Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG LÊ VIỆT ĐỨC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG MƠ HÌNH HĨA HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠ Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng mơ hình hóa hình học” cơng trình nghiên cứu củ TS Đặng Quang Á Kết đạt đƣợc luận văn sản phẩm riêng cá nhân tôi, không chép lại ngƣời khác Luận văn kết trình học tập, nghiên cứu làm việc nghiêm túc suốt hai năm học cao học Trong toàn nội dung luận văn, điều đƣợc trình bày kết nghiên cứu cá nhân kết tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác Các thông tin tổng hợp hay kết lấy từ nhiều nguồn tài liệu khác đƣợc trích dẫn cách đầy đủ hợp lý Tất tài liệu tham khảo có xuất xứ rõ ràng đƣợc trích dẫn hợp pháp Các số liệu thông tin sử dụng luận văn trung thực Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Ngƣời cam đoan Lê Việt Đức i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC ii DANH MỤC HÌNH VẼ v MỞ ĐẦU .1 Chƣơng I CƠ SỞ CỦA MƠ HÌNH HỐ HÌNH HỌC .4 1.1 Hình học đƣờng cong .4 1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong 1.1.2 Đặc tính đƣờng cong 1.2 Hình học mặt cong 1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong: .8 1.2.2 Tiếp tuyến pháp tuyến mặt cong 1.2.3 Độ cong 11 1.3 Phép biến đổi toạ độ 12 1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D .12 1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D .14 1.3.3 Phép ánh xạ 15 1.3.4 Khung toạ độ .16 Chƣơng II 19 GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 19 2.1 Tổng quan .19 2.1.1 Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến thiết kế hình học 19 ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 2.1.2 Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 22 2.2 Các bề mặt hình học PDE 23 2.3 Các bề mặt PDE dạng ẩn 25 2.4 Các bề mặt PDE dạng tham số 26 2.4.1 Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE .27 2.4.2 Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE 31 2.4.3 Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa mơ hình vật lý 32 2.5 Ứng dụng bề mặt PDE 33 2.5.1 Các hệ bề mặt 34 2.5.2 Xử lý bề mặt 34 2.5.3 Phân tích tối ƣu hóa thiết kế 35 2.5.4 Các ứng dụng khác 36 Chƣơng III 38 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ VÀ MƠ HÌNH HĨA HÌNH HỌC 38 3.1 Tổng quan GPDE (Geometric partial differential equation) 38 3.1.1 Định nghĩa 38 3.1.2 Khái quát GPDE 38 3.1.3 Nền tảng toán học GPDE 39 3.2 Cấu trúc GPDE 43 3.2.1 Xây dựng GPDE 43 3.2.2 Một số đƣờng thƣờng đƣợc sử dụng để xây dựng GPDE: 46 3.3 Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE 46 3.3.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) 47 iii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 3.3.2 Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (FDM) 48 3.3.3 Phƣơng pháp tập mức (LSM-Level set method) 49 .51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 PHỤ LỤC 54 iv Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Tham số hố đƣờng trịn đơn vị Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến đƣờng trịn mật tiếp Hình 1.3 : Hình học mặt cong .9 Hình 1.4 - Đƣờng cong mặt cong mặt phẳng tiếp tuyến Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D 13 Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động 17 Hình 2.1 Các đƣờng cong biên, Hình 2.2 Bề mặt PDE tƣơng ứng 28 Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với vỏ sò 29 Hình 2.4: Mặt PDE tƣơng ứng với chai Klein .29 Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy 30 Hình 2.6 Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào .30 v Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn6 MỞ ĐẦU Ngày mơ hình hóa hình học trở thành tảng cho tính tốn trực quan cung cấp biểu diễn ngày xác hình dạng thao tác cho đối tƣợng hình học Khác với kỹ thuật mơ hình hóa bề mặt đƣợc sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, mơ hình lập thể (solid models) cung cấp cách rõ ràng quán biểu diễn hình học cho đối tƣợng 3D với hình học nội suy Nó giúp tăng cƣờng đáng kể kỹ thuật mơ hình hóa hình học Các kỹ thuật mơ hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên (boundary representation, B-rep), khối lập thể dạng tự tham số(free-form parametric solids), v.v Phƣơng pháp CSG khai thác tập nửa đại số phép toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn nhƣ hình lập phƣơng, hình cầu, hình trụ, v.v… để xây dựng mơ hình lập thể phức tạp Các kỹ thuật B-rep thƣờng định nghĩa đối tƣợng hình học lập thể thơng qua tập hợp bề mặt biên với thơng tin hình dạng mở rộng Kỹ thuật mơ hình hóa hình học lập thể dạng tự sử dụng đƣờng (curves) nhƣ B-splines, Hermite splines, NURBS, để xác định hình lập thể kết hợp với ích lợi bề mặt biên tự hình học nội suy khn khổ thống Mặt khác, mơ hình tham số PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tƣợng hình học sử dụng phƣơng trình đạo hàm riêng định với vài điều kiện biên Đặc biệt biến thể PDE đƣợc sử dụng để xác định tham số đối tƣợng lập thể So với kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng mơ hình hóa hình học mơ hình PDE có nhiều lợi thế: - Sự tác động đối tƣợng PDE đƣợc quy định giá trị biên phƣơng trình vi phân mơ hình hình học phức tạp dễ dàng đƣợc xác định thơng qua phƣơng trình vi phân bậc cao - Về nguyên tắc đối tƣợng PDE đƣợc tái tạo lại từ tập nhỏ điều kiện biên Thông tin nội chúng đƣợc tự động thu hồi thông qua việc giải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 phƣơng trình vi phân Do mơ hình PDE u cầu tham số mơ hình lập thể dạng tự tham số - Đặc biệt mơ hình PDE có nhiều lợi so với kỹ thuật mơ hình hóa hình khối thơng thƣờng, chẳng hạn nhƣ hoạt động dựa đƣờng, biểu diễn bề mặt biên Vì phƣơng pháp PDE có tiềm để tích hợp phƣơng pháp CSG, B-rep v.v vào khung - Tham số mơ hình PDE cung cấp ánh xạ chúng không gian vật lý Do mơ hình PDE đặc biệt dạng biến thể chúng cung cấp nguyên dạng tự biến dạng(free-form deformation, FFD) cho đối tƣợng nhúng bên mơ hình PDE - Các đối tƣợng PDE thống hai khía cạnh hình học vật lý mơ hình giới thực, u cầu khơng đồng khác đƣợc thi hành thỏa mãn cách đồng thời Ngoài phƣơng pháp PDE đƣợc sử dụng cho mơ hình dạng ẩn mơ hình dạng ẩn có lợi việc biểu diễn đối tƣợng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, hai mơ hình sử dụng tham số mơ hình ẩn có mặt mạnh hạn chế riêng chúng Ví dụ mơ hình tham số cung cấp mơ tả hình dạng tƣờng minh mơ hình ẩn lại khơng có đƣợc điều ngƣợc lại mơ hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh phát va chạm mà mơ hình ẩn dễ dàng thực điều nhờ hàm ẩn Do đó, việc cung cấp cách tiếp cận thống có nhiều lợi hai loại dễ dàng đạt mục đích mong muốn việc mơ hình hóa hình học Hơn nữa, kỹ thuật đề cập chủ yếu tập trung vào mô hình