BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc An TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 MỞ ðẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn nói lĩnh vực ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh tồn nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn phương trình vi phân ,phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn nhà tốn học giới sử dụng nhiều phương pháp khác để chứng minh Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera phương pháp tìm lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với điều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , (1.3) x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach Mục đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) ðó lý tơi chọn đề tài “Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa” Mục đích nghiên cứu Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera tồn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn ðối tượng nội dung nghiên cứu Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera cơng cụ mạnh để mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Phần nội dung : Chương : Giới thiệu chung kết nghiên cứu có liên quan đến đề tài, ký hiệu sử dụng đề tài ,các kết sử dụng Chương : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn Trong chương chứng minh tồn lời giải tuần hồn tốn giá trị đầu : d ( x(t ) + G (t , xt )) = Ax ( t ) + F (t , xt ) dt x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) ( 2.1) ( 2.2 ) Chương : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm khơng bị chặn : Trong chương tập trung đến tồn lời giải ω - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn có dạng : d ( x ( t ) + G ( t , xt ) ) = Ax ( t ) + F ( t , xt ) dt xσ = ϕ ∈ B ( 3.1) ( 3.2 ) Với xt : ( −∞,0] → X , xt (θ ) = x(t + θ ) thuộc vào khơng gian pha B trừu tượng xác định trước F , G : ℝ × B → X hàm liên tục Chương 4: Ứng dụng Trong chương minh họa số kết việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera để tìm lời giải tuần hồn hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm khơng bị chặn) Phần kết luận : ðưa kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt đưa đề xuất (nếu có ) 4 Chương GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CĨ LIÊN QUAN ðẾN ðỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ðƯỢC SỬ DỤNG TRONG ðỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ðƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Giới thiệu Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Massera chứng minh tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , t > dt x0 = ϕ ∈ D (1.1) (1.2) Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact, giải tích tốn tử tuyến tính (T (t ))t ≥0 khơng gian Banach X Hàm chậm x t , x t (θ ) = x (t + θ ) thuộc khơng gian pha D thích hợp G, F : ℝ × D → X hàm liên tục Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với điều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , (1.3) Với A phần tử vi phân nửa nhóm compact tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach Mục đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) Những phương trình vi phân trung hòa phát triển nhiều lĩnh vực tốn ứng dụng phương trình mở rộng nhiều năm gần đây.Một tài liệu hướng dẫn hay phương trình vi phân hàm trung hòa với điều kiện làm chậm sách nhà tốn học Hale [8] với dẫn Làm việc với phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa với điều kiện làm chậm Hernandez Henriquez [9,10] Trong báo này, Họ chứng minh tồn lời giải yếu, mạnh lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , dt x0 = ϕ ∈ B (1.4) Với A phần tử vi phân nửa nhóm giải tích tốn tử tuyến tính khơng gian Banach B pha khơng gian xác định tiên đề Trong trường hợp tổng qt, kết suy từ định lý nửa nhóm định lý điểm bất động Sadovskii Luận văn có năm chương Trong chương tập trung đến tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa xác định ℝ × C ([− r ,0]: X ) Trong chương 3, cách sử dụng kết chương 2, xét tồn lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa với với mơ hình làm chậm bị chặn ℝ × B ,với B pha khơng gian định nghĩa tiên đề Hale Kato [5] Chương