Tiêu chuẩn loại massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa

Lý do chọn ñề tài Phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực ñều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, ñiện tử,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc An

TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG

CỦA HÀM TRUNG HÒA

Chuyên ngành : Toán giải tích.

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài Phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng

trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực ñều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, ñiện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân ,phương trình ñạo hàm riêng, ñặc biệt là phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm

bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn ñược các nhà toán học trên thế giới sử dụng nhiều phương pháp khác nhau ñể chứng minh Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera là một trong những phương pháp tìm lời giải tuần hoàn của phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa

Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn

Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hê tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng

ϕ

•

= ∈ = − 0

( ) ( ) ( , ) , (1.3)

x ([ ,0]: ) ,

t

x t Ax t F t x

C C r X Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach

Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương

tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm

trung hòa với ựiều kiện làm chậm ( 1.1) Ờ (1.2) đó là lý do tôi chọn ựề tài

ỘTiêu chuẩn loại Massera cho phương trình ựạo hàm riêng của hàm trung hòaỢ

2 Mục ựắch nghiên cứu

Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình ựạo hàm riêng của hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn,

chứa hàm làm chậm không bị chặn

3 đối tượng và nội dung nghiên cứu

Lời giải tuần hoàn cho phương trình ựạo hàm riêng của hàm trung hòa

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Tiêu chuẩn loại Massera là một công cụ rất mạnh ựể chỉ ra mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn của phương trình ựạo hàm riêng của hàm trung hòa

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở ựầu, bốn chương nội dung và phần kết luận Cụ thể :

Phần mở ựầu : Nêu lý do chọn ựề tài Phần nội dung :

Chương 1 : Giới thiệu chung về những kết quả nghiên cứu có liên quan

ựến ựề tài, các ký hiệu ựược sử dụng trong ựề tài ,các kết quả

sẽ ựược sử dụng

Chương 2 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ựạo hàm riêng của hàm

trung hòa có hàm làm chậm bị chặn

Trong chương này chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn của bài toán giá trị ựầu :

[ ,0]: 2.2

d

dt

Chương 3 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm

trung hòa có hàm làm chậm không bị chặn : Trong chương này chúng ta tập trung ñến sự tồn tại của lời giải ω - tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa với mô hình làm chậm không bị chặn có dạng :

( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

( )

, , 3.1 3.2

= ∈

d

dt

Với x t : (−∞,0]→X x, ( )t θ =x t( +θ) thuộc vào không gian pha BBB trừu tượng xác ñịnh trước và ,F G:ℝ×B →X là những hàm liên tục

Chương 4: Ứng dụng Trong chương này chúng ta sẽ minh họa một số kết quả của việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera ñể tìm lời giải tuần hoàn của hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm không bị chặn)

Phần kết luận : ðưa ra những kết luận mà luận văn ñạt ñược, chưa ñạt

ñược và ñưa ra những ñề xuất (nếu có )

Chương 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ðẾN ðỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ðƯỢC SỬ DỤNG TRONG ðỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ðƯỢC SỬ DỤNG

1.1 Giới thiệu

Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Massera chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa

ϕ

= ∈

d

x t G t x Ax t F t x t dt

D

0

( ( ) ( , )) ( ) ( , ) , 0 (1.1)

x (1.2) Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact, giải tích của những toán tử tuyến tính ( ( ))T t t≥0 trên không gian Banach X Hàm chậm , ( ) ( )

x x θ =x t +θ thuộc không gian pha D thích hợp và G F, :ℝ×D→Xlà những hàm liên tục

Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn

Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng

ϕ

•

= ∈ = − 0

( ) ( ) ( , ) , (1.3)

x ([ ,0]: ) ,

t

x t Ax t F t x

C C r X

Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach

Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2)

Những phương trình vi phân trung hòa ñược phát triển trong nhiều lĩnh vực của toán ứng dụng và những phương trình như vậy ñược mở rộng nhiều trong những năm gần ñây.Một tài liệu hướng dẫn rất hay về phương trình vi phân của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là cuốn sách của nhà toán học Hale [8] với những chỉ dẫn ở trong ñó Làm việc ñầu tiên với phương trình ñạo hàm riêng của của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là Hernandez và Henriquez trong [9,10] Trong những bài báo này, Họ ñã chứng minh tồn tại lời giải yếu, mạnh và lời giải tuần hoàn cho phương trình trung hòa