hình học túy Để mơ đối tƣợng giới thực, phƣơng pháp tốt việc kết hợp vật thể tính chất vật lý chẳng hạn nhƣ mật độ biểu diễn hình học Bởi nhiều thuộc tính vật thể đƣợc tổng hợp giá trị vơ hƣớng, hàm ẩn ứng viên lý tƣởng việc mơ hình hóa tính chất vật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn8 lý Do cách tích hợp mơ hình ẩn với biểu diễn hình học đạt đƣợc mơ gần với mơ hình giới thực Nhận thấy tính thiết thực vấn đề đƣợc gợi ý giảng viên hƣớng dẫn, chọn đề tài “ ạo hàm riêng mơ hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Luận văn cấu trúc gồm chƣơng: Chƣơng 1: Chƣơng trình bày tóm tắt kết hình học vi phân phép biến đổi toạ độ sử dụng mơ hình hố hình học Chƣơng 2: Chƣơng trình bày tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) lĩnh vực liên quan đến thiết kế mơ hình hóa hình học Chƣơng 3: Chƣơng trình bày hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng dụng, cấu trúc, tảng toán học, bƣớc xây dựng GPDE giải pháp số việc xây dựng GPDE Luận văn đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Đặng Quang Á, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong thầy giáo bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Chƣơng I CƠ SỞ CỦA MƠ HÌNH HỐ HÌNH HỌC Trong chƣơng trình bày tóm tắt kết hình học vi phân phép biến đổi toạ độ sử dụng mơ hình hố hình học 1.1 Hình học đƣờng cong Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ quĩ đạo điểm thoả mãn số điều kiện 1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong Về tốn học, đƣờng cong dƣợc biểu diễn dƣới dạng: - Phƣơng trình ẩn - Phƣơng trình tƣờng minh - Phƣơng trình tham số Xét đƣờng tròn đơn vị mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ hình 1.1 Mối quan hệ toạ độ x y đƣợc mơ tả phƣơng trình: f (x, y) = x2 + y2 −1 = : Phƣơng trình ẩn (1.1) Nếu xét phần nửa đƣờng trịn, phƣơng trình biểu diễn là: y = g(x) = (1− x)1/2 : Phƣơng trình tƣờng minh (1.2) Nếu đặt góc θ đoạn thẳng PO trục x tham số đƣờng trịn,ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phƣơng trình tham số Hình 1.1 : Tham số hố đƣờng trịn đơn vị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 (1.3) tốn phụ thuộc thời gian, ta cần thêm cơng cụ số để rời rạc hóa phƣơng trình vi phân theo biến thời gian Nếu nhƣ phƣơng pháp FDM, FEM, FVM, v.v… rời rạc hóa phƣơng trình vi phân sở chia nhỏ miền tính tốn thành lƣới (mesh) gồm phần tử ràng buộc lẫn lƣói theo nguyên tắc xác định (ta gọi chung phƣơng pháp nhóm phƣơng pháp dựa vào lƣới) phƣơng pháp khơng lƣới, miền tính tốn đƣợc chia thành tập hữu hạn điểm rời rạc, bố trí tùy ý (unstructured) khơng có mối ràng buộc vị trí tƣơng đối chúng q trình tính tốn Kết phƣơng pháp khơng lƣới thích hợp cho tốn có biến dạng lớn (nhƣ học rạn nứt) tốn có biên di động (nhƣ dự đốn q trình điền khn đúc mơ mặt tiến dầu-nƣớc/khí-dầu trình bơm ép/thu hồi tăng cƣờng dầu) phƣơng pháp dựa vào lƣới, việc giải tốn phức tạp (đơi làm giảm độ xác lời giải) phải thƣờng xuyên điều chỉnh lƣới bị biến dạng trầm trọng Các phƣơng pháp số để giải toán biên di động đƣợc nhà nghiên cứu quan tâm tính phức tạp thân biên di động (moving boundaries) Có hai nhóm phƣơng pháp số đƣợc sử dụng cho tốn dạng này: Nhóm phƣơng pháp dựa lƣới di động nhóm phƣơng pháp sử dụng lƣới cố định Phƣơng pháp Tập mức (level set method) thuộc nhóm phƣơng pháp thứ hai, Osher and Sethian (1988) đề xuất Phƣơng pháp ban đầu đƣợc thiết lập để sử dụng với nhóm phƣơng pháp dựa vào lƣới nhƣ FDM, FEM, FVM, v.v… 3.3.