chứa ví dụ minh họa Những kết có dựa tính chất nửa nhóm giải tích ý tưởng, kỹ thuật chứng minh Harnandez Henriquez [9,10] Ezzinbi[3] 1.2 Ký hiệu Trong luận văn này, ta ký hiệu X khơng gian Banach với chuẩn , A ký hiệu phần tử vi phân nửa nhóm giải tích, compact, (T (t ))t ≥0 ,của tốn tử tuyến tính X định nghĩa sau : T (t ) x − x tồn A : D( A) → X với D( A) = x ∈ X : lim t →0 t T (t ) x − x dT (t ) x với x ∈ D( A) = t →0 t dt t =0 Ax = lim Dựa vào định lý C nửa nhóm Pazy [13] Trong luận văn này, x (.,ϕ ) ký hiệu lời giải cùa (1.1) - (1.2) Hơn nữa, B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu cầu mở, (quả cầu đóng) khơng gian Metric Z với tâm x bán kính r Với hàm bị chặn ξ :[a,b ] → [0, ∞) a ≤t ≤b ξa ,t = sup{ξ (s ) : s ∈ [a,t ]} ký hiệu ξa ,t (1.6) Nếu D khơng gian pha Banach, chuẩn D ký hiệu D ðể chứng minh kết luận văn ,chúng ta sử dụng kết sau 1.3 Một số kết sử dụng luận văn 1.3.1 ðịnh lý 1.2 [5] Cho Y khơng gian Banach Γ := Γ1 + y với Γ1 :Y →Y tốn tử tuyến tính bị chặn y ∈Y Nếu tồn x ∈Y cho tập {Γ n (x ) : n ∈ ℕ} compact tương đối Y, Γ có điểm bất động Y 7 1.3.2 ðịnh lý 1.3 [4] Cho X khơng gian Banach M tập lồi, khác rỗng X Γ : M → X ánh xạ đa trị cho Với x ∈ M tập Γ(x ) lồi, đóng khác rỗng (i) (ii) Tập Γ(M ) = ∪ Γ(x ) compact tương đối x ∈M (iii) Γ nửa liên tục Thì Γ có điểm bất động M 1.3.3 ðịnh lý Ascoli Tập M ⊂ C ( K , R n ) tập compact tương đối M bị chặn đẳng liên tục 1.3.4 ðịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo độ đo đến hàm số f tập hợp A fn ≤ g h.k.n A với n, g hàm số khả tích A lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ n→∞ A A 1.3.5 ðịnh lý điểm bất động Sadovskii 1.3.5.1 ðịnh nghĩa độ đo phi compact Kuratovskii Cho X khơng gian Banach, A tập bị chặn ðộ đo phi compact Kuratovski định : χ (A) = inf {d > / A phủ số hữu hạn tập hợp A1, A2, An có đường kính ≤ d} Tính chất : ( i ) χ (A)=χ (A)=χ (coA) (ii ) χ ( A) = ⇔ A compact tương đối (iii ) χ ( A ∪ B) = max { χ ( A), χ (B)} (iv ) χ ( A + B) = χ ( A) + χ (B) (v ) χ (tA) = t χ ( A) 1.3.5.2 ðịnh nghĩa tốn tử đặc Ánh xạ f : D ⊂ X → X gọi k – đặc tồn k∈(0,1) cho: χ ( f ( A)) ≤ k χ ( A) với A bị chặn chứa D 1.3.5.3 ðịnh lý điểm bất động Sadovskii Giả sử (i) Tốn tử T : M ⊆ X → M k – đặc, (ii) M khác rỗng, đóng, bị chặn tập lồi khơng gian Banach X Khi T có điểm bất động 1.3.6 Một số định lý C0 nửa nhóm 1.3.6.1 ðịnh nghĩa nửa nhóm (định nghĩa 1.1) [13] Cho X khơng gian Banach Một họ tham biến T (t ),0 ≤ t < ∞ tốn tử tuyến tính từ X vào X nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X nếu: (i) T (0) = I (I tốn tử đồng X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với s, t ≥ (Tính chất nửa nhóm) 1.3.6.2 ðịnh nghĩa C0 nửa nhóm (định nghĩa 2.1) [13] Một nửa nhóm T (t ),0 ≤ t < ∞ ,của tốn tử tuyến tính bị chặn X nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn lim T (t ) x = x với x ∈ X t→0 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính X gọi nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản C0 nửa nhóm 1.3.6.3 ðịnh lý 2.2 [13] Nếu T (t ) C0 nửa nhóm Khi tồn số ω M ≥ cho T (t ) ≤ Meωt , ≤ t < ∞ 1.3.6.3.1 Hệ 2.3 [13] Nếu T (t ) C0 nửa nhóm với x ∈ X , t → T (t ) x hàm liên tục từ ℝ +0 ( đường thẳng thực khơng âm ) vào X 1.3.6.4 ðịnh lý 2.3 [13] Cho T (t ) C0 nửa nhóm A phần tử vi phân Khi : a) Với x ∈ X , lim h →0 h t +h ∫ T (s) xds = T (t) x t t b) Với x ∈ X , ∫ T (s) xds ∈ D( A) A ∫ T (s) xds = T (t ) x − x 0 t c) Với x ∈ D(A) , T (t ) x ∈ D(A) d T (t ) x = AT (t ) x = T (t ) Ax dt t t s s d) Với x ∈ D(A) , T (t ) x − T (s) x = ∫ T (τ ) Axdτ = ∫ AT (τ ) xdτ 1.3.6.4.1 Hệ 2.5 [13] Nếu A phần tử vi phân C0 nửa nhóm T (t ) , D (A), miền xác định A, trù mật X A tốn tử tuyến tính đóng 1.3.6.5 ðịnh lý 3.2 [13, tr.48] Cho T (t ) C0 nửa nhóm Nếu T (t ) compact với t > t0 T (t ) liên tục khơng gian tơ pơ tốn tử với t > t0 Nếu (T (t ))t ≥0 nửa nhóm giải tích bị chặn cho ∈ ρ (A ) định nghĩa bậc hữu tỉ (−A )α , α ∈ (0,1] ,như tốn tử tuyến tính đóng miền xác định D(− A)α Hơn khơng gian D(− A)α trù mật X biểu thức x α = (− A)α x , x ∈ D(− A)α , định nghĩa chuẩn D(− A)α Nếu X α biểu diễn khơng gian D(− A)α xác định chuẩn α , theo [11, tr.74] ta có tính chất sau :