LOI CAM ON
Trước tiên tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới: T.S Trần Văn Bằng - người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tơi trong suốt quá trình hồn thành luận văn này
Tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cơ cơng tác và tham gia giảng dạy ở phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Các thầy, cơ đã nhiệt tình giảng dạy cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tơi hồn thành khĩa học tại trường
Dồng thời tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng
nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học
tập và viết luận văn
Trang 2LOI CAM DOAN
Qua quá trình nghiên cứu luận văn với đề tài "Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptie F (D?u(z), z) = 0" toi đã hiểu sâu hơn về bộ mơn Giải tích hiện đại, đặc biệt về bộ mơn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
Tơi xin cam đoan luận văn được hồn thành là do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt
tình của thầy giáo: T.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy, cơ trong
tổ Tốn giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2
Trang 3Mục lục 20.00.0002 ee 3
Moé dau 0.0 000000 eee 4
Các kiến thức cơ sở 9
1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cđơbản 9
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai 10
Nghiệm nhớt của phương trình Elliptic, đánh giá Alexan- droff và nguyên lý cực đại 16 2.1 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic 17
2.2 Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cực đại 27
Trang 4MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Như chúng ta đã biết, phương trình đạo hàm riêng nĩi chung và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptie F (D?u(z), z) = 0 nĩi riêng cĩ ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế Cĩ rất nhiều lĩnh vực nghiên cứu hiện đại mà trong đĩ phương trình đạo hàm riêng đĩng vai
trị hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhĩm nhiều chiều, lý
thuyết trường lượng tử, lý thuyết các khơng gian thuần nhất và vật lý tốn
Mặc dù được đề cập từ rất lâu vào khoảng cuối thế kỉ 18 và đầu thế kỉ 19, nhưng lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cho
tới nay cơ bản vẫn chưa được hồn thiện Từ đầu thế kỉ 20 cho tới nay,
do nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ những phương trình đạo hàm riêng đã kích thích sự phát triển các phương pháp nghiên cứu cơ bản của: Giải tích thực, Giải tích hàm và Tơpơ
Một bài tốn phương trình đạo hàm riêng nếu cĩ ý nghĩa thực tiễn
thì chắc chắn phải cĩ nghiệm Vấn đề là nghiệm đĩ hiểu theo nghĩa nào
mà thơi Cĩ rất nhiều phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến thường khơng cĩ nghiệm cổ điển Vì vậy
ta phải cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng để bài tốn cĩ
nghiệmn hơn nữa nghiệm đĩ cần phải duy nhất
Năm 1979, Krylov và Safonov đã chứng minh bất đẳng thức Harnack cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng elliptie cấp hai cĩ dạng khơng divergence với các hệ số đo được Điều đĩ đã mở ra một cách
