Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Nguyên NGHIỆM CHỈNH HÓA RỜI RẠC CHO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN LƯU CƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành bày tỏ kính trọng lòng biết ơn thầy Tiến Só Trần Lưu Cường, người tận tình hướng dẫn bảo cho tác giả suốt trình thực Tác giả xin chân thành cám ơn Quý Thầy tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 13, chuyên ngành Giải tích Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM, người tận tình truyền đạt kiến thức cho tác giả Tác giả vô biết ơn Quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn với gia đình, bạn bè người thân hỗ trợ, động viên tác giả suốt thời gian qua Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ 1.1 Bổ đề Fatou Nếu f1, f2 , dãy hàm không âm, khả tích xác đònh  ,   thỏa  lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, f hàm khả tích  ,   ,   f ( x)dx  lim inf  f  n ( x)dx  1.2 Đònh lý hội tụ bò chặn Nếu f1 , f2 , dãy hàm khả tích  ,   tồn hàm khả tích F cho n  N , f n ( x )  F( x ) h.k.n  f hàm khả tích lim n    f n ( x )dx    f ( x)dx  1.3 Đònh lý Fubini   Nếu    f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối   theo biến x Hơn    dx  f ( x, y)dy       f ( x, y)dxdy        Tương tự   dy  f ( x, y )dx    f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dy  1.4 Đònh lý Tonelli-Hobson    tồn hầu khắp nơi hàm khả tích  Nếu hai tích phân     dx  f ( x, y )dy,  dy  f ( x, y)dx hội    tụ tuyệt đối      f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối       f ( x, y)dxdy =     dx  f ( x, y)dy =     dy  f ( x, y )dx   1.5 Đònh lý Nếu f hàm khả tích  R , R  , R  h f ( x  t )  f ( x ) dt  h.k.n    x    h 0 h  lim Tập hợp x thỏa mãn điều kiện gọi tập Lesbegue f Rõ ràng tập Lesbegue f chứa điểm x mà f liên tục 1.6 Đònh nghóa Cho  p   Hàm f xác đònh  ,   gọi thuộc Lp   f (x) p dx    Khi đó, ta đặt f p   p    f ( x ) dx     1/ p 1.7 Đònh lý  Nếu f Lp lim t 0  p f ( x  t )  f ( x) dx   1.8 Đònh lý Nếu f, g  Lp f g p  f p  g p, f p  g p  f g p 1.9 Đònh lý Cho f1 , f2 , thuộc Lp Nếu lim f n  f m p m ,n   lim f n  f n  p  tồn f  Lp cho  1.10 Đònh lý Cho f1, f2 , thuộc Lp Nếu lim f n  f p n   lim f n ( x )  g( x ) h.k.n n     x    f(x) = g(x) h.k.n    x    1.11 Bất đẳng thức Hưlder Cho f  Lp g  Lp ' với  p, p '   1   Khi fg L1 p p'   f ( x) g ( x) dx  f p g p'  1.12 Đònh lý Cho f, f1, f2, thuộc L2 lim f n  f n   lim n     với g thuộc L2, ta có  f n ( x ) g ( x )dx    f ( x ) g ( x )dx Chương TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L , L 2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1 2.1.1 Đònh nghóa  Cho f  L Ta có e   ixt f (t )dt  f (t ) dt  f   , x  R Do  e ixt f ( t )dt tồn x  R   ta đònh nghóa biến đổi Fourier fˆ f  L1 bởiø  fˆ ( x )  e ixt f ( t )dt  Khi fˆ bò chặn  ,   sup fˆ ( x)  f 2.1.2 Tính chất a) f liên tục  ,   Do đònh nghóa, ta có  fˆ (x  h )  fˆ ( x )   e e ixt iht  1f ( t )dt  nên  fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  e iht  f ( t ) dt  Mà e iht  f ( t )  f ( t ) , lim e iht  f ( t )  , với t   Vì vậy, theo đònh lý hội tụ bò h 0 chặn, ta có  lim h 0 e iht  f ( t ) dt   Do lim fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  , nghóa f liên tục  h 0 b) lim f ( x)  x   Theo đònh nghóa fˆ (x )   e ixt f ( t )dt , nên với x  , ta có    fˆ ( x )  e   ix  t    x  f ( t )dt   e  ixt   f  t  dt x  Từ suy  2fˆ ( x )  e ixt    f ( x)      f ( t )  f  t  x  dt,      f (t )  f  t   dt x    (1) Nhưng f  L1 nên theo đònh lý 1.7,  lim x      f ( t)  f  t  x  dt  (2)  Từ (1) (2) suy lim fˆ ( x )  x   2.1.3 Chú ý Ta biết f  L1 fˆ liên tục (-, ) lim fˆ ( x)  Nhưng ngược lại x  f ( x) liên tục (-, ) lim f ( x)  chưa thể kết luận f biến đổi Fourier hàm x  thuộc L1 Thật vậy, ta xét ví dụ sau  ( x  e)  ln x ,  x g ( x)   , (0  x  e) e - g (- x), ( x  0)   Dễ thấy g(x) liên tục R lim g(x) = Đồng thời, hàm g có tính chất sau x  lim  N N  e N dx g ( x)  lim ln(ln N )   dx  lim  N  e x ln x N  x (1) Giả sử tồn f  L1 cho g  f  g ( x )   eixt f (t )dt , x  R - Mà g(x) = -g(-x) nên ta có  g ( x )  - e-ixt f (t )dt - Suy  g ( x)  2i  f (t )sin xtdt - Như  0  g ( x )  i  f (t ) sin xtdt  i    0 f (t ) sin xtdt ,  i  f (t ) sin xtdt - i  f (-t ) sin xtdt ,  =  F (t ) sin xtdt đó, F(t) = i[f(t) – f(-t)], ta   | F (t ) | dt   (vì f  L1 ) Bây giờ, với N=3, 4, 5,  N e Vì   F (t ) dt   nên theo đònh lý1.4, ta  N e Mà  N dx  g ( x) dx   F (t )sin xtdt e x 0 x  a  Nt  N sin xt g ( x) sin x dx   F (t )dt  dx =  F (t )dt  dx e x x x et (2) Nt sin x sinx dx hội tụ nên tồn lim  dx Từ (2), ta suy N  et x x lim  N N  e g ( x) dx   x Điều mâu thuẫn với (1) Vậy g biến đổi Fourier hàm thuộc L1 2.2 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L2 2.2.1 Bổ đề Với số thực      , ta có 1/  e it t e    dt    e  / 4   Chứng minh Với    R > bất kì, lấy tích phân hàm giải tích e  z dọc theo đường  biên hình chữ nhật tạo bốn đỉnh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta có  e  z2 dz   R R nên 2  ( x  i ) dx   e (  Riy ) dy  , e R R R   R hay x  ( R  iy ) dy   e dx   e   ( x  i ) dx  e x R  e dx   e R R  y  Riy dy   e  R  y  Riy dy Từ đẳng thức trên, ta R  R  ( x i ) dx  e R  2 e x dx  e  R [  e y  2i sin Ry  dy ] R Vì    2 e  y (2i sin Ry) dy   2e  y dy , 0 nên  lim e  R R e  y2 (2i sin Ry)dy   Mặt khác e  x2 dx   1/ ( xem 3.3.4.2 )  Do đó, từ đẳng thức (*), cho R  , ta có  e   ( x  i ) dx   / , (*)  hay e 2 i x  x e dx   1/ e    Chọn    Ta 2 1/  4  e i 1 / x e  x2 dx   1/ e  Đổi biến t   1 / x 1/  e i t  t e    dt    e  / 4 ,   bổ đề chứng minh 2.2.2 Đònh lý  Cho f  L1  L2 Ta có f  L2 ,    f ( x ) dx  2   f (t ) dt ,   hay   (2 )1/ f f Chứng minh Xuất phát từ biểu thức     f ( x )  f ( x ) f ( x)  e  ixt  f (t )dt  e  ixu f (u )du ,  ta suy  e  x2 / n  f ( x ) dx     e  x2 / n  ixt dx  e f (t )dt   e ixu f (u )du  Vì f  L1 nên theo đònh lý 1.4, ta có  x e /n  f ( x ) dx        Mặt khác, theo bổ đề 2.2.1  e  ix ( t  u )  x / n e  f (u )du  f (t )dt  e ix ( t u ) e  x / n dx 1/ dx = ( n) e  n(t-u)2 