BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN CẤP MỘT

MỤC LỤC ` MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp xuất nhiều lĩnh vực lý thuyết vật lý, động lực học (với phép biến đổi tắc), học liên tục (với luật bảo tồn khối lượng, mơ-men, lượng…) quang học (khi mơ tả mặt sóng âm) Nói chung, tính phi tuyến gây nhiều khó khăn cho việc tìm cơng thức biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn “Biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một” này, tìm hiểu kỹ thuật khác nhà toán học sử dụng để đưa biểu diễn nghiệm (địa phương tồn cục) phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Mục tiêu nghiên cứu Tôi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức cũ biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp để trình bày lại kiến thức luận văn hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường đại học Trong chương luận văn này, nghiên cứu tích phân đầy đủ kỹ thuật bao hình, phương pháp đặc trưng tìm nghiệm địa phương phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Trong chương 2, ta khảo sát phương pháp biến phân vấn đề biểu diễn nghiệm tồn cục phương trình Hamilton – Jacobi luật bảo toàn ` Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Cách giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu đề tài Bố cục đề tài Mở đầu Chương 1: Kỹ thuật bao hình phương pháp đặc trưng 1.1 Tích phân đầy đủ, bao hình 1.2 Phương pháp đặc trưng Chương 2: Phương trình Hamilton – Jacobi luật bảo tồn 2.1 Phương trình Hamilton – Jacobi 2.2 Luật bảo toàn Kết luận Tài liệu tham khảo Tổng quan tài liệu nghiên cứu Trong tài liệu nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp tổng quát dạng F(Du,u,x) = 0, x ∈U U tập mở ¡ n Ở F : ¡ n × ¡ ×U → ¡ ` hàm cho trước, u : U → ¡ ẩn hàm, u = u(x) Ghi Ta viết F = F(p,z,x)=F(p1,…,pn,z,x1,…,xn) với p ∈ ¡ n , z ∈ ¡ , x ∈U Vì “p” tên của biến ta thay cho gradient Du(x), “z” biến thay cho u(x) Ta giả sử từ sau F hàm trơn, đặt  D p F = ( Fp1 , , Fpn )   Dz F = Fz  D F = ( F , , F ) x1 xn  x □ Chúng ta quan tâm đến việc tìm nghiệm u phương trình đạo hàm riêng F(Du,u,x)=0 tập U, thông thường đưa điều kiện biên u = g Γ , Γ vài tập cho trước ∂U g : Γ → ¡ hàm số qui định Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp xuất nhiều lý thuyết vật lý, chủ yếu động lực học (tạo phép biến đổi hợp qui tắc), học liên tục (ghi lại bảo toàn khối lượng, động lượng, lượng, ) quang học (mơ tả sóng trước) Tuy tính phi tuyến mạnh thường ngăn cản việc tìm cơng thức đơn giản cho nghiệm phương trình, song ý thường sử dụng phép tính để lượm lặt thông tin chi tiết rõ ràng nghiệm Các kĩ thuật đề cập mục 1.1 1.2, cục tiêu biểu Trong mục 2.1 2.2 nghiên cứu trường hợp quan trọng phương