễn Thị Thắm R u vành nguyên thuỷ R / Rad  R vành nửa nguyên th y 40 K36C-SP Toán 2.3.8 V n ƣơng ƣơng vành n a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.21 R n u R / Rad  R m t th cg  Đ n ng ĩ 2.22 R u R / Rad  R vành c g i vành nử nử b) Các ví d (1) M i th m (2) Ảnh toàn c u c (3) Vành nử Nguyễn Thị Thắm 41 K36C-SP Toán 2.3.9 V n ơn n n ơn a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.23 M t R- c g i m t R- nử u t ng c a nh ng R Đ n ng ĩ 2.24 Vành R RR (ho c R R ) c g i vành nửa  Đ n ng ĩ 2.25 R RR (ho c R R c g i vành nử nử b) Các ví d (1) M (2) Vành t ng c u c a không gian vect h u h n chi u m t th (3) M i th vành nử (4) Ảnh toàn c u c a vành nử Nguyễn Thị Thắm 42 K36C-SP Toán 2.3.10 ng ng é ụ : ℤ, ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x] - ℤ :   2.2  1   3   3  a  b 3 | a, b    -  3  i - i Ơ - Trong ℚ[x] : - Trong ℝ :  ar x  br m 1x2  1x  1  f  x    a1x  b1  m1 n1 r  x s  s x   s  ns k  k2  4k k  - Trong ℂ : f  x    a1x  b1  m1 Nguyễn Thị Thắm  ar x  br m r 43 K36C-SP Toán 2.4 C ô ô 2.4.1 n ặ n a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.16 Gi sử R m t vành giao hoán M t RAben  M ,  v i ánh x ph i M nhóm c ng c g i phép nhân v ng R M M , x  x tho mãn b u ki n:   x  y   x   y   R, x, y  M , ,   R, x  M , iii)     x   x   x   x     x iv) 1x  x x M i) ii) R ,   R, x  M , cg u Ph n tử c c g i vơ c kí hi u ,  , , b) Ví d 1 (1) Cho R m mơ v é R t ng phép nhân R (2) Cho A v i phép c ng nhóm giao hốn A nguyên Z v é ng:  : A Z  A  a, n Nguyễn Thị Thắm a  a  a , : n   n  an  0, : n   a    a     a  , : n     n  44 K36C-SP Tốn c) Tính ch t Cho M R- v i m i x, y  M m i ,   R ta có: i) 0R.x  0M , ii) .0M  0M , iii) . x    .x   x, iv) . x  y    x   y, v)    .x   x   x Nguyễn Thị Thắm 45 K36C-SP Toán ô 2.4.2 n ự a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.17  , S m t t p h p b t kì Cho R vành giao hốn Ta g i m t R- f : S  F cho v i m i ánh x m t ánh x R- t kì t n t i nh hf  g , t F t p S m t R- i g : S  X v i X m t ng c u mô h : F  X cho tam giác sau giao hốn: S F X b) Ví d (1) V i K-không gian vect X K(2) Mô R- S   t v (3) B n thân R R- S  1 v c a R c) Tính ch t  Đ nh lí 2.27 T n t i nh t R- F t p S  Đ nh lí 2.28 Cho s m t t p b t kì, kí hi u H { X s , s  S, X s R- nó} F S là:  X s , X s  H R- sS F  F :  : S  R ,   s  Nguyễn Thị Thắm 46 K36C-SP Toán    X s ,   s      Xs , Xs  H  Đ nh lí 2.29  sS sS u ki A  Ai , Ai ≃ R, i  I A Rd) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.18 X Cho R- p S, X g c l p n tính n u m i b ph n h u h n n ph n tử c a S x1, x2 , , xn n u: n  x  0,  R,i  1, n thì i 1 i i M t t p S c a X n s c a X i i  0, i  1, n X c l p y, n u F R- cg t p S S sinh F c l p ĩ c a F T : khác v  Đ n ng ĩ 2.19 Cho R- M M c R- Nguyễn Thị Thắm M M p sinh t c a M 47 K36C-SP Tốn 2.4.3 n x ảnh a) Đ n ng ĩ  Đ n ng ĩ 2.20 M i x g : A  B c a Rt ng c u f : P  B toàn c u nh n u v i m ng c u h : P  A cho g.h  f nt tam giác sau giao hốn: P A O B b) Tính ch t  Tính ch t 2.1 R M u x nh  Tính ch t 2.2 M nh tồn c u c a m nh  Tính ch t 2.3 M i h ng tử tr c ti p c a nh nh  Tính ch t 2.4 N u P   Pi nh Pi iI nh, v i i  I  Tính ch t 2.5 u ki PR iv : u ki i) P x ii) M i toàn c u  : B  P chẻ (t c Ker h ng tử tr c ti p B) iii) nh i v i m i toàn c u  : B  C ánh x Hom1p ,   : HomR  P, B   HomR  P,C  toàn c u Nguyễn Thị Thắm 48 K36C-SP Tốn 2.4.4 n nội x a) Đ n ng ĩ  Đ nh ng ĩ 2.21 M ng c u f : A  Q m i c g i n i x n u v i m u g : A  B c a nh ng Rcho hg  f ĩ nt im ng c u h : B  Q sau giao hốn: O A B Q b) Tính ch t  Tính ch t 2.6 N u Q Q iI i x Qi n i x , v i i m i i I  Tính ch t 2.7 M i h ng tử tr c ti p c a m i x n i x  Tính ch t 2.8 QR iv im i) Q n i x ii) M : u ki u  :Q  B chẻ ĩ Im h ng tử tr c ti p B) iii) iv im u  : A  B , ánh x : Hom,1Q  : HomR  B, Q  HomR  A, Q toàn c u Nguyễn Thị Thắm 49 K36C-SP Tốn 2.4.5 nN e e ô n n a) Đ n ng ĩ M t R- M cg ng Artin) n u m i t p khác r a M có nh t m t ph n tử c ng c c ti u) theo quan h bao hàm Chú ý: M M i mô th u ki n c A i u ki n c c ti u b) Ví d (1) ℤ Artin (2) M u h n chi u v a mô a A (3) Không gian n chi u không Noether, không Artin c) Tính ch t  Tính ch t 2.9 Cho M Ri) M R- ii) M iii) M : u ki M u h u h n sinh c a M là: A1  A2  u d ng  Tính ch t 2.10 M Cho M R- M N M / N Noether  Tính ch t 2.11 Cho M Ri) M Artin ii) N M / N Artin v iii) M i dãy gi Nguyễn Thị Thắm : u ki a M M 50 u d ng A1  A2  u d ng K36C-SP Tốn n ơn 2.4.6 Mơ nn ơn a) Đ n ng ĩ M M R- R- Rb) V (1) M (2) M (3) MR , Soc  MR  c) T n  Tn 2.12 MR  Tn Soc  MR   MR ỉ 2.13 : MR i) MR ii) MR iii) M MR iv) M MR Ý ĩa: Mô Nguyễn Thị Thắm MR Rad  MR   é gian vec 51 K36C-SP Toán 2.4.7 ng ng R- : ụ không gi Nguyễn Thị Thắm 52 K36C-SP Toán ẾT UẬN ; ĩ Nguyễn Thị Thắm 53 K36C-SP Toán T I IỆU TH H 998 ụ ụ [4 a : X Nguyễn Thị Thắm (1997), , Nxb 54 ụ K36C-SP Toán ... 2.2.6 Ứng dụng 28 2.3 Các l c bi t 29 2.3.1 Mi n nguyên 29 2.3.2 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa) 32 2.3.3 Vành 33 34 Ơ 34 2.3.5 Vành Artin vành... Artin vành Noether 36 2.3.6 Vành nguyên t vành nửa nguyên t 39 2.3.7 Vành nguyên th y vành nửa nguyên th y 40 38 nh nử 39 41 42 2.3.10 Ứng dụng 43 C c bi t ...TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGU N TH THẮ C U TR C ĐẠI S V NG NG KHÓA LUẬN T T NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Đ Ngƣờ ƣớng dẫn khoa học