Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình trình bày theo nhận thức riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong, Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phôi điểm kì dị 1.3 Các điểm kì dị đơn giản 1.3.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 1.3.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 1.3.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 1.4 Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp 10 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 12 2.1 Định lý rút gọn 14 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 23 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Họ đường cong tích phân phương trình đặc trưng đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [7], [13]) Xét phương trình vi phân cấp mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (1) x, y tọa độ, a, b, c hàm số trơn, F hàm số Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = (2) Như vậy, vấn đề nghiên cứu dạng chuẩn địa phương phương trình đặc trưng dẫn đến thay đổi trơn tọa độ có nghiên cứu tới kỷ XIX Từ xuất phát ban đầu toán cuối kỷ nhận dạng chuẩn bao gồm phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi biết Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng dy + dx2 = 0, dy − dx2 = dy − xdx2 = 0, (3) (xem [4], [6], [7], [15]) Dạng chuẩn dạng chuẩn thứ lấy gần điểm miền xác định elliptic hyperbolic phương trình ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm hai nghiệm thực dy : dx điểm tương ứng Dạng thứ ba dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí điểm điển hình loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) phương trình, biệt thức vi phân khác 0, hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường điểm Sự chứng minh dạng hoàn thành Tricomi F (xem [15]) cịn có chỗ thiếu sót sau chứng minh hoàn chỉnh Cibrario M (xem [6]) Đây dạng chìa khóa cơng thức vấn đề nghiên cứu Tricomi thay đổi khác Danh sách hoàn thành dạng chuẩn địa phương mạng đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp tổng qt mặt phẳng tìm cuối kỷ XX, dạng chuẩn trơn tìm gần điểm đường suy biến, điểm mà hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường (xem [8], [9], [10], [11]) Nó chứng minh rằng, phương trình đặc trưng gần điểm tiếp tuyến rút gọn đến dạng dy + (kx2 − y)dx2 = 0, (4) k tham số thực, phép nhân hàm số khơng triệt tiêu trơn lựa chọn thích ứng tọa độ trơn với gốc điểm này, điều kiện tiêu chuẩn đưa vào Chính xác hơn, trường hướng đặc trưng nâng lên tới trường giá trị đơn mặt phương trình xác định không gian hướng mặt phẳng (với tọa độ địa phương x, y, p, p = dx : dy ) phương trình (2) Tại điểm bề mặt giá trị trường hướng nâng lên giao mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt mặt phẳng tiếp xúc xác định dạng dy − pdx mặt phẳng khác Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo [3], [2] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến vấn đề nghiên cứu chương Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Trong chương trình bày định lý rút gọn sử dụng phương pháp chứng minh định lý rút gọn để nhận kết dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân ẩn cấp mặt phẳng R2x,y hàm số trơn không gian hướng gọi mặt phương trình Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi tập hợp không gian tôpô lựa chọn Định nghĩa 1.2 Giới hạn mặt phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo trục hướng, nghĩa ánh xạ mặt mặt phẳng pha (thường gọi hướng) gọi gấp phương trình ẩn Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ gấp phương trình ẩn phép chiếu phương trình mặt mặt phẳng với biến x, y dọc theo trục p Một điểm mặt gọi quy khơng điểm tới hạn gấp phương trình Định nghĩa 1.4 Đường cong tích phân phương trình ẩn đường cong tích phân trường hướng bề mặt phương trình Định nghĩa 1.5 Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đến điểm bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng gọi phép đối hợp gấp phương trình Định nghĩa 1.6 Họ vi phân trường véctơ v (hoặc trường hướng), phôi trường véc tơ (hoặc trường hướng) với tham số ε ∈ Rm , m ≥ Cvr −tương đương dẫn đến phôi khác họ, phép Cvr − vi đồng phơi với tham số bảo tồn phân lớp tự nhiên không gian tham số tới đường cong pha (hoặc đường cong tương ứng) trường (v, ε˙ = 0) (tương ứng (v, 0)) Định nghĩa 1.7 Cvr −tương đương phơi họ gọi mạnh bảo tồn tham số 1.2 Phơi điểm kì dị Định nghĩa 1.8 Hai đối tượng có tính chất giống (các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong, phép ánh xạ, ) gọi tương đương điểm chúng trùng lân cận điểm Lớp tương đương đối tượng điểm gọi phơi điểm x + |x| có phơi chung điểm nửa trục x dương phơi khác điểm khác Ví dụ 1.1 Các hàm số hàm biến g1 (x) = x g2 (x) = Định nghĩa 1.9 Hai biến dạng (của phơi) phương trình ẩn gọi tương đương trơn hai biến dạng tạo thành phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi phép vi đồng phôi trơn) Định nghĩa 1.10 Sự biến dạng phơi phương trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phôi khác phôi thứ nhận ánh xạ trơn phôi thứ hai Định nghĩa 1.11 Với r ≥ hai phơi đối tượng có tính chất (chẳng hạn ánh xạ, hàm số, đường cong, ) gọi C r −tương đương dọc theo C −trường véctơ (hoặc trường hướng) v (= Cvr −tương đương) chúng đưa đến phôi khác phép C r − vi đồng phôi đưa đến đường cong pha (tương ứng đường cong tích phân) trường v Ví dụ 1.2 Trên mặt phẳng R2x,y , cho trường véctơ v = (x, βy) với β = phôi O hai đường thẳng qua O tọa độ ban 23 Thật vậy, tính tương thích họ diện tích hình bình hành kéo véctơ v γ∗ v có bề mặt điểm cố định độ xác đến cấp Suy hàm số v ηl(ζ, η, ε) m(ζ, η, ε) (ζ, η, ε) = γ∗ v −ηl(ζ, −η, ε) −m(ζ, −η, ε) = −η[l(ζ, η, ε)m(ζ, −η, ε) − l(ζ, −η, ε)m(ζ, η, ε)] = 2η [L + H(ζ, η, ε)], H hàm số trơn gốc tọa độ ban đầu, có định thức cấp hai bề mặt điểm cố định phép đối hợp η = Suy L = địa phương gần tọa độ ban đầu hệ giải u w trơn Do đó, phương trình đồng điều (2.8) giải địa phương gần tọa độ ban đầu, phôi họ phép đối hợp σ1 σ2 điểm gốc trơn mạnh Cv∞ −tương đương Khi biệt thức phương trình đặc trưng 0, vi phân khơng phải định lý Mệnh đề 2.1 quy vấn đề dạng chuẩn đạt biến dạng phương trình, gần điểm tiếp tuyến trường hướng đặc trưng với dạng đường suy biến số hữu hạn tới vấn đề tương tự biến dạng tương ứng cặp trường hướng phương trình phép đối hợp gấp 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Định nghĩa 2.5 Họ địa phương trường véctơ trơn Rnx với tham số hữu hạn chiều ε ∈ Rm , n, m ∈ N phơi gốc trường véctơ xác định phương trình x˙ = v(x, ε), ε˙ = (2.15) Thành phần họ v, v = v(x, ε) gọi biến dạng với tham số ε phôi trường véctơ v(., O) gốc Hai họ địa phương trường véctơ tương đương trơn hữu hạn với r ∈ N hữu hạn Đây biểu diễn phôi tương 24 ứng họ trơn C r liên hợp miền xác định chúng, miền xác định tồn phép C r −đồng phôi biểu diễn (x, ε) → (X(x, ε), E(ε)), (X(0, 0), E(0, 0)) = (0, 0) xác định gần gốc phép liên hợp luồng pha tương ứng (xem [14]) Định nghĩa 2.6 Tập hợp số phức λ = (λ1 , λ2 , λn ) ∈ Cn không cộng hưởng hệ thức chúng khơng có dạng λj = m1 λ1 +· · ·+mn λn , với khoảng cách mj không âm, m1 + m2 + · · · + mn ≥ Điểm kì dị trường véctơ vi phân khơng cộng hưởng tập hợp giá trị riêng tuyến tính hóa trường điểm khơng cộng hưởng Định nghĩa 2.7 Điểm kì dị phép vi đồng phôi trường véctơ v tồn số ma trận tuyến tính điểm mà tạo thành (không tạo thành) tập hợp cộng hưởng gọi cộng hưởng (khơng cộng hưởng tương ứng) Ví dụ 2.2 Hệ thức λ1 = λ2 cộng hưởng cấp 2; 2λ1 = 3λ2 không cộng hưởng; λ1 + λ2 = cộng hưởng cấp Chính xác từ hệ thức suy λ1 = 2λ1 + λ2 , cộng hưởng λ1 = (m + 1)λ1 + mλ2 cấp 2m + Ví dụ 2.3 Trường véctơ dạng (x + x2 g(x, y), −y + xyf (x, y)), f, g hàm số liên tục có điểm kì dị cộng hưởng với cộng hưởng cấp 2m + đơn thức cộng hưởng x(xy)m e1 y(xy)m e2 Cộng hưởng đơn thức cộng hưởng thích hợp đưa đến trở ngại trường véctơ trơn tuyến tính điểm kì dị Chính xác khơng có cộng hưởng trường địa phương ln ln dẫn đến lựa chọn tương tự thích hợp tọa độ trơn địa phương với tọa độ ban đầu điểm này, cịn cộng hưởng có mặt đơn thức cộng hưởng nói chung tất thay tọa độ trơn không Định lý 2.2 ([14]) Nếu điểm khơng cộng hưởng biến dạng phôi trường véctơ trơn Rn điểm kì dị tương đương trơn hữu hạn tới phôi 25 gốc biến dạng z˙ = A(ε)z, (2.16) với hàm số ma trận A Chứng minh Trong trường hợp mặt phẳng xác định R2ξ,η phụ thuộc tham số ε, thay tọa độ tuyến tính nhân với hàm số trơn khác từ (2.16) với tham số ε đưa đến dạng chuẩn tắc yên ngựa điểm nút có dạng 0 α(ε) ξ η hay v(ξ, η) = (ξ, α(ε)η), (2.17) tiêu điểm có dạng −α(ε) α(ε) ξ η hay v(ξ, η) = (ξ − α(ε)η, α(ε)ξ + η) (2.18) Đây hai dạng khác trường với thay biến số tuyến tính sức căng thời gian phụ thuộc hệ số α(ε) đưa tới dạng tổng quát v(ξ, η) = −k(ε) ξ η hay v(ξ, η) = (2η, −2k(ε)ξ + η) (2.19) Dạng (2.19) trường véctơ trục hoành η = có hướng dọc khắp trục tọa độ khác O Mặt khác, phép đối hợp σ : (ξ, η) → (ξ, −η) tương ứng với trường điểm trục hoành xây dựng trường véctơ v σ∗ v sau: v 2η −2k(ε)ξ + η (ξ, η) = = 4η σ∗ v −2ξ 2k(ε)ξ + η Do (2.19) nhận với trường hợp gấp trường thích hợp với phép đối hợp lựa chọn dạng chuẩn tắc Dạng chuẩn tắc nhận từ (2.17), (2.18) Dạng chuẩn tắc nhận đối để nhận yên với yên ngựa, điểm nút sau nhân với trường α(ε) + ngựa trường đến phương trình vi phân dạng 26    ξ˙ = ξ α(ε) + α(ε)η   η˙ = α(ε) + , với α(ε) + = điểm kì dị khơng cộng hưởng Từ hệ ta có ξ − αη ξ˙ − η˙ = = 2˜ η ⇒ ξ˜ = 2˜ η α+1 Khi α2 η ξ − ξ˙ − αη˙ ξ − α2 η η˜ = = α+1 α+1 = 2(α + 1) 2(α + 1) 2(α + 1)2 (2.20) Đặt ξ − η = ξ˜ ξ − 2η = 2(α + 1) (2.21) Lấy phương trình trừ phương trình hệ (2.21) ta có ˜ (α−1)η = ξ−2(α+1)˜ η⇒η= ˜ ξ − (˜ α − 1)η (ξ−2(α+1)˜ η ) ⇒ η˜ = α−1 2(α + 1) ξ − α(ε)η Từ phương trình Đặt biến ξ˜ = ξ − η η˜ = 2[α(ε) + 1] hệ (2.21) ta có ξ = ξ˜+ η = 1 (ξ˜− 2(α(ε) + 1)˜ η) = (α(ε)ξ˜− 2(α(ε) + 1)˜ η ) α(ε) − α(ε) − Từ (2.20) ta có [α(ε)ξ˜ − 2(α(ε) + 1)˜ η − α2 (ε)ξ˜ + 2α2 (ε)(α + 1)˜ η] 2(α(ε) + 1) (α(ε) − 1) = (1 − α(ε))α(ε)ξ˜ 2(α(ε) + 1)2 (α(ε) − 1) + 2(α(ε) + 1)[α2 (ε) − 1]˜ η 2(α(ε) + 1) (α(ε) − 1) −α(ε)ξ˜ = + η˜ 2(α(ε) + 1)2 η˜ = 27 x ; α+1 Từ hệ y˙ = αy α+1  x˙ = ta có ξ − α(ε)η dη =1⇒ = ⇒ (ξ − α(ε)η) = (α(ε)ξ + η) dξ α(ε)ξ + η ⇒ (1 − α(ε))ξ = (α(ε) + 1)η ξ(1 − α(ε)) − η(1 + α(ε)) ξ − α(ε)η − α(ε)ξ − η = = 2˜ η Trở ξ˙ − η˙ = 2 lại biến cũ nhận αξ˜ − 2[α(ε) + 1]˜ η ξ − 2(ξ + 1)˜ η ξ= η = α(ε) − α(ε) − (2.22) Nhưng ξ − α2 (ε)η ξ − α2 (ε)η ξ − α(ε) α(ε) + = = η˜ = 2[α(ε) + 1] 2[α(ε) + 1] 2[α(ε) + 1]2 (2.23) Do phép vế phải (2.23) phép biến ξ, η từ (2.22) dẫn đến phương trình ˜ η − α2 (ε)ξ˜ + 2α2 (ε)(α(ε) + 1)˜ η ˙η˜ = α(ε)ξ − 2(α(ε) + 1)˜ 2[α(ε) + 1]2 [α(ε) + 1] −α(ε)ξ˜ = + η˜ 2[α(ε) + 1]2 Ký hiệu ξ˜ = ξ, η˜ = η ta nhận ξ˙ = 2η η˙ = −kξ + η , α(ε) k= 2[α(ε) + 1]2 Đối với trường hợp tiêu điểm, tính tốn khơng giống trường hợp yên ngựa điểm nút Do ý nghĩa hình học nên lựa chọn tọa độ đơn giản Với thay trường ξ − α(ε)η α(ε)ξ + η , (2.24) 2 ξ − α(ε)η Ta có phương trình = hay [α(ε) + 1]η − [1 − α(ε)]ξ = Thay α(ε)ξ + η 28 biến ξ˜ = ξ − η nhận phương trình dạng ξ[α(ε) + 1][1 − α(ε)]η , ξ˜˙ = ξ[α(ε) + 1][1 − α(ε)]η = 2˜ η ta có ξ˜˙ = 2˜ η Lấy đạo hàm với tọa độ η˜ ta nhận đặt [ξ − α(ε)η][1 − α(ε)] − [α(ε) + 1][αξ + η] η˜˙ = (2.25) Từ phương trình ξ[1 − α(ε)] − [1 + α(ε)]η = 4˜ η ξ − η = ξ˜ ta có ˙ − α) − η(1 ξ(1 ˙ + α) (ξ − αη)(1 − α) − (αξ + η)(1 + α) = từ tìm η˜ = [1 + α(ε)]ξ˜ [1 − α(ε)]ξ˜ − 4˜ η ξ = η = 2α(ε) 2α(ε) Thế ξ, η vào vế phải (2.25) nhận η˜˙ = (1 − α(ε)) (1 + α(ε))ξ˜ (1 − α(ε))ξ˜ − 4˜ η − α(ε) 2α(ε) 2α(ε) (1 + α(ε))ξ˜ − 4˜ η (1 − α(ε))ξ˜ − 4˜ η − (1 + α(ε)) α(ε) + 2α(ε) 2α(ε) ˜ + α2 (ε)) + 16α(ε)˜ = [−2α(ε)ξ(1 η] 16α(ε) 1˜ (ε) + 1] + η˜ = − ξ[α Vì lựa chọn tọa độ họ trường véctơ (2.19) ta nhận dạng cần tìm Đối với họ v với trường tham số phép đối hợp σ : (ξ, η) → (ξ, −η) thích hợp, họ tương ứng phương trình ẩn ảnh ánh xạ k(ε)x2 2 (ξ, η) → (x = ξ, y = η ) có dạng dy + − y dx2 tương ứng với họ phép tọa độ trơn hữu hạn nửa mặt phẳng y ≥ Cứ tiếp tục qua trình vậy, thay tọa độ hữu hạn trơn nửa mặt phẳng y < nhận ảnh dạng tiêu chuẩn Chẳng hạn sử dụng tiêu chuẩn Taylo theo y trục hoành đến cấp cao cấp tọa độ trơn với số dư R(x, y) nhận ảnh dạng hàm chẵn R(x, −y) = R(x, y) 29 Quá trình lặp lại với họ địa phương phương pháp tọa độ đưa đến họ phương trình ẩn (phương trình dạng hỗn hợp) dạng cần tìm Định lý dạng chuẩn tắc chứng minh Cho n = thay đổi tuyến tính tọa độ z thời gian giãn nở thích hợp, mà phụ thuộc tham số, phương trình (2.16) rút gọn dạng x˙ = y y˙ = k(ε)x + y (2.26) z = (x, y) k hàm số lớp trơn ma trận A Chú ý k(0) = gốc điểm kì dị khơng cộng hưởng Phép đối hợp σ : (x, y) → (x, −y) tương thích với trường véctơ v, v(x, y) = (2y, k(ε)x + y) phương trình (2.26) v y k(ε)x + y (x, y) = = y2 σ∗ v −y −k(ε)x + y Áp dụng định lý rút gọn (xem [8], [9]) có định lý sau: Định lý 2.3 Đối với cấp r ≥ cho lớp trơn, biến dạng phơi phương trình đặc trưng (2.2) điểm kì dị gấp khơng cộng hưởng lấy dạng phơi gốc biến dạng dy + (k(ε)x2 − y)dx2 = (2.27) với hàm số k đó, sau nhân phương trình với hàm số C r khơng triệt tiêu lựa chọn thích hợp tọa độ-C r với tham số điểm gốc Điểm kì dị gấp khơng cộng hưởng phương trình đặc trưng điểm tiếp tuyến trường hướng đặc trưng đường suy biến điểm kì dị tương xứng nâng lên trường hướng bề mặt phương trình khơng cộng hưởng Định lý 2.4 Đối với cấp r ≥ cho lớp trơn, biến dạng phơi phương trình (2.1) điểm kì dị gấp khơng cộng hưởng phương trình đặc trưng lấy dạng phơi gốc biến dạng uxx + (k(ε)x2 − y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ) (2.28) 30 với hàm số k hàm số F nhận sau nhân phương trình với hàm số C r khơng triệt tiêu lựa chọn thích hợp tọa độ C r dạng tham số điểm gốc Do phương trình (2.26) Định lý 2.3, 2.5 hàm số k Chú ý rằng, lớp trơn hệ số lựa chọn chứng minh đưa Nhưng tăng thêm lớp dẫn tới rút gọn khoảng cách, dọc theo trục tham số công thức tác động Định lý 2.5 Nếu mặt phẳng, phôi gốc cặp trường hướng xác định trường véctơ v (hoặc phép đối hợp v−tương thích) trơn phép vi đồng phơi C ∞ tới phôi điểm gấp cặp trường hướng (phép đối gấp) phương trình vi phân cấp trơn Chứng minh Trước tiên chọn tọa độ trơn x, y gần gốc, phép đối hợp dạng chuẩn σ : (x, y) → (x, −y) Trong tọa độ trường véctơ v viết dạng v(x, y) = (yA(x, y ) + y B(x, y ), C(x, y ) + yD(x, y )) (2.29) Thành phần trường O y = phép đối hợp v−tương thích Hơn tính tương thích định thức cấp hai (vσ∗ v) AD − BC không triệt tiêu gốc Bên cạnh đó, C(0, 0) = lựa chọn tọa độ bảo toàn dạng chuẩn A(0, 0) = Phép đối hợp (x, y) → (θ = x, η = y ) xác định gấp Ảnh đường cong pha trường véctơ (2.29) gấp thỏa mãn phương trình vi phân [A(θ, η)dη − 2C(θ, η)dη]2 = η [B(θ, η)dη − 2D(θ, η)dθ]2 Đây phương trình viết dạng A2 − ηB dη + [ηBD − AC] dηdθ + C − ηD2 dθ2 = 0, argumen hàm số bỏ Mặt khác (do AD − BC không triệt tiêu gốc) xây dựng gốc điểm kì dị gấp phương trình cuối 31 Mệnh đề 2.2 (Dạng chuẩn Tricomi-Cibrario họ) Họ trơn phương trình (2.3) có biệt thức D := b2 − ac với tham số ε ∈ Rm , m ≥ gần điểm (P, ε0 ), ε = ε0 , hướng đặc trưng không tiếp xúc đường suy biến điểm P |Dx (P, ε0 )| + |Dy (P, ε)| = Khi nhận họ có dạng dy + xdx2 = 0, với lựa chọn thích hợp tọa độ địa phương trơn phụ thuộc tham số với gốc điểm P nhân phương trình với hàm số trơn x, y ε Chứng minh Trong trường hợp điều kiện |Dx (P, ε0 )| + |Dy (p, ε)| = 0, bề mặt đường cong biệt thức (bằng đường suy biến) không gian biến x, y, ε trơn đặt vào bề mặt gần điểm nghiên cứu Thậm chí gần điểm gần giá trị tham số ε0 , trường hướng đặc trưng không tiếp xúc bề mặt trường véctơ liên tục bề mặt khơng tiếp xúc bề mặt điểm Địa phương gần điểm (P, ε0 ) hệ trơn, phân lớp tham số tọa độ địa phương với gốc điểm này, lựa chọn bề mặt tọa độ ban đầu mặt phẳng tọa độ x = 0, trường hướng đặc trưng mặt phẳng bắt đầu theo hướng trục Ox Ta thấy lựa chọn hệ tọa độ địa phương xảy Sau lựa chọn giá trị tham số nhỏ (chẳng hạn, giá trị gần ε0 ) dy bề mặt phương trình gần điểm x = 0, y = 0, = (0, 1) với tọa dx độ lấy y p Trong tọa độ lựa chọn, họ phương trình đặc trưng viết dạng a(x, y, ε)p2 − 2b(x, y, ε)p + c(x, y, ε) = 0, (2.30) với hàm số trơn a, b, c Sau tính tốn lựa chọn tọa độ bề mặt criminant cho phương trình p = 0, đạo hàm theo p vế trái phương trình (2.30) nhận đồng x = Kết cuối nhận b(0, y, ε) = Tiếp theo, bổ đề Hamadard hàm số b đưa gần điểm nghiên cứu có dạng b(x, y, ε) = xB(x, y, ε), 32 với B hàm số trơn Hơn nữa, lựa chọn hệ tọa độ địa phương gần điểm O với tọa độ x p nằm bề mặt phương trình xét Từ nhận c(0, y, ε) ≡ 0, tương tự theo bổ đề Hamadard hàm số c biểu diễn gần gốc có dạng c(x, y, ε) = xC(x, y, ε), với C hàm số trơn Vì biệt thức D phương trình, nhận biểu thức D(x, y, ε) = b2 (x, y, ε) − a(x, y, ε)c(x, y, ε) = x2 B (x, y, ε) − xa(x, y, ε)C(x, y, ε) Từ đây, sau tính tốn nhận |Dx (P, ε0 )| + |Dy (P, ε0 )| = 0, tìm a(0, 0, 0) = 0, C(0, 0, 0) = Khi chia phương trình (2.30) cho hệ số a gần gốc không làm tính tổng qt, phương trình bảo tồn kí hiệu viết dạng p2 − 2xB(x, y, ε)p + xC(x, y, ε) = (2.31) Nghiên cứu phương trình (2.31) phương trình bậc hai p có nghiệm phương trình p = xB(x, y, ε) ± x2 B (x, y, ε) − xC(x, y, ε) Thay đổi dấu x, đạt C(0, 0, 0) < Đưa vào biến số x = ξ , nhận p = ξ B(ξ , y, ε) + ξ ξ B (ξ , y, ε) − C(ξ , y, ε) dấu " ±" coi dấu ξ , giá trị thức với lựa chọn tọa độ dương Từ nhận dy = 2ξ ξB(ξ , y, ε) + dξ ξ B (ξ , y, ε) − C(ξ , y, ε) 33 Trên mặt phẳng (ξ, y) giá trị tham số đường cong tích phân nhỏ, phương trình qua trục Oy có đường y = const tiếp xúc cấp Suy ra, phương trình cuối tích phân dạng I(ξ, y, ε) = y + ξ K(ξ, y, ε), K hàm số trơn đó, K(0, 0, 0) = giá trị thức phương trình cuối dương Hơn nữa, biểu diễn hàm số K dạng tổng chẵn tổng lẻ theo thành phần ξ K(ξ, y, ε) = L(ξ , y, ε) + ξM (ζ , y, ε) Các hàm số M L xem hàm số trơn x, y ε x ≥ 0, L(0, 0, 0) = 0, K(0, 0, 0) = Kí hiệu tích phân, nhận biểu thức I(ξ, y, ε0 ) = y + ξ L(ξ , y, ε0 ) + ξ M (ξ , y, ε0 ) Cuối thay biến ζ Y theo công thức ζ=ξ L(ξ , y, ε0 ) Y = y + ξ M (ξ , y, ε), tích phân có dạng I = Y + ζ Tương ứng với thay tọa độ mặt phẳng pha nửa mặt phẳng x ≥ có dạng X = x L2 (x, y, ε) Y = y + x2 M (x, y, ε0 ) Đồng biến theo tham số công thức cho phân lớp địa phương tham số phép vi đồng phôi lân cận O, L(0, 0, 0) > Sự tiếp diễn trơn địa phương phương trình lân cận O đủ nhỏ khơng xảy Trong tọa độ tích phân có dạng I = Y − X2 dY = XdX Như thấy rằng, công thức định lý dạng chuẩn tắc nhận kéo dài từ trục tọa độ thay kí hiệu X 34 Vì dạng chuẩn tắc Tricomi - Cibrario đưa tập hợp trơn (hoặc đủ trơn) họ phương trình ẩn với tham số hữu hạn chiều Nhận xét Đối với dạng chuẩn tắc nhận họ phương trình vi phân ẩn (phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp) mặt phẳng gần điểm phương trình elliptic phương trình hypebollic biệt thức âm dương tương ứng 35 Kết luận Với mục đích nghiên cứu số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng, luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày khái niệm bản, lấy ví dụ minh họa vẽ hình mơ tả số trường hợp dạng tương đương đường thẳng điểm kỳ dị dạng yên ngựa, điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm n ngựa, Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp Chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham số ε với số chiều hữu hạn Sau sử dụng định lý kết biết cho dạng chuẩn với biến dạng trơn phơi phương trình đặc trưng điểm tiếp tuyến hướng đặc trưng với đường suy biến Trên sở sử dụng phương pháp chứng minh định lý rút gọn, nhận số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, Hà Nội [2] Trịnh Thị Diệp Linh (2015), "Một số dạng chuẩn tắc họ phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng", Tạp chí KH&CN Đại học Thái Nguyên, 135(5) [3] Alexey Davydov, Linh Trinh Thi Diep (2011), Reduction theorem and normal forms of linear second order mixed type pde families in the plane, TWMS Jour Pure Appl Math.,Vol.2, No.1 [4] Arnold V I and Il’yashenko Yu S (1988), Odinary Differential Equation, Dynamical Systems I, Springer-Verlag, New-York [5] Bers L (1958), Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics, Surveys in Applied Mathematics, New York: John Wiley & Sons, Inc XV [6] Cibrario M (1932), "Sulla riduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine di tipo misto", Ist Lombardo, Rend., II Ser 65 [7] Courant R., Gilbert D (1953), Methods of Mathematical Physics I,II Partial Differential Equations, New York, Interscience, 1962 [8] Davydov A.A (1985), "The normal form of a differential equation that is not solved with respect to derivative, in the neighbourhood of its singular point", Functional Anal Appl., 19 [9] Davydov A.A (1994), Qualitative Theory of Control Systems, Translations of Mathematical Monographs, 141, AMS in cooperation with MIR (Moscow), Providence, Rhode Island 37 [10] Davydov A.A., Rosales E (1996), "Complete classification of a generic seond order linear PDE on the plane", DAN USSR, 350(2) [11] Davydov A.A., Rosales-Gonz E (1998), Smooth normal forms of folded resonance saddles and nodes and complete classification of generic linear second order PDE’s on the plane, International Conference on Differential Equations, Lisboa 1995; Edd by L Magalhaes, C Rocha, L.Sanchez World Scientific, (ISBN 981-02-3421-X) [12] Kuzmin A.G (1981), "On the behavior of the characteristics of equations of mixed type near the line of degeneracy", Differ Uravn 17(11) [13] Kuzmin A.G., (1992), Non-Classical Equations of Mixed Type and Their Applications in Gas Dynamics, ISNM International Series of Numerical Mathematics 109 Basel: Birkhaeuser Verlag ix [14] Il’yashenko Yu.S., Yakovenko S.Yu (1991), "Smooth normal forms for local families of diffeomorphisms and vector fields", Russian Math Surveys, 46(1) [15] Tricomi F (1923), Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine di tipo misto, Memorie della R.Aceademia Nazionale dei Lincii, serie V, vol XIV, fasc VII ... phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp 10 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 12 2.1 Định lý rút gọn 14 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình. .. với dạng đường suy biến số hữu hạn tới vấn đề tương tự biến dạng tương ứng cặp trường hướng phương trình phép đối hợp gấp 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng. .. đạo hàm riêng hỗn hợp) mặt phẳng gần điểm phương trình elliptic phương trình hypebollic biệt thức âm dương tương ứng 35 Kết luận Với mục đích nghiên cứu số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng