Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập nêu lên tổng quan về biến đổi Fourier trên không gian L1, L2; phương trình tích chập và bài toán không chỉnh cùng một số nội dung khác. Mời các bạn tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Nguyên NGHIỆM CHỈNH HÓA RỜI RẠC CHO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN LƯU CƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành bày tỏ kính trọng lòng biết ơn thầy Tiến Só Trần Lưu Cường, người tận tình hướng dẫn bảo cho tác giả suốt trình thực Tác giả xin chân thành cám ơn Quý Thầy tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 13, chuyên ngành Giải tích Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM, người tận tình truyền đạt kiến thức cho tác giả Tác giả vô biết ơn Quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn với gia đình, bạn bè người thân hỗ trợ, động viên tác giả suốt thời gian qua Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ 1.1 Bổ đề Fatou Nếu f1, f2 , dãy hàm không âm, khả tích xác đònh  ,   thỏa  lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, f hàm khả tích  ,   ,   f ( x)dx  lim inf  f  n ( x)dx  1.2 Đònh lý hội tụ bò chặn Nếu f1 , f2 , dãy hàm khả tích  ,   tồn hàm khả tích F cho n  N , f n ( x )  F( x ) h.k.n  f hàm khả tích lim n    f n ( x )dx    f ( x)dx  1.3 Đònh lý Fubini   Neáu    f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối   theo biến x Hơn    dx  f ( x, y)dy       f ( x, y)dxdy        Tương tự   dy  f ( x, y )dx    f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dy  1.4 Đònh lý Tonelli-Hobson    tồn hầu khắp nơi hàm khả tích  Nếu hai tích phân     dx  f ( x, y )dy,  dy  f ( x, y)dx hội    tụ tuyệt đối      f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối       f ( x, y)dxdy =     dx  f ( x, y)dy =     dy  f ( x, y )dx   1.5 Đònh lý Nếu f hàm khả tích  R , R  , R  h f ( x  t )  f ( x ) dt  h.k.n    x    h 0 h  lim Tập hợp x thỏa mãn điều kiện gọi tập Lesbegue f Rõ ràng tập Lesbegue f chứa điểm x mà f liên tục 1.6 Đònh nghóa Cho  p   Hàm f xác đònh  ,   gọi thuộc Lp   f (x) p dx    Khi đó, ta đặt f p   p    f ( x ) dx     1/ p 1.7 Đònh lý  Nếu f Lp lim t 0  p f ( x  t )  f ( x) dx   1.8 Đònh lý Nếu f, g  Lp f g p  f p  g p, f p  g p  f g p 1.9 Đònh lý Cho f1 , f2 , thuộc Lp Nếu lim f n  f m p m ,n   lim f n  f n  p  tồn f  Lp cho  1.10 Đònh lý Cho f1, f2 , thuộc Lp Neáu lim f n  f p n   vaø lim f n ( x )  g( x ) h.k.n n     x    f(x) = g(x) h.k.n    x    1.11 Bất đẳng thức Hưlder Cho f  Lp g  Lp ' với  p, p '   1   Khi fg L1 p p'   f ( x) g ( x) dx  f p g p'  1.12 Đònh lý Cho f, f1, f2, thuộc L2 lim f n  f n   lim n     với g thuộc L2, ta coù  f n ( x ) g ( x )dx    f ( x ) g ( x )dx Chương TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L , L 2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1 2.1.1 Đònh nghóa  Cho f  L Ta coù e   ixt f (t )dt  f (t ) dt  f   , x  R Do  e ixt f ( t )dt tồn x  R   ta đònh nghóa biến đổi Fourier fˆ f  L1 bởiø  fˆ ( x )  e ixt f ( t )dt  Khi fˆ bò chặn  ,   sup fˆ ( x)  f 2.1.2 Tính chất a) f liên tục  ,   Do đònh nghóa, ta coù  fˆ (x  h )  fˆ ( x )   e e ixt iht  1f ( t )dt  neân  fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  e iht  f ( t ) dt  Maø e iht  f ( t )  f ( t ) , vaø lim e iht  f ( t )  , với t   Vì vậy, theo đònh lý hội tụ bò h 0 chặn, ta có  lim h 0 e iht  f ( t ) dt   Do lim fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  , nghóa f liên tục  h 0 b) lim f ( x)  x   Theo đònh nghóa fˆ (x )   e ixt f ( t )dt , neân với x  , ta có    fˆ ( x )  e   ix  t    x  f ( t )dt   e  ixt   f  t  dt x  Từ suy  2fˆ ( x )  e ixt    vaø f ( x)      f ( t )  f  t  x  dt,      f (t )  f  t   dt x    (1) Nhưng f  L1 nên theo đònh lý 1.7,  lim x      f ( t)  f  t  x  dt  (2)  Từ (1) (2) suy lim fˆ ( x )  x   2.1.3 Chú ý Ta biết f  L1 fˆ liên tục (-, ) vaø lim fˆ ( x)  Nhưng ngược lại x  f ( x) liên tục (-, ) lim f ( x)  chưa thể kết luận f biến đổi Fourier hàm x  thuộc L1 Thật vậy, ta xét ví duï sau  ( x  e)  ln x ,  x g ( x)   , (0  x  e) e - g (- x), ( x  0)   Dễ thấy g(x) lieân tục R lim g(x) = Đồng thời, hàm g có tính chất sau x  lim  N N  e N dx g ( x)  lim ln(ln N )   dx  lim  N  e x ln x N  x (1) Giả sử tồn f  L1 cho g  f  g ( x )   eixt f (t )dt , x  R - Mà g(x) = -g(-x) nên ta có  g ( x )  - e-ixt f (t )dt - Suy  g ( x)  2i  f (t )sin xtdt - Như  0  g ( x )  i  f (t ) sin xtdt  i    0 f (t ) sin xtdt ,  i  f (t ) sin xtdt - i  f (-t ) sin xtdt ,  =  F (t ) sin xtdt đó, F(t) = i[f(t) – f(-t)], ta   | F (t ) | dt   (vì f  L1 ) Bây giờ, với N=3, 4, 5,  N e Vì   F (t ) dt   nên theo đònh lý1.4, ta  N e Maø  N dx  g ( x) dx   F (t )sin xtdt e x 0 x  a  Nt  N sin xt g ( x) sin x dx   F (t )dt  dx =  F (t )dt  dx e x x x et (2) Nt sin x sinx dx hội tụ neân tồn lim  dx Từ (2), ta suy N  et x x lim  N N  e g ( x) dx   x Điều mâu thuẫn với (1) Vậy g biến đổi Fourier hàm thuộc L1 2.2 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L2 2.2.1 Bổ đề Với số thực      , ta có 1/  e it t e    dt    e  / 4   Chứng minh Với    R > bất kì, lấy tích phân hàm giải tích e  z dọc theo đường  biên hình chữ nhật tạo bốn đỉnh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta coù  e  z2 dz   R R neân 2  ( x  i ) dx   e (  Riy ) dy  , e R R R   R hay x  ( R  iy ) dy   e dx   e   ( x  i ) dx  e x R  e dx   e R R  y  Riy dy   e  R  y  Riy dy Từ đẳng thức trên, ta R  R  ( x i ) dx  e R  2 e x dx  e  R [  e y  2i sin Ry  dy ] R Vì    2 e  y (2i sin Ry) dy   2e  y dy , 0 neân  lim e  R R e  y2 (2i sin Ry)dy   Mặt khác e  x2 dx   1/ ( xem 3.3.4.2 )  Do đó, từ đẳng thức (*), cho R  , ta coù  e   ( x  i ) dx   / , (*)  hay e 2 i x  x e dx   1/ e    Choïn    Ta 2 1/  4  e i 1 / x e  x2 dx   1/ e  Đổi biến t   1 / x 1/  e i t  t e    dt    e  / 4 ,   bổ đề chứng minh 2.2.2 Đònh lý  Cho f  L1  L2 Ta có f  L2 ,    f ( x ) dx  2   f (t ) dt ,   hay   (2 )1/ f f Chứng minh Xuất phát từ biểu thức     f ( x )  f ( x ) f ( x)  e  ixt  f (t )dt  e  ixu f (u )du ,  ta suy  e  x2 / n  f ( x ) dx     e  x2 / n  ixt dx  e f (t )dt   e ixu f (u )du  Vì f  L1 nên theo đònh lý 1.4, ta coù  x e /n  f ( x ) dx        Mặt khác, theo bổ đề 2.2.1  e  ix ( t  u )  x / n e  f (u )du  f (t )dt  e ix ( t u ) e  x / n dx 1/ dx = ( n) e  n(t-u)2  Chứng minh Ta chứng minh KerA = Thật vậy, giả sử Av = 0, ta (K*v)(x) = 0, x  R Theo đònh lý 3.1.4,   K ( x) v( x )  0, x  R   Mà K ( x)  h.k.n nên v( x)  h.k.n Do đó, theo đònh lý Parseval ta có v = Mệnh đề  x )  0, x  R Khi đó, phương trình Av = u có nghiệm nghiệm không phụ thuộc Cho K( liên tục vào kiện Chứng minh Ta áp dụng mệnh đề để chứng minh A 1 không liên tục, tức nghiệm toán Av = u có không phụ thuộc liên tục vào kiện Ở phần trên, ta chứng minh A tuyến tính, liên tục, đơn ánh ImA  L2(R) Để áp dụng mệnh đề 1, ta chứng minh Im A  L2 ( R ) Đặt Cc(R) không gian hàm liên tục có giá compact R B  {u  L2 ( R ) \ uˆ  C c ( R )} Trước hết ta chứng minh B  ImA uˆ Lấy u tùy ý thuộc B uˆ  C c ( R ) Vì KL1(R) neân Kˆ  C( R ) Suy  C c ( R ) ( tích ˆ K hàm liên tục có giá compact R với hàm liên tục R hàm liên tục có giá compact R ) Ta có C c ( R )  L2 ( R ) neân tồn v  L2(R) thỏa  uˆ v , ˆ K hay   uˆ  v Kˆ  K *v Suy u = K* v Vậy tồn v  L2 ( R) thỏa K*v = u nên u  ImA Như ta chứng minh B  ImA Bây lấy u tuỳ ý thuộc L2(R), ta có uˆ  L2 ( R ) Do Cc(R) trù mật L2(R) nên tồn dãy Cc(R) hội tụ uˆ tức tồn dãy {un}  B thỏa  || un  uˆ ||2  n   Theo đònh lý Parseval, ta (2 )1/ || un  u ||2  n   nghóa u n  u L2(R) Như vậy, với u tùy ý L2(R), ta có dãy {un} ImA thỏa un  u n   , tức Im A  L2 ( R ) Vậy theo mệnh đề A-1 không liên tục Kết luận Do A-1 không liên tục nên tồn u1, u2  L2(R) v1, v2 nghiệm ứng với u1, u2 thoûa || u1  u ||2 nhoû || v1  v ||2 lớn Như phương trình tích chập K*v = u vừa nêu vi phạm vào hai yêu cầu (1) (3) toán chỉnh nên ta kết luận phương trình tích chập với điều kiện nêu toán không chỉnh 3.3 NGHIỆM CHỈNH HÓA RỜI RẠC CHO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP Trong mục này, giới thiệu phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình tích chập nêu 3.2.3 dựa phương pháp chặt cụt tích phân xấp xỉ tổng Riemann 3.3.1 Đònh nghóa   h Cho h > Đặt W   không gian hàm giải tích f  cho   f ( t) dt   ,  vaø tồn số dương K cho f (z )  Ke  z /h với z   Nếu h > k số nguyên, ta có đònh nghóa sau S (k , h)( x )  sin  ( x  kh) / h   ( x  kh) / h Ta gọi hàm sinc thứ k, bước h x 3.3.2 Đònh lý n   , ( n > 0, a > ) v biểu diễn chuỗi Cardinal sau  a  Neáu v  W   ( nx  ka )  sin   a  a   v(x) =  v  k   ( nx  ka ) n  k    a  Chứng minh       Theo đònh lý Paley- Wiener ( phụ lục [1] ), với v  W   tồn F  L2   ,  thoûa h h h  /h v(t)  e ixt F(x)dx  2  / h (1) F biểu diễn chuỗi Fourier sau  F(x)  ce k k  ihkx ,-   x h h với /h h ck  F(x)e  ihkx dx  hv(kh)  2   / h Như    ihkx h , x    v(kh)e h F(x)   k   0 , x   h (2) Mặt khác, /h sin    x  kh  / h   S(k, h)(x) ikht  ixt he dt  (x  kh) / h  / h (3)  Do từ (1), (2) (3) ta  v(x) =  v(kh) S (k , h)( x) k  Nếu h = n a v  W   n  a   ( nx  ka )  sin   a  a   v(x) =  v  k   ( nx  ka ) n  k    a  Đònh lý chứng minh a Như ta tìm v biết giá trò v  k  Chúng đưa phương  n pháp tìm giá trò mục 3.3.3 3.3.3 Phương pháp chỉnh hóa Xét phương trình tích chập K*v = u, đó, K  L1 ( R)  L2 ( R), u  L2 ( R ) cho trước v L2 ( R) ẩn cần tìm Ta xét toán với điều kiện sau (i) v  L2 ( R ) vaø M  cho v  M , (ii) K  L1 ( R)  L2 ( R) Đặt  K(x) , x  a K '(x)   ,x a 0 Ta coù K '*v  K' v  M K' Nhận xét K khả tích (, ) nên K ' nhỏ ta chọn a đủ lớn Đây sở để ta chỉnh hóa toán phương pháp chặt cụt tích phân Như thay tìm nghiệm v phương trình K*v = u, ta tìm nghiệm phương trình  ( K  K ') * v   u , a hay  K ( x  t )v(t )dt  u( x) a a ( k =  n, n ), ta n Thay x = k  a   a K  k  t  v (t )dt  u  k  a  n   n  a Ta xấp xỉ tích phân vế trái tổng Riemann n  a a  aa  a  a  a n  a  K  k n - k' n  v  k' n  n  u  k n  , k'=-n n  K  (k  k ') n  v  k ' n   a u  k n  hay k ' n n a Như vậy, đặt g ( x )  u ( x) , ta coù n  a a a  K (k  k ') n  v(k ' n )  g(k n ) , k  n a n vậy, v(k ' ) ( k  n, n ) nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2n +1 ẩn sau AX = G đó,   a K    K (0)  n   a K (0)  K  n  A    2a  a K   K  n   n     (2n  1)a    2na  K  n  K  n       2a  K    n   a K   n K (0)  (2n  2)a  K n    2na   K     n    (2n  1)a   K  n     (2n  2)a   , K  n       K (0)     na    v    n      ( n  1)a    v  n    X    (n  2)a   , v   n         na     v n           na    g    n      ( n  1)a   g  n    G    ( n  2)a   g  n         na    g     n    a Giải hệ ta tìm v  k '  , k '  n, n n   Neáu v  W   h  v(x) =  v(kh) S (k , h)( x) , k  tức    x  kh   sin    h   v(x) =  v (kh)   x  kh  k  h Chọn h = a , ta n  ( nx  ka )  sin   a  a   v(x) =  v  k   ( nx  ka ) k    n  a  Do đó, với n đủ lớn, ta có phép tính gần  ( nx  ka )  sin   a a  v(x)   v  k    ( nx  ka ) n k  n  a n  a v  k  , k  n, n xác đònh từ hệ phương trình  n 3.3.4 Bài toán minh họa 3.3.4.1 Bài toán Xét phương trình tích chập K*v = u, đó, K  L1 ( R)  L2 ( R), u  L2 ( R ) cho trước v L2 ( R) ẩn cần tìm Ta xét toán với điều kiện sau (i) v  L2 ( R ) vaø M  thoûa v  M , (ii) K ( x)  e  x ( α > ) e  x , Xeùt K '( x )    0, x a x a Ta chứng minh K '* v nhỏ ta chọn a đủ lớn Thật vậy, theo đònh lý 3.1.2, ta có K '*v  K' v  M K' Mặt khác a K'1  e   x dx   e  x dx a  Vì e  x hàm chẵn nên  K '   e  x dx  a Như vậy, K '* v  2M   e  a e  a Rõ ràng, ta thấy chọn a đủ lớn K '*v nhỏ Như nhân K thỏa điều kiện toán 3.3.3 Do đó, thay tìm nghiệm v phương trình K*v=u, ta tìm nghiệm phương trình  ( K  K ') * v   u , a hay  K ( x  t )v(t )dt  u( x) a n a a n Đặt g ( x )  u ( x) Theo 3.3.3, ta tìm giá trò v(k ), (k  n, n) cách giải hệ phương trình tuyến tính 2n+1 aån sau na a  ( n  1)a  2na na na  K( )v( ) g( )       K(0).v( n )  K( n )v   n n n n     a na  ( n  1)a   (2n  1)a  na  (n  1)a    K  v( )  g  K( ).v( )  K(0)v     n n n n     n    n a  ( n  1)a  na  2a  (2n  2)a  na  ( n  2)a    K  v( )  g  K( ).v( )  K( )v     n n  n n n    n   n   na K( 2na ).v( na )  K  (2n  1)a  v  (n  1)a    K(0)v( na ) =g( )      n n n n n n       Với K(x) = e-α|x|, ta có hệ a   na  ( n  1)a   e n v  v( )  n n     a na  ( n  1)a  e n v( )  v   n n   a    2a  na  n  ( n  1)a  n  e v(  )  e v   n n      2na  (2n 1)a  na   n  (n  1)a  n v( )  e v e   n n    Đặt x = e  a n       x   2 x     n x  e  e  2na n na ) n  ( 2n 1)a n  e v(   v(  (2n  2)a n v( na ) n  g( na ) n na  ( n  1)a  )  g  n n  v( na  ( n  2)a  )  g  n n   g( na ) n , ta có ma trận hệ phương trình tuyến tính sau x x 2 x n x x (2 n1) x x (2 n 2) x (2n 1) x (2 n 2)  na   g     n    (n  1)a   g   n    (n  2)a   g   n      na   g    n   Thực phép biến đổi sơ cấp d i  x  d i 1 (i=2,2n+1) , ta  x 1   2  1 x   0     0  x 2  x  x 2   x 2   na  g    n    ( n  1)a    na   x (2n 1) (1  x 2 ) g   x g   n   n    ( n  2)a    ( n  1)a   x (2 n 2) (1  x 2 ) g  x g  n n        na    (n  1)a   2 g  x g  1 x    n   n   x n Như ta giải nghiệm hệ phương trình sau a n  ka   ia   (i k ) n v     v e   n  i  k 1  n  1 e  2a  n   ka   g    e   n  a n  (k  1)a   g  ,  n  với k = - n +1, n , a n   na   ia   (i  k ) n   na  v  g     v e   n   n  i  k 1  n  Theo 3.3.2, với n đủ lớn ta có phép tính gần  ( nx  ka )  sin   a a , v(x)   v  k    ( nx  ka ) n k  n  a n  a với v  k  xác đònh từ (  n *) 3.3.4.2 Bài toán Xét phương trình tích chập K*v = u, đó, K  L1 ( R )  L2 ( R ) , v  L2 ( R ) ẩn cần tìm, u  L2 ( R ) cho trước Ta xét toán với điều kiện sau (i) v  L2 ( R ) M  thỏa v  M , (*) (ii) K ( x )  e x ,    e x , Xeùt K '( x )   , 0 x a x a Ta chứng minh K '* v nhỏ ta chọn a đủ lớn Thật vậy, theo đònh lý 3.1.2, ta có K '*v  K' v K'1   M K'  a Maø e  x2 dx   e  x dx , a  neân a  K'  e  x 2 dx   e  x dx  a Mặt khác,   e  x    dx  e  y dy    e  ( x  y ) dxdy   2    r  d  e rdr  0    Vaäy e  x 1/ (1) dx   /    Tương tự a e  x a a a  2 dx    e  x dx  e  y dy   a  a 1/ a a  2     e   ( x  y ) dxdy   a a   2 =   d 0  1/ 2a e 1/  r  rdr    Vaäy a e a  x   1/ 2   dx    e 2 a    (2) Từ (1) (2) ta 1/ 2  K '    1   e 2 a    Vì K '*v  K' v  M K ' neân    1/ K '*v 2    M   1   e 2 a    Rõ ràng ta thấy chọn a đủ lớn K '*v    nhỏ Như nhân K thỏa điều kiện toán 3.3.3 Do đó, thay tìm nghiệm v phương trình K*v =u, ta tìm nghiệm phương trình  ( K  K ') * v   u , a  K ( x  t )v(t )dt  u( x) hay a n a a n Đặt g ( x )  u ( x) Theo 3.3.3, ta tìm giá trò v(k ) , (k   n, n) cách giải hệ phương trình tuyến tính 2n+1 ẩn AX = G, với       an   e   A     a 2   n  e      na  e  n   e a    n e e e a    n a    n e  2a      n   (2 n 1) a     n   e  (2 n  2) a     n      na    na    v    g    n    n       ( n  1)a     ( n  1)a    v  g    n n       X    (n  2)a   , G    ( n  2)a   v  g     n n                na    na     g    v n        n     Đặt x = e a -  n , xét đònh thức ma trận A     (2 n 1) a      e  n     (2 n  2) a  ,     e  n        e  na      n  D2n 1  x x 4 x 9 x x x 4 x ( 2n 1) x 4 x x x (2 n 2) x (2 n)  x (2n 1)  x (2n  2)  x (2 n3)  x (2n )    Ta chứng minh D2n 1  (1  x 2 )(1  x 4 ) (1  x n ) D2 n Thực phép biến đổi di  x ( 2i 3) d i 1 , (i = 2,2n+1) , ta x x 4 x 9  x 2 x (1  x 4 ) x 4 (1  x 6 ) x (2 n 1)  (1  x n ) x (1  x 2 )  x 4 x (1  x 6 ) x (2n  2)  (1  x n ) D2n 1  2 x (2n 1)  (1  x 2 ) x ( 2n 2)  (1  x 4 ) 2 x (2 n3)  (1  x 6 ) D2n 1  (1  x 2 )(1  x 4 )(1  x 6 ) (1  x n ) D2 n Bây giờ, ta chứng minh D2n  (1  x 2 )(1  x 4 )(1  x 6 ) (1  x ( 4n 2) ) D2 n1    x x 4 x 9 x (2 n1) x x x 4 x (2n 2) x 4 x x x ( 2n 3) x (2 n1)  x (2 n 2)  x (2n 3)  x (2 n 4)   Khai trieån đònh thức theo cột một, ta D2n  x (2 n) Thực phép biến đổi di  x ( 2i 3) d i 1 , (i = 2,2n) , ta  x n x x 4 x 9  x 2 x (1  x 4 ) x 4 (1  x 6 ) x (2 n 2)  (1  x (4 n 2) ) x (1  x 2 )  x 4 x (1  x 6 ) x (2 n3)  (1  x (4 n 2) ) D2n  2 x (2n 1)  2 x (2 n 2)  (1  x 2 ) x ( 2n 3)  (1  x 4 ) x (2 n 4)  (1  x 6 )  x n Khai triển đònh thức theo cột một, ta D2n  (1  x 2 )(1  x 4 )(1  x 6 ) (1  x ( 4n 2) ) D2 n1 Mặt khác xα ≠ a>0, n>0 D1  D2   x 2  (1  x 2 ) D1 Do đó, theo công thức truy hồi D2n+1≠  a Vậy hệ phương trình có nghiệm v  k  Như nghiệm chỉnh hóa toán  n  a   xác đònh dựa vào giá trò v  k  xác đònh n KẾT LUẬN Luận văn gồm có chương với nội dung chỉnh hóa nghiệm phương trình tích chập có dạng Av = u, với Av(x) =    K( x  t ) v ( t )dt v  L2 ( R), K  L1 ( R)  L2 ( R), u  L2 ( R ) Đây toán không chỉnh chứng minh chương Để chỉnh hóa toán này, sử dụng công cụ chặt cụt tích phân, lý thuyết hàm sinc chuỗi Cardinal Trong việc xây dựng nghiệm chỉnh hóa v cách chặt cụt tích phân nêu trên, giá trò v xác đònh dãy điểm rời rạc khoảng chặt cụt tích phân Điều có ý nghóa quan trọng việc tính toán máy tính mà kiện nhận phép đo điểm rời rạc Khi cách sử dụng thuật toán thích hợp, người ta tính giá trò v điểm rời rạc thực nội, ngoại suy giá trò v điểm khác Trong luận văn này, nêu phương pháp chỉnh hóa toán phương trình tích chập với nhân K thỏa số điều kiện đònh Sau áp dụng phương pháp chỉnh hóa vào toán với nhân K cụ thể Hướng phát triển tới đề tài nghiên cứu thuật giải thích hợp nhằm tính toán giá trò rời rạc nghiệm chỉnh hóa dựa vào kiện rời rạc đo đạc TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt “Biến Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), đổi tích phân”, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Hoàng Nguyên (2002), “Biến đổi Fourier không gian L1, L2 phương trình tích chập”, Luận văn cử nhân Toán, Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM Phạm Hoàng Uyên (2003), “Nghiệm chỉnh hóa hàm sinc cho phương trình nhiệt”, Luận văn thạc sỹ toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Tiếng Anh R R Goldberg (1960), “Fourier transforms”, Air Force office of scientific Research W Rudin (1966), “Functional analysis”, Mc Grow-Hill F Stenger (1993), “Numerical methods based on Sinc and analytic functions”, Verlag, NewYork Springer- ... nêu toán không chỉnh 3.3 NGHIỆM CHỈNH HÓA RỜI RẠC CHO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP Trong mục này, giới thiệu phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình tích chập nêu 3.2.3 dựa phương pháp chặt cụt tích. .. Nếu toán không chỉnh, người ta tìm cách chỉnh hóa cho nghiệm chỉnh hóa đủ gần nghiệm toán không chỉnh ban đầu 3.2.3 Tính không chỉnh phương trình tích chập Trong phần này, ta xét phương trình. .. 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP VÀ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH 3.2.1 Bài toán chỉnh Cho ánh xạ A : X  Y X, Y hai không gian đònh chuẩn Xét phương trình Av = u với u  Y cho trước v  X ẩn cần tìm Bài toán