Trang 5-4-để phát triển lý thuyết chính quy cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hồn tồn
Cùng thời gian đĩ thì Crandall-Lions [5] và Evans [6, 7] đã giới thiệu
một khái niệm nghiệm yếu (nghiệm nhớt) cho phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến hoặc tuyến tính cĩ dạng khơng divergence, nĩ thống
nhất với nguyên lý Dirichlet và nghiệm biến phân trong lý thuyết về phương trình dạng divergenee
Vì vậy tơi đã lựa chọn đề tài "Nghiệm nhớt của phương trình
dao ham riéng phi tuyén Elliptic F (D?u(z), 2) = 0",
Trong luận văn này, tơi sẽ trình bày một số kết quả về lý thuyết chính
quy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hồn tồn:
F(D?u,z) = ƒ0), (0.0.1)
trong đĩ Du là Hessian của Trong [3, 4] các tác giả đã nghiên cứu cho phương trình cĩ dạng:
F (D*u,x) =0 (0.0.2)
(tương ứng với "phương trình thuần nhất với hệ số hằng số" trong trường
hợp tuyến tính) Từ các kết quả đĩ ta thu được các Œ*, Ch*, C?* va W”?- đánh giá tiên nghiệm trong miền cho nghiệm của (0.0.1) Khi la elliptic déu (xem Dịnh nghĩa 2.1.1)
Một trường hợp đơn giản nhất là trường hợp các phương trình tuyến
tính, khi đĩ ta cĩ thể giả thiết rằng (0.0.2) chính là Au = 0 Lic do ta cĩ thể đánh giá các đạo hàm của hàm điều hịa (nghiệm của Au = 0)
Trang 6Gia stt 0 <a <1 và |laij — dij|];~(p,) Š ở = ð(a), với một ở nhỏ Khi đĩ € Œ*^(P¡„;) và ll*[c:.- ø,„„; < Œ(|wll;~,ø,y + Wf lle ce.) (b) (Schauder) Nếu aj và ƒ thuộc Œ*(H¡) thì u € Œ?“^(¡„;) và |+|Ìc (ø,,„ €(ellr~ø,y + |ƒ|[c~(ø,))- (c) (Calderén-Zygmund) Néu aj; lién tuc trong By va f € L'(B,) vil < p < o thiue W (B12) và |wllw+»s,„„; < €(elÌx~ (ø,) + IF lee.) Luận văn này đề cập tới một mở rộng của các kết quả trên cho ho _
nghiệm của (0.0.1) Thậm chí là trong trường hợp tuyến tính, kỹ thuật
ở đây vẫn cho ta những kết quả mới vì mức độ gần của a;; đối với ổ;; được xác định bởi ”"- chuẩn chứ khơng phải là - chuẩn (ø là số chiều của R")
Cơng cụ cơ bản trong cách tiếp cận mới này là đánh giá Alexandroff - Bakelman - Pucci và nguyên lý cực đại Chúng được dùng để:
(1) Điều khiển hàm phân bố của một nghiệm; điều khiển này dẫn tới bất đẳng thức Harnack và do đĩ dẫn tới Œ*“- chính quy
(2) Xấp xỉ trong L® của nghiệm bởi các hàm affine (hay cdc paraboloid);
điều này dẫn tới các đánh giá Œ”*^ (tương ứng Œ”*)
Vấn đề cốt lõi ở đây là hiểu các đạo hàm riêng của một hàm thơng
qua các xấp xỉ đa thức của nĩ
Nĩi một cách nơm na, phương pháp nêu trên về cơ bản là "phi tuyến" theo nghĩa nĩ khơng dựa quá nhiều vào cấu trúc của phương trình (0.0.1) Do vậy, nĩ cĩ thể áp dụng đối với các phương trình hồn tồn tổng quát (khơng nhất thiết trơn) như các phương trình Pucci, Bakelman và
Isaasc Trong đĩ tính chính quy nhận được bằng cách lấy vi phân của phương trình (0.0.1)
2 Mục đích nghiên cứu
Trang 73 Nhiệm vụ nghiên cứu
e Tìm hiểu cách xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình e Dưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các khái niệm
e Chứng minh các tính chất định tính của nghiệm nhớt
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu e Đối tượng nghiên cứu:
Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến e Phạm vi nghiên cứu:
Lớp phương trình phi tuyến dạng #' (D?u(z), x) = 0
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyến bằng cách thu thập thơng tin, đọc, phân tích và
tổng hợp tài liệu để cĩ được một nghiên cứu tổng quan về nghiệm nhớt
của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến elliptic #' (D?u(z),z) = 0
6 Bỗ cục của luận văn
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương:
e Chương 1 Các kiến thúc cơ sở
Nhằm giới thiệu một số thuật ngữ và mơ tả mối quan hệ giữa các
tính chất khả vi của hàm + và các paraboloid tiếp xúc với đồ thị
của hàm wu
e Chương 2 Nghiệm nhĩt của phương trình cliptic, đánh giá Alexan- droff va nguyên lú cực đại
Trong chương này đề cập:
+ Nghiệm nhớt của phương trình (0.0.1), định nghĩa và các tính
Trang 8chúng ta xác định lớp các hàm chứa tất cả các nghiệm cổ điển của phương trình elliptic tuyến tính và phi tuyến với các hằng số elliptie cố định và các hệ số đo được (xem mục 2.1.2) Trong mục 2.1.3 tơi đưa ra một số ví dụ quan trọng về các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hồn tồn
+ Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci và nguyên lý cực đại cho nghiệm nhớt Vì kết quả này cĩ vai trị chìa khĩa trong nguyên lý chính quy sau này
Chương 3 Bat đẳng thức Harnack ồ tính duy nhất nghiệm Trong chương này trình bày:
+ Chứng minh bất đẳng thức Harnack nhờ vào đánh giá Alexan-
droff và kỹ thuật của Crandall-Zygmund Về cơ bản chứng minh giống với chứng minh lần đầu phát hiện bởi Krylov và Safonov Một
hệ quả của bất đẳng thức Harnack là ta cĩ kết quả vé C® - chính
quy trong miền đối với các nghiệm của phương trình (0.0.1) Trong mục 3.1.3 trình bày một kết quả về tính Œ* - chính quy tồn cục
+ Nghiệm xấp xỉ Jensen của phương trình (0.0.2) được giới thiệu
lần đầu tiên trong [8] và sử dụng chúng để chứng minh tính duy nhất cho bài tốn Dirichlet đối với (0.0.2) Các mục 3.2.3 và 3.2.4 dành
Trang 9Chương 1
Các kiến thức cơ sở
1.1 Thuật ngữ và kí hiệu cơ ban
Kí hiệu R" là khơng gian Euelidear n - chiều với chuẩn
je] = VIz + lao)? + - + |zaÏ,
|zl„ = max{|zi|,|za|,- |J#z|}:
Néu B, = ,(zu) = {z € R" : |z — zs| < r} là một hình cầu (mở) thì
B„„(zu) cũng được kí hiệu là Ư„„
Xét hình lập phương mở
Q;(#s) = {2 ER": |x — |, < s} với tâm xy va do dai canh r
Q 1A mién bi chan (tap mở, liên thơng, bị chặn) của R”
A và A là hai hằng số cố định sao cho 0 < À < A, được gọi là hang
Trang 10am cha u, tacdu=u* —u- Gid cha u kí hiệu là suppu Ta kí hiệu: Ou = Oju = Ui, Ox; Ou a ———=0„u = uj;- O0x,02; 4 1
D?u la Hessian cia u (là ma trận đối xứng với các phần tử là u;;)
Hàm L trên R” dude goi la affine néu L(x) = Ip + U(x), trong đĩ ỉạ € IR và / là một hàm tuyến tính Mot paraboloid P là một đa thức bậc 2 của (#,#¿, ,#„) và cĩ thể viết dưới dạng: P(x) = L(x) + pris
trong d6 L là một hàm affine và 4 = D?P là ma trận đối xứng Trong luận văn này, thuật ngữ "trơn" cĩ nghĩa là thuộc lớp C™
W*?(@) là khơng gian Sobolev các hàm cĩ tính chất: các hàm và các
dao hàm đến cấp k của nĩ thuộc ƒ”(©)
c(Q) va Ch*(Q) la khơng gian HưÏder ( nếu 0 < a < 1) và là
khơng gian Lipschitz (nếu œ = 1); với k € ĐT Chuẩn trong chúng là l|Ìc ,a; = Ill] on@) + [D'u] o>
trong đĩ
[o],„ = sup I) = el (1.1.1)
: xyeQ |x a y|
##U
1.2 Paraboloid tiếp xúc và tính khả vi cấp hai
Trong phần này tơi dẫn ra một số tính chất về tính khả vi hai lần của
hàm + từ các kiến thức về các paraboloid tiếp xúc với đồ thị của hàm
u Cac kết quả này sẽ được sử dụng trong lý thuyết về tính chính quy ở
Trang 1110-các mục sau
Ta nĩi P là một paraboloid uới độ mở MĨ nếu M
P(x) = In + U(r) > |a/’, (1.2.1)
trong đĩ M 1A hang s6 duong, Ip IA hang sé va / 1A ham tuyén tinh P 1A
lồi khi lấy + trong (1.2.1) và là lốm khi lấy - trong (1.2.1)
Với hai hàm liên tục %, xác định trong một tập mở 4 và #g € A, ta nĩi tiếp œúc trên với u tại zạ trong A nếu
u(r) < v(x), VareA,
u(to) = v(a) Tương tự, ta cĩ khái niệm tiép xtic dudi
Cho + là hàm liên tục trên Ơ, 4 C Ơ là tập mở Với z; € A, ta định nghĩa:
6(u, A)(zo}) (1.2.2)
là cận dưới của tất cả các hằng số dương ÄMƒ, sao cho cĩ một paraboloid lồi với độ mở tiếp xúc trên với w tại #ạ trong A Ta định nghĩa (1.2.1) bằng œ nếu khơng tồn tại hằng số dương Aƒ nào, Cĩ thể thấy Ø(, 4) là một hàm đo được trong 4A
Sử dụng các paraboloid lõm và tiếp xúc dưới với w, ta cĩ khái niệm
0(u, 4)(u) € [0, S]
Đặt 0(u, A)(zo) = sup {0(u, A)(zo), O(u, A)(20)} < co
Với zg € Q, ta ndi ula Ct trén tai xp [tuong tng C' dưới tại zạ, C*† tai 29] nếu Ø{u, A)(#u) < oo [tương ứng Ø(u, A)(#s) < 00, O(u, A)(#u) <
œ] với một lân cận 4 nào đĩ của zạ Mệnh đề 1.2.2 dưới đây cho thấy tên gọi đĩ là hợp lý
Nếu wu là Cl! tai xp thi u kha vi tai xp, vi u nam gitta 2 paraboloid tiép xtic trong mot lan can cha 2x
Xét tỉ sai phân cấp hai của u tai x9:
u(ao + h) + 0(øạ — h) — 2u(g)
Trang 12trong đĩ h € R” va ta gia thiét rang xy + h va x — h thuộc Q Chi ¥
rang Aj P = M (tuong tng: AZ P = —M) khi P 1a paraboloid lồi (tương ứng: lõm) với độ mở AM Do đĩ, với mọi zp € ©, —0(u, Blu(u))(au) < Ajw(mu) < Hu, Byy(2o) (a), (1.2.4) néu Bjp\(xo) CQ Mệnh đề 1.2.1 Cho 1 < p< œ và u liên tục trong Q Giả sử e là một hằng số dương và đặt 0(u,£e)(#) := 0(u„20Đ.(z))(z), xc Ĩ (1.2.5) Giả sử 0(u,e) € LP(Q) Khi đĩ D”u € L?(Q) va ||D°ul a) < 2|Ø(+,£)|[u»(ey: (1.2.6) Chứng minh Do 1< p< œ, nên ta chỉ cần chứng minh J ves] $21 hiner (1.2.7) 2 vi Ve € C™(Q) va Vi, 7 Trong đĩ ø là số mũ liên hợp của p Nếu cĩ điều đĩ thì 2w € L?(Q) và thỏa mãn (1.2.6) Ta chứng mình (1.2.7), ta cĩ 1 O59 = 3 mm — Ø;w c— Ø;;£) 1 = s20 — ny — O17) 5 trong dé v = =a và {e¡} là cơ sở chính tắc của R” Vi thé ta chi can chứng minh: J 66] £100 Melle (1.2.8) Q
Giả sử CC ©) là giá của ¿ Ta cĩ
Tai = [ues =lim pers g=lim | (AR we;
630 ‘ 630 r
a K K K