0

( ( ) ( , ))t ( ) ( , ) , (1.4)t

d

x t G t x Ax t F t x dt

x ϕ

= ∈ BB Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm giải tích của những toán tử tuyến tính trên không gian Banach và BBB là pha không gian xác ñịnh bởi các tiên ñề Trong trường hợp tổng quát, những kết quả này ñược suy từ ñịnh lý nửa nhóm và ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii

Luận văn này có năm chương Trong chương 2 chúng ta tập trung ñến sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa xác ñịnh trên ℝ×C([ ,0]: )−r X Trong chương 3, bằng cách sử dụng kết quả của chương 2, chúng ta xét sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương trình trung hòa với với mô hình làm chậm bị chặn trên ℝ×B,với BB là một pha không gian ñịnh nghĩa bởi các tiên ñề như trong Hale và Kato [5] Chương 4

sẽ chứa những ví dụ minh họa Những kết quả của chúng ta cĩ được dựa trên những tính chất của nửa nhĩm giải tích và những ý tưởng, kỹ thuật chứng minh của Harnandez và Henriquez [9,10] và Ezzinbi[3]

1.2 Ký hiệu

Trong luận văn này, ta sẽ được ký hiệu X là một khơng gian Banach với chuẩn , A ký hiệu là phần tử vi phân của nửa nhĩm giải tích, compact,

0

( ( ))T t t≥ ,của những tốn tử tuyến tính trên X và được định nghĩa như sau :

→ : ( )

A D A X với

→

−

( ) ( ) : lim tồn tại

t

T t x x

D A x X

→

=

−

0

0

( ) ( )

t

t

T t x x dT t x

Dựa vào định lý C nửa nhĩm của Pazy [13] 0 Trong luận văn này, x(., )ϕ ký hiệu lời giải cùa (1.1) - (1.2) Hơn nữa, ( : ),( [ : ])

B x Z B x Z ký hiệu là quả cầu mở, (quả cầu đĩng) trong khơng gian Metric Z với tâm tại x và bán kính bằng r Với hàm bị chặn :[ , ] [0, )a b

ξ → ∞ và a t≤ ≤ chúng ta sẽ ký hiệu b ξa t, bởi

, sup{ ( ) : [ , ]} (1.6)

ξ = ξ ∈ Nếu D là khơng gian pha Banach, chuẩn trong D sẽ được ký hiệu D

ðể chứng minh những kết quả chính của luận văn ,chúng ta sẽ sử dụng những kết quả sau

1.3 Một số kết quả được sử dụng trong luận văn 1.3.1 ðịnh lý 1.2 [5]

Cho Y là khơng gian Banach và Γ = Γ +: 1 y với Γ1:Y →Y là tốn tử tuyến tính bị chặn và y ∈Y Nếu tồn tại x0∈Y sao cho tập { ( ) :n 0 }

x n

Γ ∈ ℕ

là compact tương đối trong Y, thì Γ cĩ điểm bất động trong Y

1.3.2 ðịnh lý 1.3 [4]

Cho X là không gian Banach và M là tập con lồi, khác rỗng của X nếu : 2X

M

Γ → là ánh xạ ña trị sao cho (i) Với mỗi x M∈ thì tập Γ( )x lồi, ñóng khác rỗng

(ii) Tập ( ) ( )

x M

∈

Γ = ∪ Γ là compact tương ñối

(iii) Γ là nửa liên tục trên

Thì Γ có ñiểm bất ñộng trong M

1.3.3 ðịnh lý Ascoli

ñều và ñẳng liên tục

1.3.4 ðịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue

Cho dãy hàm số { }f hội tụ theo ñộ ño ñến hàm số f trên một tập hợp n

A và fn ≤g h.k.n trên A với mọi n, trong ñó g là một hàm số khả tích trên

A thì µ µ

lim n

n

f d fd

1.3.5 ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii 1.3.5.1 ðịnh nghĩa ñộ ño phi compact Kuratovskii

Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn ðộ ño phi compact Kuratovski ñịnh bởi : χ (A) = inf {d > 0 / A ñược phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp A1, A2, An có ñường kính ≤ d}

