Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình họcc

http://www.ictu.edu.vn MỤC LỤC http://www.ictu.edu.vn MỞ ĐẦU Ngày mô hình hóa hình học trở thành tảng cho tính toán trực quan cung cấp biểu diễn ngày xác hình dạng thao tác cho đối tượng hình học Khác với kỹ thuật mô hình hóa bề mặt sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, mô hình lập thể (solid models) cung cấp cách rõ ràng quán biểu diễn hình học cho đối tượng 3D với hình học nội suy Nó giúp tăng cường đáng kể kỹ thuật mô hình hóa hình học Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên (boundary representation, B-rep), khối lập thể dạng tự tham số(free-form parametric solids), v.v Phương pháp CSG khai thác tập nửa đại số phép toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn hình lập phương, hình cầu, hình trụ, v.v… để xây dựng mô hình lập thể phức tạp Các kỹ thuật B-rep thường định nghĩa đối tượng hình học lập thể thông qua tập hợp bề mặt biên với thông tin hình dạng mở rộng Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự sử dụng đường (curves) B-splines, Hermite splines, NURBS, để xác định hình lập thể kết hợp với ích lợi bề mặt biên tự hình học nội suy khuôn khổ thống Mặt khác, mô hình tham số PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tượng hình học sử dụng phương trình đạo hàm riêng định với vài điều kiện biên Đặc biệt biến thể PDE sử dụng để xác định tham số đối tượng lập thể So với kỹ thuật thông thường sử dụng mô hình hóa hình học mô hình PDE có nhiều lợi thế: - Sự tác động đối tượng PDE quy định giá trị biên phương trình vi phân mô hình hình học phức tạp dễ dàng xác định thông qua phương trình vi phân bậc cao - Về nguyên tắc đối tượng PDE tái tạo lại từ tập nhỏ điều kiện biên Thông tin nội chúng tự động thu hồi thông qua việc giải http://www.ictu.edu.vn phương trình vi phân Do mô hình PDE yêu cầu tham số mô hình lập thể dạng tự tham số - Đặc biệt mô hình PDE có nhiều lợi so với kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn hoạt động dựa đường, biểu diễn bề mặt biên Vì phương pháp PDE có tiềm để tích hợp phương pháp CSG, B-rep v.v vào khung - Tham số mô hình PDE cung cấp ánh xạ chúng không gian vật lý Do mô hình PDE đặc biệt dạng biến thể chúng cung cấp nguyên dạng tự biến dạng(free-form deformation, FFD) cho đối tượng nhúng bên mô hình PDE - Các đối tượng PDE thống hai khía cạnh hình học vật lý mô hình giới thực, yêu cầu không đồng khác thi hành thỏa mãn cách đồng thời Ngoài phương pháp PDE sử dụng cho mô hình dạng ẩn mô hình dạng ẩn có lợi việc biểu diễn đối tượng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, hai mô hình sử dụng tham số mô hình ẩn có mặt mạnh hạn chế riêng chúng Ví dụ mô hình tham số cung cấp mô tả hình dạng tường minh mô hình ẩn lại điều ngược lại mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh phát va chạm mà mô hình ẩn dễ dàng thực điều nhờ hàm ẩn Do đó, việc cung cấp cách tiếp cận thống có nhiều lợi hai loại dễ dàng đạt mục đích mong muốn việc mô hình hóa hình học Hơn nữa, kỹ thuật đề cập chủ yếu tập trung vào mô hình hình học túy Để mô đối tượng giới thực, phương pháp tốt việc kết hợp vật thể tính chất vật lý chẳng hạn mật độ biểu diễn hình học Bởi nhiều thuộc tính vật thể tổng hợp giá trị vô hướng, hàm ẩn ứng viên lý tưởng việc mô hình hóa tính chất vật http://www.ictu.edu.vn lý Do cách tích hợp mô hình ẩn với biểu diễn hình học đạt mô gần với mô hình giới thực Nhận thấy tính thiết thực vấn đề gợi ý giảng viên hướng dẫn, chọn đề tài “ Phương pháp phương trình