Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học

i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN iii LỜI CAM ĐOAN iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC BẢNG vi DANH MỤC HÌNH vii MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG 1.1.1 Biểu diễn đường cong 1.1.2 Đặc tính đường cong 1.2 HÌNH HỌC MẶT CONG 1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong 1.2.2 Tiếp tuyến pháp tuyến mặt cong 10 1.2.3 Độ cong 12 1.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ 13 1.3.1 Phép biến đổi tọa độ 2D 14 1.3.2 Phép biến đổi tọa độ 3D 15 1.3.3 Phép ánh xạ 17 1.3.4 Khung tọa độ 18 1.4 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 19 1.5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC 21 1.5.1 Phương pháp tách biến Fourier 21 1.5.2 Phương pháp sai phân 22 1.5.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 23 1.6 TỔNG KẾT CHƯƠNG 24 Chương PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNHĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 25 ii 2.1 BỀ MẶT PDE 25 2.1.1 Các bề mặt hình học PDE 25 2.1.2 Các bề mặt PDE dạng ẩn 26 2.1.3 Các bề mặt PDE dạng tham số 28 2.2 PHƯƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE 28 2.3 HIỆU CHỈNH PHƯƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE 32 2.3.1 Hiệu chỉnh phương pháp Bloor-wilson PDE 32 2.3.2 Các bề mặt PDE tham số thu dựa mô hình vật lý 33 2.3.3 Ứng dụng bề mặt PDE 34 2.3.4 Phân tích tối ưu hóa thiết kế 36 2.3.5 Các ứng dụng khác 37 2.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG 38 Chương THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC 39 3.1 THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI 39 3.2 THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP BỐN 46 3.3 GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƯƠNG TRÌNH 58 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG 59 KẾT LUẬN 60 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 iii LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin truyền thông Thái Nguyên tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS TS Đặng Quang Á – người dành nhiều thời gian, công sức tận tình hướng dẫn khoa học cho em suốt trình hình thành hoàn chỉnh luận văn Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô giảng dạy, truyền đạt cho em tri thức quý báu, thiết thực suốt khóa học Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em việc hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Tâm iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TS Đặng Quang Á Mọi trích dẫn sử dụng báo cáo ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo qui định Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Tâm v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải CAD Computer Aided Design PDE Partial differential equations Phương trình đạo hàm riêng CSG Constructive solid geometry Phương pháp hình học lập thể B-rep Boundary representation Phương pháp biểu diễn biên FFD free-form deformation Tự biến dạng Hệ thống thiết kế có trợ giúp máy tính vi DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1 Phép quay quanh trục hệ tọa độ 16 Bảng 3.1 Tham số đầu vào đối tượng theo phương trình elliptic cấp hai 44 Bảng 3.2 Tham số loại Wine glass 56 vii DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Tham số hóa đường tròn đơn vị Hình 1.2 Vectơ pháp truyến đường tròn mật tiếp Hình 1.3 Hình học mặt cong 10 Hình 1.4 Đường cong mặt cong mặt phẳng tiếp tuyến 10 Hình 1.5 Phép biến đổi tọa độ 2D 14 Hình 1.6 Phép biến đổi tọa độ hình thức hệ tọa độ chuyển động 19 Hình 2.1 Các đường cong biên Hình 2.2 Bề mặt PDE tương ứng 29 Hình 2.3 Mặt PDE tương ứng với vỏ sò 30 Hình 2.4 Mặt PDE tương ứng với chai Klein 30 Hình 2.5 Mặt PDE tương ứng với mặt Werner Boy 31 Hình 2.6 Các mặt PDE tương ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào 31 Hình 3.1 Đối