Áp du.ng vào phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi.[r]
(1)´ -A D I HO C HUÊ - a.i ho.c Su pha.m Tru.ò.ng D ’ NG BÀI GIA ´T PHU.O.NG TRÌNH D -A LÝ THUYÊ O HÀM RIÊNG ´N C ´P PHI TUYÊ (Dành cho ho.c viên Cao ho.c chuyên ngành Toán Gia’ i tı́ch) Biên soa.n: ˜n Hoàng PGS.TS Nguyê - a.i ho.c Huê´ - ào ta.o, D Ban D HUÊ´ - 2006 Typeset by AMS-TEX Lop12.net (2) -` ÂU LÒ I NÓI D Các nghiên cú.u d̄i.a phu.o.ng cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi xuâ´t hiê n ` u mút d̄ô.ng Nhiê `u tù lâu, có lẽ tù viê.c kha’o sát các bài toán biê´n phân vó.i d̄â phu.o.ng pháp cô’ d̄iê’n d̄u.o c dùng d̄ê’ nghiên cú.u, chă’ ng ha.n phu.o.ng pháp tách ` n, lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy, biê´n, biê´n d̄ô’i Legendre, tı́ch phân toàn phâ ` ng da.ng v.v d̄ã mang la.i nhiê ` u kê´t qua’ viê.c nghiên biê´n phân, d̄ô cú.u phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1, d̄ă.c biê t là phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi ` u bài toán vâ.t lý và ú.ng du.ng, nghiê m cô’ d̄iê’n d̄i.a Tuy nhiên nhiê ` u thı́ch phu.o.ng cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi chu.a d̄áp ú.ng d̄u.o c yêu câ ` y d̄u’ ho.n ú.ng vı̀ ngu.ò.i ta muô´n nhâ.n d̄u.o c thông tin tô’ng thê’, d̄â ` nghiê m toàn cu.c cu’a phu.o.ng trı̀nh HamiltonCác nghiên cú.u hiê.n d̄a.i vê ` u vào nhũ.ng năm 1950-51 tù các bài báo cu’a E Hopf và Cole Jacobi bă´t d̄â ` phu.o.ng trı̀nh Burger Tiê´p d̄ó, hàng loa.t công trı̀nh nghiên cú.u khác nhu vê ` n d̄ây vó.i Crandall và cu’a Lax, Hop, Oleinik, Kruzhkov, Fleming và gâ ` u nhà Lions, Subbotin, Ishii, d̄ò.i, d̄ã thu hút su quan tâm cu’a nhiê toán ho.c trên thê´ gió i Các nghiên cú u càng tro’ nên thò i su và bú.c thiê´t ` u ú.ng du.ng lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi các lı̃nh nhu câ ` u khiê’n tô´i u.u, lý thuyê´t trò vu c khác cu’a toán ho.c nhu lý thuyê´t d̄iê cho.i vi phân, lý thuyê´t sóng, ` y d̄u’ các kê´t qua’ nghiên cú.u, song có thê’ nói Tuy chu.a có mô.t tô’ng kê´t d̄â ` m phu.o.ng trı̀nh Hamiltonlý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n câ´p mô.t (bao gô Jacobi) cho d̄ê´n chu.a d̄u.o c d̄e.p và hoàn thiê.n nhu lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı́nh, có lẽ ba’n châ´t phú.c ta.p và d̄a da.ng cu’a các bài toán phi tuyê´n Cũng vı̀ ba’n châ´t phi tuyê´n cu’a các toán tu’ và dũ kiê.n ` n ta.i d̄i.a phu.o.ng Do tham gia phu.o.ng trı̀nh, nghiê m cô’ d̄iê’n C chı’ tô d̄ó, d̄u.a khái niê m nghiê m toàn cu.c cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi, ` n gia’m nhe d̄ô tro.n cu’a nghiê m Mô.t sô´ tác gia’ tiên viê.c tru.ó.c tiên là câ phong lı̃nh vu c này d̄ã cho.n các hàm Lipschitz d̄i.a phu.o.ng làm ú.ng cu’ viên d̄ê’ d̄i.nh nghı̃a nghiê m suy rô.ng Theo d̄i.nh lý Rademacher, các hàm u ` u khă´p no.i trên miê ` n xác d̄i.nh, nhu vâ.y chı’ câ ` n yêu câ `u nhu vâ.y thı̀ kha’ vi hâ chúng tho’a mãn phu.o.ng trı̀nh ta.i nhũ.ng d̄iê’m chúng kha’ vi Trong quãng ` u thành tu u nô’i thò.i gian dài tù năm 1950 d̄ê´n 1980, vó.i d̄i.nh nghı̃a này, nhiê Lop12.net (3) ` nghiên cú.u su tô ` n ta.i và nhâ´t cu’a nghiê m suy rô.ng Lipschitz d̄ã bâ.t vê d̄u o c d̄óng góp bo’ i Oleinik, Hopf, Fleming, Kruzhkov, Lax, Benton, Tù năm 1983 tro’ d̄i, su xuâ´t hiê n loa.t bài báo cu’a Crandall, Lions, Evans, ` y hiê u qua’ viê.c nghiên Ishii , d̄ã mo’ mô.t hu.ó.ng nghiên cú.u d̄â cú.u phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n Thay vı̀ buô.c nghiê m u tho’a ` u khă´p no.i, các tác gia’ này chı’ d̄òi ho’i nghiê m là mô.t mãn phu.o.ng trı̀nh hâ hàm liên tu.c, tho’a mãn că.p bâ´t d̄ă’ ng thú.c vi phân thông qua các “hàm thu’.” - ó là khái niê m d̄u’ tro.n hoă.c qua các khái niê m vi phân du.