đạo hàm riêng mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Luận văn cấu trúc gồm chương: Chương 1: Chương trình bày tóm tắt kết hình học vi phân phép biến đổi toạ độ sử dụng mô hình hoá hình học Chương 2: Chương trình bày tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) lĩnh vực liên quan đến thiết kế mô hình hóa hình học Chương 3: Chương trình bày hình học phương trình vi phân đạo hàm riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng dụng, cấu trúc, tảng toán học, bước xây dựng GPDE giải pháp số việc xây dựng GPDE Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Đặng Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong thầy cô giáo bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện http://www.ictu.edu.vn DANH MỤC HÌNH VẼ http://www.ictu.edu.vn Chương I CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chương trình bày tóm tắt kết hình học vi phân phép biến đổi toạ độ sử dụng mô hình hoá hình học 1.1 Hình học đường cong Về mặt trực quan, đường cong định nghĩa quĩ đạo điểm thoả mãn số điều kiện 1.1.1 Biểu diễn đường cong Về toán học, đường cong dược biểu diễn dạng: - Phương trình ẩn - Phương trình tường minh - Phương trình tham số Xét đường tròn đơn vị mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ hình 1.1 Mối quan hệ toạ độ x y mô tả phương trình: f (x, y) = x2 + y2 −1 = : Phương trình ẩn (1.1) Nếu xét phần nửa đường tròn, phương trình biểu diễn là: y = g(x) = (1− x)1/2 : Phương trình tường minh (1.2) Nếu đặt góc θ đoạn thẳng PO trục x tham số đường tròn,ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số (1.3) http://www.ictu.edu.vn Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị Trường hợp đặt góc α tạo PQ trục x tham số, t = tgα = y /(x +1) Kết hợp với phương trình (1.1) ta có: x = x(t) = (1− t2) /(1+ t2) ; y = y(t) = 2t /(1+ t2) (1.4) Đây phương trình tham số đường tròn gọi phương trình tham số đa thức hữu tỷ Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ đường cong mặt cong từ phương trình đa thức ẩn gọi tham số hoá Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dạng phương trình tham số: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) hay dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Theo dạng phương trình tham số, đường cong định nghĩa cách dễ dàng cách xác định miền giới hạn tham số Không thể xác định đường cong 3D phương trình ẩn hay tường minh, phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, cần hai phương trình để xác định đường cong 3D Trong trường hợp này, đường cong định nghĩa giao tuyến hai mặt cong 1.1.2 Đặc tính đường cong Trong phần để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Đặc tính đường cong, bao gồm: a Độ chảy đường cong b Vectơ tiếp tuyến đơn vị c Vectơ pháp tuyến d Độ cong bán kính cong 1.1.2.1 Độ chảy: Độ lớn vectơ đạo hàm r’(t)được gọi độ chảy đường cong: S’(t) = |r’(t)| (1.5) http://www.ictu.edu.vn Hãy tưởng tượng đường cong đường tham số t tượng trưng cho thời gian Như vậy, độ chảy đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe Đại lượng sử dụng thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình Nếu đặt quãng đường tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy Độ chảy đường cong đặc tính riêng đường cong, kết phép tham số hoá 1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s tham số tự nhiên đường cong r(t), cho: s= ∫ θ |r’(t)| dt Vectơ tiếp tuyến đơn vị đường cong r(t) định nghĩa sau: hay dạng vi phân: T = dr / ds (1.6) T = r’(t) /|r’(t)| (1.7) 1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t chuẩn hoá giá trị, có vectơ đơn vị N, gọi vectơ pháp tuyến đường cong: N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8) Vì T vectơ đơn vị (T.T=1), vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2) Mặt phẳng định nghĩa vectơ T N gọi mặt phẳng mật tiếp Vectơ B vuông góc với vectơ N T gọi vectơ pháp tuyến đôi xác định quan hệ: B = TxN http://www.ictu.edu.vn Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến đường tròn mật tiếp 1.1.2.4 Độ cong bán kính cong: Cho s tham số tự hiên T vectơ tiếp tuyến đơn vị đường cong r(t) Độ cong định nghĩa sau: hay dạng vi phân: k = |dT/ds| k= | r ' xr''| | r ' |3 (1.9) (1.10) đó: r’ ≡ dr(t)/dt; r’’ ≡ dr’ / dt Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y = y(x), phương trình có dạng: k = y’’/(1+ y’2 )3/2 đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx Cho đường tròn mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), qua điểm thời r(t) độ cong độ cong đường cong điểm Đường tròn gọi đường tròn mật tiếp, bán kính đường tròn mật tiếp gọi bán kính cong xác định bởi: ρ =1/ k (1.11) 1.1.2.5 Độ xoắn đường cong: Độ xoắn đường cong 3D định nghĩa sau: τ = −(dB/ ds).N N vectơ pháp tuyến chính; B vectơ pháp tuyến đôi Phương trình mô tả đặc tính đường cong 3D gọi phương trình SerretFrenet: dr / ds = T; dT / ds = kN dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN-1 1.2 Hình học mặt cong (1.12) http://www.ictu.edu.vn 1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn Cho mặt cầu đơn vị với tâm gốc toạ độ Đề Các điểm phía mặt cầu thoả bất đẳng thức: x2 + y2 + z2 -1 < phương trình: x2 + y2 + z2 -1 = (1.13) biểu diễn điểm thuộc mặt cầu Xét cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = biểu diễn mặt cong giới hạn hai nửa không gian g(x,y,z) > g(x,y,z) < 1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số Theo hình học vi phân, mặt cong định nghĩa ảnh phép ánh xạ qui tập hợp điểm không gian 2D vào không gian 3D biểu diễn phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14) đó: u v tham số mặt cong Đối với hình cầu đơn vị, ta dễ dàng tham số hoá phương trình (1.13) cách đặt tham số u vĩ tuyến tham số v kinh tuyến mặt cầu: r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15) với: ≤ u ≤ 2π −π / ≤ v ≤π / Tương tự đường tròn đơn vị tham số hoá phương trình mặt cầu hình thức khác, cách sử dụng đa thức hữu tỷ 1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số Khi miền xác định mặt cong mặt phẳng x - y hệ toạ độ Descarte (u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số: r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16) Nếu xét bán cầu mặt cầu đơn vị phương trình (1.13) biểu diễn dạng tường minh: z = (1 - x2 – y2)1/2 với (x2 + y ) < (1.17) Hình học mặt cong minh hoạ hình 1.3 Ta thường gọi phần mặt cong miền tham số giới hạn mặt lưới Các mặt lưới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp http://www.ictu.edu.vn Như trình bày việc xây dựng GPDE dựa việc giải phương trình PDE Vấn đề tìm nghiệm phương trình nói chung phức tạp nên thông thường dùng phương pháp giải tích Thay vào đó, người ta sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm gần chúng Hiện phương pháp số sử dụng phổ biến gồm có phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method - FDM), phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), khối hữu hạn (finite volume method - FVM), v.v….Các phương pháp gọi chung phương pháp rời rạc hóa theo không gian Đối với toán phụ thuộc thời gian, ta cần thêm