Tính ổn định mũ và phổ nhị phân mũ của phương trình vi phân đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN T Ê N Đ Ể TÀI: TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ VÀ P H ổ NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI s ố M Ã SỐ: QT- 08- 02 C H Ủ T RÌ ĐỂ TÀI: PGS.TS VŨ HỒNG LINH C Á C C Á N B Ộ T H A M GIA: G S T S N g u y ễ n H ữ u D , T h S N g u y ễ n Q u ố c T u ấ n , T hS L ê H uy H oàn g, C N V ũ T hị V ân, T hS N guyễn T hị Y ến, C N L ê T h ê S ắ c , C N N g u y ễ n D iệ u H n g , C N N g u y ễ n T h u H ậ u HÀ NỘI - 2008 MỤC LỤC Báo cáo tóm tắt Tóm tắt tiếng Anh Phần báo cáo Phụ lục 14 (Bài b o b áo cá o hội thảo, bìa luận vãn k h óa luận) BÁO CÁO TÓM TẮT a Tên đê tài, mã số T ín h ổn định mũ phổ nhị ph ân m ũ p h n g trình vi ph ân đại sỏ M ã sơ: Q T -0 -0 b Chủ trì đề tài PGS.TS V ũ H oàng Linh c Các cán tham gia GS.TS N gu yễn Hữu Dư, ThS N g u y ễn Q u ốc Tuấn, ThS L ê H uy H c n g , C N Vũ T h ị V â n , T h S N g u y ễ n T h ị Y ế n , C N L ê T h ế s ắ c , C N N g u y ễ n D iệ u H n g , C N N g u y ễn Thu Hậu d M ụ c t i ê u v n ộ i d u n g n g h i ê n c ứ u - M ụ c tiê u : L ý t h u y ế t đ ịn h tín h v lờ i g iả i s ố c ủ a p h n g t r ì n h v i p h â n đ i s ố nhà n gh iên cứu lý thuyết ứng dụng th ế g iớ i đặc b iệt quan tâm khoảng thời gian 25 năm trở lại M ột s ố trường phái n g h iên cứu tiêu biểu hình thành M ỹ (G ear, P etzold , C a m p b ell, R h ein b o ld ), Đ ức (M aerz, K unkel, M ehrm ann, L u b ich ), Thụy Sỹ (H airer), N g a (B ojarincev, C h is ty a k o v ), w N h iề u b ộ c h n g trìn h p h ầ n m ề m đ ã đ ợ c x â y d ự n g v p d ụ n g hiệu vào cá c tốn n g nghệ kỹ thuật dự án c ô n g n gh iệp nước tiên tiến , ví dụ toán điều k h iển tối ưu, tốn m m ạch điện tử, m ổ p hỏng hệ học nhiều vật m ột s ố tốn tính tốn khoa h ọc khác Tại khoa T oán — Cơ — Tin h ọc, trường Đ ại học K h o a h ọc Tự n h iên , Đ H Q G H N , từ cu ố i năm , m ột nhóm n gh iên cứu vể phương trình vi phân đại số hình thành (G S.T SK H Phạm K ỳ A n h , G S.T S N g u y ễ n Hữu Dư, PGS.TS Vũ H oàng L inh, TS Lê C ông Lợi) Trong n ăm vừa qua ch ú n g t h ự c h i ệ n đ ề tà i c ấ p Đ H Q G v ề l ĩ n h v ự c n y C c k ế t q u ả đ ã đ ợ c t r ì n h b y tạ i nhiều hội n gh ị khoa h ọ c n g o i nước Hơn b áo k h oa h ọc c ô n g b ố , t r o n g đ ó n h i ề u b i b o đ ợ c đ ă n g c c t p c h í q u ố c t ế c ó u y tín n h J D ijfe r e n tia ỉ E q u a tio n s, A p p lie d N itm e ric a l M a th e m a tic s , S y ste m s & C o n tr o l L e t t e r s , I M A J M a t h e m a t i c a l C o n t r o l a n d I n Ị o r m a t io n , J D i f f e r e n c e E q u a t i o n s A p p l i c , J M a tlì A n a l y s i s A p p l i c , A d v a n c e s in D i f f e r c n c e E q u , v v Đ ể tiế p c ậ n cá c hướng n gh iên cứu đại giớ i, từ n h iều năm ch ú n g trì m ột sem inar phương trình vi phân tính tốn k h oa h ọc N s o i m ục tiêu đạt kết k hoa h ọc có chất lư ợ ng, ch ú n g tỏi cũ n g hướng tới việc bổi dưỡng, đào tạo sinh viên, h ọc viên ca o h ọ c, lớp cán trẻ có lực lĩnh vực Tốn h ọc tính tốn T ốn ứng dụng thành cán khoa h ọc c ó ch u y ên m ôn tốt, đảm nhận c ô n g tác đào tạo n g h iên cứu khoa h ọc, đ ổn g thời đ ó n g g ó p vào v iệc n ghiên cứu lý thuyết phư ơng trình vi phân đại số - N ộ i d u n g : P h n g trìn h vi p h â n đ i số c ấ p có d n g tổng q u át: F ( x \x ,t ) = , (1) m a trận Jacobi F theo biến thứ g iả thiết su y b iến D ạng tuyến tính (1 ) c ó thể viết sau: E (t)x ’(t)+ A (t)x (t)= q (t) (2) N ộ i dung n gh iên cứu đề tài gồm vấn đề sau: K h i n i ệ m ổ n đ ị n h m ũ , s ố m ũ B o h l, n h ị p h â n m ũ v p h ổ n h ị p h â n m ũ c ủ a hệ (2) C ác tính chất củ a chúng P h n g p h p tín h to n x ấ p x ỉ p h ổ n h ị p h â n m ũ c h o h ệ ( ) M r ộ n g k ế t q u ả n ó i t r ê n c h o h ệ (1 ) k h i t u y ế n t í n h h ó a ( ) d ọ c t h e o m ộ t q u ỹ đ o lờ i g i ả i c h o tr c e Các kết đạt Bài báo kho a học (c ơng bơ tạp chí kỷ yếu hội th ả o k h o a học): V H L in h , V M e h r m a n n , L y a p u n o v , B o h l, a n d S a c k e r - S e ll sp e c tr a l intervals for d ifferen tia l-a lg eb ic eq u ation s, trang (đã nhận đănc tro n g J D y n a m ic s D ifferential Equations, 0 ) B áo cáo hội nghị k h oa học: H ội nghị T oán h ọc T oàn quốc lần thứ 7, - /8 /2 0 , Q u i N hơ n N gư ời b o c o : V H L in h , tê n b o cá o : E x p o n e n t i a l s t a b i l i t y a n d r o b u s t s t a b i l i t y o f d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s ( b o c o m i t i ể u b a n P h n g tr ì n h vi phân) Báo cáo X em in a liên trường, V iện Toán h ọ c, /2 0 X em in a cùa P hòng n gh iên cứu K hoa h ọc Tính tốn K ỹ thuật, Đ ại h ọc C a liío m ia Santa Barbara, H oa K ỳ, /2 0 N gư i báo cáo: V ũ H oàn g L inh, tên b o cáo: S p e c t r a l i n t e r v a l s f o r D A E s a n d t h e ir n u m e r i c a ì a p p r o x i m a t i o n Đ o tạ o đ i h ọ c sau đ i h ọc: luận văn đ i h ọ c , luận văn c a o h ọ c đ ã b ả o v ệ , N C S ( n ă m th ứ n h ấ t ) / Tình hình kinh phí đê tài (hoặc dự án) K inh phí triệu đ ổn g chi vào m ục sau: V ật tư văn phòng: l.OOO.OOOđ T h ôn g tin liên lạc: l.OOO.OOOđ H ộ i nghị: l.OOO.OOOđ C ô n g tá c p h í: 0 0 0 đ T h u ê m n : 0 0 0 đ C h i p h í n g h iệ p vụ c h u y ê n m ô n : 0 0 0 đ K H OA Q U Ả N LÝ (K ý ghi rõ họ tén) TS Lê M i n h H C H Ủ T RÌ Đ Ể T ÀI (K ý v ghi rõ họ tên) P G S T S VD H o n g Linh T R Ư Ờ N G Đ ẠI H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N t^rtO MlỆu I KwÓi»U ABSTRACT a Project’s title E x p o n e n t ia l stabilitv and e xp on e n t ia l d ic h o t o m y sp ect ru m for differe ntia l-alge bra ic equations Code: Q T -0 -0 b Project’s supervisor Dr V u H oan g Linh c Project’s members Prof.D r N g u y en Huu D u, Tran Q u oc T uan, Le H uy H oang, N g u y e n Thi Y en , V u Thi V an, Le The Sac, L e D ieu H u on g, N g u y e n Thu Hau d Objective and content of the project In the project w e co n sid er the d ifferential equation o f gen eral form F ( x \x ,t ) = , ( 1) w here the Jacobian o f íu n ctio n F w.r.t the first variable is su pp osed to be singular The linear variant o f system (1) is g iven as (2) The m ain o b jectiv es o f the research are as fo llo w s E xp on en tial sta b ility , Bohl exp on en ts, ex p o n en tia l d ich o to m y , Sacker-Sell spectral intervals and their properties N u m erical m eth od s for ca lcu la tin s the spectral intervals E xten sio n to n o n lin ea r D A E s o f the form (1 ) vvhen th ey are su bjected to linearization alon g a trajectory e Main results of the projects Pu blications (in j o u r n a l s and c o nf er en ce proceedings): V H Linh, V M ehrm ann, L yapunov, Bohl, and S ack er-S ell spectral intervals for d ifferen tia l-a lg eb ic equations, p a g es (a ccep ted for p u blication in J D y n a m i c s D i f f e r e n ti a l E q u a ti o n s , 0 ) L e c tu re at c o n fe r e n c e an d \vorkshop: T he ,h N ation al C o n sre ss 011 M ath em atics, - /8 /2 0 , Q ui N Speaker: V H L in h , Title: E x p o n e n ti a ì s t a b i ỉ i t y a n d r o b u s t s t a b i l i t y o f d iffe re n tia l-a lạ e b ic eq u a tio n s ( In v ite d ta lk at S e s s io n D if f e r e n tia l E quations) Sem inar at H an oi Insititute o f M ath em atics, /2 0 and at C S E research g r o u p , U n iv e r s it y o f C a lif o m ia , S a n ta B arb ara, H o a K ỳ , / 0 S p e a k e r: V u H oang L in h , title: S p e c tra l in te rv a ls f o r DAEs and t h e ir n u m erica ỉ a p p ro x im a tio n E du ca tio n and training: B S c t h e s e s , M S c t h e s e s , P h D stu d e n t PHẦN CHÍNH CỦA BÁO CÁO: TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ VÀ P H ổ NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI s ố 3.1 Giới thiệu: L ý thuyết định tính lời g iả i s ố phương trình vi phân đại s ố cá c nhà n ghiên cứu lý thuyết ứng d ụng th ế g iớ i đặc b iệt quan tàm tron s khoảng thời gian 25 năm trở lại M ột sô trường phái n g h iên cứu tiêu biểu hình thành M ỹ (G ear, P etzold , C am pbell, R h e in b o ld ), Đ ứ c (M aerz, K unkel, M eh n n a n n , L u b ich ), T hụy Sỹ (H airer), N ga (B ojarin cev, C h istyak ov), w N h iểu chương trình phần m ềm x â y d ự n s áp dụng hiệu vào cá c tốn n g nghệ k ỹ thuật dự án c ô n c n gh iệp nước tiên tiến, v í dụ tốn đ iều k h iển tối ưu, tốn inơ m ạch đ iện tử, m ô p hỏng hệ học n h iều vật m ột s ố tốn tính tốn khoa học khác Phương trình vi phân đại s ố cấp có dạng tổng quát F ( x ’,x ,t)= , (1 ) m a trận Jacob i F th eo biến thứ g iả thiết suy biến D ạn g tuyến tính (1 ) c ó thể viết sau E (t)x ’(t)+ A (t)x (t)= q (t) V í dụ, tuyến tính h óa hệ (1) d ọc theo m ột lời g iả i riên g (2 ) X đ ó, c h ú n s ta nhận hệ dạng (2 ) Khi E (t) = I, hệ (2 ) trở thành hệ phương trình vi phân thường quen th u ộc khảo sát, n g h iên cứu suốt nhiều th ế kỷ qua N ăm 1892, luận án tiến sĩ n ỗ i tiếng m ình, nhà tốn h ọc N ga L yapunov đặt n ền m ó n g ch o lý thuyết ổn định PT V P M ột khái n iệm quan trọng m ón g đưa c ó tên g ọ i số m ũ đặc trung, sau g ọ i số m ũ L yap u n ov, nhằm đặc trưng ch o tốc độ tãng trưởng lời g iả i c ó thể sử d ụ n g đ ể khảo sát tính ổn định L ý thuyết L yapunov tiếp tục khảo sát m rộng suốt th ế kỷ với đ ón g góp B ohl, Perron, M ilio n ch ik o v , O seled ets, Sacker, S ell, w T rong thời gian gần đây, D ie c i V an V le c k (2 0 ) khảo sát toán s ố m ũ đặc trưng phổ từ g ó c đ ộ toán h ọc tinh toán đưa m ột số thuật tốn tính tốn k h o ả n s phổ ch o PT V P C sở toán h ọc cũ n g toán liên quan đánh giá sai số , kỹ thuật cài đặt h iệu dẫn dắt ch i tiết M ục tiêu n ội d ung ch ín h đề tài n gh iên cứu tính ổn định củ a hệ (2) thơng qua v iệ c khảo sát cá c s ố mũ đặc trưng phổ hệ, m rộng kết từ PT V P thường san g P T V P Đ S Đ ổ n g thời, ch ú n g tòi cũ n g đưa m ột sỏ cách tiếp cận để tính xấp x ỉ khoảng phổ 3.2 C c kết q u ả c h ín h Bước quan trọng củ a n g h iên cứu g iả thiết hệ đưa dạng thu gọ n k h ơn g c ó tính chất lạ, dựa lý thuyết s ố K unkel M ehrm ann (2 0 ) Sau đ ó, phép biến đ ổi trực g ia o , nhận hệ đ ộn g h ọ c tương đương (tức có tính chất d ộn g học tính ổn định g iố n g hệ ban đầu) có dạng thưa, từ rút phương trình vi phân thường 3.2.1 Sô m ũ L y a p u n o v k h o ả n g phổ L v a p u n o v Trước hết ch ú n g đưa khái n iệm m a trận n g h iệm ch o P T V P Đ S định n gh ĩa s ố mũ L y a p u n o v hệ, tính chinh qui (th eo L yapunov) m ột hệ Sau ch ú n g tơi khảo sát đưa kết ch o câu hỏi sau: 10 M ối liên hệ giữ a s ố m ũ L yap u n ov hệ V P Đ S s ố m ũ cù a PT V P thườns cãn bản; M ối liên hệ giữ a s ố m ũ L yap u n ov tính qui củ a hệ V P Đ S với s ố mũ tính qui củ a hệ liên hợp; Các ví dụ ch o thấy khác biệt giữ a lý thuyết P T V P thường lý thuyết PTV PĐ S; K hái niệm ổn định củ a s ố m ũ đ iều k iện để cá c s ố m ũ L yap u n ov m ột hệ V P Đ S ổn định 3.2.2 Sô m ũ Bohl phổ Sacker-Sell Trong phần ch ú n g g iải câu h ỏi sau: Đ ưa khái niệm s ố m ũ B ohl đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng đểu lời g iả i tính chất c chúng; C húng tơi cũ n g trình bày khái n iệm nhị phân m ũ định ngh ĩa phổ nhị phân m ũ K hảo sát cá c tính chất phổ nhị phân m ũ (hay g ọ i phổ Sacker-Sell); M ối liên hệ giữ a khoảng phổ Sack er-S ell, số m ũ B oh l, s ố m ũ k h oảng phổ Lyapunov; M ối liên hệ giữ a k h oản g phổ Sack er-S ell hệ P T V P Đ S hệ liên hợp; C uối ch ú n g cũ n g khảo sát tính ổn định phổ S ack er-S ell, cụ thể ch ỉ rằng, tác đ ộn g củ a nhiễu chấp nhận được, p hổ S ack er-S ell ln ổn định 3.2.3 T ín h tốn x ấ p xỉ k h o ả n g phổ C húng tơi đưa hai thuật tốn, QR liên tục Q R rời rạc để xấp xỉ k h oảng phổ C ác v í dụ m in h họa chứng tỏ hiệu lực củ a thuật toán m inh họa tốt ch o kết lý thuyết Thuật toán cũ n g x â y dựne ch o hệ tuyến tính hóa nhận từ m ột hệ V P Đ S phi tuyến Equivalence ot the norm of the IO operatois P ro p o sm o n Lel the assumption ol the prevtous Proposilion hold In ađdition, suppose thai lim ị] F (l)|| - „IL||i- lim, ịĩ.,1 ThenUm, nvhere operalor lor the perlurbeđ syslem (15) Thoorom L,denoies the mpul-oulpul {F.( d Let Assumụtions Bĩ hohJ Furthermoitỉ lel sequence ol measurjble and essentully boundeơ nul/n lunclions sin h th.it Ihe lúlk>wiiuj đsiiimptions hokt I) II) Then, lunI/»(í)I VA H limsup,.0||OG’f*(/)! limrk(E.^IFk.B.C) rk(F A lì (') 0 0PIIOG'(OH)"' Vk, (19)