Tính chất :

( i ) χ(A)= (A)= (coA) χ χ

(ii ) χ( ) 0A = ⇔ A là compact tương ñối (iii ) χ(A∪B) max ( ), ( )= {χ A χ B } (iv ) χ(A B+ )=χ( )A +χ( )B (v ) χ( )tA = t χ( )A

1.3.5.2 ðịnh nghĩa toán tử cô ñặc

Ánh xạ f D: ⊂ X→ X ñược gọi là k – cô ñặc nếu tồn tại k∈(0,1) sao cho: χ( ( ))f A ≤kχ( )A với mọi A bị chặn chứa trong D

1.3.5.3 ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii

Giả sử (i) Toán tử T M: ⊆ X→M là k – cô ñặc, ở ñây (ii) M khác rỗng, ñóng, bị chặn và là tập con lồi của không gian Banach X

Khi ñó T có ñiểm bất ñộng

1.3.6 Một số ñịnh lý C0 nửa nhóm 1.3.6.1 ðịnh nghĩa nửa nhóm (ñịnh nghĩa 1.1) [13]

Cho X là không gian Banach Một họ tham biến T t( ),0≤ < ∞ của t

những toán tử tuyến tính từ X vào X là nửa nhóm của những toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu:

(i) T (0) = I (I là toán tử ñồng nhất trên X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với mỗi s, t ≥ 0 (Tính chất nửa nhóm)

1.3.6.2 ðịnh nghĩa C0 nửa nhóm (ñịnh nghĩa 2.1) [13]

Một nửa nhóm T t( ),0≤ < ∞t ,của những toán tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính bị chặn nếu

0

lim ( )

t T t x x với mỗi ∈x X Nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính trên X ñược gọi

là nửa nhóm của lớp C hay ñơn giản là 0 C nửa nhóm 0

1.3.6.3 ðịnh lý 2.2 [13]

Nếu T t là ( ) C nửa nhóm 0 Khi ñó tồn hằng số ω và M≥ 1 sao cho ( ) ≤ ωt, 0≤ < ∞

T t Me t

1.3.6.3.1 Hệ quả 2.3 [13]

Nếu T t là ( ) C nửa nhĩm khi đĩ với mỗi ∈0 x X t, →T t x là hàm liên ( ) tục từ ℝ+0 ( đường thẳng thực khơng âm ) vào X

1.3.6.4 ðịnh lý 2.3 [13]

Cho ( )T t là C0 nửa nhĩm và A là phần tử vi phân của nĩ Khi đĩ :

a) Với x∈X ,

+

lim t h ( ) ( )

h t

T s xds T t x h

, ( )t ( ) t ( ) ( )

x X T s xds D A và A T s xds T t x x

c) Với x D∈ (A) , ( )T t x D∈ (A) và d T t x( ) = AT t x T t Ax( ) = ( )

d) Với ∈ (A) , ( ) − ( ) =∫t ( )τ τ =∫t ( )τ τ

x D T t x T s x T Axd AT xd

1.3.6.4.1 Hệ quả 2.5 [13]

Nếu A là phần tử vi phân của C0 nửa nhĩm T t ( ), khi đĩ D(A), miền xác định của A, trù mật trong X và A là tốn tử tuyến tính đĩng

1.3.6.5 ðịnh lý 3.2 [13, tr.48]

Cho T t ( ) là C0 nửa nhĩm Nếu T t ( ) là compact với t > t0 thì T t ( ) liên tục trên khơng gian tơ pơ những tốn tử đều với t > t 0

Nếu ( ( ))T t t≥0 là nửa nhĩm giải tích và bị chặn đều sao cho 0∈ρ( )A thì

nĩ cĩ thể định nghĩa bậc hữu tỉ (−A) , α α∈(0,1] ,như là tốn tử tuyến tính đĩng trên miền xác định của nĩ D( ) Hơn nữa khơng gian con −A α α

−

D( ) là A trù mật trong X và biểu thức x α = −( A x)α , x D∈ (−A) , định nghĩa là α chuẩn trongD( ) Nếu X−A α α biểu diễn khơng gian D( ) xác định bởi −A α chuẩn

α, thì theo [11, tr.74] ta cĩ những tính chất sau :