trình Hamilton – Jacobi luật bảo tồn chuyển hóa xác tồn cơng thức biểu diễn cho nghiệm khơng xác định thích hợp ` CHƯƠNG KỸ THUẬT BAO HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG 1.1 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ, BAO HÌNH 1.1.1 Tích phân đầy đủ Chúng ta bắt đầu phân tích phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp F ( Du , u , x) = (1.1.1) việc mô tả vài lớp nghiệm đơn giản sau học cách xây dựng từ chúng nghiệm phức tạp Trước hết giả sử A tập mở ¡ n Giả sử với tham số a=(a1, ,an)∈ A ta có nghiệm u=u(x ;a) thuộc lớp C2 phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) Ghi Ta viết (1.1.2)  ua1 u x1a1 K u xn a1   ÷ ( Dau, Dxa u ) := M M O M ÷  u u x1an K uxn an ÷÷  an  n×( n +1) □ ĐỊNH NGHĨA Một hàm u = u(x;a) thuộc lớp C2 gọi tích phân đầy đủ U × A (i) u(x;a) thỏa phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) với a ∈ A (ii) rank( Da u, Dxa u) = n ( x ∈U , a ∈ A) Nhận xét Điều kiện (ii) bảo đảm u(x;a) “phụ thuộc vào tất n tham số độc lập a1, ,an” Để hiểu điều này, ta giả sử B ⊂ ¡ n −1 tập mở, với b ∈ B giả sử v = v(x;b) ( x ∈U ) nghiệm (1.1.1) Giả sử tồn ánh xạ ϕ : A → B,ϕ = (ϕ1, ,ϕ n −1 ) thuộc lớp C1, cho (1.1.3) u ( x; a) = v( x;ϕ (a)) ( x ∈U , a ∈ A) ` Tức là, ta giả sử hàm u(x;a) “thực phụ thuộc vào n-1 tham số b1, …,bn-1” Nhưng mặt khác n −1 u xi a j ( x; a ) = ∑ vxi bk ( x;ϕ (a))ϕak j (a ) (i,j = 1,…,n) k =1 Do det( Dxa u) = n −1 ∑ k1 , ,kn =1 vx1b vxnb k1 kn  ϕk1  a1 det   k ϕa1n  K O K ϕakn1 ÷ ϕaknn ÷= ÷ ÷  với số chọn k1, , kn ∈ {1,…,n – 1}, có hàng ma trận tương ứng Khi n −1 ua j ( x; a ) = ∑ vbk ( x;ϕ ( a))ϕ ak j (a ) k =1 ( j = 1, , n) , tương tự ta có định thức ma trận cấp n × n ( Dau , Dxa u) không, ma trận có hạng hồn tồn nhỏ n □ Ví dụ Phương trình Clairaut hình học vi phân phương trình đạo hàm riêng x ×Du + f ( Du ) = u , (1.1.4) f : ¡ n → ¡ hàm cho trước Một tích phân đầy đủ (1.1.5) u ( x; a) = a ×x + f (a ) ( x ∈U ) 1 L  Vì Du = a, Da u = ( x1 + f a1 , , xn + f an ), D u =  O 0 L  xa với a ∈ ¡ n 0 ÷ ÷ nên điều kiện (i) 1÷  (ii) thỏa mãn □ Ví dụ Phương trình ảnh quang hình phương trình dạo hàm riêng (1.1.6) Du = Một tích phân đầy đủ ` u ( x; a, b) = a ×x + b (1.1.7) ( x ∈U ) với a ∈∂B (0;1), b ∈ ¡ Du = a ∈ ∂B (0;1) ⇒| Du |= thỏa (i) Vì L 0 ÷ O ÷ thỏa (ii) L 1÷ ÷ L 0 1  D( a ,b ) u = ( x1 , , xn ,1) , Dx ( a ,b ) u =  0  0 □ Ví dụ Phương trình Hamilton – Jacobi dạng đơn giản học phương trình đạo hàm riêng ut + H ( Du ) = 0, (1.1.8) H : ¡ n → ¡ Ở u phụ thuộc vào x = ( x1, , xn ) ∈ ¡ n t ∈ ¡ Như trên, ta vừa đặt t = xn +1 viết Du = Dxu = (u x1 , , u xn ) Một tích phân đầy đủ (1.1.9) u ( x, t ; a, b) = a ×x − tH (a ) + b ( x ∈ ¡ n , t ≥ 0) a ∈ ¡ n , b ∈ ¡ Ta có Du = a, ut = − H (a ) = − H ( Du ) ⇒ ut + H ( Du ) = thỏa (i) 1  x1 − tH a1  0  ÷  M  ÷ , Dx ( a ,b ) u =  M Và D( a ,b ) u =  x n − tH an ÷   ÷ 0 1 ÷ 0    L 0 ÷ L ÷ O ÷ thỏa (ii) ÷ L 0÷ L 0÷  □ 1.1.2 Nghiệm từ bao hình Tiếp theo ta chứng minh cách xây dựng nghiệm phức tạp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp (1.1.1), nghiệm phụ thuộc vào hàm tùy ý n – biến, không với n tham số Ta xây dựng nghiệm bao hình tích phân đầy đủ hoặc, tổng quát hơn, họ m tham số khác nghiệm ` ĐỊNH NGHĨA Cho u = u ( x; a) hàm thuộc lớp C1 x ∈U , a ∈ A , U ⊂ ¡ (1.1.10) n A ⊂ ¡ m tập mở Xét phương trình vectơ Dau ( x; a ) = ( x ∈U , a ∈ A) Giả sử ta giải (1.1.10) tìm tham số a hàm thuộc lớp C1 x, a = φ ( x); (1.1.11) (1.1.12) Dau ( x;φ ( x)) = ( x ∈U ) v( x) := u ( x;φ ( x)) ( x ∈U ) Khi ta gọi (1.1.13) bao hình họ hàm { u (×; a )} a∈A Bằng hình thành bao hình ta xây dựng nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: ĐỊNH LÝ (Việc xây dựng nghiệm mới) Với a ∈ A giả sử u = u (×; a) thỏa phương trình đạo hàm riêng (1.1.1), bao hình v, định nghĩa theo (1.1.12) (1.1.13) trên, tồn hàm thuộc lớp C Khi v thỏa phương trình (1.1.1) Bao hình v định nghĩa đơi gọi tích phân kì dị (1.1.1) Chứng minh Ta có v( x) = u ( x;φ ( x)) ; với i = 1,…,n vxi ( x) = u xi ( x;φ ( x)) + = u xi ( x;φ ( x)), m ∑ ua j =1 j ( x;φ ( x))φ xj ( x) i theo (1.1.12) Vì với x ∈U , F ( Dv( x), v( x), x) = F ( Du ( x;φ ( x)), u ( x;φ ( x)), x) = □ Nhận xét Ý nghĩa hình học với x ∈U , đồ thị v tiếp xúc với đồ thị u (×; a) với a = φ ( x) Vì Dv = Dxu (×; a ) x, với a = φ ( x) ` □ Ví dụ Xét phương trình đạo hàm riêng ( u + Du (1.1.14) ) = Một tích phân đầy đủ ( u ( x, a ) = ± − x − a ) 1/2 ( x − a < 1) Ta tính Da u = ±( x − a) (1− x − a ) 1/ =0 với điều kiện a = φ ( x) = x Vì v ≡ ±1 tích phân kì dị (1.1.14) □ Để tìm thêm nhiều nghiệm (1.1.1) từ tích phân đầy đủ, ta biến đổi cấu trúc Chọn tập mở A ' ⊂ ¡ n −1 hàm h : A ' → ¡ thuộc lớp C1 tùy ý, cho đồ thị h nằm A Ta viết a = ( a1, , an ) = (a ', an ) với a ' = (a1, , an −1 ) ∈ ¡ n −1 ĐỊNH NGHĨA Tích phân tổng quát (phụ thuộc vào h) bao hình v’=v’(x) hàm u '( x; a ') = u ( x; a ', h(a ')) ( x ∈U , a ' ∈ A ') , cho bao hình tồn hàm thuộc lớp C1 Nói cách khác, tính tốn bao hình ta giới hạn với tham số a dạng a = ( a ', h(a ')), với hàm h chọn cụ thể Nhận xét (i) Theo từ tích phân đầy đủ, phụ thuộc vào n số tùy ý a1, …,an, ta xây dựng (mỗi cấu trúc thực hiện) nghiệm phụ thuộc vào hàm h n – biến (ii) Từ ta tin ta tìm nghiệm (1.1.1) phụ thuộc vào hàm h bất kỳ, ta tìm tất nghiệm ` (1.1.1) Tuy nhiên điều khơng Giả sử phương trình đạo hàm riêng có cấu trúc F ( Du , u , x ) = F1 ( Du , u , x ) F2 ( Du , u , x ) = Nếu u1 ( x, a ) tích phân đầy đủ phương trình đạo hàm riêng F1 ( Du, u, x) = , ta tìm tích phân tổng qt tương đương với hàm h Ngồi nghiệm nghiệm F2 ( Du, u , x) = nghiệm phương trình (1.1.1) □ Ví dụ Một dạng khác tích phân đầy đủ phương trình ảnh Du = với n = u ( x; a) = x1 cos a1 + x2 sin a1 + a2 (1.1.15) Thật Du = (cos a1 ,sin a1 ) ⇒| Du |= Và  − x sin a1 + x2 cos a1 ( Da u, Dxa2 u ) =  1 ( x, a ∈ ¡ ) − sin a1 cos a1  ÷  Ta đặt h ≡ ( a2 = h(a1 ) = ), u '( x; a1 ) = x1 cos a1 + x2 sin a1 đại diện cho họ miền nghiệm Du = , mà đồ thị chúng qua điểm (0,0,0) ∈ ¡ Khi ta tính bao hình cách viết Da1 u ' = − x1 sin a1 + x2 cos a1 = ⇒ x2 = x1 tan a1 Vì a1 = arc tan x2 , x1 v '( x) = x1cos(arctan = x1cos(arctan = x1 cos(arctan x2 x ) + x2 sin(arctan ) x1 x1 x2 x x ) + x1 tan(arctan )sin(arctan ) x1 x1 x1 x2 ) x1 ` 83 ε bε ( x, t ) := ∫0 F ′(ru ε ( x, t ) + (1 − r )u% ( x, t )) dr Khi (2.2.38) trở thành (2.2.42) ∞ ∞ = ∫0 ∞ ∞ ∫−∞ w[vt + bε vx ]dxdt + ∫0 ∫−∞ w[b − bε ]dxdt Bây ta chọn T > hàm trơn ψ : ¡ × (0, T ) → ¡ với giá compact Ta chọn v nghiệm toán giá trị cuối phương trình dịch chuyển tuyến tính sau đây: ε ε vt + bε vx = ψ ¡ × (0, T )  v = ¡ × {t = T }  (2.2.43) Ta giải (2.2.43) phương pháp phương trình đặc trưng Để làm việc này, ta cố định x ∈ ¡ , ≤ t ≤ T , biểu thị xε (×) nghiệm phương trình vi phân thường  x&ε ( s ) = bε ( xε ( s ), s ) ( s ≥ t )   xε (t ) = x, (2.2.44) đặt T vε ( x, t ) := − ∫t ψ ( xε ( s), s ) ds ( x ∈ ¡ ,0 ≤ t ≤ T ) (2.2.45) Khi vε trơn nghiệm (43) Vì | bε | giới hạn ψ có giá compact, vε có giá compact ¡ × [0, T ) Ta khẳng định s > 0, tồn số Cs cho vεx ≤ Cs ¡ × (s,T) (2.2.46) Để chứng minh điều này, trước tiên lưu ý < s ≤ t ≤ T , (2.2.47) ε ε bε , x ( x, t ) = ∫0 F ′′( ru ε + (1 − r )u% )(ru εx + (1 − r )u% x ) dr ≤ (2.2.41), F lồi ` C C ≤ t s 84 Tiếp theo, đạo hàm phương trình đạo hàm riêng (2.2.43) x: vtxε + bε vεxx + bε , x vεx = ψ x (2.2.48) Đặt a( x, t ) := eλ t vεx ( x, t ), với λ= (2.2.49) C + s Khi at + bε ax = λ a + eλ t [vεxt + bε vxx ] = λ a + eλ t [ − bε , x vεx + ψ x ] (2.2.48) (2.2.50) =[λ − bε , x ]a + eλ tψ x Vì vε có giá compact, a đạt cực đại khơng âm ¡ × [s, T ] hữu hạn điểm ( x0 , t0 ) Nếu t0 = T , vx = Nếu ≤ t0 < T , at ( x0 , t0 ) ≤ 0, a x ( x0 , t0 ) = Do phương trình (2.2.50) cho ta [λ − bε , x ]a + eλ t0ψ x ≤ ( x0 , t0 ) (2.2.51) Nhưng bε , x ≤ C λ cho (2.2.49), bất đẳng thức (2.2.51) dẫn đến s a ( x0 , t0 ) ≤ −eλ t0ψ x ≤ eλT ψ x L∞ Lý luận tương tự cho a( x1 , t1 ) ≥ −eλT ψ x L∞ điểm ( x1 , t1 ) a đạt cực tiểu khơng dương Hai ước tính định nghĩa a dẫn đến (2.2.46) Ta cần bất đẳng thức nữa, cụ thể (2.2.52) ∞ ε ∫−∞ vx ( x, t ) dx ≤ D với ≤ t ≤ τ vài số D, miễn τ đủ nhỏ ` 85 Để chứng minh điều này, chọn τ > nhỏ để ψ = ¡ × (0,τ ) Khi ≤ t ≤ τ , từ (2.2.45) ta thấy v dọc theo đường cong đặc trưng xε (×) (thỏa (2.2.44)) t ≤ s ≤ τ Chọn phân hoạch x0 < x1 < < xN Khi y0 < y1 < < y N , yi := xi ( s ) (i = 1, , N ) với  x&ε ( s ) = bε ( xε ( s ), s ) (t ≤ s ≤ τ )   xε (t ) = xi Vì vε dọc theo đường cong đặc trưng xi (×) , ta có N ∑v i =1 ε N ε ( xi , t ) − v ( xi −1 , t ) = ∑ vε ( yi ,τ ) − vε ( yi −1 ,τ ) i =1 ≤ var vε (×,τ ), “var” biểu thị cho biến phân x Lấy supremum tất phân hoạch, ta tìm ∞ ε ∫−∞ vx ( x, t ) dx = var v ε ∞ (×, t ) ≤ var vε (×,τ ) = ∫−∞ vεx ( x,τ ) dx ≤ C , vε có giá ước lượng (2.2.41) có giá trị s = τ Cuối cùng, ta hoàn thành việc chứng minh cách đặt v = vε (2.2.42) thay thế, sử dụng (2.2.43): ∞ ∞ ∫0 ∞ ∞ − b]vεx dxdt T ∞ − b]vεx dxdt + ∫0 ∫−∞ w[bε − b]vεx dxdt ∫−∞ wψ dxdt = ∫0 = ∫τ ∫−∞ w[bε ∫−∞ w[bε τ ∞ =: Iτε + Jτε Khi theo (2.2.40), (2.2.46), định lí Sự hội tụ bị chi phối [1, tr 648], Iτε → ε → với τ > Ngoài ra, < τ < T , ta thấy ∞ Jτε ≤ τ C max ∫−∞ vεx dx ≤ τ C , (52) ≤ t ≤τ ` 86 Vì ∞ ∞ ∫0 ∫−∞ wψ dxdt = với tất hàm trơn ψ trên, w = u − u%= hầu khắp nơi.□ 2.2.4 Bài toán Riemann Bài toán giá trị ban đầu (2.2.1) với hàm ban đầu không đổi khoảng (hàm bậc thang) (2.2.53) u x < g ( x) =  l ur x > gọi toán Riemann luật bảo tồn vơ hướng (2.2.1) Ở ul , ur ∈ ¡ trạng thái ban đầu bên trái bên phải, ul ≠ ur Ta tiếp tục giả sử F lồi thuộc lớp C2, trước ta viết G = ( F ′) −1 ĐỊNH LÍ (Nghiệm tốn Riemann) (i) Nếu ul > ur , nghiệm entropy toán Riemann (2.2.1), (2.2.53) (2.2.54) x  ul t < σ u ( x, t ) :=  ( x ∈ ¡ , t > 0), x u >σ  r t (2.2.55) σ := F (ul ) − F (ur ) ul − ur (ii) Nếu ul < ur , nghiệm entropy toán Riemann (2.2.1), (2.2.53) ` 87   ul   x (2.2.56) u ( x, t ) := G  ÷  t   ur  x < F ′(ul ) t x F ′(ul ) < < F ′(ur ) t x > F ′(ur ) t ( x ∈ ¡ , t > 0) x=σt u=ul u=ur Sóng xung kích thỏa tốn Riemann’s ul > ur Nhận xét (i) Trong trường hợp trạng thái ul ur phân tách sóng xung kích với số vận tốc σ Trong trường hợp thứ hai trạng thái ul ur phân tách sóng lỗng (ii) Ta biết từ lý thuyết đặt §2.2.2 – 2.2.3 công thức Lax – Oleinik phải tạo nghiệm này, tập thú vị để xác minh điều trực tiếp Thay vào ta xây dựng hàm (2.2.54), (2.2.56) từ nguyên tắc xác minh chúng nghiệm entropy thực tế Bởi tính nhất, đó, chúng phải tương thích với cơng thức Lax – Oleinik Nó minh họa hay sức mạnh khẳng định tính độc đáo, Định lí □ ` 88 Chứng minh Giả sử ul > ur Rõ ràng u xác định (2.2.54), (2.2.55) nghiệm tích phân phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt σ = [[F (u )]] / [[u ]], điều kiện Rankine – Hugoniot Hơn lưu ý F ′(ur ) < σ = ul F (ul ) − F (ur ) = ∫ F ′(r ) dr < F ′(ul ) ur ul − ur phù hợp với (2.2.17) Vì ul > ur , điều kiện entropy Tính kéo theo từ Định lí u=G(x/t) u=ul u=ur Sóng lỗng thỏa toán Riemann ul < ur Giả sử ul < ur Trước tiên ta phải kiểm tra u xác định (2.2.56) thỏa luật bảo toàn miền {F ′(ul ) < x < F ′(ur )} Để kiểm tra t điều này, đặt câu hỏi chung đến hàm u có dạng x u ( x, t ) = v  ÷ t thỏa (2.2.1) Ta tính ` 89 ut + F (u ) x = ut + F ′(u )u x  x x  x 1 = −v′  ÷ + F ′(v)v′  ÷  t t  t t x  x 1  = v′  ÷  F ′(v) −  t  t t    x  x Vì thế, việc giả sử v’ khơng triệt tiêu, ta tìm F ′  v  ÷÷ = Do   t  t x x u ( x, t ) = v  ÷ = G  ÷ t t x  x thỏa luật bảo tồn Bây v  ÷ = ul miễn = F ′(ul ); cách tương t t x  x tự v  ÷ = ur = F ′(ur ) t t Như hệ ta thấy sóng lỗng u xác định (2.2.56) liên tục ¡ × (0, ∞), nghiệm phương trình đạo hàm riêng ut + F (u ) x = miền xác định Vì dễ dàng kiểm tra u nghiệm tích phân (2.2.1), (2.2.53) Hơn nữa, lưu ý §2.2.3 ta giả sử G liên tục Lipschitz, ta có x+z  x  Lip(G ) z u ( x + z , t ) − u ( x, t ) = G  ÷− G  ÷ ≤ t  t  t F ′(ul )t < x < x + z < F ′(ur )t Bất đẳng thức dẫn đến u thỏa điều kiện entropy Tính lần hệ định lý □ 2.2.5 Tác động kéo dài a Sự phân rã tiêu chuẩn Ta dùng công thức Lax – Oleinik (2.2.29) để nghiên cứu tác động nghiệm entropy u (2.2.1) t → ∞ Ta giả sử F trơn, lồi đều, F (0) = 0, g bị chặn khả tổng ` 90 ĐỊNH LÍ (Tiệm cận chuẩn L∞ ) Tồn số C cho u ( x, t ) ≤ (2.2.57) C t 1/2 với x ∈ ¡ , t > Chứng minh Đặt σ := F ′(0); (2.2.58) G (σ ) = 0, (2.2.59) (2.2.60) L(σ ) = σ G (σ ) − F (G (σ )) = 0, L′(σ ) = Theo (2.2.60) tính lồi L, x− y  x − y −σt  tL  +σ ÷ ÷ = tL  t  t     x − y −σt  x − y −σt     ≥ t  L(σ ) + L′(σ )  (2.2.61) ÷+ θ  ÷ t t       x − y −σt =θ t x số số θ > Vì h = ∫ gdy bị chặn M := g L1 , từ (2.2.61) ta thấy x− tL   t x − y −σt y + h ( y ) ≥ θ − M ÷ t  Mặc khác,  x − (x − σ t)  tL  ÷ + h( x − σ t ) ≤ M t   Vì điểm cực tiểu y ( x, t ) ta có ` 91 x − y ( x, t ) − σ t θ ≤ 2M ; t x − y ( x, t ) C − σ ≤ 1/2 t t (2.2.62) số số C Nhưng G (σ ) = 0, x ∈ ¡ , t > ta có  x − y ( x, t )  u ( x, t ) = G  ÷ t    x − y ( x, t )  = G − σ + σ ÷ − G (σ ) t   x − y ( x, t ) C ≤ Lip(G ) − σ ≤ 1/2 , t t theo (2.2.62) □ Ví dụ §2.2.1 tốc độ phân rã t −1/2 tối ưu b Sự phân rã thành sóng N Đánh giá (2.2.57) khẳng định chuẩn L∞ u dần đến không t → ∞ Mặc khác ta lưu ý từ Ví dụ §2.2.1 chuẩn L1 u khơng cần thiết dần đến khơng; thực vậy, tích phân u ¡ bảo tồn (Bài tốn 2.2.13) Ta thay u phát triển L1 thành hình đơn giản, giả sử g có giá compact Cho trước số p, q, d, σ, với p, q ≥ 0, d > 0, ta xác định sóng N tương ứng hàm 1  x  1/2 1/2   − σ ÷ − ( pdt ) < x − σ t < ( qdt ) (2.2.63) N ( x, t ) :=  d  t   ngược lại  ` 92 (pdt)1/2 (qdt)1/2 Hằng số σ vận tốc sóng N Bây xác định σ (2.2.58), đặt d := F ′′(0) > 0, (2.2.64) đồng thời viết (2.2.65) ∞ y p := −2min ∫ gdx, q := 2max ∫ gdx y∈¡ −∞ y∈¡ y Lưu ý p, q ≥ G′(σ ) = (2.2.66) d ĐỊNH LÍ (Các tiệm cận chuẩn L1) Giả sử p, q > Khi tồn số C cho (2.2.67) ∫ ∞ −∞ u (×, t ) − N (×, t ) dx ≤ C t 1/2 với t > Chứng minh Từ đánh giá (2.2.62) phần chứng minh định lí ta có (2.2.68) ( x − σ t ) − y ( x, t ) C ≤ 1/2 t t Lúc ` 93  x − y ( x, t )  u ( x, t ) = G  ÷ t    ( x − σ t ) − y ( x, t )  = G +σ ÷ t   ( x − σ t ) − y ( x, t )   ( x − σ t ) − y ( x, t )   = G (σ ) + G′(σ )  ÷ ÷+  ÷ t t     Do (2.2.59), (2.2.66) (2.2.68) dẫn đến (2.2.69) u ( x, t ) − ( x − σ t ) − y ( x, t ) C ≤ d t t Vì g có giá compact, ta giả sử vài số R > g ≡ ¡ ∩ {| x |≥ R} Vì h x ≤ − R h( x ) =  − h+ x ≥ R, với số h± Một tính tốn cho thấy (2.2.70) h = − ¡ p q + h− = − + h+ 2 Tiếp theo ta đặt (2.2.71) ε = ε (t ) := A t 1/2 (t > 0), số A chọn sau Ta khẳng định A đủ lớn, (2.2.72) u ( x, t ) = với x − σ t > − R − ( pd (1 + ε )t )1/2 (2.2.73) u ( x, t ) = với x − σ t > R + (qd (1 + ε )t )1/2 Thật vậy, (2.2.64) dẫn đến L′′(σ ) = ta suy từ (2.2.61) (2.2.62) ` , d 94  x − y  | (x − σ t) − y | tL  = + O ( t −1/2 ) t → ∞ ÷ 2t  t  d Vì | ( x − σ t ) − y |2 x− y + h( y ) + O ( t −1/2 ) (2.2.74) tL  ÷+ h( y ) = d 2t  t  Giả sử x − σ t < − R − ( pd (1 + ε )t )1/2 (2.2.75) Khi h( x − σ t ) = h−  ( x − ( x − σ t ))  tL  ÷+ h( x − σ t ) = tL(σ ) + h− = h− t   Bây y ≤ − R , x− y tL  ÷+ h( y ) ≥ h− ,  t  L ≥ Mặc khác y ≥ − R , ta dùng (2.2.74) (2.2.70) để ước lượng | ( x − σ t ) − y |2 p x− y tL  − + h− + O ( t −1/2 ) ÷ + h( y ) ≥ d 2t  t  pd (1 + ε )t p ≥ − + h− + O ( t −1/2 ) theo (2.2.75) 2dt p A = 1/2 + h− + O ( t −1/2 ) theo (2.2.71) 2t ≥ h− , miễn A đủ lớn Ta kết luận (2.2.75) buộc y ( x, t ) = x − σ t , u ( x, t ) = G (σ ) = Điều chứng minh khẳng định (2.2.72), việc chứng minh (2.2.73) tương tự Tiếp theo ta khẳng định với A t đủ lớn (2.2.76) y ( x, t ) ≥ − R x − σ t = R − ( pd (1 − ε )t )1/2 Để thấy điều này, lưu ý y ( x, t ) ≤ − R dẫn đến ` 95 x− y tL  ÷ + h( y ) ≥ h−  t  Bây chọn điểm z cho h( z ) = h = − p + h− | z |≤ R Khi ta dựa vào (2.2.74) trước để đánh giá | ( x − σ t ) − z |2 p x−z tL  − + h− + O ( t −1/2 ) ÷ + h( z ) ≤ d 2t  t  pd (1 − ε )t p ≤ − + h− + O ( t −1/2 ) 2dt p A = − 1/2 + h− + O ( t −1/2 ) < h− , 2t với A đủ lớn Điều chứng minh (2.2.76) lập luận tương tự chứng minh (2.2.77) y ( x, t ) ≤ R x − σ t = − R + (qd (1 − ε )t )1/2 Từ việc chứng minh Định lý §3.4.2 nhớ ánh xạ x a y ( x, t ) không giảm Vì (2.2.69), (2.2.76) (2.2.77) dẫn đến với t lớn (2.2.78) 1x   C | u ( x, t ) −  − σ ÷≤ d t t     R − ( pd (1 − ε )t )1/2 < x − σ t < − R + ( qd (1 − ε )t )1/2  −1/2 −1/2 Do Định lí 5, ta có | u |= O ( t ) theo định nghĩa | N |= O ( t ) Ngoài (2.2.71) dẫn đến ((1 ± ε )t )1/2 − t1/2 = O(1) Sử dụng giới hạn với (2.2.72), (2.2.73) (2.2.78), ta đánh giá ∫ ∞ −∞ | u ( x, t ) − N ( x, t ) | dx = O ( t −1/2 ) , mong muốn □ ` 96 KẾT LUẬN Trên luận văn Biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Luận văn trình bày lại kỹ thuật khác nhà toán học sử dụng để đưa biểu diễn nghiệm (địa phương toàn cục) phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp bao gốm: tích phân đầy đủ kỹ thuật bao hình, phương pháp đặc trưng, phương pháp biến phân Luận văn tập trung chủ yếu vào việc chứng minh định lý, bổ đề số ví dụ minh họa cụ thể phương pháp biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Thơng qua định lý ví dụ luận văn giải thích cặn kẽ ý tưởng sở lý luận phương pháp biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyên cấp nói Luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường đại học Do thời gian thực luận văn có hạn, trình độ người viết nhiều hạn chế, nên dù thân cố gắng sai sót điều khơng thể tránh khỏi Vì tơi mong nhận góp ý quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn bảo tận tâm TS Nguyễn Duy Thái Sơn để tơi hồn thành luận văn Ngồi tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến tác giả tài liệu tham khảo sử dụng luận văn Cuối tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến bạn bè, người thân, quý thầy cô đồng nghiệp động viên giúp đỡ suốt thời gian qua ` 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lawrence C Evans (1998), Partial Differential Equations, Graduate Studies in Maths, Vol 19, American Mathematical Society, Providence, Rhole Island [2] R Courant & D Hilbert (1962), Methods of Mathematical Physics, Wiley Interscience [3] J Rauch (1992), Partial Differential Equations, Springer [4] R Feynman, R Leighton, M Sand (1966), The Feynman Lectures in Physics, Vol II, Addison – Wesley [5] S Benton (1977), The Hamilton – Jacobi Equation: A Global Approach, Academic Press [6] Tran Duc Van, Mikio Tsuji, Nguyen Duy Thai Son (1999), The Characteristic Method and Its Generalizations for First – Order Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC [7] P Lax (1973), Hyperbolic System of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves, SIAM [8] M Pinsky (1991), Partial Differential Equations and Boundary – Value Problems, with Applications, McGraw – Hill ` ... chung, tính phi tuyến gây nhiều khó khăn cho việc tìm cơng thức biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn Biểu diễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một này, tìm... Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Cách giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu... bao hình, phương pháp đặc trưng tìm nghiệm địa phương phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Trong chương 2, ta khảo sát phương pháp biến phân vấn đề biểu diễn nghiệm toàn cục phương trình Hamilton