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc đề xuất Alexander Hrennikoff (1941) Richard Courant (1943) Phƣơng pháp đƣợc áp dụng mạnh mẽ vào cuối năm 1950 việc phân tích kết cấu khung máy bay cơng trình xây dựng Ƣu điểm phƣơng pháp dễ dàng thực miền hình học phức tạp 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn53 Để giải toán biên miền W, phép tam giác phân, ta chia thành số hữu hạn miền Wj (j = 1, , n) cho hai miền khơng giao chung đỉnh cạnh Mỗi miền Wj đƣợc gọi phần tử hữu hạn Ta tìm nghiệm xấp xỉ tốn biên ban đầu khơng gian hữu hạn chiều hàm số thoả mãn điều kiện khả vi định toàn miền W hạn chế chúng phần tử hữu hạn Wj đa thức Có thể chọn sở không gian gồm hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị số hữu hạn phần tử hữu hạn Wj gần Nghiệm xấp xỉ tốn ban đầu đƣợc tìm dƣới dạng: c1ψ1(x) + + cnψn(x) ck số cần tìm Thơng thƣờng ngƣời ta đƣa việc tìm ck việc giải phƣơng trình đại số với ma trận thƣa (chỉ có phần tử đƣờng chéo số đƣờng song song sát với đƣờng chéo khác khơng) nên dễ giải Có thể lấy cạnh phần tử hữu hạn đƣờng thẳng đƣờng cong để xấp xỉ miền có dạng hình học phức tạp Phƣơng pháp phần tử hữu hạn dùng để giải gần tốn biên tuyến tính, phi tuyến bất phƣơng trình Để thực đƣợc phƣơng pháp ta phải giải đƣợc vấn đề mấu chốt: + Xây dựng không gian hàm phần tử hữu hạn + Giải vấn đề điều kiện biên 3.3.2 Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (FDM) FDM phƣơng pháp khác để giải phƣơng trình PDE FDM đƣợc đề xuất A.Thom vào năm 1920 Ý tƣởng phƣơng pháp FDM thay miền biến liên tục tập điểm rời rạc đƣợc gọi nút lƣới Sau thay phƣơng trình vi phân lƣợc đồ sai phân Vì vậy, phƣơng pháp FDM 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn54 có nhiều lợi miền hình học đơn giản nhƣ miền hình vng, hình chữ nhật tính tốn đơn giản độ xác cao Sự khác FDM FEM là: FDM xấp xỉ toán phƣơng trình vi phân cịn FEM xấp xỉ lời giải toán Điểm đặc trƣng FEM có khả áp dụng cho tốn hình học tốn biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc FEM ổn định FDM, có tảng tốn học vững chắc, phụ thuộc vào việc xây dựng không gian phần tử hữu hạn Trong FDM áp dụng đƣợc dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản Điểm đặc trƣng FDM dễ thực hiện, chi phí thấp, phụ thuộc vào việc rời rạc hóa tốn tử vi phân Trong vài trƣờng hợp, FDM xem nhƣ tập FEM xấp xỉ Việc lựa chọn hàm sở hàm không đổi phần hàm delta Dirac Trong hai phƣơng pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ đƣợc tiến hành toàn miền, nhƣng miền khơng cần liên tục Để thực đƣợc phƣơng pháp ta phải giải đƣợc vấn đề mấu chốt: + Sự rời rạc hóa tốn tử hình học vi phân + Giải vấn đề điều kiện biên 3.3.3 Phƣơng pháp tập mức (LSM-Level set method) Trong phƣơng pháp Tập mức, biên di động Γ(t) miền Ω ⊂ ℝ2 đƣợc xem tập mức không (zero) hàm f(x,t), gọi hàm tập mức, không gian ℝ3 Γ(t)={x∈ ℝ2 f(x,t)=0} (3.13) Hàm f(x,t) chọn tùy ý với điều kiện phải hàm trơn Trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)] , f(x,t) đƣợc chọn hàm khoảng cách cho: 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn55   d ( x, t ), x     f(x,t)= 0, x     d ( x, t ), x     (3.14) Trong d(x,t) khoảng cách từ điểm x đến biên di động; Ω+ Ω- miền bên bên biên tƣơng ứng Nhƣ vậy, phƣơng pháp tập mức, đối tƣợng nghiên cứu hàm tập mức f(x,t) chuyển động với vận tốc “mở rộng” (extended velocity) V thay biên Γ(t) di chuyển với tốc độ F [Osher and Sethian (1988)] Phƣơng trình chuyển động hàm tập mức tƣơng ứng với dịch chuyển biên trƣờng vận tốc V môi trƣờng xung quanh nhƣ sau:   V   t (3.15) Ở thời điểm bất kỳ, thông tin biên di động (vị trí, hình dáng, độ cong, v.v…) đƣợc tái tạo từ hàm tập mức f(x,t) cách xác định tập hợp đoạn Γ(t) cho f(x,t) triệt tiêu Do phƣơng trình (3.15) đƣợc giải phƣơng pháp số nên sau bƣớc thời gian f(x,t) khơng cịn hàm khoảng cách Vì việc tái thiết lập hàm tập mức thỏa điều kiện (3.14) bƣớc cần thiết đƣợc thực cách tìm lời giải dừng (steady) cho tốn sau [Sussman et al (1994)]:   S ( )(1   ) t (3.16)  ( x, t  0)   ( x) Trong Sε= S ( )     với khoảng cách ngắn điểm với điểm khác miền tính tốn Kết luận: Trong chƣơng trình bày hình học GPDE, cách tiếp cận, số phƣơng pháp số để xây dựng GPDE làm tảng để tạo bề mặt PDE ứng dụng việc thiết kế mơ hình hóa hình học 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn56 Nội dung luậ hình học, tóm tắt kỹ thuật tạo bề mặt thiết kế bề mặt, ứng dụng phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, cách tiếp cận, số phƣơng pháp số để xây dựng hình học vi phân đạo hàm riêng làm tảng để tạo bề mặt PDE ứng dụng lĩnh vực liên quan đến thiết kế mơ hình hóa hình học : Đƣa số kiến thức liên quan làm sở cho việc mơ hình hóa hình học nhƣ hình học đƣờng cong, hình học mặt cong, phép biến đổi hệ tọa độ 2D, 3D Trình bày số vấn đề liên quan đến bề mặt đƣợc tạo từ phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt sử dụng phƣơng pháp Bloor – Willson PDE để tạo bề mặt PDE ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế mơ hình hóa hình học Trình bày chi tiết hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, bề mặt hình học đƣợc xây dựng sở phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng làm tảng cho việc thiết kế mơ hình hóa hình học ợc trình bày cứu sâu để xây dựng mơ hình hóa vật thể 3D phức tạp nghi ứng dụng hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng việc khôi phục lại vật thể 3D nhƣ hộp sọ, mặt ngƣời v.v 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn57 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình cơng nghệ CAD-CAM, Trƣờng Đại [1] học Bách Khoa Đà Nẵng, Chƣơng 2, 1-11 [2] Nguyễn Minh Chƣơng (cb), Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD, (2000) H Ugail, M.I.G Bloor, and M.J Wilson, “Techniques for Interactive [3] Design Using the PDE Method”, ACM Transactions on Graphics, 195-212, (1999) [4] H Ugail and M.J Wilson, “Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation”, Comput Struct, 2601–2609 (2003) M.I.G Bloor and M.J Wilson, “Functionality in solids obtained from [5] partial differential equations”, Computing, 21–42 (1993) [6] M I G Bloor and M.J Wilson, “Generating Blend Surfaces using Partial Differential Equations”, Computer Aided Design, 21(3):165-171, 1989 M.I.G Bloor and M.J Wilson, “Using Partial Differential Equations [7] to Generate Freeform Surfaces”, Computer Aided Design, 22, 1990, 202-212 M I G Bloor and M J Wilson, “The Efficient Parameterization of [8] Generic Aircraft Geometry”, Journal of Aircraft 32(6) (1995) 1269–1275 [9] M.Taylor, Partial Differential Equations, Vol I, Basic theory, Springer- Verlag, 1997 [10] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol II, Qualitative Studies of Linear Equations,Springer-Verlag, 1997 [11] M Taylor, Partial Differential Equations, Vol III, Nonlinear Equations, Springer-Verlag, 1997 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn58 [12] J Monterde and H Ugail, “A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary”, Computer Aided Geometric Design, 23 (2): 208-225, (2006) [13] H Ugail, “3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing”, J.J Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN: 0-88986-598-1, pp 302-307 (2006) [14] H Du and H Qin, “A Shape Design System Using Volumetric Implicit PDEs”, Computer-Aided Design, vol 36, no 11, pp 1101-1116, 2004 [15] H Du and H Qin, “Interactive Shape Design Using Volumetric Implicit PDEs”, Proc Eighth ACM Symp Solid Modeling and Applications, pp 235-246, 2003 [16] Pavel Solin, Partial Differential Equations and the Finite Element Method, PURE AND APPLIED MATHEMATIC, A Wiley-Interscience Series of Texts, Monographs, and Tracts [17] Stig Larsson Vidar Thomée, Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer- Verlag, 2009 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn59 PHỤ LỤC CÁC CHƢƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB Chƣơng trình tạo vỏ sị (Hình 2.3) u=linspace(0,6*pi,60); v=linspace(0,2*pi,60); [u,v]=meshgrid(u,v); x=2*(1-exp(u/(6*pi))).*cos(u).*cos(v/2).^2; y=2*(-1+exp(u/(6*pi))).*sin(u).*cos(v/2).^2; z=1-exp(u/(3*pi))-sin(v)+exp(u/(6*pi)).*sin(v); mesh(x,y,z) surf(x,y,z, 'FaceColor','interp', 'EdgeColor','none', 'FaceLighting','phong') camlight left view(160,10) axis equal axis off hidden off Chƣơng trình tạo chai Klein (Hình 2.4) n = 12; a = 2; % đƣơng kính phần đáy chai 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn60 c = 6; % đƣờng kính chai t1 = pi/4 : pi/n : 5*pi/4; % tham số dọc theo chai t2 = 5*pi/4 : pi/n : 9*pi/4; % góc dọc theo chai u = pi/2 : pi/n : 5*pi/2; [X,Z1] = meshgrid(t1,u); [Y,Z2] = meshgrid(t2,u); % Xử lý len = sqrt(sin(X).^2 + cos(2*X).^2); x1 = c*ones(size(X)).*(cos(X).*sin(X) - 0.5*ones(size(X))+a*sin(Z1).*sin(X)./len); y1 = a*c*cos(Z1).*ones(size(X)); z1 = ones(size(X)).*cos(X) + a*c*sin(Z1).*cos(2*X)./len; handleHndl=surf(x1,y1,z1,X); set(handleHndl,'EdgeColor',[.5 5]); hold on; % Chai Klein r = sin(Y) * cos(Y) - (a + 1/2) * ones(size(Y)); x2 = c * sin(Z2) * r; y2 = - c * cos(Z2) * r; z2 = ones(size(Y)) * cos(Y); bulbHndl=surf(x2,y2,z2,Y); set(bulbHndl,'EdgeColor',[.5 5]) 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn61 colormap(hsv); axis vis3d view(-37,30); axis off light('Position',[2 -4 5]) light hold off Chƣơng trình tạo mặt Wener Boy (Hình 2.5) n = 128; u = linspace(0,pi,n); v = linspace(0,pi,n); u = repmat(u,n,1); v = repmat(v',1,n); x = cos(v).*sin(u); y = sin(v).*sin(u); z = cos(u); f = 1/2*((2*x.^2-y.^2-z.^2) + 2*y.*z.*(y.^2-z.^2) + z.*x.*(x.^2-z.^2) + x.*y.*(y.^2-x.^2)); g = sqrt(3)/2 * ((y.^2-z.^2) + z.*x.*(z.^2-x.^2) + x.*y.*(y.^2-x.^2)); h = (x+y+z).*((x+y+z).^3 + 4*(y-x).*(z-y).*(x-z)); clf s = surf(f,g,h/10,u, 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn62 'LineStyle','none', 'FaceLighting','gouraud', 'FaceColor','interp'); colormap jet; axis off; daspect([1 1]); l1 = light; l2 = light; lightangle(l1,70,-40); lightangle(l2,-30,80); view(-40,32); camzoom(1.5); Chƣơng trình tạo bề mặt dạng ống xoắn vào (Hình 2.6) % Thiết lập tham số % Số điểm lƣới bề mặt dạng ống m = 20; % Số điểm dọc theo ống n = 60; % Bán kính ống R = 0.75; % Chỉ số đối xứng q = floor(n/3); 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn63 t = (0:n)/n; % Định nghĩa hàm tạo bề mặt % f1, f2 đạo hàm cấp cấp tƣơng ứng f0 a = 2; b = 3; c = 1.5; q1=2; q2=4; f0 = sin(q1*pi*t) + a*sin(q2*pi*t) - b*cos(4*pi*t)/2 + c*sin(6*pi*t); f1 = (q1*pi)*cos(q1*pi*t) + a*(q2*pi)*cos(q2*pi*t) + b*(4*pi)*sin(4*pi*t)/2 + c*(6*pi)*cos(6*pi*t); f2 = -(q1*pi)^2*sin(q1*pi*t) - a*(q2*pi)^2*sin(q2*pi*t) + b*(4*pi)^2*cos(4*pi*t)/2 - c*(6*pi)^2*sin(6*pi*t); plot3(f0,f1,f2) % Tạo bề mặt f0 = [ f0(1:n) f0(1:n) ]; f1 = [ f1(1:n) f1(1:n) ]; f2 = [ f2(1:n) f2(1:n) ]; %[x10;x20;x30] tham số biểu diễn đƣờng trung tâm ống: x10 = f0(1:n+1); x20 = f0(q+1:q+n+1); x30 = f0(2*q+1:2*q+n+1); clf 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn64 plot3(x10,x20,x30) %[x11;x21;x31] vector vận tốc: x11 = f1(1:n+1); x21 = f1(q+1:q+n+1); x31 = f1(2*q+1:2*q+n+1); plot3(x11,x21,x31) %[x12;x22;x32] vector gia tốc: x12 = f2(1:n+1); x22 = f2(q+1:q+n+1); x32 = f2(2*q+1:2*q+n+1); plot3(x12,x22,x32) %Tính tốn tốc độ: speed = sqrt(x11.^2 + x21.^2 + x31.^2); plot(speed) %Tích điểm vector vận tốc vector gia tốc: velacc = x11.*x12 + x21.*x22 + x31.*x32; plot(velacc) %Tính tốn vector pháp tuyến nrml1 = speed.^2 * x12 - velacc.*x11; nrml2 = speed.^2 * x22 - velacc.*x21; nrml3 = speed.^2 * x32 - velacc.*x31; 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn65 normallength = sqrt(nrml1.^2 + nrml2.^2 + nrml3.^2); unitnormal1 = nrml1 / normallength; unitnormal2 = nrml2 / normallength; unitnormal3 = nrml3 / normallength; plot3(unitnormal1,unitnormal2,unitnormal3) % vector phó pháp tuyến ( B = T x N ) binormal1 = (x21.*unitnormal3 - x31.*unitnormal2) / speed; binormal2 = (x31.*unitnormal1 - x11.*unitnormal3) / speed; binormal3 = (x11.*unitnormal2 - x21.*unitnormal1) / speed; plot3(binormal1,binormal2,binormal3) % s tọa độ dọc theo mặt cắt tròn ống s = (0:m)'; s = (2*pi/m)*s; % x1, x2, x3 ma trận cấp (m+1)x(n+1) Các hàng biểu diễn tọa độ dọc theo ống Các cột biểu diễn tọa độ mặt cắt ống xa1 = ones(m+1,1)*x10; xb1 = (cos(s)*unitnormal1 + sin(s)*binormal1); xa2 = ones(m+1,1)*x20; xb2 = (cos(s)*unitnormal2 + sin(s)*binormal2); xa3 = ones(m+1,1)*x30; xb3 = (cos(s)*unitnormal3 + sin(s)*binormal3); % Tính tốn bề mặt 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn66 x1 = xa1 + R*xb1; x2 = xa2 + R*xb2; x3 = xa3 + R*xb3; color = ones(m+1,1)*((0:n)*2/n-1); % Vẽ bề mặt surf(x1,x2,x3,color); shading interp; light lighting gouraud view(2) axis equal off axis vis3d 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn67 ... kế mơ hình hóa hình học Trong chƣơng trình bày chi tiết hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, bề mặt hình học đƣợc xây dựng sở phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 37 Số hóa Trung tâm Học. .. Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 Chƣơng III CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ VÀ MƠ HÌNH HĨA HÌNH HỌC Chƣơng trình bày hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm. .. biểu diễn hình học cho đối tƣợng 3D với hình học nội suy Nó giúp tăng cƣờng đáng kể kỹ thuật mơ hình hóa hình học Các kỹ thuật mơ hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập