Động học của quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân tất định và ngẫu nhiên

£>ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự■ NHIÊN ■ ■ ■ ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN ĐỘNG HỌC ■ ■ CỦA QUẨN THỂ Đ ợ■c MƠ TẢ BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGẪU NHIÊN m Dynamics o f Population Described by Determ inistic and Stochastic Differential Equations Mã số: QT 05-03 Chủ trì để tài: Nguyễn Hữu Dư HÀ NỘI 2006 DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN ĐỘNG HỌC CỦA QUẦN THỂ Được MƠ TẢ BỞI PHƯƠNG ■ ■ ■ TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGAU n h iê n Dynamics o f Population Described by Determ inistic and Stochastic Differential Equations Mã số: QT 05-03 Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư Cán tham gia: - GS TSKH Nguyễn Duy Tiến ĐHKH Tự nhiên - TS Lê Công Lợi ĐHKH Tự nhiên - TS Trịnh Tuấn Anh Đ H S ưphạm H N - ThS Tống Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên HÀ NỘI 2006 MỤC LỤC Trang I Báo cáo tóm tắt tiẽng Việt II Báo cáo tóm tắt tiếng Anh III Nội dung 12 IV Kết luận 21 V Tóm tắt kết nghiẽn cứu khoa học 27 VI Phụ lục: Các báo liên quan đếnđề tài 29 VII Phiếu đăng ký đề tài 77 I BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ T M I QT-05-03 Tên đề tài (hoặc dự án): Tiêhg Việt: Động học quần thể mơ tả phương trình vi phân tất định ngẫu nhiên Tiêng Anh' Dynamics of Population Described by Deterministic and Stochastic Differential Equations Mã số' Q T -05-03 Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư Tên cán phối hợp nghiên cứu: • GS TSKH Nguyễn Duy Tiến • TS Lê Cơng Lợi ĐHKH Tự nhiên uv • TS Trịnh Tuấn Anh ĐHSưphạm HN uv • ThS ĐHKH Tự nhiên Thư ký Tống Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên uv Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Một tốn quan trọng sinh thái-mơl trường nghiên cứu dáng điệu số lượng cá thể hệ khoảng thời gian lâu dài Trong tiến trình phát triển mình, vài lồi hệ bị diêt vong số cung số lượng loài tiến tới trạng thái cân Việc biết thơng tin giúp cho nhà hoạch định chiến lược đưa sách đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa sách kịp thời để đảm bảo cho phát triển bền vững môi trường Sự phát triển hệ phức tạp lên nhiều có tham gia yếu tố ngẫu nhiên khí hậu, di nhập cư Mục tiêu đề tài đưa kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận hệ sinh thái mô tả phương trình vi phân Lotka-Voltera mơi trường ngẫu nhiên phương trình vi phân Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng Đề tài QT 05-03 thực từ tháng năm 2005 đến tháng năm 2006 nhằm giải số vấn đề sau đây: + Nghiên cứu dáng điệu hệ sinh thái gồm có hai lồi phát triển theo mơ hình cạnh tranh Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra hệ số hàm tuần hồn có chu kỳ Sau đó, ta xét hệ có tham gia tiếng ồn kiểu điện báo + Nghiên cứu tính hỗn loạn hệ thú mồi, có thú mồi Các hệ số hệ nhũng trình markov bước nhảy có hai trạng thái Các kết đạt a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ có hai lồi cạnh tranh nhau, số lượng hệ mô tả phương trình Lotka-Volterra với hệ số tuần hồn mơi trường ngẫu nhiên Sự ngẫu nhiên can thiệp vào hệ thông qua q trình Markov bước nhảy có hai trạng thái, trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn thỏa mãn điều kiện ổn định, tồn quỹ đạo tuần hồn hút nghiệm khác Khi thay đổi trạng thìa trình Markov, phát triển hệ thay đổi theo tạo thành phát triển hỗn loạn Tuy vậy, chúng tơi dáng điệu tập Ị mê ga giới hạn Việc biết thông tin qua trọng cho dù có biến động ngẫu nhiên, hệ ln phát triển bền vững Song phát triển vững tồn phương diện lý thuyết Trên thực tế số lượng lồi thấp ngưỡng cho trước ta xem lồi bị diệt vong Trong kết quẩt chứng minh phần thuộc biên thược tập Ồ mê ga giới hạn nên ta phải xem hai loài bị diệt vong b) Nghiên cứu động học hệ thú mồi môi trường ngẫu nhiên: Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai lồi, lồi thứ mồi lồi cịn lại Chúng ta giả thiết hệ phát triển hai chế độ khác môi trường chuyển đổi chế độ tuân theo trình trình Markov bước nhảy Được biết mơi trường tất định, hai lồi phát triển theo quy luật tuần hồn Tuy nhiên chúng tơi phát môi trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hỗn loạn, số lượng lồi trở nên nhỏ bé, trở nên lớn hệ khơng phát triển bền vững Cũng mơ hình cạnh tranh nhận phần a), hệ thú mồi mơi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp Số lượng lồi dao động diệt vong (mức 0) bùng nổ (mức vơ cùng) thực tế hệ có nguy bi tiêu diệt Các kết luận từ mơ hình khẳng định rằng, mơi trường, chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi cách ngẫu nhiên sớm hay muộn có lồi bị diệt vong Các kết luận đóng vai trò quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Nó giúp cho nhà đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời can thiệp vào hệ để khai thác tối ưu hệ tránh việc phá hủy môi trường sinh thái c) "Điều khiển tối ưu hệ tất định ngẫu nhiên" Đã viết 01 sách Cuốn sách dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học tài liệu chuyên khảo cho NCS Các kết nghiên cứu đề tài thể báo báo cáo khoa học sau: Nguyễn Hữu Dư ”Điều khiển tối ưu hệ tất định ngẫu nhiên” NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005 Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra model perturbed by white noise, in tạp chi Jour of Mathematical Analyse and Applications N H Du , R Kon, K Sato and Y Takeuchi Dynamical behavior of lotka volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka -volterra competition systems: non autonomous bistable case and the effect telegraph noise, Journal of Computational and Applied Mathematics , of 170 (2004), no 2, pp 399-422 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol 57, No Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in Biology N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment, in tạp chi Jour of Mathematical Analyse and Applications a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ có hai lồi cạnh tranh Chỉ cạnh tranh môi trường ngẫu nhiên phức tạp quỹ đạo hệ dao động hai trạng thai cân b) Nghiên cứu động học hệ thú mồi môi trường ngẫu nhiên: Cũng mơ hình cạnh tranh nhận phần a), hệ thú mồi môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp s ố lượng lồi dao động diệt vong (mức 0) bùng nổ (mức vơ cùng) thực tế hệ có nguy bi tiêu diệt c) Đã viết 01 sách "Điều khiển tối ưu hệ tất định ngẫu nhiên" Cuốn sách dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học tài liệu chuyên khảo cho NCS Các kết nghiên cứu đề tài thể 05 báo báo cáo khoa học sau sách: d) Đề tài góp phần đào tạo nhiều cử nhân khoa học, 03 học viên cao học Phạm Thị Hằng, Nguyễn Thị Hồng Nguyễn Thị Oanh Đề tài hỗ trợ đắc lực cho nhiều NCS khoa Tốn - Cơ - Tin học Tình hình tài để tài Đề tài cấp 20.000.000d năm 2005 2006 vaddwowcj chi vào mục sau đây: + Các báo báo cáo khoa học thù lao chuyên môn: 10.000.000 đ + Hội thảo Seminar khao học 4.600.000 đ + Hỗ trợ xuất sách "Điều khiển tối ưu ” 4.600.000 đ + Quản lý sở, nghiệm thu đề tài 1.400.000 đ Tổng cộng: 20.000.000 đ Xác nhân Ban Chủ nhiêm Khoa Ị 'ìí/ i) ’v Chủ trì đề tài Á *4 PGS TS Nguyễn Hữu Dư Xác nhận Trường ĐH Khoa học Tự nhiên TGS.TS / ã 'i to J ^ li n /ư n SCIENTIFIC PROJECT BRANCH: MathematicsPROJECT CATEGORY: National University Title of Project: Dynamics of Populations Described by Deterministic and Stochastic Differential Equations Code of Project: QT 05-03 Head of research group: Assoc Prof Nguyen Huu Du Managing Institution Implementing Institution Collaborating Institutions: Participants: • Prof Nguyễn Duy Tiến • Lecturer Trịnh Tuấn Anh • Lecturer Lê Cơng Lợi • Lecturer Tống Thành Trung Duration: Member Member Member Member from 03-2005 to 03-2006 10 Budget: 20.000.000 VND 11 Main results: a) Results in science and technology: With a moderate budget 20.000.000 VND, our research group has carried out some good results We have written some scientific papers in which there are two papers have been published in rather famous international journal We have took part many conferences to give talk and discuss to other on our scientific obtained results Understanding dynamical relationship between population systems with the random factors of environment is a central goal in ecology The variation of random factors can cause sharp changes in an ecological system This research is concerned with the study of trajectory behavior of Lotka-Volterra predator-prey system under the telegraph noises It is well-known that for a predator-prey Lotka-Volterra model \begin{equation}\label {E1.1} \begin{cases} \dot x(t) = X (t)(a - by (t)), w \dot y (t) = y (t)(-c +dx (t)), \end{cases} \end{equation} where $a,b,c$ and $d$ are positive constants, if there is no influence from environment, the population develops periodically However, effect in practice, the of random environment or of seasonal dependence must be taken into account Up to the present, many models reveal the effect of environmental variability on the population dynamics in mathematical ecology Especially a great effort has been expended to find the possibility of persistence under the unpredictable or rather predictable (such as seasonal) environmental fluctuations The noise makes influences on an ecological system by various ways By the complexity of stochastic models, we are limited on considering a simple color noise, say telegraph noise The telegraph noise can be illustrated as a switching between two regimes of environment, which differ by elements such as the nutrition or as rain falls The changing is non-memories and the waiting time for the next change has an exponential distribution Under different regimes, the intrinsic growth rate and interspecific coefficient of (1.1) are different Therefore, when random factors make a switching between these deterministic systems, it seems that the behavior of the solution is rather complicated By intuition, we see that the behavior of the solution of perturbed system can inherit simultaneously the good situation and the bad situation In a view of ecology, the bad thing happens when a species disappears and a good situation occurs when all species co-exist and their amount of quantity increases Slatkin concentrates on analyzing a class of models of single population which grows under this kind of telegraph noise, and obtained the general conditions for extinction or persistent fluctuations We consider the behavior of a two-species population, developing under two different conditions of environment connected each other by telegraph noise It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of such a system always exile from any compact set of int$\R_+A2=\{(x,y): x>0, y>0\}$ with probability one if two rest points of the two deterministic systems not coincide If these two rest points coincide and if the quantities of population not converge to the rest point, then the quantity of each species oscillates between $0$ and $\infty$ That explains that for a random eco-system, the population varies complicatedly b) Results in practical application: We consider an ecology system of two competing species Suppose that the evolution of every species depends on the quantity of rainfall for every period If the rainfall is sufficient, their competition potential is equal and they develop periodically Whenever the rainfall is small, the second species becomes very weak and its amount gets smaller with increasing of time although the influence of the other environment elements is still seasonally 10 (periodically) However, in case the rainfall is in a stationary regime, the quantity of every species oscillates between the good situation and bad situation There is no species to be disappeared Practically, when the quantity of a species is small, we consider that it perishes Thus we see that in an eco-system, if two species compete under the influence of random environment or in model with white noise, one of them must be vanished This conclusion warns us to have a timely decision to protect species in our eco­ system c) Results in training: • Support to many bachelor’s degrees of science; • Support to three master's diplomats of science: Pham Thi Hang, Nguyen Thi Hong and Nguyen Thi Oanh; • Support to some Ph D students d) Publications : Nguyễn Hữu Dư "Điều khiển tối ưu hệ tất định ngẫu nhiên" NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005 Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra model perturbed by white noise, in tạp chi Jour of Mathematical Analyse and Applications N H Du , R Kon, K Sato and Y Takeuchi Dynamical behavior of lotka volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra competition systems: non autonomous bistable case and the effect telegraph noise, Journal of Computational and Applied Mathematics, of 170 (2004), no 2, pp 399-422 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol 57, No Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in Biology N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment, in tạp chi Jour of Mathematical Analysis and Applications 12.Evaluation grade: good (if the project has been evaluated by the evaluation com mittee: excellent, good, fair) 11 EVOLUTION OF PERIODIC POPULATION SYSTEMS 463 There is Si > such that i f e < y ( t ) ( resp £ < x ( t ) ) , then in fo < j< y ( t + L e m m a s) > £ /2 ( resp in fo c jc s , x ( t + s) > £ / ) 'fo r any t > P ro o f On the set (0, M / m ] X (0, M / m], ỷ / y is bounded below by a constant, say y, and hence y ( t + s) > y(t )eys We can choose < Si < |ln 2/y I □ The image o f the periodic solution u * ( t ) o f (2.7) is the smallest interval , L e m m a denoted by r x , containing Yy and Yjj ■ Similarly, the image o f the periodic solution V* (!) of (2.8) is the smallest interval, denoted by r y , containing Yy and Y y Here, Yjj , Yy are two periodic orbits o f ủ + = u + { a ( + , t ) - b ( + , t ) u + ) and v+ = v + ( d { + , t ) — / ( + , r)u + ), respectively P ro o f set of u * (t) The function t h-ỉ- u*(t) is continuous and it is easy to show that the a)-limit contains with probability one Therefore, its image is a connected set in Y jj , Yjj R + Thus it must be an interval Hence, by Lem ma 2.1, this image is the smallest interval containing Yjj lY y ■ The argument is sim ilar fo r the solution v * (t) □ Suppose that conditions (2.10) and (2.11) hold Let a)(x, y) be the T h e o r e m 4.7 a>-limit s et o f the s o l ut i o n ( x { t , X, y ) , y ( t , X, }>)) o f ( ) wi t h X > 0, y > Then, ỵ + c co(x, y), where y + is a unique periodic solution o f (2.5) P r o o f The p ro o f is somewhat sim ilar to that o f Theorem 3.6 For the convenience o f the proof, we suppose £o = +■ Let £] = I £, —— , Ị, 2M M , Ê4 = min{£2, £ } - where as mentioned in C orollary 3.4 is chosen so that £ < £ and £3 is given by Lemma 4.4 We construct a sequence 771 = inf{2& + ; (X2k+] > £ A y2k+i i l £4 ) or (x2k+\ > r)2 = in f{2Ả; -f- > ■qn — in f{2 £ + > 771 £4 A y ik + \ > £ ) }, ; (x k+\ > e A y>2k+i > £ ) or {X2k+} > r\n -\ ; (*2 k + \ > £ A Put An = {co ; Ơ ^ + I < y k+\ > £4 ) or (X2 k+ £4 A y ik + > > £4 A £ )} , y k+i > and ơn„+ > t) B y the same trick as used in the p ro of o f Theorem 3.6 we can show that 00 \ p \ P i J At J = P{co ; ơr,H+ < s and a V n + > t i.o n) = (4.4) \ U l i=k Suppose 1_ _ ^ (5i > r\ that 1is~ ' ĩ ỉ~ y + ) is ic ao neighborhood ní»i rrhKrvrKnrvH o f y■\/Jr Qc in L em m a 3.5 arbiưaryI and Us2( + as We choose Si as in Lem m a 4.5 and T * = s = S\ and t = T *(S , £ / ) as in Lem m a 3.2 B y choosing r * + I T in (4.4), we see that there are in fin ite ly many n such that either (X2n+1 > £ A V2rc+1 Í £4) or (x 2n+] £4 A J2n+1 ^ „ + > T * + U sing Lem m a 4.5, we obtain C*2n+2 ( x ( t2 n + + ^3* s) w ith Ơ2n+1 < and e /Cg4/ , which im plies that y ( T2/!+2 + ^3* ; ĩ ' y ) ) = ( x + ( T f , X2n+2, y i n ^ l ) , -y+ C1| ■* r t - , V2n+2)) e Ơổ ( ỵ + ) by Lem m a 3.2 Thus, from Lem m a 3.5, fo r any u * >■*) € ỵ + , the trajector>’ - S T - £ ))• 464 N DU, R KON, K SATO AND Y TAKEUCHI of ( x ( t , x , y ), y { t , x , y )) passes through the neighborhood U s ^ { x * ,y * ) on the interval (T2/1 + , r 2„ + ) This means that Y + c co(x, y) □ I f (x *, y * ) e y + , then f o r any we have L e m m a 4.8 P { ( x n, yn) e í/ỉ, (x * , y * ) i.o n] = (4.5) P r o o f The p ro o f is quite sim ila r to that o f Lemma 3.7, so we o m it it □ Suppose that conditions (2.10) and (2.11) hold Let cư{x , )0 be the T h e o r e m 4.9 Cử-limit s e t o f t h e s o l u t i o n U ( r , X, y ) , y ( t , X, y ) ) w i th X > 0, y > Every o rb it y ~ ( X * , y * ) o f the solution o f (2.6) starting at any point o f y + is a (a) subset o fa > (x ,y ) (b) I f y + r \ A ^ 0, then r x X {0} c co(x , y) (c) ỉ f y + n B ^ 0, t hen {0} (d) I f c : = y + n I ^ 0, then the smallest connected p art o f I containing y ~ (a unique X r y c ù) ( x, y) periodic o rb it contained in i , see Lemma 4.2) and c is contained in Ci)(x, y ) P r o o f , (a) We obtain the assertion by replacing Lemma 3.7 w ith Lemma 4.8 in the proof o f Theorem 3.8 (b) Suppose that (jc*, jy*) e y + r\ A From (a) we see that Y ~ ( x * , y * ) Since (x*, y * ) G A , by Lemmas 2.1 and 4.2 we see that Yy x {0} c a>(x,y) c y ~ ( x * , ;*) Thus, Y j X {0} c co(x, y) Let X* e Yu and '$1 > be arbitrary It is easy to see that Yịj c [e, k f ] and there is Mo) for any M / m > UQ > £, where u Ịh (|+ 7„](-, Mo) = T * > such that Yu c Uy t {m+ (? uo) ■ t\ < t < t \ + } Hence, by the continuous dependence of solutions on the initial data, w e can find 02 > such that if ( u , v) e Us2 ( y j J X {0}), w e have { ( x + (r, u , v), y + (r, u , v ) ; t e [ r i i l + T4*]} n Ưs, ( X ị , ) (4.6) Ỷ 0- Given ệo = +» we set £1 = inf{2Ả: ; U k, y ik ) e Us2( y ỹ X { } ) } , £2 = inf{2fc > Cl ; ( * h, y ik ) € Us1 (y u = inf{2/c > Since ; (X2k, X {0})}, y ik ) e Us2( y ỹ X { } ) } X {0} c cu(x, y ), Sk < 0 fo r any k and lim i-^o o (k - oc a.s Moreover, ( a = «} is independent o f j ^ 00 Therefore, by the same argument as above P{a> ; Ơft +1 > ^4* i-O Ẩ:} = Thusứiere are in fin ite ly many n such that (X2 n iy in ) € Uị,^(yịj X {0}) Hence, fro m (4.6) we have { ( * (t, X, y ), y ( t , X, y )) ; which means that (x*, 0) e co(x, >’)• (c) The p ro o f is similar r t € [ i n, Ti n and0 n~\ _ Tậ- + 7"4 ]} n ƠỈ,U j , Oj ^0 EVOLUTION OF PERIODIC POPULATION SYSTEMS (d) Fkst, we prove that y 46 c ử)(x, y) L et (5 > be arbitrary, (jt*, y * ) e Y~ and ( x j y p e c Since any point o f y - is visited, there is f* > such that (jc- (r*, x f , y*), y (f* >y * ) ) £ U s(x*, y * ) B y the continuous dependence o f solutions on the in itia l data, there are t\ < t* < Í and such that — u, v), y ~ ( t , u, v)) u s( x * , y * ) for any t e ( t \ , t ) and (u, V) € t/,5, (.tp y * ) On the other hand, in the same way as above and by virtue o f Lem m a 4.8, it follows that there are in fin ite ly many odd numbers n such that (xn, y n) e ỉ ị C * * , ỵ Ị ) and ơn+\ e ( t \ , t ) w ith probability Hence, ( * „ + [ , y „ + i ) = ( x ~ ( n + i , x n , y n ), y ~ ( n + I , x n , y n)) u $ ( x * , y * ) with probability 1, i.e., ( x * , y * ) G c ( x , y ) It is obvious that c n I c &>(x, y) Then, by noting that (x (t, X, y ), y ( t , x , y )) is contin­ uous, we see that the smallest part containing c and y ~ is included in co(x , y ) w ith probabil­ ity □ We illustrate the above-mentioned m odel by the follo w in g num erical examples E x a m p le I Figure illustrates an example o f the system satisfying y + n A = and Y+ n B ^ (see Theorems 4.7 and 4.9(a) and (c)) E x a m p le I I and y + n B 7^ Figure illustrates an example o f the system satisfying y + n A Ỷ 0 (see Theorems 4.7 and 4.9 (a )-(d )) D iscussion To conclude this paper, we consider an ecology system o f two com­ peting species Suppose that the evolution o f each species depends on the quantity o f rainfall for every period I f the in fa ll is sufficient, the ir competition potential is equal and they de­ velop periodically W henever the in fa ll is small, the second species becomes veiy weak and its amount gets sm aller w ith tfie increase o f tim e although the influence o f the other environ­ mental elements is s till seasonal (periodical) However, in the case when the rainfall is in a stationary regime, the quantity o f each species oscillates between the good situation and the bad situation N either o f the species disappears There are some questions here In the p ro o f o f Theorem 3.6 we suppose that conditions (2.10) and (2.11) hold However, i f we use the Liapunov function v + = m y Y and v ~ = n yY with m , r t , y chosen appropriately, we can prove that i f < ^(0 ) < £ and < * ( ) < r\ with a positive p ro b a b ility, then (x (r ), y ( t ) ) has to get out from the dom ain < y < £, i.e., there exist t* > such that y ( t * ) > E, w ith a positive probability However, we need that ( * ( / ) , y ( t ) ) gets out fro m the domain < y < £ w ith p ro ba b ility Thus, we use the assumptions (2.10) and (2.11) perhaps only fo r technical reasons As suggested by Figure 1, we conjecture that Theorem 3.6 is s till true w ith o u t these assumptions Moreover, whether there is or is not a M a rko v periodic solution w ith period T that attracts a ll the solutions of (2.4) w ith in itia l data in R + X R + under conditions (3.1)—(3.3) is an open question A lso Figure suggests that the system composed o f two stable subsystems is permanent under conditions (2.10) and (2.11) Note that Theorem 2.3 im plies only that the system is average permanent We intend to study this problem in the future 466 N DU, R KON, K SATO AND Y TAKEUCHI (b) 10 F i g u r e The x - y phase plan es, 10 (a) T he peri­ odic solution s ( y + , Y j j and Y y ) o f s y s­ tem (2.5) with the fo llo w in g parameters are plotted: ữ ( + , f) = sin(r) + 4, c ( + , f) = 10, b{ +, t) = 1, d ( + , t) = 10, e(+ , t) = 1, / ( + , r) = sin(f + n / ) + For system (2.6) w ith the follow ­ ing param eters, n ull-clines (dot-dashed lin es), equilibrium points (solid dots) F i g u r e The x - y phase planes, (a) The peri­ odic solutions ( ỵ + , Y y and Y y ) of sys­ tem (2.5) with the following param eters are plotted: a ( + , r ) = 30, b ( + , t ) = (sin (r) + ), c ( + , r) = 1, d ( + , t) = 30, e (+ , t) = 1, / ( + , t ) = 0.5 (sin (r + jr/2) + 4) For system (2.6) with the fo llow in g param eters, null-clines (dotdashed lines), equilibrium points (solid and a neutral curve I (a broken lin e) are dots) and a neutral curve I (a broken shown: a ( - , t ) lin e) are shown: a ( —, t) = 6, b{ —, r) -­ = 2, b ( —, t ) = 0.2, 0.6, c ( - , r ) 0.4, / ( - , f) =