ó.i, vi phân trên D nghiê m viscosity Trong thò.i gian này, d̄ô.c lâ.p vó.i Crandall và Lions, xuâ´t ` u khiê’n tô´i u.u và trò cho.i vi phân, A.I Subbotin d̄u.a phát tù lý thuyê´t d̄iê khái niê.m nghiê m minimax và chú.ng minh ră` ng, d̄ô´i vó.i mô.t sô´ ló.p bài ` n ta.i và trùng vó.i nghiê m viscosity toán nghiê m minimax tô ` Trong chu.o.ng trı̀nh Cao ho.c chuyên ngành Toán Gia’i tı´ch, chuyên d̄ê này là mô.t nô.i dung quan tro.ng, giúp ho.c viên tiê´p câ.n vó.i lý thuyê´t hiê.n d̄a.i cu’a lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n Nhũ.ng phu.o.ng pháp ` i, Gia’i tı´ch phi tuyê´n d̄u.o c su’ du.ng thu.ò.ng xuyên giúp cho cu’a Gia’i tı´ch lô ngu.ò.i ho.c còn có thê’ tı̀m hiê’u các chuyên ngành khác tu.o.ng d̄ô´i thuâ n tiê n ` u tài liê.u, sách Tâ.p bài gia’ng này d̄u.o c soa.n trên co so’ tô’ng ho p nhiê ` chu’ d̄ê ` lý thuyê´t toàn cu.c cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi Ngu.ò.i báo vê ` co ba’n, tinh gia’n nhu.ng thiê´t thu c d̄ê’ cho biên soa.n cho.n nhũ.ng vâ´n d̄ê quan tâm có thê’ tiê´p câ.n các bài toán mo’ và nă´m d̄u.o c phu.o.ng pháp, ` u có thê’ tı̀m kê´t qua’ mó.i Dù soa.n công cu d̄ê’ bă´t tay vào nghiên cú.u hâ ` khó nên ngu.ò.i ho.c pha’i dày ` u cô´ gă´ng nhu.ng d̄ây là nhũ.ng vâ´n d̄ê gia’ có nhiê ` gia’i tı´ch công suy nghı̃, ôn tâ.p, vâ.n du.ng thành tha.o các nhũ.ng kiê´n thú.c vê ` y d̄u’ nô.i dung cu’a chuyên d̄ê ` này d̄u o c ho.c o’ bâ.c d̄a.i ho.c d̄ê’ lı̃nh hô.i d̄â ` m chu.o.ng Chu.o.ng I trı̀nh bày Nô.i dung tâ.p bài gia’ng này bao gô ` phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi, chu’ tóm tă´t mô.t sô´ kiê´n thú.c cô’ d̄iê’n vê ` viê.c kha’o sát nghiê m d̄i.a phu.o.ng yê´u là phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng Cauchy vê Các chu.o.ng sau nghiên cú.u các loa.i nghiê m suy rô.ng, theo thú tu là nghiê m Lipschitz, nghiê.m viscosity và nghiê.m minimax ` thò.i su cu’a lý thuyê´t phu.o.ng ` nêu trên hiê.n là nhũ.ng vâ´n d̄ê Các vâ´n d̄ê ` u nhà toán ho.c và ngoài trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n, d̄ang d̄u.o c nhiê nu.ó.c quan tâm nghiên cú.u Cũng nói thêm ră` ng, các tài liê.u, sách báo chı´nh thô´ng hiê.n ngu.ò.i ta có xu hu.ó.ng go.i phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p tô’ng Lop12.net (4) ` truyê ` n thô´ng, phu.o.ng trı̀nh quát là phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi mă.c dù vê Hamilton-Jacobi chı’ là mô.t da.ng d̄ă.c biê.t d̄ó biê´n thò.i gian d̄u.o c tách riêng d̄ê’ d̄u.o c xem là mô.t phu.o.ng trı̀nh tiê´n hóa Vı̀ vâ.y d̄o.c tâ.p bài ` n chú ý d̄ê´n gia’ng này cũng nhu các tài liê u, bài báo liên quan ho.c viên câ các da.ng phu.o.ng trı̀nh nhũ.ng tru.ò.ng ho p cu thê’ Khi biên soa.n tâ.p bài gia’ng này, chúng tôi d̄ã dành thò.i gian thı´ch d̄áng d̄ê’ hoàn chı’ nh nhu.ng chă´c khó tránh kho’i nhũ.ng thiê´u sót Râ´t mong nhâ.n d̄u.o c nhũ.ng su phê bı̀nh, góp ý d̄ê’ tâ.p bài gia’ng này ngày càng tô´t ho.n Lop12.net (5) `u Mo’ d̄â Phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng là mô.t phu.o.ng trı̀nh vi phân (phu.o.ng trı̀nh có chú.a các d̄a.o hàm hoă.c vi phân) d̄ó â’n hàm là hàm sô´ theo biê´n tro’ lên ` n chú.a Rn , n ≥ 2, x = (x1 , , xn ) ∈ D, α = Gia’ su’ D là mô.t miê (i1 , , in ) ∈ Nn là d̄a chı’ sô´ không âm, |α| = i1 + · · · + in go.i là câ´p cu’a d̄a chı’ sô´ α Cho F là mô.t hàm thu c xác d̄i.nh trên D × Rk1 × × Rkn có da.ng F = F (x1 , , xn , pki1 , ,in , ), d̄ó x = (x1 , , xn ) ∈ D, |α| = i1 + · · · + in = k, k = 0, , m, và gia’ ` n ta.i mô.t d̄a.o hàm riêng câ´p m cu’a F khác không: su’ tô ∂F ∂pki1 , ,in 6= 0, |α| = i1 + in = m Phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng có da.ng F = F (x1 , , xn , ∂k u , ) = ∂xi11 ∂xinn (0.1) x = (x1 , , xn ) ∈ D, i1 + · · · + in = k, k = 0, , m, d̄u.o c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng câ´p m ú.ng vó.i â’n hàm u = u(x) = u(x1 , , xn ) Ta còn viê´t (0.1) du.ó.i da.ng F (x, u(x), Du(x), , D α u(x)) = 0, |α| ≤ m (0.1’) ` n D là mô.t hàm u = u(x) Nghiê m cô’ d̄iê’n cu’a phu.o.ng trı̀nh (0.1) trên miê xác d̄i.nh, kha’ vi liên tu.c trên D và nghiê m d̄úng phu.o.ng trı̀nh (0.1) vó.i mo.i x ∈ D Nê´u F là mô.t hàm tuyê´n tı´nh d̄ô´i vó.i â’n hàm và tâ´t ca’ các d̄a.o hàm có mă.t thı̀ phu.o.ng trı̀nh (0.1) d̄u.o c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh Trái la.i, ta go.i nó là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n Da.ng tô’ng quát cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh câ´p m là X aα (x)D α u(x) = f (x), (0.2) |α|≤m Lop12.net (6) ` u kiê.n là tô ` n ta.i d̄a chı’ sô´ α0 cho |α0 | = m và aα0 (x) 6≡ trên D, vó.i d̄iê d̄ó aα (x), f (x) là các hàm cho tru.ó.c, D α u(x) là ký hiê.u tâ.p các d̄a.o ` n nhâ´t nê´u hàm riêng câ´p α cu’a hàm u Phu.o.ng trı̀nh (0.2) d̄u oc go.i là thuâ f ≡ trên D Nê´u F là mô.t hàm tuyê´n tı´nh theo biê´n là d̄a.o hàm câ´p cao nhâ´t cu’a â’n hàm có mă.t (0.1) thı̀ phu.o.ng trı̀nh này d̄u.o c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tu a tuyê´n tı´nh ` n D vó.i biên là ∂D Bài Cho phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng (0.1) miê toán tı̀m nghiê m u = u(x) cu’a phu.o.ng trı̀nh (0.1) cho u|∂D = f vó.i f là mô.t hàm cho tru.ó.c, d̄u.o c go.i là mô.t bài toán biên Nê´u D = (a, b)×Rn−1 thı̀ ` u kiê.n u|{0}×Rn−1 = f bài toán tı̀m nghiê m u = u(x) cu’a (0.1) tho’a mãn d̄iê ` u cu’a phu.o.ng d̄u.o c go.i là bài toán Cauchy hay là bài toán vó.i dũ kiê.n ban d̄â trı̀nh (0.1) ` n chuyên d̄ê ` này, ta sẽ nghiên cú.u lý thuyê´t toàn cu.c cu’a Trong phâ phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n câ´p 1, cu thê’ là phu.o.ng trı̀nh da.ng F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn hay bài toán Cauchy cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi da.ng ∂u + H(t, x, ∇x u) = , (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn , ∂t u(0, x) = σ(x) , x ∈ Rn Lop12.net (7) CHU O NG I Nghiê.m d̄i.a phu.o.ng và lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy ` vê ` lý thuyê´t cô’ d̄iê’n §1 Mô.t sô´ vâ´n d̄ê 1.1 Các phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh và tı́ch phân tru c tiê´p Trong thu c tê´ gă.p mô.t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng, ta nên quan sát xem thu’ có thê’ gia’i bă` ng nhũ.ng phu.o.ng pháp d̄o.n gia’n hay không tru.ó.c nghiên cú.u da.ng tô’ng quát cu’a nó Trong mô.t sô´ tru.ò.ng ho p riêng, ` viê.c tı´nh phu.o.ng trı̀nh thuô.c da.ng suy biê´n, viê.c gia’i chúng có thê’ quy vê - iê ` u nhâ.n xét này giúp ta tiê´t kiê.m sú.c lao d̄ô.ng nghiên các tı´ch phân D cú.u nhũ.ng bài toán cu thê’ Ta xét phu.o.ng trı̀nh sau: ut + H(t, x) = 0, (t, x) ∈ R2 (1.1) ` u kiê.n ban d̄â `u cùng vó.i d̄iê u(0, x) = f (x), x ∈ R (1.2) Rõ ràng lúc này bài toán Cauchy có nghiê m nhâ´t là Z t H(τ, x)dτ u(t, x) = f (x) − Mô.t tru.ò.ng ho p khác có thê’ gia’i d̄u.o c bă` ng tı´ch phân tru c tiê´p d̄ó là phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh mă.c dù d̄ó là khái niê.m thu.ò.ng d̄u.o c dùng cho phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng Ta xét phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng câ´p tu a tuyê´n tı´nh nhu sau M (x, y, u)ux = N (x, y, u)uy , Lop12.net (x, y) ∈ R2 (1.3) (8) `u d̄ó M, N là các hàm kha’ vi liên tu.c theo các biê´n và tho’a mãn d̄iê kiê.n khó p: (1.4) Mx = Ny Trong tru.ò.ng ho p này, nghiê m u = u(x, y) cu’a phu.o.ng trı̀nh có thê’ tı̀m d̄u.o c - ê’ xác d̄i.nh tı´ch du.ó.i da.ng â’n Φ(x, y, u) = 0, d̄ó M = Φy , N = Φx D phân tô’ng quát Φ, ta lâ´y tı´ch phân theo y cu’a hàm M (x, y, u) : Z Φ(x, y, u) = M (x, y, u)dy + g(x, u) Vı̀ Φx = N nên lâ´y d̄a.o hàm vê´ d̄ă’ ng thú.c trên, ta có Z Mx (x, y, u)dy + gx (x, u) = N R Gia’i d̄u.o c gx (x, u) và tù d̄ó g(x, u) = gx (x, u)dx + h(u) Nhu thê´ Z Z (1.5) Φ(x, y, u) = M (x, y, u)dy + gx (x, u)dx + h(u) d̄ó h là mô.t hàm tùy ý Khi Φu 6= 0, ta tı̀m d̄u.o c hàm u = u(x, y) tu.ò.ng minh theo d̄i.nh lý hàm â’n Vı́ du Xét phu.o.ng trı̀nh xut = tux , (t, x) ∈ R2 - ă.t M (t, x, u) = x, N (t, x, u) = tu, d̄ó ta có Mt = Nx = Hàm D Φ(t, x, u) pha’i tı̀m cho bo’.i công thú.c sau: Z Φ = xdx + g(t, u) = x2 + g(t, u) - ê’ tı̀m hàm g ta dùng hê thú.c gt (t, u) = tu nên tù d̄ó g(t, u) = D t2 u) + h(u), d̄ó h là mô.t hàm kha’ vi tùy ý theo biê´n u Chă’ ng cho.n hàm h(u) = (a2 u + b2 ), d̄ó a, b là hă` ng sô´ Lop12.net (x + ha.n, ta (9) thı̀ u(t, x) = − x2 + b2 t2 + a2 ` Tu.o.ng tu tru.ò.ng ho p phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng, d̄ôi lúc d̄ê’ d̄u.a vê mô.t phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh, ta pha’i tı̀m mô.t thù.a sô´ tı´ch phân tú.c là tı̀m mô.t hàm µ(x, y) cho (µM )x = (µN )y , chă’ ng ha.n nê´u (Ny − Mx )/M không phu thuô c y thı̀ Z µ(x) = exp ((Ny − Mx )/M )dx là mô.t thù.a sô´ tı´ch phân 1.2 Phu.o.ng pháp tách biê´n ` u phu.o.ng Phu.o.ng pháp này khá d̄o.n gia’n và có thê’ áp du.ng cho nhiê trı̀nh d̄a.o hàm riêng thu.ò.ng gă.p các bài toán vâ.t lý Tuy nhiên kha’ năng su’ du.ng tru.ò.ng ho p tô’ng quát la.i ha.n chê´ Ý tu.o’.ng chı´nh cu’a phu.o.ng pháp tách biê´n là chuyê’n phu.o.ng trı̀nh d̄a.o ` nhũ.ng phu.o.ng trı̀nh vó.i các â’n hàm theo sô´ biê´n ´t ı ho.n hàm riêng d̄ã cho vê Nói cách khác, ta cô´ gă´ng tı̀m nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄ã cho du.ó.i da.ng ı ho.n và rò.i Sau tô’ng hoă.c tı´ch mô.t sô´ các hàm sô´ có sô´ biê´n ´t thay nghiê m này vào phu.o.ng trı̀nh d̄ã cho ta thu d̄u.o c các phu.o.ng trı̀nh có â’n là các hàm có sô´ biê´n ´t ı ho.n nên có thê’ dê˜ gia’i ho.n Ta xét mô.t tru.ò.ng ho p sau d̄ây: Xét phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng da.ng F (t, x, u, ut , ux ) = 0, (t, x) ∈ D ⊂ R2 Ta mong ră` ng nghiê m u = u(t, x) có thê’ biê’u diê˜n du.ó.i da.ng u(t, x) = g(t)h(x) hay u(t, x) = g(t) + h(x), ` u kiê.n biên) ta xác d̄i.nh Khi d̄ó thay vào phu.o.ng trı̀nh (có thê’ thêm các d̄iê d̄u o c các hàm g, h nhò các phu o ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng, tù d̄ó tı̀m d̄u.o c hàm u = u(t, x) Lop12.net (10) 10 Vı́ du Gia’i bài toán Cauchy cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi sau: ut + u2x = 0, (t, x) ∈ R2 u(0, x) = x2 , x ∈ R Ta hãy tı̀m nghiê m cu’a bài toán trên du.ó.i da.ng u(t, x) = g(t)h(x) Thay hàm sô´ này vào phu.o.ng trı̀nh ta có g h + (gh0 )2 = Suy g0 h0 =− = c = const g2 h Các phu.o.ng trı̀nh này cho ta a , − act vó.i a, b, c là các hă` ng sô´ Nhu vâ.y g(t) = u(t, x) = − h(x) = − c(x − b)2 ca(x − b)2 α (x − b)2 =− 4(1 − act) − αt α - ê’ ý d̄ê´n d̄iê ` u kiê.n d̄â ` u u(0, x) = x2 ta có x2 = − (x − b)2 , ta cho.n b = và D α = −4, â´y x2 , t 6= − u(t, x) = + 4t là nghiê m cu’a bài toán trên Vı́ du Xét phu.o.ng trı̀nh dao d̄ô.ng cu’a dây utt = uxx , (t, x) ∈ (a, b) × R, u(a, t) = u(b, t) = Ta tı̀m nghiê m du.ó.i da.ng u(t, x) = v(t)w(x) Khi d̄ó utt = v 00 (t)w(x), uxx = v(t)w00 (x) Lop12.net (11) 11 Tù d̄ó v 00 (t)w(x) = v(t)w00 (x) hay ww00 (x) v 00 (t) = = a = const v(t) w(x) Nhu thê´ v và w là các nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh y 00 = λy ` u kiê.n biên, ta nhâ.n d̄u.o c Gia’i các phu.o.ng trı̀nh này, kê´t ho p vó.i các d̄iê nghiê m cu’a bài toán §2 Khái niê.m d̄ă.c tru.ng và mă.t tı́ch phân 2.1 Các tı́nh châ´t hı̀nh ho.c cu’a nghiê.m ` n không gian Rn và B là mô.t d̄a ta.p n − Ký hiê.u D là mô.t miê ` u chú.a D, u = u(x1 , , xn ) là mô.t hàm n biê´n và ux = ∇u = chiê (ux1 , , uxn ) là gradient cu’a u, còn F là mô.t hàm xác d̄i.nh trên không gian R2n+1 Ta xét bài toán biên cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p sau d̄ây: F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D (2.1) u|B = f (2.2) f là mô.t hàm xác d̄i.nh trên d̄a ta.p B Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng cô’ d̄iê’n Cauchy cu’a bài toán d̄a.o hàm riêng phi ` viê.c gia’i mô.t hê phu.o.ng trı̀nh vi tuyê´n câ´p là quy viê.c gia’i bài toán này vê phân thu.ò.ng Ta hãy thô´ng nhâ´t mô.t sô´ khái niê m và kha’o sát vài tı́nh châ´t hı̀nh ho.c cu’a nghiê m cu’a bài toán (2.1) - (2.2) Gia’ su’ u là mô.t nghiê m cu’a bài toán (2.1)-(2.2) Ta ký hiê.u S = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | x ∈ D, z = u(x), p = ux (x)} và go.i nó là mô.t d̄a ta.p da’i (strip manifold) Nói cách khác, S không nhũ.ng ` ng thò.i còn xác d̄i.nh ca’ các siêu xác d̄i.nh mô.t mă.t cong J : z = u(x) mà d̄ô phă’ ng tiê´p xúc vó.i J ta.i mô˜i d̄iê’m cu’a nó nũ.a Lop12.net (12) 12 - `ô thi J = {(x, z) ∈ Rn+1 | z = u(x)} cu’a hàm u(x) chı́nh là hı̀nh D chiê´u cu’a S lên Rn+1 , còn go.i là mă.t tı́ch phân (integral surface) Ta ký hiê u J0 = {(x, z) ∈ Rn+1 | x ∈ B, z = f (x)}, S0 = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | (x, z) ∈ J0 , p = ux (x)} ` u và da’i ban d̄â ` u ` n lu.o t go.i là mă.t ban d̄â và lâ ` n tham gia: miê ` n xác d̄i.nh, Ta thâ´y d̄a ta.p da’i có ba thành phâ ` thi cu’a nghiê m u(x) cu’a bài toán ` thi và các siêu phă’ ng tiê´p xúc vó.i d̄ô d̄ô (2.1) - (2.2) Mô.t ánh xa liên tu.c [a, b] s → (X(s), U (s), P (s)) ∈ S d̄u.o c go.i là mô.t da’i d̄ă.c tru.ng (characteristic strip) Chiê´u cu’a da’i d̄ă.c tru.ng lên J go.i là d̄u.ò.ng cong d̄ă.c tru.ng, còn s → X(s) sẽ go.i là d̄ă.c tru.ng co so’ Ta ` u ho.n vó.i d̄ă.c tru.ng co so’ và nhiê ` u tài liê u cũng go.i nó thu.ò.ng làm viê.c nhiê là d̄u ò ng d̄ă.c tru ng `u Gia’ su’ u = u(x) là mô.t nghiê m cu’a bài toán (2.1)-(2.2) Tù mă.t ban d̄â - ê’ ý ră` ng, mă.t tı´ch phân J là mô.t d̄a ` u nhu sau D ta sẽ xác d̄i.nh da’i ban d̄â ` u không gian Rn+1 , bây giò ta tham sô´ hoá mă.t tı́ch phân ta.p n−chiê J bă` ng ánh xa D x → (x, u(x)) ∈ J ⊂ Rn+1 Nhu vâ.y mô.t co so’ cu’a không gian tiê´p xúc vó.i J ta.i (x, u(x)) là các vecto cô.t cu’a ma trâ.n (n + 1) × n 0 ux1 ux2 uxn và mô.t pháp vecto ta.i (x, u(x)) ∈ J là (ux (x), −1) Do d̄ó nê´u (x, z, p) ∈ S0 thı̀ siêu phă’ ng xác d̄i.nh bo’.i phu.o.ng trı̀nh (theo biê´n (ξ, ζ)) (p, −1)(ξ − x, ζ − z) = ` u J0 ta.i d̄iê’m (x, f (x)) tiê´p xúc vó.i mă.t ban d̄â Lop12.net (2.3) (13) 13 Tiê´p theo, gia’ su’ g là hê toa d̄ô d̄i.a phu.o.ng cu’a B (g : B → O là mô.t phép vi phôi d̄i.a phu.o.ng), d̄ó ánh xa h = g −1 : Rn−1 ⊃ O → D kha’ vi và ma trâ.n Dh(r) = ∂h1 ∂r1 ∂h = ∂r ∂hn ∂r1 ∂h1 ∂rn−1 ∂hn ∂rn−1 có ha.ng là n − Các vecto cô.t lâ.p nên co so’ cu’a không gian tiê´p xúc vó.i B ta.i x = h(r) nên (p, −1)( ∂h ∂f , ) = 0, i = 1, , n − ∂ri ∂ri Nhu vâ.y nê´u ϕ = f ◦ h thı̀ theo công thú.c d̄a.o hàm cu’a hàm ho p ta có ϕr = phr , (2.4) F (h(r), ϕ(r), p) = (2.5) Các phu.o.ng trı̀nh (2.4), (2.5) (vó.i â’n sô´ p) cho ta xác d̄i.nh S0 tù J0 ` u tu.o.ng ú.ng Nê´u ký hiê.u ρ(r) là mô.t nghiê m cu’a hê trên thı̀ ta có da’i ban d̄â là S0 = (h(r), ϕ(r), ρ(r)) Nê´u ta.i x0 = h(r0 ) ta có ∂h1 ∂r1 det J = det ∂hn ∂r1 ∂h1 ∂rn−1 ∂hn ∂rn−1 ∂F ∂p1 = (2.6) ∂F ∂pn thı̀ B d̄u.o c go.i là d̄ă.c tru.ng ta.i x0 - iê ` u này tu.o.ng d̄u.o.ng vó.i vecto Fp (h(r), ϕ(r), ρ(r)) thuô.c siêu phă’ ng D tiê´p xúc vó.i B ta.i x0 Nê´u B không pha’i d̄ă.c tru.ng ta.i x = h(r) thı̀ B d̄u.o c go.i là tu hay không d̄ă.c tru.ng ta.i d̄iê’m d̄ó Nê´u B tu ta.i mo.i d̄iê’m thı̀ bài toán go.i là bài toán giá tri biên không d̄ă.c tru.ng Lop12.net (14) 14 Gia’ su’ B d̄u.o c cho bo’.i phu.o.ng trı̀nh G(x) = vó.i ∇G(x) 6= Dùng d̄i.nh lý hàm â’n, gia’ su’ ta gia’i d̄u o.c xn = g(x1 , , xn−1 ) Nhu vâ.y mô.t pháp vecto cu’a d̄a ta.p B ta.i x là n=( ∂g ∂g , , , −1) ∂x1 ∂xn Nê´u Fp thuô.c siêu phă’ ng tiê´p xúc vó.i B thı̀ Fp vuông góc vó.i n và ngu.o c la.i Nhu vâ.y B d̄ă.c tru.ng và chı’ h∇G(h), Fp (h, ϕ, ρ)i = Tù d̄ó ta thâ´y ră` ng nê´u B tu (tú.c là Fp không nă` m mă.t phă’ ng ` n vuông góc vó.i tiê´p xúc vó.i B) nên phân tı́ch vecto Fp sẽ có thành phâ `u ` n này d̄u.o c dùng d̄ê’ xác d̄i.nh mă.t tı́ch phân tù mă.t ban d̄â B và thành phâ - iê ` u â´y J0 lân câ.n cu’a B vó.i mô.t sô´ gia’ thiê´t thı́ch ho p vó.i dũ kiê.n D nghı̃a là ta có thê’ tı̀m d̄u o c nghiê m d̄i.a phu o ng xác d̄i.nh lân câ.n cu’a B 2.2 Vı́ du - ê’ thâ´y d̄u.o c vai trò cu’a các khái niê.m d̄ă.c tru.ng cũng nhu minh ho.a D ` n tiê´p theo, ta xét vı́ du d̄o.n cho lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy sẽ bàn o’ phâ gia’n sau d̄ây: Cho phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh: ∂u ∂u + = 0, ∂t ∂x (t, x) ∈ R2 (2.7) Trong mă.t phă’ ng (t, x) ta thâ´y ră` ng nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng dx = dt là các d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const Gia’ su’ u = u(t, x) là mô.t hàm kha’ vi tùy ý Do.c theo d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const, ta có du ∂u ∂u dx ∂u ∂u = + = + dt ∂t ∂x dt ∂t ∂x Lop12.net (15) 15 Nhu vâ.y, nê´u u(t, x) là nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) thı̀ u(t, x) = const do.c theo d̄u.ò.ng thă’ ng â´y Nhũ.ng d̄u.ò.ng thă’ ng khác thı̀ ú.ng vó.i các hàm sô´ khác nên u(t, x) = f (const) = f (x − t) Nê´u f là mô.t hàm kha’ vi tùy ý thı̀ u(t, x) = f (x − t) d̄úng là mô.t nghiê m cu’a - ây là nghiê m tô’ng quát (phu thuô.c vào mô.t hàm sô´) phu.o.ng trı̀nh (2.7) D cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) Bây giò cho B là d̄u.ò.ng cong tro.n γ mă.t phă’ ng (t, x) cho γ chı’ că´t mô˜i d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const ta.i mô.t d̄iê’m nhâ´t Gia’ su’ γ d̄u.o c cho du.ó.i da.ng tham sô´ x = ξ(s), t = τ (s) và cho hàm sô´ ϕ(t, x) = ϕ(s) do.c theo d̄u.ò.ng cong γ Tiê´p theo ta hãy tı̀m ` u kiê.n biên u|γ = ϕ O’ trên ta thâ´y nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) thoa’ d̄iê u = f (x − t) là nghiê m tô’ng quát cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) Do u(t, x) là hă` ng trên d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const nên hàm này lâ´y giá tri hă` ng â´y bă` ng ϕ(s) ta.i giao d̄iê’m cu’a γ vó.i x − t = const Nê´u ξ(s), τ (s), ϕ(s) là các hàm d̄u’ tro.n và ξ (s) − τ (s) 6= thı̀ nghiê m tro.n cu’a bài toán pha’i tı̀m là u(t, x) = ϕ(s) = ϕ(x − t) O’ d̄ây ta thâ´y các d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const là các d̄u.ò.ng mú.c cu’a nghiê m u(t, x) Nói chung tru.ò.ng ho p phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n thı̀ các d̄u.ò.ng da.ng này không là d̄u.ò.ng mú.c Sau d̄ây ta gia’ su’ B = γ là mô.t d̄oa.n cu’a d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const, chă’ ng ha.n x − t = Khi â´y muô´n bài toán có nghiê m thı̀ hàm ϕ(s) không thê’ cho giá tri tùy ý vı̀ mô.t mă.t u =const trên γ, mă.t khác u = ϕ(s) trên - iê ` u này không thê’ d̄u.o c nê´u ϕ(s) không là hàm hă` ng trên γ Ta thâ´y γ D ` u γ không d̄ă.c tru.ng, còn tru.ò.ng ho p sau thı̀ γ là d̄ă.c tru.ng tru.ò.ng ho p d̄â cu’a bài toán ∂u ∂u + =0 ∂t ∂x u|γ = ϕ(s) Lop12.net (16) 16 §3 Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy ` n tiê´p theo, ta sẽ trı̀nh bày phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng Cauchy Trong phâ d̄ê’ gia’i bài toán biên cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1: F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn , (3.1) u|B = f (x) (3.2) `u d̄ó F = F (x, u, p) là hàm 2n + biê´n, B là mô.t d̄a ta.p (n − 1)-chiê ` n D chú.a miê ` bài Ý tu.o’.ng cu’a phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng là quy bài toán (3.1)-(3.2) vê toán kha’o sát hê phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng Nhă` m mu.c d̄ı´ch này, ta xét hê phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng sau dX = Fp (X, U, P ) ds dU (3.3) = P Fp (X, U, P ) ds dP = −Fx (X, U, P ) − P Fu (X, U, P ) ds Gia’ su’ (X, U, P ) : [0, T ] → D × R × Rn là mô.t nghiê m cu’a hê phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3) Khi d̄ó d F (X, U, P ) = Fx (X, U, P )X + Fu (X, U, P )U + Fp (X, U, P )P ds = Fx Fp + Fu Fp P + Fp (−Fx − P Fu ) = Nhu vâ.y F (X, U, P ) = c = const do.c theo nghiê m này Nói cách khác ` u cu’a hê phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng (3.3) F (X, U, P ) là mô.t tı́ch phân d̄â La.m du.ng ngôn ngũ., ta cũng nói ră` ng, F = const do.c theo “da’i d̄ă.c tru.ng” (X, U, P ) Nê´u F = ta.i s = thı̀ F = do.c theo da’i này Lúc d̄ó nê´u có hàm u(x) cho u(x) = U, ux = P thı̀ u(x) thoa’ mãn phu.o.ng trı̀nh (3.1) - ó là d̄iê `u và â´y (X, U, P ) d̄úng là da’i d̄ă.c tru.ng theo d̄i.nh nghı̃a o’ §2 D ` câ.p tiê´p theo sau d̄ây ta sẽ d̄ê Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng chı’ cho phép tı̀m nghiê m d̄i.a phu.o.ng nên d̄ê’ d̄o.n gia’n ta gia’ thiê´t B = h(O) vó.i O là tâ.p mo’ Rn−1 và h là phép vi phôi Lop12.net (17) 17 - ă.t ϕ = f ◦ h, xét hê phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3) vó.i d̄iê `u ló.p C tù O lên B D `u kiê.n d̄â (X, U, P )(0) = (h(r), ϕ(r), ρ(r)), r ∈ O (3.4) d̄ó ρ(r) là nghiê m cu’a hê phu.o.ng trı̀nh (2.4)-(2.5) Theo gia’ thiê´t, F thuô.c ló.p C nên vê´ pha’i cu’a hê phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3) thuô.c ló.p C Do vâ.y bài toán Cauchy (3.3)-(3.4) có nhâ´t nghiê m (X, U, P )(s, r) thuô.c ló.p C lân câ.n cu’a s = Vó.i mô˜i nghiê m ρ(r) thuô c ló.p C cu’a hê (2.4)-(2.5), nghiê m (X, U, P ) sẽ thuô.c ló.p C theo các - ê’ ý ră` ng, phu.o.ng trı̀nh (2.4): ϕr = phr là mô.t hê phu.o.ng trı̀nh biê´n (s, r) D tuyê´n tı´nh n â’n (p1 , , pn ), ma trâ.n cu’a nó là hr có ha.ng là n − h là ` ng phôi Nhu vâ.y, cú vó.i mô˜i r, tâ.p nghiê m cu’a nó lâ.p thành mô.t phép d̄ô ∂F ` u Nê´u F thâ.t su phu thuô c vào ux nghı̃a là 6= mo.i no.i d̄a ta.p 1-chiê ∂p thı̀ phu.o.ng trı̀nh (2.5): F (h(r), ϕ(r), p) = ` u n − Do d̄ó, hê phu.o.ng trı̀nh có nghiê m lâ.p thành không gian có sô´ chiê ` u nghiê m hoă.c mô.t d̄a (2.4)-(2.5) vó.i mô˜i r có thê’ vô nghiê m, mô.t hoă.c nhiê ` u Nê´u hê có nghiê m nhâ´t thı̀ theo d̄i.nh lý hàm â’n, ta.p nghiê m 1-chiê ` u nghiê m mà các nghiê m nghiê m ρ = ρ(r) sẽ thuô.c ló.p C Nê´u hê có nhiê ρ(r) có thê’ chă´p ghép theo nhũ.ng hàm tro.n khác nhau, bài toán (3.1)-(3.2) ` u nghiê m và nê´u hê (2.4)-(2.5) vô nghiê m thı̀ sẽ dâ˜n d̄ê´n bài có thê’ có nhiê toán (3.1)-(3.2) vô nghiê m Bây giò., gia’ su’ ră` ng ρ = ρ(r) là mô.t nghiê m ló.p C cu’a hê phu.o.ng trı̀nh (2.4)-(2.5) và (X, U, P )(s, r) là mô.t nghiê m tro.n nhâ´t cu’a bài toán (3.3)-(3.4) tu.o.ng ú.ng vó.i ρ Gia’ su’ B tu tú.c là d̄i.nh thú.c (2.6) det J 6= thoa’ mãn ta.i mo.i - ê’ ý d̄i.nh thú.c này chı́nh là Jacobian cu’a ánh xa d̄iê’m x = h(r) ∈ B D ` n ta.i mô.t (r, s) → X(r, s) ta.i s = Cho x ∈ D, theo d̄i.nh lý hàm ngu.o c, tô lân câ.n cu’a (0, r) cho ánh xa (s, r) → X(s, r) = x là mô.t phép vi phôi d̄i.a phu.o.ng Do d̄ó ta d̄ă.t u(x) = U ◦ X −1 (x) = U (s, r) thı̀ d̄ó u(x) sẽ là mô.t nghiê m thuô.c ló.p C pha’i tı̀m Lop12.net (3.5) (18) 18 ` u nói trên ta có d̄i.nh lý sau: Tô’ng kê´t nhũ.ng d̄iê - inh lý Gia’ su’ F, f, và B kha’ vi liên tu.c lâ ` n, B là tu còn 3.1 D ρ là mô.t nghiê.m tro.n cu’ a (2.4)-(2.5) Khi â´y (3.5) là nghiê.m nhâ´t cu’ a ` n (3.1)-(3.2) mô.t lân câ.n nào d̄ó cu’ a B Ngoài u kha’ vi liên tu.c lâ Chú.ng minh Gia’ su’ (X, U, P )(s, r) là mô.t nghiê m cu’a hê (3.3)-(3.4) Khi d̄ó F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = 0, ∀s d̄u’ nho’ và r ∈ O - ă.t u(x) = U ◦ X −1 (x), ta có F (x, u(x), P (s, r)) = Viê.c còn la.i là pha’i D chú.ng minh ux (x) = (P ◦ X −1 )(x) = P (s, r) thuô.c ló.p C Theo gia’ thiê´t cu’a d̄i.nh lý và các nô.i dung trı̀nh bày o’ trên ta thâ´y X −1 ` n ta.i d̄i.a phu.o.ng và u = U ◦ X −1 thuô.c ló.p C Vó.i mô˜i r0 cô´ d̄i.nh, F = tô ` u kiê.n (3.4) và (2.5), hă` ng sô´ này const do.c theo da’i (X, U, P )(s, r0 ) Do d̄iê bă` ng Thâ.t vâ.y, theo cách d̄ă.t (3.5), ta có U (s, r) = u ◦ X(s, r) nên Ur = ux · Xr và Us = ux · Xs - ă.t D W (s, r) = Ur − P Xr `u (n − 1)- chiê V (s, r) = Us − P Xs `u 1- chiê - ê’ ý tù (3.3) ta có V (s, r) = Ta câ ` n chú.ng minh W (s, r) = Ta có D Ws = Ws − Vr = Urs − Ps Xr − P Xrs − Usr + Pr Xs + P Xsr = Pr Xs − Ps Xr = Fp Pr + (Fx + P FU )Xr Vó.i s d̄u’ nho’, ta có F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = nên Fr = hay Fx Xr + Fu Ur + Fp Pr = Suy Ws = −Fu (Ur − P Xr ) = −Fu W Lop12.net (19) 19 Ta có W (0, r) = ϕr − ρhr = nên vó.i mô˜i r ∈ O, W (s, r) là mô.t nghiê m cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân w0 (s) = −Fu w(s) w(0) = - ây là bài toán Cauchy cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân tuyê´n tı´nh vó.i d̄iê ` u kiê.n D ` u bă` ng 0, nên có nghiê m nhâ´t là Do d̄ó W (s, r) = Tóm la.i, ta có d̄â Ur = P Xr , Us = P Xs và theo (3.5), Ur = ux Xr , Suy ta có ( Us = ux Xs (P − ux )Xr =0 (P − ux )Xs =0 - ây là hê n phu.o.ng trı̀nh (d̄a.i sô´) tuyê´n tı´nh vó.i n â’n là pi − uxi , ma D trâ.n cu’a hê phu.o.ng trı̀nh này là (Xr , Xs ) không suy biê´n nên hê có nghiê m ` m thu.ò.ng bă` ng Vâ.y P = ux nhâ´t tâ - i.nh lý Gia’ su’ u là mô.t nghiê.m thuô.c ló.p C cu’ a bài toán (3.1)3.2 D (3.2) mô.t lân câ.n cu’ a B vó.i F, f, B cũng thuô.c ló.p C và B là d̄a ta.p ` u tu vó.i da’ i ban d̄â ` u d̄u.o c xác d̄i.nh bo’.i ρ(r) = ux (h(r)) Khi â´y ban d̄â ` u kiê.n (3.3)-(3.4), nghiêm u này có biê’u diê˜n theo công thú.c (3.5), ı́t vó.i d̄iê nhâ´t là mô.t lân câ.n cu’ a B Chú.ng minh Gia’ su’ (X1 , U1 , P1 ) là mô.t nghiê m cu’a bài toán (3.3)- ă.t u1 (x) = U1 ◦ X1−1 (x), ta chú.ng minh ră` ng (3.4) vó.i ρ(r) = ux (h(r)) D u1 (x) = u(x) mô.t lân câ.n nào d̄ó cu’a B Theo gia’ thiê´t, u(x) là mô.t nghiê m thuô.c ló.p C cu’a bài toán (3.1)(3.2), ta hãy xét mô.t da’i d̄ă.c tru.ng (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) xác d̄i.nh bo’.i hê phu.o.ng trı̀nh sau d (3.6) X(s, r) = Fp (X, U, P ) ds X(0, r) = h(r), (3.7) d̄ó U (s, r) = u(X(s, r)), P (s, r) = ux (X(s, r)) Lop12.net (20) 20 ` n ta.i nhâ´t nghiê m mô.t lân câ.n Bài toán Cauchy (3.6)-(3.7) tô cu’a s = Ta sẽ kiê’m tra ră` ng bô ba (X, U, P ) cũng là mô.t nghiê.m cu’a bài toán (3.3)-(3.4) Khi d̄ó nhò tı´nh nhâ´t nghiê m cu’a bài toán này, ta suy X = X1 , U = U1 , P = P1 nên u(x) = u(X(s, r)) = U (s, r) = U1 (s, r) = u1 (x) lân câ.n nào d̄ó cu’a B Viê.c còn la.i, bă` ng tı´nh toán tù X(0, r) = h(r), Xs (s, r) = Fp (X, U, P ) cùng vó.i (3.5), ta thâ´y Us0 (s, r) = ux (X(s, r)) Xs0 (s, r) = P Fp Ps0 (s, r) = uxx (X(s, r)) Xs0 (s, r) Do F (x, u(x), ux (x)) = nên Fx + Fu P + Fp uxx = hay Xs0 uxx = −Fx − Fu P tú.c là Ps0 (s, r) = −Fx − Fu P Nhu vâ.y d̄i.nh lý d̄u.o c chú.ng minh 3.3 Hê qua’ Nê´u F, f, B thuô.c ló.p C , B tu và gia’ su’ ta.i mô˜i d̄iê’m cu’ a B, hê (2.4)-(2.5) có nhâ´t nghiê.m thı̀ công thú.c (3.5) xác d̄i.nh mô.t nghiê.m nhâ´t thuô.c ló.p C cu’ a bài toán (3.1)-(3.2) §4 Áp du.ng vào phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi Bây giò ta xét tru.ò.ng ho p thu.ò.ng gă.p nhâ´t là bài toán Cauchy d̄ô´i vó.i phu.o.ng trı̀nh Hamilton - Jacobi sau d̄ây ut + H(t, x, ux ) = 0, t > 0, x ∈ Rn , u(0, x) = f (x), x ∈ Rn (4.1) (4.2) Ta hãy thay n bă` ng n+1 lý luâ.n tru.ó.c, d̄ă.t t = xn+1 , B = Rn ×{0} Ký hiê u pn+1 = ut và p = (p1 , , pn ), phu.o.ng trı̀nh (4.1) d̄u.o c viê´t la.i F = pn+1 + H(t, x, p) Lop12.net (21)