công cụ số để rời rạc hóa phương trình vi phân theo biến thời gian Nếu phương pháp FDM, FEM, FVM, v.v… rời rạc hóa phương trình vi phân sở chia nhỏ miền tính toán thành lưới (mesh) gồm phần tử ràng buộc lẫn lưói theo nguyên tắc xác định (ta gọi chung phương pháp nhóm phương pháp dựa vào lưới) phương pháp không lưới, miền tính toán chia thành tập hữu hạn điểm rời rạc, bố trí tùy ý (unstructured) mối ràng buộc vị trí tương đối chúng trình tính toán Kết phương pháp không lưới thích hợp cho toán có biến dạng lớn (như học rạn nứt) toán có biên di động (như dự đoán trình điền khuôn đúc mô mặt tiến dầu-nước/khí-dầu trình bơm ép/thu hồi tăng cường dầu) phương pháp dựa vào lưới, việc giải toán phức tạp (đôi làm giảm độ xác lời giải) phải thường xuyên điều chỉnh lưới bị biến dạng trầm trọng Các phương pháp số để giải toán biên di động nhà nghiên cứu quan tâm tính phức tạp thân biên di động (moving boundaries) Có hai nhóm phương pháp số sử dụng cho toán dạng này: Nhóm phương pháp dựa lưới di động nhóm phương pháp sử dụng lưới cố định Phương pháp Tập mức (level set method) thuộc nhóm phương pháp thứ hai, Osher and Sethian (1988) đề xuất Phương pháp ban đầu thiết lập để sử dụng với nhóm phương pháp dựa vào lưới FDM, FEM, FVM, v.v… http://www.ictu.edu.vn 3.3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Phương pháp phần tử hữu hạn đề xuất Alexander Hrennikoff (1941) Richard Courant (1943) Phương pháp áp dụng mạnh mẽ vào cuối năm 1950 việc phân tích kết cấu khung máy bay công trình xây dựng Ưu điểm phương pháp dễ dàng thực miền hình học phức tạp Để giải toán biên miền W, phép tam giác phân, ta chia thành số hữu hạn miền W j (j = 1, , n) cho hai miền không giao chung đỉnh cạnh Mỗi miền Wj gọi phần tử hữu hạn Ta tìm nghiệm xấp xỉ toán biên ban đầu không gian hữu hạn chiều hàm số thoả mãn điều kiện khả vi định toàn miền W hạn chế chúng phần tử hữu hạn Wj đa thức Có thể chọn sở không gian gồm hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị số hữu hạn phần tử hữu hạn W j gần Nghiệm xấp xỉ toán ban đầu tìm dạng: c1ψ1(x) + + cnψn(x) ck số cần tìm Thông thường người ta đưa việc tìm c k việc giải phương trình đại số với ma trận thưa (chỉ có phần tử đường chéo số đường song song sát với đường chéo khác không) nên dễ giải Có thể lấy cạnh phần tử hữu hạn đường thẳng đường cong để xấp xỉ miền có dạng hình học phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn dùng để giải gần toán biên tuyến tính, phi tuyến bất phương trình Để thực phương pháp ta phải giải vấn đề mấu chốt: + Xây dựng không gian hàm phần tử hữu hạn + Giải vấn đề điều kiện biên http://www.ictu.edu.vn 3.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) FDM phương pháp khác để giải phương trình PDE FDM đề xuất A.Thom vào năm 1920 Ý tưởng phương pháp FDM thay miền biến liên tục tập điểm rời rạc gọi nút lưới Sau thay phương trình vi phân lược đồ sai phân Vì vậy, phương pháp FDM có nhiều lợi miền hình học đơn giản miền hình vuông, hình chữ nhật tính toán đơn giản độ xác cao Sự khác FDM FEM là: FDM xấp xỉ toán phương trình vi phân FEM xấp xỉ lời giải toán Điểm đặc trưng FEM có khả áp dụng cho toán hình học toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc FEM ổn định FDM, có tảng toán học vững chắc, phụ thuộc vào việc xây dựng không gian phần tử hữu hạn Trong FDM áp dụng dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản Điểm đặc trưng FDM dễ thực hiện, chi phí thấp, phụ thuộc vào việc rời rạc hóa toán tử vi phân Trong vài trường hợp, FDM xem tập FEM xấp xỉ Việc lựa chọn hàm sở hàm không đổi phần hàm delta Dirac Trong hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ tiến hành toàn miền, miền không cần liên tục Để thực phương pháp ta phải giải vấn đề mấu chốt: + Sự rời rạc hóa toán tử hình học vi phân + Giải vấn đề điều kiện biên 3.3.3 Phương pháp tập mức (LSM-Level set method) http://www.ictu.edu.vn Trong phương pháp Tập mức, biên di động Γ(t) miền Ω ⊂ ℝ2 xem tập mức không (zero) hàm f(x,t), gọi hàm tập mức, không gian ℝ3 Γ(t)={x∈ ℝ2 f(x,t)=0} (3.13) Hàm f(x,t) chọn tùy ý với điều kiện phải hàm trơn Trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)] , f(x,t) chọn hàm khoảng cách cho: + d ( x, t ), x ∈ Ω +  f(x,t)= 0, x ∈ Γ  −d ( x, t ), x ∈ Ω −  (3.14) Trong d(x,t) khoảng cách từ điểm x đến biên di động; Ω+ Ω- miền bên bên biên tương ứng Như vậy, phương pháp tập mức, đối tượng nghiên cứu hàm tập mức f(x,t) chuyển động với vận tốc “mở rộng” (extended velocity) V thay biên Γ(t) di chuyển với tốc độ F [Osher and Sethian (1988)] Phương trình chuyển động hàm tập mức tương ứng với dịch chuyển biên trường vận tốc V môi trường xung quanh sau: ∂φ + V ∇φ = ∂t (3.15) Ở thời điểm bất kỳ, thông tin biên di động (vị trí, hình dáng, độ cong, v.v…) tái tạo từ hàm tập mức f(x,t) cách xác định tập hợp đoạn Γ(t) cho f(x,t) triệt tiêu Do phương trình (3.15) giải phương pháp số nên sau bước thời gian f(x,t) không hàm khoảng cách Vì việc tái thiết lập hàm tập mức thỏa điều kiện (3.14) bước cần thiết thực cách tìm lời giải dừng (steady) cho toán sau [Sussman et al (1994)]: ∂φ = Sε (φ )(1 − φ∇ ) ∂t φ ( x, t = 0) = φ ( x) (3.16) http://www.ictu.edu.vn Trong Sε= Sε (φ ) = φ φ +ε2 với � khoảng cách ngắn điểm với điểm khác miền tính toán Kết luận: Trong chương trình bày hình học GPDE, cách tiếp cận, số phương pháp số để xây dựng GPDE làm tảng để tạo bề mặt PDE ứng dụng việc thiết kế mô hình hóa hình học KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày kiến thức mô hình hóa hình học, tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng, cách tiếp cận, số phương pháp số để xây dựng hình học vi phân đạo hàm riêng làm tảng để tạo bề mặt PDE ứng dụng lĩnh vực liên quan đến thiết kế mô hình hóa hình học Kết luận văn gồm có: Đưa số kiến thức liên quan làm sở cho việc mô hình hóa hình học hình học đường cong, hình học mặt cong, phép biến đổi hệ tọa độ 2D, 3D Trình bày số vấn đề liên quan đến bề mặt tạo từ phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt sử dụng phương pháp Bloor – Willson PDE để tạo bề mặt PDE ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế mô hình hóa hình học Trình bày chi tiết hình học phương trình vi phân đạo hàm riêng, bề mặt hình học xây dựng sở phương trình vi phân đạo hàm riêng làm tảng cho việc thiết kế mô hình hóa hình học Trên sở kết trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu để xây dựng mô hình hóa vật thể 3D phức tạp Một hướng nghiêm cứu ứng dụng hình học phương trình vi phân đạo hàm riêng việc khôi phục lại vật thể 3D hộp sọ, mặt người v.v http://www.ictu.edu.vn DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình công nghệ CAD-CAM, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Chương 2, 1-11 [2] Nguyễn Minh Chương (cb), Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD, (2000) [3] H Ugail, M.I.G Bloor, and M.J Wilson, “Techniques for Interactive Design Using the PDE Method”, ACM Transactions on Graphics, 195-212, (1999) [4] H Ugail and M.J Wilson, “Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation”, Comput Struct, 2601–2609 (2003) [5] M.I.G Bloor and M.J Wilson, “Functionality in solids obtained from partial differential equations”, Computing, 21–42 (1993) [6] M I G Bloor and M.J Wilson, “Generating Blend Surfaces using Partial Differential Equations”, Computer Aided Design, 21(3):165-171, 1989 [7] M.I.G Bloor and M.J Wilson, “Using Partial Differential Equations to Generate Freeform Surfaces”, Computer Aided Design, 22, 1990, 202-212 [8] M I G Bloor and M J Wilson, “The Efficient Parameterization of Generic Aircraft Geometry”, Journal of Aircraft 32(6) (1995) 1269–1275 [9] M.Taylor, Partial Differential Equations, Vol I, Basic theory, Springer- Verlag, 1997 http://www.ictu.edu.vn [10] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol II, Qualitative Studies of Linear Equations,Springer-Verlag, 1997 [11] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol III, Nonlinear Equations, Springer-Verlag, 1997 [12] J Monterde and H Ugail, “A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary”, Computer Aided Geometric Design, 23 (2): 208-225, (2006) [13] H Ugail, “3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing”, J.J Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN: 0-88986-598-1, pp 302-307 (2006) [14] H Du and H Qin, “A Shape Design System Using Volumetric Implicit PDEs”, Computer-Aided Design, vol 36, no 11, pp 1101-1116, 2004 [15] H Du and H Qin, “Interactive Shape Design Using Volumetric Implicit PDEs”, Proc Eighth ACM Symp Solid Modeling and Applications, pp 235-246, 2003 [16] Pavel Solin, Partial Differential Equations and the Finite Element Method, PURE AND APPLIED MATHEMATIC, A Wiley-Interscience Series of Texts, Monographs, and Tracts [17] Stig Larsson Vidar Thomée, Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer- Verlag, 2009 http://www.ictu.edu.vn PHỤ LỤC CÁC CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB Chương trình tạo vỏ sò (Hình 2.3) u=linspace(0,6*pi,60); v=linspace(0,2*pi,60); [u,v]=meshgrid(u,v); x=2*(1-exp(u/(6*pi))).*cos(u).*cos(v/2).^2; y=2*(-1+exp(u/(6*pi))).*sin(u).*cos(v/2).^2; z=1-exp(u/(3*pi))-sin(v)+exp(u/(6*pi)).*sin(v); mesh(x,y,z) surf(x,y,z, 'FaceColor','interp', 'EdgeColor','none', 'FaceLighting','phong') camlight left view(160,10) axis equal axis off hidden off http://www.ictu.edu.vn Chương trình tạo chai Klein (Hình 2.4) n = 12; a = 2; % đương kính phần đáy chai c = 6; % đường kính chai t1 = pi/4 : pi/n : 5*pi/4; % tham số dọc theo chai t2 = 5*pi/4 : pi/n : 9*pi/4; % góc dọc theo chai u = pi/2 : pi/n : 5*pi/2; [X,Z1] = meshgrid(t1,u); [Y,Z2] = meshgrid(t2,u); % Xử lý len = sqrt(sin(X).^2 + cos(2*X).^2); x1 = c*ones(size(X)).*(cos(X).*sin(X) - 0.5*ones(size(X))+a*sin(Z1).*sin(X)./len); y1 = a*c*cos(Z1).*ones(size(X)); z1 = ones(size(X)).*cos(X) + a*c*sin(Z1).*cos(2*X)./len; handleHndl=surf(x1,y1,z1,X); set(handleHndl,'EdgeColor',[.5 5]); hold on; % Chai Klein r = sin(Y) * cos(Y) - (a + 1/2) * ones(size(Y)); x2 = c * sin(Z2) * r; y2 = - c * cos(Z2) * r; http://www.ictu.edu.vn z2 = ones(size(Y)) * cos(Y); bulbHndl=surf(x2,y2,z2,Y); set(bulbHndl,'EdgeColor',[.5 5]) colormap(hsv); axis vis3d view(-37,30); axis off light('Position',[2 -4 5]) light hold off Chương trình tạo mặt Wener Boy (Hình 2.5) n = 128; u = linspace(0,pi,n); v = linspace(0,pi,n); u = repmat(u,n,1); v = repmat(v',1,n); x = cos(v).*sin(u); y = sin(v).*sin(u); z = cos(u); f = 1/2*((2*x.^2-y.^2-z.^2) + 2*y.*z.*(y.^2-z.^2) + z.*x.*(x.^2-z.^2) + x.*y.*(y.^2-x.^2)); g = sqrt(3)/2 * ((y.^2-z.^2) + z.*x.*(z.^2-x.^2) + x.*y.*(y.^2-x.^2)); http://www.ictu.edu.vn h = (x+y+z).*((x+y+z).^3 + 4*(y-x).*(z-y).*(x-z)); clf s = surf(f,g,h/10,u, 'LineStyle','none', 'FaceLighting','gouraud', 'FaceColor','interp'); colormap jet; axis off; daspect([1 1]); l1 = light; l2 = light; lightangle(l1,70,-40); lightangle(l2,-30,80); view(-40,32); camzoom(1.5); Chương trình tạo bề mặt dạng ống xoắn vào (Hình 2.6) % Thiết lập tham số % Số điểm lưới bề mặt dạng ống m = 20; % Số điểm dọc theo ống n = 60; % Bán kính ống http://www.ictu.edu.vn R = 0.75; % Chỉ số đối xứng q = floor(n/3); t = (0:n)/n; % Định nghĩa hàm tạo bề mặt % f1, f2 đạo hàm cấp cấp tương ứng f0 a = 2; b = 3; c = 1.5; q1=2; q2=4; f0 = sin(q1*pi*t) + a*sin(q2*pi*t) - b*cos(4*pi*t)/2 + c*sin(6*pi*t); f1 = (q1*pi)*cos(q1*pi*t) + a*(q2*pi)*cos(q2*pi*t) + b*(4*pi)*sin(4*pi*t)/2 + c*(6*pi)*cos(6*pi*t); f2 = -(q1*pi)^2*sin(q1*pi*t) - a*(q2*pi)^2*sin(q2*pi*t) + b*(4*pi)^2*cos(4*pi*t)/2 - c*(6*pi)^2*sin(6*pi*t); plot3(f0,f1,f2) % Tạo bề mặt f0 = [ f0(1:n) f0(1:n) ]; f1 = [ f1(1:n) f1(1:n) ]; f2 = [ f2(1:n) f2(1:n) ]; %[x10;x20;x30] tham số biểu diễn đường trung tâm ống: x10 = f0(1:n+1); http://www.ictu.edu.vn x20 = f0(q+1:q+n+1); x30 = f0(2*q+1:2*q+n+1); clf plot3(x10,x20,x30) %[x11;x21;x31] vector vận tốc: x11 = f1(1:n+1); x21 = f1(q+1:q+n+1); x31 = f1(2*q+1:2*q+n+1); plot3(x11,x21,x31) %[x12;x22;x32] vector gia tốc: x12 = f2(1:n+1); x22 = f2(q+1:q+n+1); x32 = f2(2*q+1:2*q+n+1); plot3(x12,x22,x32) %Tính toán tốc độ: speed = sqrt(x11.^2 + x21.^2 + x31.^2); plot(speed) %Tích điểm vector vận tốc vector gia tốc: velacc = x11.*x12 + x21.*x22 + x31.*x32; plot(velacc) %Tính toán vector pháp tuyến http://www.ictu.edu.vn nrml1 = speed.^2 * x12 - velacc.*x11; nrml2 = speed.^2 * x22 - velacc.*x21; nrml3 = speed.^2 * x32 - velacc.*x31; normallength = sqrt(nrml1.^2 + nrml2.^2 + nrml3.^2); unitnormal1 = nrml1 / normallength; unitnormal2 = nrml2 / normallength; unitnormal3 = nrml3 / normallength; plot3(unitnormal1,unitnormal2,unitnormal3) % vector phó pháp tuyến ( B = T x N ) binormal1 = (x21.*unitnormal3 - x31.*unitnormal2) / speed; binormal2 = (x31.*unitnormal1 - x11.*unitnormal3) / speed; binormal3 = (x11.*unitnormal2 - x21.*unitnormal1) / speed; plot3(binormal1,binormal2,binormal3) % s tọa độ dọc theo mặt cắt tròn ống s = (0:m)'; s = (2*pi/m)*s; % x1, x2, x3 ma trận cấp (m+1)x(n+1) Các hàng biểu diễn tọa độ dọc theo ống Các cột biểu diễn tọa độ mặt cắt ống xa1 = ones(m+1,1)*x10; xb1 = (cos(s)*unitnormal1 + sin(s)*binormal1); xa2 = ones(m+1,1)*x20; xb2 = (cos(s)*unitnormal2 + sin(s)*binormal2); http://www.ictu.edu.vn xa3 = ones(m+1,1)*x30; xb3 = (cos(s)*unitnormal3 + sin(s)*binormal3); % Tính toán bề mặt x1 = xa1 + R*xb1; x2 = xa2 + R*xb2; x3 = xa3 + R*xb3; color = ones(m+1,1)*((0:n)*2/n-1); % Vẽ bề mặt surf(x1,x2,x3,color); shading interp; light lighting gouraud view(2) axis equal off axis vis3d ... vào phương trình đạo hàm riêng, chúng coi công cụ việc thao tác bề mặt 2.1.2 Phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân đạo hàm riêng ( PDE-Partial differential equations ) phương trình. .. tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tuyến tính hệ số không phụ thuộc vào hàm U(x,y) đạo hàm riêng chúng, ngược lại phương trình phi tuyến tính Ngoài phương trình vi phân đạo hàm riêng. .. mô tả nhiệt phân bố đoạn dài khu vực tương ứng Các ví dụ khác phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả tượng vật lý phương trình sóng phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm