Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình trình bày riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Dương Thị Minh Tuyên ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Thủy A, Huyện Yên Thủy, Tỉnh Hoà Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Dương Thị Minh Tuyên iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các điểm kì dị đơn giản 1.1.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 1.1.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 1.1.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 1.2 Một vài ví dụ 1.2.1 Hệ học chiều 1.2.2 Các tính chất phương trình vi phân đạo hàm riêng hỗn hợp 1.2.3 Mạng đường giới hạn bất đẳng thức vi phân 11 1.3 Các khái niệm quan trọng lý thuyết phương trình vi phân ẩn cấp 12 1.4 Phôi điểm kì dị 18 Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn 20 2.1 Các dạng chuẩn 20 2.1.1 Các ánh xạ đối hợp tốt 20 2.1.2 Các điểm kì dị chuẩn 25 iv 2.1.3 Các điểm kì dị gấp lùi 27 2.1.4 Các điểm kì dị gấp chuẩn tắc 29 2.1.5 Các lùi elliptic hyperbolic 32 2.2 Dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng 33 2.2.1 Dạng elliptic hyperbolic 33 2.2.2 Dạng chuẩn Cibrario 34 2.2.3 Dạng chuẩn lân cận điểm kì dị gấp 35 2.3 Dạng chuẩn chuyển động chậm phương trình tích thoát đường gián đoạn 37 2.4 Các kì dị biên bất đẳng thức vi phân điển hình mặt 39 2.4.1 Các định nghĩa 39 2.4.2 Các kì dị gấp miền giới hạn xác định 40 2.4.3 Các kì dị gấp vào bên miền dốc 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Phương trình vi phân không giải đạo hàm cấp cao (hay phương trình vi phân ẩn) xuất toán học mô tả tượng tự nhiên Chẳng hạn, phân tích trạng thái đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp mặt phẳng dạng hỗn hợp (xem [26], [18], [27]) nghiên cứu dáng điệu trường hướng đường tiệm cận bề mặt trơn không gian ba chiều (xem [8], [25], [12]) Vấn đề nghiên cứu phương trình vi phân ẩn bắt đầu tuyên bố vào đầu năm 1885 thi Thụy Điển quốc vương Oscar đệ nhị đề xuất Cuộc thi yêu cầu mô tả đường cong, đưa đến phương trình vi phân bao gồm không nghiên cứu dáng điệu đặc biệt đường cong pha trường véctơ, mà phân tích nghiệm đặc biệt đưa đến phương trình vi phân ẩn Từ vấn đề cần thiết phân tích dáng điệu nghiệm trơn phương trình vi phân, nhận dạng chuẩn tắc trơn phương trình vi phân hay họ đường cong pha với độ xác cho lựa chọn nhóm cải tiến Đối với trường véctơ trơn điển hình mặt phẳng, lý thuyết dạng chuẩn trơn hoàn thành chưa lâu nhận dạng chuẩn tắc quỹ đạo trơn yên ngựa không cộng hưởng (xem [4]) Trong trình nghiên cứu, tìm dạng chuẩn tắc phương trình vi phân không giải đạo hàm, kết phương trình điển hình lân cận điểm kì dị, với điểm kì dị mà đường cong trơn biệt thức, đến dạng chuẩn y = dy + kx dx phép vi đồng phôi mặt phẳng (x, y) (với đồng phôi đạt k = 1, , hay ) Phương trình điển hình với hàm số trơn F có dạng F (x, y, p) = 0, (1) dy , mặt trơn xác định không gian ba chiều dx 1−tia hàm số y(x) (với tọa độ x, y, p) bề mặt trơn Mặt p = gọi bề mặt phương trình (1) Ánh xạ gấp phương trình (1) gọi phép chiếu dọc theo trục p lên mặt phương trình (1) mặt phẳng (x, y) Điểm tới hạn gấp gọi điểm kì dị phương trình, điểm kì dị phương trình tạo thành criminant phương trình Phép chiếu criminant mặt phẳng (x, y) gọi biệt tuyến Mỗi điểm criminant phương trình có điểm tới hạn gấp lùi Whitney gấp phương trình (1) Trong không gian 1−tia xác định trường mặt phẳng tiếp xúc dy = pdx Điểm kì dị phương trình F = gọi quy, thỏa mãn điều kiện criminant trơn điểm rank((x, y, p) → (F, Fp )) = criminant không tiếp xúc điểm mặt phẳng tiếp xúc Dạng chuẩn p2 = x phương trình F = lân cận điểm kì dị quy phương trình tìm thấy, có lẽ là, đồng thời Dara L [15] Bruce I W., người mà sử dụng dạng p2 = xE(x, y), E hàm số trơn, nhận Thom R [26] Dara L nghiên cứu rằng, hàm F từ tập mở trù mật hầu khắp không gian hàm số với tôpô mịn C Whitney phương trình F = có điểm kì dị không quy năm dạng : yên ngựa gấp tốt, điểm nút gấp tốt, tiêu điểm gấp tốt, nếp gấp elliptic, nếp gấp hyperbolic Từ năm dạng điểm kì dị trên, ba dạng đầu gọi gấp tốt, hai dạng cuối gọi dạng đặc biệt Ba dạng đầu mô tả tương ứng Hình 1.8a-c Dara L trình bày giả thuyết rằng, phương trình (1) địa phương lân cận điểm kì dị gấp tốt tôpô tương đương nhận 1 p2 + χx2 χ < 0, < χ < , χ > tương ứng phương trình y = 4 với yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm, phương trình x = p3 − yp trường hợp nếp xếp elliptic, phương trình x = p3 + yp trường hợp nếp xếp hyperbolic Nội dung luận văn chủ yếu trình bày lại kết báo [14] số kiến thức liên quan tài liệu [12] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày vài ví dụ dẫn đến vấn đề nghiên cứu khái niệm hàm ẩn Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn Trong chương trình bày số định lý dạng chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày vài ví dụ dẫn đến vấn đề nghiên cứu định nghĩa khái niệm lý thuyết hàm ẩn 1.1 Các điểm kì dị đơn giản Xét hệ phương trình vi phân  dx   = P (x, y); dt   dy = Q(x, y) dt (1.1) Điểm (x0 , y0 ) mà P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = gọi điểm cân hệ (1.1) điểm kì dị Bây ta xét hệ vi phân tuyến tính với hệ số hệ phương trình  dx   = a11 x + a12 y; dt (1.2)   dy = a21 x + a22 y, dt a11 a12 = Điểm (0, 0) a21 a22 điểm cân hệ (1.2) Ta nghiên cứu đặc tính quỹ đạo hệ (1.2) lân cận điểm Ta tìm nghiệm dạng aij (i, j = 1, 2) số x = a1 ekt , y = a2 ekt (1.3) 33 x ≤ y ≤ 2x xác định ánh xạ liên tục đơn điệu a : (R+ , 0) → (R+ , 0) với tính chất a(4x) = 4a(x) Hơn nữa, họ đường chấn chấm biến hàm số hai biến Do đó, tương đương tôpô phương trình (1.8) có môđun phiếm hàm lân cận lùi elliptic Nhận xét Các lập luận tiến hành chứng minh trường hợp trơn giả thuyết Bruce Bruce I W sử dụng kết (xem [6]), rằng, họ quỹ đạo pha, phương trình (1.8) lân cận phép chiếu điểm kì dị gấp tiếp nhận ảnh phép chiếu mặt họ thiết diện đuôi chim én tiêu chuẩn R3 mặt hàm số tiêu chuẩn R3 (xem [9]) Giả thuyết Bruce xảy đôi ánh xạ (phép chiếu, hàm số) có môđun phép vi đồng phôi, bảo toàn đuôi chim én phép đồng phôi giới hạn hình quạt 2.2 Dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng Trong mục sử dụng kết Mục 2.1 hình thành phân lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp đặc trưng mặt phẳng 2.2.1 Dạng elliptic hyperbolic Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương trình (1.7) từ Mục 1.2.2 a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0, a, b, c hàm số vi phân, F1 hàm số đó, u hàm số cần tìm Phương trình (1.7) C k −điển hình phương trình với hệ số véctơ (a, b, c) từ tập mở trù mật hầu khắp nơi không gian véctơ tôpô mịn C k Whitney Giả sử ∆ = b2 − ac, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.6 ([14]) Cho phương trình (1.7) C −điển hình ta có d∆ = ∆ = Với hàm số điển hình ∆ bổ đề chứng minh với sử dụng định lý Sard (xem [16]) Tuy nhiên, trường hợp hàm số ∆ tính toán 34 theo ba hàm số khác, chứng minh bổ đề sử dụng định lý mạnh đường hoành (xem [5]) Vì vậy, phương trình (1.7) C −điển hình đường dạng thay đổi (trong định lý phương trình đạo hàm riêng, đường dạng thay đổi thường gọi đường parabolic đường suy biến) đường cong trơn mặt phẳng theo hướng từ đường phương trình miền elliptic phương trình (với ∆ < 0), theo hướng khác phương trình miền hyperbolic (với ∆ > 0) Định lý 2.9 Trong lân cận điểm thuộc miền elliptic hyperbolic phương trình (1.7) nhận dạng uxx + uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0, (2.9) uxx − uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0, (2.10) tương ứng, với lựa chọn thích hợp hệ tọa độ trơn với gốc điểm này, với phép nhân hàm số dương trơn Trong đó, hàm số F1 có lớp trơn hàm số F Chứng minh định lý xem tài liệu [10], trường hợp giải tích xem tài liệu [22] 2.2.2 Dạng chuẩn Cibrario Do Bổ đề 2.6 đường suy biến phương trình (1.7) C −điển hình đường cong trơn mặt phẳng Như làm sáng tỏ Mục 1.2.2 trường hướng đặc trưng phương trình (1.7) xác định trường trơn đường thẳng đường cong Định nghĩa 2.4 Điểm đường suy biến gọi điểm quy phương trình (1.7) trường đường thẳng không tiếp xúc với đường điểm Trường hợp ngược lại gọi điểm kì dị phương trình Định lý 2.10 (Cibrario) Phương trình (1.7) C −điển hình nhận lân cận điểm quy từ điểm quy phương trình (trên đường suy biến) dẫn đến phương trình yuxx + uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0, (2.11) 35 với lựa chọn thích hợp hệ tọa độ trơn với gốc điểm phép nhân hàm số dương trơn Như Định lý 2.9 hàm số F1 có lớp trơn hàm số F Chứng minh định lý trình bày nghiên cứu Cibrario Có thể nhận từ định lý hệ dạng chuẩn p2 = x phương trình vi phân ẩn cấp lân cận điểm kì dị quy phương trình Chứng minh định lý trình bày [3], [15] Nếu F = phương trình (2.11) trường hợp riêng phương trình Chaplygin K(y)uxx +uyy = 0, với K hàm số thỏa mãn điều kiện yK(y) > y = Phương trình đóng vai trò quan trọng phương trình mô tả trình chảy gần âm khí (xem [8]) 2.2.3 Dạng chuẩn lân cận điểm kì dị gấp Giống điểm kì dị gấp phương trình vi phân ẩn điển hình cấp 1, điểm kì dị phương trình (1.7) C −điển hình có dạng yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp Định nghĩa 2.5 Điểm kì dị phương trình (1.7) gọi C k −chuẩn, tồn điểm kì dị gấp phương trình đặc trưng C k −chuẩn Chỉ số điểm kì dị phương trình (1.7) số điểm kì dị gấp tương ứng Định lý sau suy trực tiếp Định lý 2.6 Định lý 2.11 ([13]) Phương trình (1.7) C −điển hình lân cận điểm kì dị gấp C ∞ −chuẩn với số α nhận phương trình uxx + (kx2 − y)uyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0, (2.12) α(α + 1)−2 + α2 với k = yên ngựa gấp điểm nút gấp k = 16 tiêu điểm gấp, lựa chọn hệ tọa độ tương ứng với gốc điểm nhân với hàm số dương trơn Nhận xét Với phương trình (1.7) C −điển hình tất điểm nút gấp tiêu điểm gấp C ∞ −chuẩn Tiếp xúc C ∞ −chuẩn yên ngựa gấp, đây, trường hợp với phương trình vi phân ẩn cấp đủ để điểm (1, α) điểm dạng (M, v) với số M > 36 α(α + 1)−2 v (xem Nhận xét Định lý 2.3) Ánh xạ α → k = phép vi đồng phôi khoảng (−∞, −1) đến khoảng (−∞, 0), độ đo tập hợp giá trị α không điểm dạng (M, v), M > v > Do đó, phương trình (2.12) dạng chuẩn phương trình (1.7) C −điển hình lân cận điểm kì dị gấp có số mũ điển hình (hay tham số điển hình k phương trình (2.12) tương ứng số mũ này) Với điều kiện phương trình (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) hoàn thành đầy đủ dạng chuẩn trơn phương trình (1.7) điển hình Chú ý rằng, với số tự nhiên n > tùy ý phương trình (2.12) dạng C n −chuẩn phương trình (1.7) C −điển hình lân cận điểm kì dị phương trình có dạng yên ngựa gấp, thay trơn hữu hạn tọa độ chuẩn hóa yên ngựa điển hình (xem [17]) Nếu giả thuyết vật lí tự nhiên, phương trình dạng (2.12) mô tả trình biến đổi sóng điện từ vào bên sóng plasma plasma dị hướng lạnh không hai chiều (xem [23]) Quá trình dòng chảy ga ống phun Laval mô tả phương trình tựa tuyến tính cấp (nghĩa hệ số a, b, c phương trình (1.7) phụ thuộc không biến x, y , mà phụ thuộc hàm số cần tìm đạo hàm thứ phương trình) (xem [8]) Phương trình biến đổi dạng đường âm vận tốc ga vận tốc âm Trong trường hợp này, họ đặc trưng phụ thuộc nghiệm có yên ngựa gấp (không phải ví dụ trường hợp dòng chảy âm với điểm nút gấp tiêu điểm gấp) Do đó, nghiệm mô tả dòng chảy trơn khí nghiệm trơn phương trình (1.7) với yên ngựa gấp Xét điểm kì dị C ∞ −chuẩn phương trình (1.7) Trong hệ tọa độ x, y với gốc O, tham số k dạng chuẩn (2.12) tính toán −(b2 − ac) φxx (0, 0) công thức k = , φ = đường suy biến φy (0, 0) a2 tiếp xúc tới trục hoành điểm 37 2.3 Dạng chuẩn chuyển động chậm phương trình tích thoát đường gián đoạn Trong mục áp dụng kết dạng chuẩn phương trình vi phân ẩn cấp nhận dạng chuẩn họ quỹ đạo chuyển động chậm phương trình dạng tích thoát Chúng ta nghiên cứu phương trình dạng tích thoát với q biến chậm hai chiều p biến nhanh chiều q˙ = εQ(q, p) + , (2.13) p˙ = P (q, p) + εR(q, p) + , (2.14) Q, P , R hàm số trơn, ε tham số nhỏ, dấu ba chấm số hạng cấp ε2 Véctơ (Q, P, R) gọi hệ Hệ điển hình điểm từ tập mở trù mật hầu khắp nơi không gian véctơ với tôpô mịn C Whitney Phương trình P (q, p) = định nghĩa bề mặt chậm hệ Bề mặt tập điểm dừng hệ (các điểm kì dị phương trình (2.13)) (2.14)) với ε = Cho hệ vi phân tổng quát dP khác O, với hàm số P tự triệt tiêu Với hệ bề mặt chậm đa tạp hai chiều trơn không gian biến q, p Ngoài ra, gấp hệ, nghĩa giới hạn ánh xạ (q, p) → q tới bề mặt chậm có điểm kì dị dạng gấp lùi Whitney Trong hệ tổng quát, trường véctơ (0, 1) (Q, R) cộng tuyến đường cong, đường cong mà đâm thủng bề mặt chậm điểm quy hệ gấp Ở đường cong nghiên cứu trường mặt phẳng hệ căng hai trường véctơ trường Trường mặt phẳng cắt trường hướng bề mặt chậm chuyển động chậm, đường cong tích phân gọi đường cong tích phân chuyển động chậm Chúng ta nghiên cứu kì dị họ đường cong lân cận điểm gián đoạn, nghĩa điểm tới hạn hệ gấp Trường mặt phẳng hệ tổng quát cấu trúc tiếp xúc (nghĩa trường mặt phẳng phép C ∞ −vi đồng phôi địa phương đến trường O dạng dy − pdx không gian 1−tia hàm số) 38 có bề mặt suy biến hai chiều trơn Hơn nữa, bề mặt hệ giao với đường điểm tới hạn hệ gấp điểm không điểm lùi không tiếp xúc hạt nhân đạo hàm giao điểm Giao điểm gọi điểm suy biến Do đó, với hệ tổng quát họ đường cong tích phân chuyển động chậm có xác kì dị giống đường gián đoạn điểm suy biến họ đường cong tích phân phương trình vi phân ẩn cấp điểm kì dị Từ ta có định lý sau (xem [2], [11]) Định lý 2.12 Cho hệ tổng quát phôi cặp (trường mặt phẳng hệ, bề mặt chậm hệ) điểm đường gián đoạn không điểm suy biến, nhận phép C ∞ −vi đồng phôi phân thớ không gian biến chậm, đến phôi cặp (mặt phương trình điển hình (1.8); trường O dạng dy − pdx) điểm kì dị phương trình Chú ý rằng, cho hệ điển hình, định lý không phân lớp kì dị chuyển động chậm đường gián đoạn mà điểm suy biến chuẩn hóa trường mặt phẳng hệ lân cận điểm kì dị Dạng chuẩn họ đường cong tích phân chuyển động chậm hệ điển hình lân cận điểm kì dị nhận Arnold V I Định lý 2.13 Cho hệ điển hình, ảnh phôi điểm suy biến họ đường cong tích phân chuyển động chậm hệ gấp phép C ∞ −vi đồng phôi đến phôi O họ ảnh đường mức hàm số f (u, v) = u + uv + v với ánh xạ gấp Whitney (u, v) → (x = u, y = v ) Nói cách khác, bề mặt biến chậm quỹ đạo chuyển động chậm viết hệ địa phương phù hợp tọa độ dương trơn dạng x ± xy ± y số lân cận điểm kì dị Nhận xét Mối liên hệ phương trình ẩn phương trình dạng tích thoát nhận Taken F [25] Arnold V I nhận loạt điểm kì dị điển hình đường gián đoạn chuyển động chậm hệ hệ số (xem [2], [7]) Chú ý rằng, hướng chuyển động khác phương trình ẩn quỹ đạo chuyển động chậm xác định 39 ảnh tự nhiên Với điều điểm quy hệ gấp véctơ P, Q cần chiếu dọc theo biến nhanh mặt phẳng tiếp xúc điểm qua quỹ đạo điểm chuyển động chậm Nhận kết véctơ từ phép chiếu tiếp xúc điểm qua quỹ đạo điểm chuyển động chậm Nó véctơ chứng tỏ hướng chuyển động dọc Chẳng hạn, bề mặt chậm họ quỹ đạo chuyển động chậm tương ứng đến điểm kì dị gấp khác biệt, mô tả Hình 1.5a-c biến đổi hướng chuyển động đường gạch nét đường liền nét 2.4 Các kì dị biên bất đẳng thức vi phân điển hình mặt Trong Mục 1.3.3 quan sát xuất yên ngựa gấp điểm nút gấp kì dị họ đường giới hạn bất đẳng thức vi phân biên miền dốc bất đẳng thức Các kì dị (cùng với điểm nút gấp) kì dị điển hình họ đường giới hạn hệ điều khiển mặt Cho hệ điều khiển điển hình kì dị xuất biên miền dốc kì dị (hoặc biên vùng điều khiển hoàn toàn, hệ điển hình biên trùng nhau) Trong khác biệt hệ điều khiển điểm kì dị gấp họ đường giới hạn bất đằng thức vi phân điển hình gặp (ngoại trừ điểm biên vùng điều khiển hoàn toàn) điểm miền dốc điểm biên miền xác định bất đẳng thức Trong mục đưa hai ví dụ xuất kì dị gấp 2.4.1 Các định nghĩa Bất đẳng thức vi phân F (z, z) ˙ ≤ 0, với z = (x, y) điểm mặt phẳng M Cho hàm số trơn F điểm mặt phẳng, bất đẳng thức có tập hợp nghiệm bị chặn (trong mặt phẳng tiếp xúc) Chúng ta đồng tập hợp bất đẳng thức với không gian hàm số trang bị tôpô mịn C Whitney Bất đẳng thức vi phân điển hình hay bất đẳng thức vi phân trường hợp tổng quát tập mở trù mật 40 hầu khắp không gian tôpô tương ứng Vận tốc v ∈ Tz M gọi đạt điểm z F (z, v) ≤ Sự xác định miền bất đẳng thức vi phân nghĩa tập hợp điểm mặt phẳng với vận tốc cho phép Miền dốc bất đẳng thức vi phân gồm tất điểm, điểm mà bao tuyến tính dương tập hợp cho phép vận tốc không bảo toàn vận tốc O Ví dụ 2.2 Cho bất đẳng thức vi phân (x˙ − v(x, y))2 + (y˙ − ω(x, y))2 ≤ f (x, y) (2.15) miền xác định bất đẳng thức f (x, y) ≥ 0, miền dốc xác định v (x, y) + ω (x, y) > f (x, y) ≥ Một trường hai giá trị hướng giới hạn xác định miền dốc bất đẳng thức vi phân, đường cong tích phân hướng giới hạn gọi đường giới hạn (xem Mục 1.3.3) 2.4.2 Các kì dị gấp miền giới hạn xác định Trong biển phẳng biến x, y nghiên cứu người bơi bị dòng nước với trường vận tốc (v, ω) Giả sử khả người bơi đối lập lại dòng nước (sức mạnh người bơi) phụ thuộc điểm mặt phẳng Một cách xác, giả sử hình vuông vận tốc lớn (trong dòng nước đứng theo hướng tùy ý) điểm không vượt giá trị điểm hàm số trơn f Do đó, khả người bơi mô tả bất đẳng thức vi phân (2.15), nghiên cứu không gian bất đẳng thức dạng với tôpô cảm sinh không gian bất đẳng thức tôpô Trường hợp bất đẳng thức điển hình xác định tương tự Với bất đẳng thức điển hình (2.15) vi phân hàm số f khác không tất điểm mà hàm số tự triệt tiêu Do đó, biên miền xác định bất đẳng thức điển hình đường cong trơn mặt phẳng Hơn nữa, bất đẳng thức điển hình với hàm số v, ω , f đồng thời triệt tiêu, nghĩa trường nước điểm kì dị biên miền xác định điểm biên Đây vận tốc thực giá trị trường nước điểm Nói chung, trường quay chuyển động 41 dọc theo biên miền xác định Do đó, trường hợp bất đẳng thức điển hình đạt tới biên số điểm với tiếp xúc bậc Các điểm tiếp xúc gọi điểm kì dị biên miền xác định, điểm lại biên gọi điểm quy Định lý 2.14 Cho bất đẳng thức vi phân điển hình (2.15) phôi họ đường giới hạn điểm z biên miền xác định phép C ∞ −vi đồng phôi dẫn đến phôi O Họ đường cong tích phân phương trình (y )2 = x, z điểm quy biên Họ đường cong tích phân phương trình (y + a(x, y))2 = yb(x, y), với a, b hàm số trơn, b(0, 0) = 1, a(0, 0) = = ax (0, 0) = , z điểm kì dị biên Tại điểm kì dị biên miền xác định họ đường giới hạn yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp tương ứng với ax (0, 0) < 1 0, < ax (0, 0) < , < ax (0, 0) Chúng ta không nêu chứng minh 8 Định lý 2.14 Trường mở trường hướng phương trình vi phân ẩn cấp Chứng minh kết thúc ứng dụng định lý xây dựng phương trình Người bơi chuyển động dọc theo đường giới hạn với vận tốc liên quan tới trường vận tốc giới hạn Như vậy, hướng tự nhiên chuyển động trường Hình 1.5a-c chứng minh dáng điệu họ đường lân cận điểm kì dị gấp, hướng chuyển động biến đổi ngược lại đường gạch nét đường liền nét Các yên ngựa gấp điểm nút gấp đưa đến kì dị biên bất đẳng thức vi phân, kì dị ổn định với nhiễu nhỏ bất đẳng thức tập hợp ban đầu Ví dụ 2.3 Nếu (u, ω) = (1, −kx), với k ∈ R f (x, y) = y , bất đẳng thức (2.15) có dạng (x − 1)2 + (y˙ + kx)2 ≤ y (2.16) Miền xác định bất đẳng thức trùng với bao đóng nửa mặt phẳng phía trên, biên miền trục hoành Ngoại trừ điểm O, tất 42 điểm trục hoành điểm quy biên, O điểm kì dị bất đẳng thức Họ đường giới hạn phương trình (2.16) có O yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp, tương ứng với 1 k < 0, < k < , < k Trong trường hợp yên ngựa 8 điểm nút, điểm nằm biên đường thẳng y = lấy tập hợp ban đầu Biên có kì dị điểm này, nghĩa không trơn Có thể thấy rằng, tượng quan sát ổn định liên quan đến nhiễu nhỏ tập hợp ban đầu bất đẳng thức vi phân 2.4.3 Các kì dị gấp vào bên miền dốc Ví dụ 2.4 Xét hàm số trơn ψ đường thẳng, đoạn [−1, 1], đoạn [−2, 2], đơn điệu nghiêm ngặt đoạn [−2, −1] [1, 2] Tại điểm điểm mặt phẳng tập hợp vận tốc thực bất đẳng thức φ(x˙ + (y˙ − 100 − 2(kx)2 − 2y )2 )[x˙ + (y˙ − 100 − 2(kx)2 − 2y )2 − 1]+ + (1 − φ(x˙ + (y˙ − 100 − 2(kx)2 − 2y )2 ))[(x˙ − 1)2 + (y˙ + kx)2 − y] ≤ (2.17) hợp tập hợp vận tốc đạt điểm hai bất đẳng thức x˙ + (y˙ − 100 − 2(kx)2 − 2y )2 ≤ 1, (2.18) (x˙ − 1)2 + (y˙ − kx)2 ≤ y (2.19) Thấy rằng, O thuộc miền dốc bất đẳng thức (2.17) Xét họ đường giới hạn hướng nhỏ (như góc mặt phẳng tính ngược chiều kim đồng hồ) Họ trùng với họ đường giới hạn hướng nhỏ bất đẳng thức (2.18) nửa mặt phẳng phía bất đẳng thức (2.19) bao đóng nửa mặt phẳng phía Vì vậy, lân cận O nửa mặt phẳng phía họ đường giới hạn hướng nhỏ với bất đẳng thức lân cận O có nửa kì dị gấp, = k = Hình 2.3 mô tả dáng điệu lân cận O họ đường giới hạn bất đẳng thức < k < , nghĩa trường hợp điểm nút gấp Trên hình vẽ đường liền nét 43 Hình 2.3: đường gạch nét hình biểu diễn đường giới hạn hướng nhỏ lớn tương ứng đường đôi trục hoành Điểm A đủ gần O nằm nửa trục x âm đủ đóng tới không Biên quỹ đạo dương điểm tùy ý đủ đóng gần A qua O có điểm kì dị Hiện tượng ổn định với nhiễu nhỏ tương ứng bất đẳng thức vi phân điểm ban đầu Nhận xét Vấn đề nghiên cứu nhận tập hợp họ đường giới hạn bất đẳng thức vi phân điển hình, công thức xác định Myshkis A D [21] Chúng ta giải toán với hệ điều khiển điển hình Ứng dụng dạng chuẩn phương trình vi phân ẩn dẫn đến dáng điệu giải tích họ đường tiệm cận lân cận điểm parabolic mặt điển hình Ví dụ, phôi mặt điển hình số điểm đường điểm parabolic nhận phép chiếu ánh xạ (ánh xạ bảo toàn họ đường tiệm cận) đến phôi O mặt phẳng z = y + yx2 + Ax4 + o((x2 + y )2 ) với A số (xem [20]) Trên mặt cuối O yên ngựa gấp, tiêu điểm gấp, điểm nút gấp 1 25 25 [...]... thứ hai 20 Chương 2 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn Trong chương này các dạng chuẩn là tìm thấy bởi một phương trình vi phân điển hình không giải được đối với đạo hàm trong lân cận của điểm kì dị Kết quả chính là trong lân cận của mỗi một điểm kì dị điểm mà đường cong biệt thức là trơn, phương trình là rút gọn theo dạng chuẩn 2 dy y = + kx dưới một vi đồng phôi của mặt phẳng với các... chuẩn tắc Điểm kì dị gấp của phương trình (1.8) là dạng C ∞ chuẩn nếu nó là một điểm kì dị C ∞ chuẩn của trường hướng của phương trình Khi đó nhận được các kết quả sau Định lý 2.6 ([14]) Ảnh của phôi của họ các đường cong tích phân của phương trình (1.8) tại điểm kì dị gấp C ∞ chuẩn là yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm nếu ánh xạ gấp của phương trình này là phép C ∞ vi đồng phôi đi đến phôi tại O của. .. một điểm tới hạn gấp của phương trình Các điểm khác của phương trình mặt gọi là các kì dị dạng criminant 14 Định nghĩa 1.5 Tập hợp của các điểm tới hạn gấp của phương trình ẩn gọi là criminant của phương trình Đối với một phương trình ẩn điển hình, mỗi điểm tới hạn của phương trình gấp (nghĩa là một điểm trên criminant) là một gấp Whitney, hay một điểm lùi Whitney (hay nếp gấp) Trong một lân cận của. .. cấp 0 của hàm số trơn trong không gian của các hướng trên mặt phẳng, mặt phẳng được gọi là mặt của phương trình Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát là phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi nào đó của tập hợp trong không gian tôpô được lựa chọn Giả sử rằng không gian của phương trình vi phân ẩn trong hệ tôpô trơn Whitney Định nghĩa 1.3 Giới hạn trên mặt của phép chiếu tiêu chuẩn dọc... gradient của nó tác động bốn điều kiện độc lập lên điểm trong không gian ba chiều và vì đây là hiện tượng tương tự không được nghiên cứu đối với một phương trình điển hình Nói chung, một phương trình ẩn xác định một mặt trơn trong không gian của các ẩn x, y, p của không gian này được gọi là không gian các 1−tia của các hàm số y(x), và mặt gọi là mặt của phương trình Định nghĩa 1.2 Phương trình vi phân ẩn. .. nhận xét của Mục 2.1.1 và 2.1.2 Ví dụ, với phương trình điển hình (1.8) tất cả các điểm nút gấp và các tiêu điểm gấp của phương trình là các C ∞ chuẩn kx2 2 Thay thế các tọa độ x ˜ = x, y˜ = 2 y + dẫn đến dạng chuẩn 2 p2 + χx2 2 (p + kx) = y trong dạng chuẩn y = với χ = 2k Dara A đưa ra 2 1 dạng chuẩn tôpô với yên ngựa k < 0, điểm nút 0 < k < , và tiêu điểm 8 1 < k 8 3 Phương trình vi phân của họ các... chứng minh của các Định lý 2.5 và 2.8 2.1.3 Các điểm kì dị gấp và lùi Một ánh xạ gấp của phương trình (1.8) được xác định bởi phép đối hợp gấp của phương trình trong lân cận của điểm tới hạn gọi là một gấp Whitney Trên mặt của phương trình, phép đối hợp hoán vị các điểm mà ảnh dưới ánh xạ gấp của phương trình trùng nhau Điểm kì dị không chính quy của phương trình (1.8), tại điểm mà phương trình gấp... điều kiện của định lý Phương trình này có dạng dη A(ξ, η) − 2C(ξ, η) dξ 2 dη = η 2D(ξ, η)) − B(ξ, η) dξ 2 Định lý 2.5 được chứng minh Định nghĩa 2.3 Điểm kì dị không chính quy của phương trình (1.8) là nếp xếp Whitney của phương trình gấp được gọi là điểm kì dị lùi hay kì dị lùi của phương trình này Phôi của mặt của phương trình (1.8) tại điểm là kì dị lùi của phương trình trùng với phôi tại O của mặt... dị của tập hợp y = |x| tại O (Hình 1.10) Hình 1.10: Định nghĩa 1.8 Hai sự biến dạng (của phôi) của phương trình ẩn gọi là tương đương trơn nếu hai sự biến dạng tạo thành một trong phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi của phép vi đồng phôi trơn) Định nghĩa 1.9 Sự biến dạng (của phôi) của phương trình vi phân ẩn gọi là quy nạp từ phôi khác nếu phôi thứ nhất từ các phôi nhận được ánh xạ trơn của. .. (x ± y)2 + α2 y ; còn α là số mũ của điểm kì dị (chỉ số của đường cong trong nghịch ảnh và trong ảnh có thể lựa chọn giống nhau) Phôi của phương trình F = 0 tại điểm trên mặt của phương trình gọi là phép C k vi đồng phôi dẫn đến phôi của phương trình F1 = 0 tại một điểm trên mặt của phương trình sau cùng, nếu tồn tại phép C k vi đồng phôi của các lân cận các phép chiếu của các điểm này trên mặt phẳng