Luận văn nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

Chöông 1 MOÄT SOÁ COÂNG CUÏ 1 1 Boå ñeà Fatou Neáu f1, f2 , laø daõy haøm khoâng aâm, khaû tích xaùc ñònh treân   , vaø thoûa lim inf fn(x)=f(x) h k n, trong ñoù f laø haøm khaû tích treân  [.]

Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ 1.1 Bổ đề Fatou Nếu f1, f2 , dãy hàm không âm, khả tích xác định  ,   thỏa  lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, f hàm khả tích  ,   ,   f ( x)dx  lim inf  f  n ( x)dx  1.2 Định lý hội tụ bị chặn Nếu f1 , f2 , dãy hàm khả tích  ,   tồn hàm khả tích F cho n  N , f n ( x )  F( x ) h.k.n  f hàm khả tích lim n    f n ( x )dx    f ( x)dx  1.3 Định lý Fubini   Neáu    f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối   theo biến x Hơn    dx  f ( x, y)dy       f ( x, y)dxdy        Tương tự   dy  f ( x, y )dx    f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dy  1.4 Định lý Tonelli-Hobson    tồn hầu khắp nơi hàm khả tích  Nếu hai tích phân     dx  f ( x, y )dy,  dy  f ( x, y)dx hội    tụ tuyệt đối      f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối       f ( x, y)dxdy =     dx  f ( x, y)dy =     dy  f ( x, y )dx   1.5 Định lý Nếu f hàm khả tích  R , R  , R  h f ( x  t )  f ( x ) dt  h.k.n    x    h 0 h  lim Tập hợp x thỏa mãn điều kiện gọi tập Lesbegue f Rõ ràng tập Lesbegue f chứa điểm x mà f liên tục 1.6 Định nghóa Cho  p   Hàm f xác định  ,   gọi thuộc Lp   f (x) p dx    Khi đó, ta đặt f p   p    f ( x ) dx     1/ p 1.7 Định lý  Nếu f Lp lim t 0  p f ( x  t )  f ( x) dx   1.8 Định lý Nếu f, g  Lp f g p  f p  g p, f p  g p  f g p 1.9 Định lý Cho f1 , f2 , thuộc Lp Nếu lim f n  f m p m ,n   lim f n  f n  p  tồn f  Lp cho  1.10 Định lý Cho f1, f2 , thuộc Lp Neáu lim f n  f p n   vaø lim f n ( x )  g( x ) h.k.n n     x    f(x) = g(x) h.k.n    x    1.11 Bất đẳng thức Hưlder Cho f  Lp g  Lp ' với  p, p '   1   Khi fg L1 p p'   f ( x) g ( x) dx  f p g p'  1.12 Định lý Cho f, f1, f2, thuộc L2 lim f n  f n   lim n     với g thuộc L2, ta coù  f n ( x ) g ( x )dx    f ( x ) g ( x )dx Chương TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L , L 2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1 2.1.1 Định nghóa  Cho f  L Ta coù e   ixt f (t )dt  f (t ) dt  f   , x  R Do  e ixt f ( t )dt tồn x  R   ta định nghóa biến đổi Fourier fˆ f  L1 bởiø  fˆ ( x )  e ixt f ( t )dt  Khi fˆ bị chặn  ,   sup fˆ ( x)  f 2.1.2 Tính chất a) f liên tục  ,   Do định nghóa, ta coù  fˆ (x  h )  fˆ ( x )   e e ixt iht  1f ( t )dt  neân  fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  e iht  f ( t ) dt  Maø e iht  f ( t )  f ( t ) , vaø lim e iht  f ( t )  , với t   Vì vậy, theo định lý hội tụ bị h 0 chặn, ta có  lim h 0 e iht  f ( t ) dt   Do lim fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  , nghóa f liên tục  h 0 b) lim f ( x)  x   Theo định nghóa fˆ (x )   e ixt f ( t )dt , neân với x  , ta có    fˆ ( x )  e   ix  t    x  f ( t )dt   e  ixt   f  t  dt x  Từ suy  2fˆ ( x )  e ixt    vaø f ( x)      f ( t )  f  t  x  dt,      f (t )  f  t   dt x    (1) Nhưng f  L1 nên theo định lý 1.7,  lim x      f ( t)  f  t  x  dt  (2)  Từ (1) (2) suy lim fˆ ( x )  x   2.1.3 Chú ý Ta biết f  L1 fˆ liên tục (-, ) vaø lim fˆ ( x)  Nhưng ngược lại x  f ( x) liên tục (-, ) lim f ( x)  chưa thể kết luận f biến đổi Fourier hàm x  thuộc L1 Thật vậy, ta xét ví duï sau  ( x  e)  ln x ,  x g ( x)   , (0  x  e) e - g (- x), ( x  0)   Dễ thấy g(x) lieân tục R lim g(x) = Đồng thời, hàm g có tính chất sau x  lim  N N  e N dx g ( x)  lim ln(ln N )   dx  lim  N  e x ln x N  x (1) Giả sử tồn f  L1 cho g  f  g ( x )   eixt f (t )dt , x  R - Mà g(x) = -g(-x) nên ta có  g ( x )  - e-ixt f (t )dt - Suy  g ( x)  2i  f (t )sin xtdt - Như  0  g ( x )  i  f (t ) sin xtdt  i    0 f (t ) sin xtdt ,  i  f (t ) sin xtdt - i  f (-t ) sin xtdt ,  =  F (t ) sin xtdt đó, F(t) = i[f(t) – f(-t)], ta   | F (t ) | dt   (vì f  L1 ) Bây giờ, với N=3, 4, 5,  N e Vì   F (t ) dt   nên theo định lý1.4, ta  N e Maø  N dx  g ( x) dx   F (t )sin xtdt e x 0 x  a  Nt  N sin xt g ( x) sin x dx   F (t )dt  dx =  F (t )dt  dx e x x x et (2) Nt sin x sinx dx hội tụ neân tồn lim  dx Từ (2), ta suy N  et x x lim  N N  e g ( x) dx   x Điều mâu thuẫn với (1) Vậy g biến đổi Fourier hàm thuộc L1 2.2 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L2 2.2.1 Bổ đề Với số thực      , ta có 1/  e it t e    dt    e  / 4   Chứng minh Với    R > bất kì, lấy tích phân hàm giải tích e  z dọc theo đường  biên hình chữ nhật tạo bốn đỉnh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta coù  e  z2 dz   R R neân 2  ( x  i ) dx   e (  Riy ) dy  , e R R R   R hay x  ( R  iy ) dy   e dx   e   ( x  i ) dx  e x R  e dx   e R R  y  Riy dy   e  R  y  Riy dy Từ đẳng thức trên, ta R  R  ( x i ) dx  e R  2 e x dx  e  R [  e y  2i sin Ry  dy ] R Vì    2 e  y (2i sin Ry) dy   2e  y dy , 0 neân  lim e  R R e  y2 (2i sin Ry)dy   Mặt khác e  x2 dx   1/ ( xem 3.3.4.2 )  Do đó, từ đẳng thức (*), cho R  , ta coù  e   ( x  i ) dx   / , (*)  hay e 2 i x  x e dx   1/ e    Choïn    Ta 2 1/  4  e i 1 / x e  x2 dx   1/ e  Đổi biến t   1 / x 1/  e i t  t e    dt    e  / 4 ,   bổ đề chứng minh 2.2.2 Định lý  Cho f  L1  L2 Ta có f  L2 ,    f ( x ) dx  2   f (t ) dt ,   hay   (2 )1/ f f Chứng minh Xuất phát từ biểu thức     f ( x )  f ( x ) f ( x)  e  ixt  f (t )dt  e  ixu f (u )du ,  ta suy  e  x2 / n  f ( x ) dx     e  x2 / n  ixt dx  e f (t )dt   e ixu f (u )du  Vì f  L1 nên theo định lý 1.4, ta coù  x e /n  f ( x ) dx        Mặt khác, theo bổ đề 2.2.1  e  ix ( t  u )  x / n e  f (u )du  f (t )dt  e ix ( t u ) e  x / n dx 1/ dx = ( n) e  n(t-u)2  Do đó,  e   x2 / n  1/ f ( x ) dx  ( n)     f (u )du  e  ( n)    f (u )du  e  ( n) e  nt   1/  ( n) f (t )dt ,  nt f (t  u )dt ,   1/ n ( t u )   1/  e  dt  f (t  u ) f (u )du ,   nt F (t )dt ,   với F(t)=  f (t  u) f (u)du  Đổi biến, ta  e   x2 / n  f ( x ) dx    e t   2t  F  dt  n (1) Mặt khác  F( t )  F(0)    [f ( t  u)  f (u )]f ( u)du   f ( t  u)  f (u) f (u ) du   Theo bất đẳng thức Hưlder, ta  F ( t )  F ( 0)     2 f (t  u )  f (u ) du  f (u ) du ,  theo định lý 1.7  lim t 0 f (t  u )  f (u ) d u  ,   neân lim F (t )  F (0) t 0 Do F liên tục t = Với t bất kì, theo bất đẳng thức Hưlder, ta coù  F (t )    Suy  2 f (t  u ) du  f (u ) du  f  2  2t  e t F    f e t  n  2t    e t F (0) ( F liên tục )  n Ta lại có lim e t F  n  Do theo định lý hội tụ bị chặn   2  2t  lim  e t F   dt  F (0)  e t dt   F (0) , n   n   nghóa là,   2t  lim  e t F  dt   f n   n  2 (2) Từ (1) (2), ta  lim n  e  x2 n  f ( x) dx  2 f 2  Bây giờ, ta xét f n ( x )  e lim e x2 / n n   x2  n f ( x ) dãy hàm khả tích, không âm thỏa   f ( x)  f ( x ) Theo bổ đề Fatou, ta coù    f ( x ) dx  lim  e n   x2 / n f ( x ) dx  2 f 2   Do f  L2 Hơn ex /n   f ( x)  f ( x) , vaø f  L1 nên theo định lý hội tụ bị chặn,    f ( x ) dx  lim  Chứng minh hoàn tất 2.2.3 Định lý  n  e   x2 n  f ( x) dx  2 f 2 ... Tính đđuợc suy từ đđịnh lý 2.2.6 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH 3.1 TÍCH CHẬP 3.1.1 Định nghóa Cho hai hàm số f g xác định R Tích chập f g, kí hiệu f*g xác định   f *... suy h  f g 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH 3.2.1 Bài toán chỉnh Cho ánh xạ A : X  Y X, Y hai không gian định chuẩn Xét phương trình Av = u với u  Y cho trước v  X ẩn... Bài toán vừa nêu gọi toán chỉnh thỏa ba yếu tố sau Phương trình có nghiệm Nghiệm phương trình Nghiệm toán phụ thuộc liên tục vào kiện Điều có nghóa với u1  u Y nhỏ nghiệm v1 tương ứng với u1