tượng elliptic cấp tương ứng với tham số hình A 44 Hình 3.2 Đối tượng elliptic cấp tương ứng với tham số hình B 45 Hình 3.3 Đối tượng elliptic cấp tương ứng với tham số hình C 45 Hình 3.4 Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với tham số hình D 56 Hình 3.5 Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với tham số hình E 57 Hình 3.6 Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với tham số hình F 57 Hình 3.7 Giao diện 58 Hình 3.8 Giao diện mô đối tượng phương trình Elliptic cấp 58 Hình 3.9 Giao diện mô đối tượng phương trình Elliptic cấp 59 Hình 3.10 Thông tin tác giả 59 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày ngay, tất công việc thiết kế dựa máy tính bắt đầu với việc sử dụng hệ thống thiết kế có trợ giúp máy tính (Computer Aided Design – CAD [1]) để tạo mô hình hình học cách chi tiết Nhờ phát triển công nghệ thông tin, ngành công nghiệp có liên quan đến ngành hàng không vũ trụ, điện tử tự động hóa sử dụng CAD ngày nhiều Chúng ta xét quy trình để tạo sản phẩm kỹ thuật Thường quy trình khởi đầu với việc định nghĩa hình dạng mẫu yêu cầu khái niệm đặc tả hình dạng hình học sản phẩm chức Quy trình sau xử lý qua chuỗi hoạt động lặp lại đạt thiết kế tối ưu Ngày nay, quy trình việc “thiết kế tự động theo chức năng” dựa việc gia tăng sử dụng máy tính Mặc dù việc thiết kế hình học dựa việc mở rộng sử dụng máy tính không cung cấp giải pháp tự động cho toán thiết kế cho trước, làm tăng tính hiệu quy trình thiết kế Bởi vậy, trình thiết kế hình học bao gồm việc mô tả hiệu hình dáng hình học thao tác tham số mô hình biểu diễn So với kỹ thuật thông thường sử dụng thiết kế hình học,phương pháp thiết kế hình học dựa trênphương trình đạo hàm riêng [2], [3] (Partial differential equations - PDE) có nhiều lợi thế: - Sự tác động đối tượng PDE xác định giá trị biên phương trình vi phân mô hình hình học phức tạp dễ dàng xác định thông qua phương trình vi phân bậc cao - Về nguyên tắc đối tượng PDE tái tạo lại từ tập nhỏ điều kiện biên Thông tin nội chúng tự động thu hồi thông qua việc giải phương trình vi phân Do mô hình PDE yêu cầu tham số mô hình lập thể dạng tự tham số - Đặc biệt mô hình PDE có nhiều lợi so với kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn hoạt động dựa đường, biểu diễn bề mặt biên Vì phương pháp PDE có tiềm để tích hợp phương pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG), phương pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v vào khung - Tham số mô hình PDE cung cấp ánh xạ chúng không gian vật lý Do mô hình PDE đặc biệt dạng biến thể chúng cung cấp nguyên dạng tự biến dạng(free-form deformation, FFD) cho đối tượng nhúng bên mô hình PDE - Các đối tượng PDE thống hai khía cạnh hình học vật lý mô hình giới thực, yêu cầu không đồng khác thi hành thỏa mãn cách đồng thời Ngoài phương pháp PDE sử dụng cho mô hình dạng ẩn mô hình dạng ẩn có lợi việc biểu diễn đối tượng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, hai mô hình sử dụng tham số mô hình ẩn có mặt mạnh hạn chế riêng chúng Ví dụ mô hình tham số cung cấp mô tả hình dạng tường minh mô hình ẩn lại điều ngược lại mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh phát va chạm mà mô hình ẩn dễ dàng thực điều nhờ hàm ẩn Do đó, việc cung cấp cách tiếp cận thống có nhiều lợi hai loại dễ dàng đạt mục đích mong muốn việc mô hình hóa hình học Hơn nữa, kỹ thuật đề cập chủ yếu tập trung vào mô hình hình học túy Để mô đối tượng giới thực, phương pháp tốt việc kết hợp vật thể tính chất vật lý chẳng hạn mật độ biểu diễn hình học Bởi nhiều thuộc tính vật thể tổng hợp giá trị vô hướng, hàm ẩn ứng viên lý tưởng việc mô hình hóa tính chất vật lý Do cách tích hợp mô hình ẩn với biểu diễn hình học đạt mô gần với mô hình giới thực Nhận thấy tính thiết thực vấn đề gợi ý giảng viên hướng dẫn, chọn đề tài “Phương pháp phương trình đạo hàm riêng thiết kế hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài sở toán học phương pháp biểu diễn, thiết kế hình học, tập trung vào phương pháp phương trình đạo hàm riêng thiết kế hình học Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết như: Cơ sở toán học thiết kế hình học, phương pháp, kỹ thuật sử dụng việc thiết kế hình học, kỹ thuật sử dụng phương trình đạo hàm riêng đặc biệt dạng phương trình elliptic cấp hai cấp bốn kết hợp với điều kiện biên ứng dụng thiết kế hình học Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan thiết kế hình học - Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng thiết kế hình học - Cài đặt thuật toán ứng dụng phương trình đạo hàm riêng để thiết kế hình học môi trường Matlab Những nội dung nghiên cứu Bố cục luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý chọn đề tài,đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Chương một, tập trung trình bày kiến thức thiết kế hình học phương trình đạo hàm riêng.Chương hai,trình bày tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE – Partial diferential equations) lĩnh vực liên quan đến thiết kế mô hình hóa hình học Chương 3, chương đãsử dụng kết nghiên cứu liên quan đến phương trình đạo để xây dựng thuật toán thiết kế số đối tượng hình học phương trình elliptic cấp hai cấp bốn 51 Từ (3.23), (3.25), (3.28) (3.30) ta có đượchệ 12 phương trình tưng ứng với 12 hệ số biểu diễn nghiệm x  00  0, 01  0, 02  0, 03  , 11  0, 12  0, 13  0, 14  11  Rtop  12  (Rtop  12  13 )ea  (12  14 )e-a   (3.31) 13  a(Rtop  12 )  14  a12   a -a (13  a(Rtop  12  13 ))e  (14  a(12  14 ))e  Sbot Giải hệ (3.31) ta  Rtop ea  12 (e-a  ea )  13ea  14e-a   aRtop  2a12  13  14   a a a a a aRtop e  Sbot  a12 (e  e )  13 (a  1)e  14 (1  a)e  Rtop (1  a)ea  12 ((2a 1)ea  e-a )  14 (e-a  ea )   a a a a a Rtopa e  a12 ((2a 1)e  e )  14 ((1  a)e  (a  1)e )  Sbot  (3.32) Với điều kiện a=1 hệ phương trình (3.31) thỏa mãn  12 ( e  1)   14 (1  e )   2  12 (3 e  1)  2 14 e  R top e  S bot   2 14 e   12 (3 e  1)  R top e  S bot 1  12 (1  e  )  R top  S bot e  2 2 1 2  12 ( e  1)  (  12 (1  e )  R top  S bot e  )(1  e )  2 1 2  12 ( e  1)  (  12 (1  e )(1  e )  ( R top  S bot e  )(1  e )  2 1  12 ( e   (1  e  )(1  e ))  ( S bot e   R top )(1  e ) 2 3 1  12 ( e   (1  e  )  e  e  (1  e  ) e )  ( S bot e   R top )(1  e ) 2 2 2 2  12 (4  e  e )  ( S bot e  R top )(1  e )   14         12  ( S bot e   R top )(1  e ) (4  e   e ) 52 Tương tự ta viết lại phương trình (3.17) thỏa mãn điều kiện biên y y (0, v )  Rtop sin v, y (1, v )  , yu (0, v)  0, yu (1, v)  Sbot sin v (không xét số yở trên) ta có y (0, v )   00  ( 11   12 ) cos v  (  11   12 ) sin v (3.33) Ta có y (0, v )  Rtop sin v , từ (3.33)  00   11  12      R 12 top  11 (3.34) Tương tự ta có y (1, v )   00   01   02   03    (11  13 )e a  (12  14 )e  a  cos v   ( 11  13 )e a  ( 12  14 )e  a  sin v (3.35) Vì y(1, v)  nên từ (3.35) ta suy hệ phương trình sau  00   01   02   03   a -a (11  13 )e  (12  14 )e   a -a ( 11  13 )e  ( 12  14 )e  (3.36) Ta có công thức tổng quát cho yu (u , v) yu (u, v)   01  2 02u  3 03u   13eau  a( 11  13u )eau  14 e au  a( 12  14u )e  au  cos v (3.37)   13eau  a( 11  13u )eau  14e au  a( 12  14u )e au  sin v Từ (3.37) viết lại cho trường hợp yu (0, v) yu (0, v )   01  13  a11  14  a12  cos v   13  a11  14  a12  sin v  Ta có yu (0, v)  nên từ (3.38) ta có hệ phương trình (3.38) 53  01   13  a11  14  a12    13  a11  14  a12  (3.39) Tương tự, ta viết phương trình (3.37) cho trường hợp yu (1, v) yu (1, v)  01  202  303   (13  a(11  13 ))ea  (14  a(12  14 ))ea  cos v (3.40)  (13  a(11  13 ))ea  (14  a(12  14 ))ea  sin v  Sbot sin v Từ yu (1, v)  Sbot sin v ta suy hệ phương trình 01  202  303   a -a (13  a(11  13 ))e  (14  a(12  14 ))e  (3.41)  a a (13  a(11  13 ))e  (14  a(12  14 ))e  Sbot Từ (3.34), (3.37), (3.39) (3.41) ta có hệ 12 phương trình tưng ứng với 12 hệ số biểu diễn nghiệm y  00  0, 01  0, 02  0, 03  ,  11  0,  12  0,  13  0,  14  11  Rtop  12  (Rtop  12  13)ea  (12  14 )ea   (3.42) 13  a(Rtop  12 )  14 a12   a a (13  a(Rtop  12  13))e  (14  a(12  14 ))e  Sbot Giải hệ (3.42) ta  Rtop ea  12 (e  a  ea )  13ea  14e  a   aRtop  2a12  13  14   a a a a -a aRtop e  Sbot  a12 (e  e )  13 (a  1)e  14 (1  a)e  54 Rtop (1  a)ea  12 ((2a 1)ea  ea )  14 (e-a  ea )  (3.43)  a a -a -a a R a e  a  ((2a  1) e  e )   ((1  a) e  (a  1) e )  S   top 12 14 bot Tương tự ta viết lại phương trình (3.17) thỏa mãn điều kiện biên z z (0, v )  H , z (1, v )  , Z u (0, v )  S top , zu (1, v )  (không xét số zở trên) ta có y (0, v )   00  ( 11   12 ) cos v  (  11   12 ) sin v (3.44) Mà z(0, v)  H , từ (3.44) ta suy  00  H  11  12  (3.45)     12  11 Tương tự ta có z(1, v)  00  01  02  03   (11  13 )ea  (12  14 )ea  cos v  (11  13 )ea  (12  14 )ea  sin v (3.46) Vì z(1, v)  nên từ (3.46) ta suy hệ phương trình sau   00   01   02   03   a -a ( 11  13 )e  ( 12  14 )e   a -a ( 11  13 )e  ( 12  14 )e  (3.47) Ta có công thức tổng quát cho zu (u , v) zu (0, v )   01  13  a11  14  a12  cos v   13  a11  14  a12  sin v zu (u, v)   01  2 02u  3 03u   13eau  a(11  13u )eau  14 e au  a(12  14u )e-au  cos v (3.48)   13eau  a( 11  13u )eau  14e-au  a( 12  14u )e au  sin v 55 Từ (3.48) viết lại cho trường hợp zu (0, v) zu (0, v )   01  13  a11  14  a12  cos v (3.49)   13  a11  14  a12  sin v Ta có zu (0, v )  S top nên từ (3.49) ta có hệ phương trình  01  Stop  13  a11  14  a12    13  a11  14  a12  (3.50) Tương tự, ta viết phương trình (3.50) cho trường hợp zu (1, v) zu (1, v)  01  202  303   (13  a(11  13 ))ea  (14  a(12  14 ))ea  cos v (3.51)  (13  a(11  13 ))ea  (14  a(12  14 ))ea  sin v  Từ zu (1, v)  ta suy hệ phương trình  01  2 02  3 03   a -a (13  a(11  13 ))e  (14  a(12  14 ))e   a -a ( 13  a( 11  13 ))e  ( 14  a( 12  14 ))e  (3.52) Từ (3.45), (3.47), (3.50) (3.52) ta có hệ 12 phương trình tưng ứng với 12 hệ số biểu diễn nghiệm y  00  H ,  01  S top ,  02  0,  03  ,  11  0,  12  0,  13  0,  14  11  0,  12  0,  13  0,  14  Như vậy, ta thu công thức tính hệ số biểu diễn nghiệm x(u, v), y(u, v), z(u, v) công thức (3.19), (3.20), (3.21) Sử dụng công 56 thức ta thiết kế cốc rượu vang với số tham số bảng 3.2.Kết tương ướng với tham số cho hình 3.4, hình 3.5, hình 3.6 Bảng 3.2 Tham số loại Wine glass Hình H Rtop Stop Sbot a Volume D 2.00 1.00 -2.53 -5.55 1.00 7.00 E 3.00 1.00 -2.88 -3.00 1.00 7.00 F 3.00 1.00 -3.67 -13.32 5.00 7.00 Hình 3.4 Thiết kế Wine glass tương ứng với tham số hình D 57 Hình 3.5 Thiết kế Wine glass tương ứng với tham số hìnhE Hình 3.6 Thiết kế Wine glass tương ứng với tham số hình F 58 3.3 GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƯƠNG TRÌNH Các bề mặt PDE ứng dụng thành công cho việc phát triển kỹ thuật liên quan đến việc thiết kế hình học thông qua hỗ trợ máy tính.Nhờ vào tính linh hoạt mà bề mặt PDE xây dựng để giải vấn đề việc thiết kế hình học thông thường xây dựng nhiều giải pháp để giải vấn đề cụ thể Ứng dụng phương trình elliptic cấp hai cấp bốn thiết kế số bề mặt PDE cho đối tượng hình học Ngôn ngữ lập trình sử dụng phần mềm Matlab 7.9.0 Hình 3.7 Giao diện Hình 3.8 Giao diện mô đối tượng phương trình elliptic cấp hai 59 Hình 3.9 Giao diện mô đối tượng phương trình elliptic cấp bốn Hình 3.10 Thông tin tác giả 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG Trong chương luận văn trình bày hai phương trình sử dụng thiết kế bề mặt PDE phương trình elliptic cấp hai phương trình elliptic cấp bốn, đặc biệt ứng dụng hai phương trình để tạo bề mặt PDE ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế đối tượng hình học 60 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức thiết kế hình học phương trình đạo hàm riêng, tóm tắt phương pháp phương trình đạo hàm riêng thiết kế hình học phương pháp bề mặt PDE, phương pháp Bloor – Wilson PDE, hiệu chỉnh phương pháp Bloor – Wilson PDE; tìm hiểu phương trình elliptic cấp hai cấp bốn xây dựng bề mặt PDE ứng dụng phương trình để thiết kế số đối tượng hình học thực tế Kết luận văn gồm có: - Luận văn đưa số kiến thức liên quan làm sở cho việc thiết kế số đối tượng hình học mặt cong hệ tọa độ 3D - Trình bày số vấn đề liên quan đến bề mặt tạo từ phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt sử dụng phương pháp Bloor-Willson PDE để tạo bề mặt PDE ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế mô hình hóa hình học Trình bày chi tiết phương trình elliptic cấp hai cấp bốn, vận dụng - phương trình thiết kế bề mặt PDE cho số đối tượng hình học thực tế - Cài đặt thành công thuật toán ứng dụng phương trình elliptic cấp hai cấp bốn để thiết kế đối tượng hình học dựa việc xác định điều kiện biên phương trình tham số đối tượng hình học Trên sở kết trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu để thiết kế bề mặt PDE cho đối tượng 3D phức tạp dựa phương trình elliptic cấp hai cấp bốn.Vận dụng phương trình elliptic cấp hai cấp bốn việc tái tạo lại vật thể bị biến dạng, pha trộn bề mặt khác để tạo nên vật thể có hình dạng phức tạp 61 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình công nghệ CAD-CAM, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Chương 2, tr 1-11 [2] Nguyễn Minh Chương (cb),Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD,(2000) Tài liệu tiếng Anh [3] H Ugail, M.I.G Bloor, and M.J Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method, ACM Transactions on Graphics,pp 195-212, (1999) [4] Ugail, H., Wilson, M.J, Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation Comput.Struct, pp 2601–2609, (2003) [5]Bloor, M.I.G., Wilson, M.J, Functionality in solids obtained from partial differential equations Computing,pp 21–42, (1993) [6] G Gonz´alez Castro, H Ugail et al., A survey of partial differential equationsin geometric design, Visual Comput 24,pp 213–225, (2008) [7] Farin, G Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, a Practical Guide, 5th edn MorganKaufmann, San Diego, CA (2001) [8] Zhang, J.J., You, L Fast surface modelling using a 6th order PDE Comput.Graph, Forum 23(3), pp 311–320, (2004) [9] J Monterde and H Ugail, A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary, Computer Aided Geometric Design, 23 (2), pp 208-225, (2006) [10] H Ugail, 3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing, J.J Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN 0-88986-598-1, pp 302-307, (2006) 62 [11] M G Bloor and M J Wilson, Generaring blend surfaces using partial differential equations, Comput Aided Des.21(3), pp 165-171, (1989) [12] M G Bloor and M J Wilson, Functionnality in blend desgign, Comput Aided Des.22(3), pp 655-664, (1989) 63 PHỤ LỤC CÁC CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB Thiết kế đối tượng sử dụng phương trình elliptic cấp hai n=40;a=1;R=1;H=1; u = 2*pi*(01n)/n; v = 2*pi*(01n)'/n; t = (cosh(a*u)+(R-cosh(a))*sinh(a*u) /sinh(a)); X = cos(v)*sinh(u./2); %X = cos(v)*t; Y = sin(v)*u./4; Z = ones(size(v))*H*(1-u); % colormap([0 0;1 1]) %C = hadamard(2^k); figure(3) surf(X,Y,Z) axis square Thiết kế đối tượng cốc rượu vang (Wine glass) sử dụng phương trình elliptic cấp bốn %n=10; H=3; R=1; St=-2.88; Sb=-3; a=1; %n=20; H=3; R=1; St=-3.67; Sb=-13.32; a=5; n=20; H=2; R=1; St=-2.53; Sb=-5.55; a=1; u = (01n)/n; v = 2*pi*(01n)'/n; disp('Dang chay chuong trinh Hay doi') e1 = 'c1 = 0'; e2 = 'a1+a2 = R'; e3 = 'b1+b2 = 0'; 64 e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = 0'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0'; e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=Sb'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=0'; [a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4'); X = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(X) e1 = 'c1 = 0'; e2 = 'a1+a2 = 0'; e3 = 'b1+b2 = R'; e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = 0'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0'; e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=0'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=Sb'; [a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4'); Y = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + 65 sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(Y) e1 = 'c1 = H'; e2 = 'a1+a2 = 0'; e3 = 'b1+b2 = 0'; e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = St'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0'; e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=0'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=0'; [a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4'); Z = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(Z) disp('Chuong trinh da chay xong Coc ruou se duoc ve') figure(2) surf(subs(X),subs(Y),subs(Z)) %axis square [...]... lời giải gần đúng Có nhiều phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng đã được phát triển như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên .Trong số các phương pháp này thì phương pháp sai phân là phương pháp được đề xuất và ứng dụng sớm nhất Ý tưởng của phương pháp này là thay các đạo hàm bởi các tỷ sai phân và dẫn bài toán về hệ các phương trình đại số tuyến tính Ví... biên đối với phương trình elliptic đơn giản và phương pháp giải các bài toán biên elliptic đó là cơ sở để cài đặt các thuật toán trong chương 3 25 Chương 2.PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 2.1 BỀ MẶT PDE 2.1.1 Các bề mặt hình học PDE Thuật ngữ bề mặt PDE đề cập đến các bề mặt được tạo ra hoặc được sửa đổi thông qua việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, những bề... x t y t z ) 1.4.KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE-Partial differential equations) là phương trình mà trong đó các hàm chưa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập Ví dụ đối với hàm u(x,y) phụ thuộc hai biến độc lập x, y Dạng tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêng đối với v(x, y) được cho bởi... tương ứng Các ví dụ khác của các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tượng vật lý là phương trình sóng và phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng được mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểu diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo... nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trongphương trình - Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y) Nếu G(x,y) =0 thì phương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất - Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm u(x,y) và đạo hàm riêng của... lại là phương trình phi tuyến tính Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loại theo hệ số Theo cách này chúng được chia thành ba loại phương trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic.Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây: + Parabolic: Phương trìnhvi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0 + Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng. .. Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi phải thỏa mãn nếu B2- 4AC ... kiện biên ứng dụng thiết kế hình học Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan thiết kế hình học - Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng thiết kế hình học - Cài đặt thuật... một, tập trung trình bày kiến thức thiết kế hình học phương trình đạo hàm riêng. Chương hai ,trình bày tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE... toán cho phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng phương pháp số để tìm lời giải gần Có nhiều phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng phát triển phương pháp sai phân, phương pháp phần