Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Hồng Ngun NGHIỆM CHỈNH HĨA RỜI RẠC CHO PHƢƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN LƢU CƢỜNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2005 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành bày tỏ kính trọng lịng biết ơn thầy Tiến Sĩ Trần Lƣu Cƣờng, ngƣời tận tình hƣớng dẫn bảo cho tác giả suốt trình thực Tác giả xin chân thành cám ơn Quý Thầy tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 13, chuyên ngành Giải tích Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TPHCM, ngƣời tận tình truyền đạt kiến thức cho tác giả Tác giả vô biết ơn Quý Thầy Cơ phịng Sau Đại Học Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TPHCM tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn với gia đình, bạn bè ngƣời thân hỗ trợ, động viên tác giả suốt thời gian qua MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHƢƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ BIỂN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1, L2 2.1 Biến đổi fourier không gian L1 2.2 Biến đổi fourier không gian L2 10 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ 23 BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH 23 3.1 Tích chập 23 3.2 Phƣơng trình tích chập tốn khơng chỉnh 26 3.3 Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phƣơng trình tích chập 32 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 PHỤ LỤC 48 MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực toán ngƣợc, nhiều toán đƣợc qui việc khảo sát phƣơng trình tích phân loại tích chập nhƣ toán nhiệt ngƣợc thời gian, toán Stefan ngƣợc, tốn xác định phân bố nhiệt hay thơng lƣợng nhiệt bề mặt lỗ khoan thăm dò Một tốn đƣợc gọi chỉnh thỏa ba điều kiện sau: nghiệm ln tồn tại, nghiệm toán đặc biệt nghiệm phải phụ thuộc liên tục vào kiện Nếu toán vi phạm ba yếu tố ta gọi tốn khơng chỉnh, đó, điều kiện nghiệm liên tục theo kiện quan trọng Nếu toán vi phạm điều kiện sai số nhỏ kiện kéo theo sai số lớn nghiệm tƣơng ứng Do đó, tốn ngƣợc khơng chỉnh, ngƣời ta cần phải chỉnh hóa, nghĩa xây dựng nghiệm xấp xỉ ổn định toán mà ta gọi nghiệm chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa phải phụ thuộc liên tục theo kiện ngồi ra, để ứng dụng vào thực tế, cần kiểm sốt sai số nghiệm chỉnh hóa với nghiệm xác tốn dựa sai số kiện đo kiện xác Việc khảo sát tính khơng chỉnh chỉnh hóa nghiệm phƣơng trình tích chập đối tƣợng khảo sát nhiều nhà tốn học nhiều cơng cụ tốn học đƣợc xây dựng để giải nhƣ phƣơng pháp Tikhonov, phƣơng pháp Tikhonov kết hợp với biến đổi Fourier Tiếp nối luận văn tốt nghiệp đại học việc chỉnh hóa phƣơng trình tích chập với kiện cho toàn trục số, luận văn này, xét kiện cho đoạn hữu hạn Cụ thể hơn, dùng kiện rời rạc để xây dựng nghiệm chỉnh hóa Cơng cụ phƣơng pháp chặt cụt tích phân liên kết với hàm sinc chuỗi Cardinal Luận văn bao gồm ba chƣơng phụ lục với nội dung cụ thể nhƣ sau Chƣơng 1: Một số kiến thức, định lý, khái niệm cần thiết đƣợc sử dụng luận văn Chƣơng 2: Giới thiệu biến đổi Fourier không gian L1, L2 Đây sở để xây dựng phƣơng trình tích chập thực việc chỉnh hóa với nhân cụ thể Chƣơng 3: Khảo sát tính khơng chỉnh phƣơng trình tích chập xây dựng nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho tốn dựa phƣơng pháp chặt cụt tích phân xấp xỉ tổng Riemann Sau cùng, phần phụ lục, chúng tơi giới thiệu tính chất hàm sinc chuỗi Cardinal cần thiết cho việc tính tốn chƣơng CHƢƠNG 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ 1.1: Bổ đề Fatou Nếu f1,f2, dãy hàm khơng âm, khả tích xác định (- ∞,∞) thỏa lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, f hàm khả tích (-∞,∞), 1.2: Định lý hội tụ bị chặn Nếu f1, f2 , dãy hàm khả tích (-∞,∞) tồn hàm khả tích F cho ∀n∈N, |fn(x)|≤F(x) h.k.n f hàm khả tích 1.3: Định lý Fubini Nếu hội tụ tuyệt đối khả tích theo biến x Hơn tồn hầu khắp nơi hàm Tương tự 1.4: Định lý Tonelli-Hobson hội tụ tuyệt đối Nếu hai tích phân hội tụ tuyệt đối 1.5: Định lý Nếu f l hàm khả tích Tập hợp X thỏa mãn điều kiện gọi tập Lesbegue f Rõ ràng tập Lesbegue f chứa điểm X mà f liên tục 1.6: Định nghĩa Cho ≤ p < ∞ Hàm f xác định (-∞,∞) đƣợc gọi thuộc Lp Khi đó, ta đặt 1.7: Định lý Nếu f∈ Lp 1.8: Định lý Nếu f,g∈Lp 1.9: Định lý Cho f1 ,f2, thuộc Lp Nếu tồn f ∈ Lp cho 1.10: Định lý Cho f1, f2 , thuộc Lp Nếu f(x) = g(x) h.k.n (- ∞ < x < ∞) 1.11: Bất đẳng thức Holder Cho f ∈ Lp g ∈ Lp với ≤ p,p'< ∞ Khi fg ∈ L1 h.k.n (- ∞ < x < ∞) 1.12: Định lý Chof,f1,f2, thuộc L2 với g thuộc L2, ta có CHƢƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ BIỂN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1, L2 2.1 Biến đổi fourier không gian L1 2.1.1: Định nghĩa Cho f ∈ L1 Ta có ∀ x e R ta định nghĩa biến đổi Fourier Khi bị chặn (-oo,oo) 2.1.2 Tính chất a) liên tục (-oo, oo) Do định nghĩa, ta có nên ∀ x e R Do f ∈ L1 tồn khác biệt quan trọng biến đổi Fourier không gian L1 biến đổi Fourier khơng gian L2 Nếu f ∈ L1 ̂ liên tục (- , ) (- , ) Nhƣng ngƣợc lại f liên tục chƣa thể kết luận f biến đổi Fourier hàm thuộc L1, nghĩa lúc tồn biến đổi Fourier ngƣợc Ngƣợc lại, f ∈ L2 biến đổi Fourier phần từ thuộc L2 đƣợc xác định nhƣ mục 2.2.4 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH Trong chƣơng gồm phần Đầu tiên, chúng tơi nêu định nghĩa số tính chất quan trọng tích chập Sau đó, chúng tơi giới thiệu tốn khơng chỉnh chứng minh phƣơng trình tích chập với số điều kiện ban đầu tốn khơng chỉnh Cuối cùng, chúng tơi đƣa phƣơng pháp để chỉnh hóa nghiệm 3.1 TÍCH CHẬP 3.1.1 Định nghĩa Cho hai hàm số f g xác định R Tích chập f g, kí hiệu f*g đƣợc xác định với giả thiết tích phân tồn 3.1.2 Định lý Cho f∈L1(R) g∈Lp(R)(1≤p Đặt không gian hàm giải tích f C cho tồn số dƣơng K cho với z ∈ C Nếu h > k số nguyên, ta có định nghĩa sau Ta gọi hàm sinc thứ k, bƣớc h X 3.3.2 Định lý Nếu ( n > 0, a > ) V biểu diễn chuỗi Cardinal sau 13 Nhƣ ta tìm đƣợc V biết giá trị Chúng đƣa phƣơng pháp tìm giá trị mục 3.3.3 3.3.3 Phƣơng pháp chỉnh hóa Xét phƣơng trình tích chập K*v = u, đó, cho trƣớc cịn ẩn cần tìm Ta xét tốn với điều kiện sau cho ||v||2 M, Đặt Ta có Nhận xét K khả tích (-∞,∞) nên ||K'||1 nhỏ ta chọn a đủ lớn Đây sở để ta chỉnh hóa tốn phƣơng pháp chặt cụt tích phân Nhƣ thay 14 tìm nghiệm V phƣơng trình K*v = u, ta tìm nghiệm phƣơng trình ((K-K')*v) = u, hay Ta xấp xỉ tích phân vế trái tổng Riemann hay Nhƣ vậy, đặt ta có trình tuyến tính 2n +1 ẩn sau AX = G đó, nghiệm cửa hệ phƣơng 15 Giải hệ ta tìm đƣợc Do đó, áp dụng định lý 3.3.2, với n đủ lớn, ta có phép tính gần 16 đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình 3.3.4 Bài tốn minh họa Cuối cùng, chứng tơi đƣa hai tốn đƣợc chỉnh hóa theo phƣơng pháp vừa nêu 3.3.4.1 Bài toán Ta xét toán với điều kiện sau (i) v∈ L2(R) ∃M > thỏa (ii) (α>0) Kết với Với n đủ lớn, ta có phép tính gần 17 đó, đƣợc xác định từ ( * ) 3.3.4.2 Bài toán Ta xét toán với điều kiện sau thỏa ||v||2 cách giải hệ phƣơng trình tuyến tính Ta tìm giá trị 2n+l ẩn AX =G, với M, 18 Xét định thức ma trận A D2n+1, ta chứng minh đƣợc D2n+1≠0 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm toán xác định dựa vào giá trị Nhƣ nghiệm chỉnh hóa đƣợc xác định 19 KẾT LUẬN Luận văn gồm có chƣơng với nội dung chỉnh hóa nghiệm phƣơng trình tích chập có dạng Av = u, với v∈L2(R), K∈L1(R)∩∈L2(R) Đây tốn khơng chỉnh đƣợc chứng minh chƣơng Để chỉnh hóa tốn này, chúng tơi sử dụng cơng cụ nhƣ chặt cụt tích phân, lý thuyết hàm sinc chuỗi Cardinal Trong việc xây dựng nghiệm chỉnh hóa v cách chặt cụt tích phân nêu trên, giá trị v đƣợc xác định dãy điểm rời rạc khoảng chặt cụt tích phân Điều có ý nghĩa quan trọng việc tính tốn máy tính mà kiện nhận đƣợc phép đo điểm rời rạc Khi cách sử dụng thuật tốn thích hợp, ngƣời ta tính đƣợc giá trị v điểm rời rạc thực nội, ngoại suy giá trị v điểm khác Trong luận văn này, nêu phƣơng pháp chỉnh hóa tốn phƣơng trình tích chập với nhân K thỏa số điều kiện định Sau chúng tơi áp dụng 20 phƣơng pháp chỉnh hóa vào tốn với nhân K cụ thể Hƣớng phát triển tới đề tài nghiên cứu thuật giải thích hợp nhằm tính tốn giá trị rời rạc nghiệm chỉnh hóa dựa vào kiện rời rạc đo đạc ... PHƢƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ 23 BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH 23 3.1 Tích chập 23 3.2 Phƣơng trình tích chập tốn không chỉnh 26 3.3 Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phƣơng trình. .. khơng chỉnh 3.3 Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phƣơng trình tích chập Trong mục này, chúng tơi giới thiệu phƣơng pháp chỉnh hóa nghiệm phƣơng trình tích chập nêu 3.2.3 dựa phƣơng pháp chặt cụt tích. .. phƣơng trình tích chập thực việc chỉnh hóa với nhân cụ thể Chƣơng 3: Khảo sát tính khơng chỉnh phƣơng trình tích chập xây dựng nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho tốn dựa phƣơng pháp chặt cụt tích phân