Trang 13-12-xem lại (1.2.3) về định nghĩa của A? Lấy ð < e và 6d < dist(K, R"\Q) thì từ (1.2.4) và (1.2.5) suy ra |A5.,u| <O(u,e) trong K và ta cĩ (1.2.8) Oo Ménh dé 1.2.2 Cho u € C(Q) va B 1A mién Idi sao cho B C 9 Lay € > 0 va dinh nghĩa:
O(u,e)(x) := O(u,QN B.(2))(z), «EB
Giả sử tồn tại hằng số K sao cho 0(u,e)(œ) < K, Va € B Khi đĩ u € C"1(B) và
|Du(z) — Du(w)| < 2n||0(u, £)||,~(»y |# — 9Ï Vz,ue (12.9) Chú ý 1.2.1 Nếu 9 là lồi thì ||Ø(0, £) ||, oy € ll#|[o-svoy: Chứng minh mệnh đề 1.2.2 Do 0(u,#) < oo, Ve € B nén œ là khả vi tại Vz € Ư Theo Mệnh đề 1.1.1 (áp dụng với Q = PB) ta cĩ Du € L®(P) và |Dˆ+|Ì, „, < 2||Ø(u £) ||¡.~ p)- Vi u; = Ou € W'(B) va B là lồi nên 0; liên tục và 1 u(x) — u(y) = [Guts +(1—t)y)dt = 3 [2n + (1= 0y) tứ, — 1); véi moi z,y € B Do |D°ul| cay S 2|/A(u, €)||;~(g) nén ta cĩ (1.2.9) O
Mệnh đề 1.2.2 và kết quả sau đây được dùng để chứng minh đánh giá Alexandroff cho nghiệm nhớt trong Chương 2
Dinh ly 1.2.1 Cho H: B,C R" > R" [A Anh xa Lipschiitz Khi do
Trang 14Gia sw A C By la tap sao cho |B,\A| = 0 va H khả vi tai Vx € A Khi đĩ |H(Ba)| < / |det DHỊ, (1.2.10) A trong đĩ DH là vi phân của H Khẳng định thứ nhất là định lý Rademacher Cịn (1.2.10) là cơng thức tính diện tích của ánh xạ Lipschitz
Định nghĩa 1.2.1 Hàm œ € Œ(©) được gọi là khả ơi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại zạ e © nếu tồn tại một paraboloid sao cho
u(x) = P(x) +0 (|x 2)’) khi «> %, (1.2.11) tức là |ø(z) — P(x)||2—ao\> 390 khi a2 > ap Khidé dat D?u(2y) =
DˆP
Ta noi u khả vi cấp hai tại zạ nếu wu kha vi trong lân cận của rp VA Du(z) khả vì tại xạ Rõ ràng tính khả vi cấp hai tại z kéo theo tính khả vi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại z
Dinh ly 1.2.2 sau đây là định lý Alexandrof-Buselman-Feller Nĩ rất
cần thiết cho Chương 3
Dinh lý 1.2.2 Giả sử u lồi trong Bạ Khi đĩ u khả vi cấp hai theo
nghĩa từng điểm tại hầu hết xạ € Bạ
Trang 1514-Dat w(x) = u(x) + Ele’ Như trong (1.2.4), ta cĩ: với mọi h sao cho
to th va x — h thuộc 9,
A?(zs) = A?ju(ws) + K >0
Do dé w (4) < 1 (w(x) + w(y)), Ve,y € Q Viw lién tuc nén w lồi
Trang 16Chương 2
Nghiệm nhớt của phương trình
Elliptic, đánh giá Alexandroff và
nguyên lý cực đại
Trong [ð], Crandall và Lions đã phát triển một lý thuyết nghiệm nhớt
cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, theo đĩ ta cĩ sự tồn tại
nghiệm Trong chương này ta đưa ra khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hồn tồn
Trước hết ta đề cập tới ý tưởng của định nghĩa này đối với phương
trình Laplace
Ví dụ 1 Xét phương trình „„ = 1 (trong trường hợp ø = 1)
Dễ thấy: một hàm số liên tục œ xác định trên khoảng 7 của IR cĩ dạng
u(œ) =a+ bz + z?/2 với ø,b — const (hay là một nghiệm cổ điển của
phương trình đĩ) khi và chỉ khi 2 điều kiện sau thỏa mãn:
(1) p(z) là một parabol (một đa thức bậc hai) và — p cĩ cực đại địa phương tại zạ € 7 thì p (z) > 1
(2) p(z) là một parabol (một đa thức bậc hai) và — p cĩ cực tiểu địa phương tại zg € 7 thì p (g) < 1
Ví dụ 2 Xét phuong trinh Au = 0 (trong trường hợp ø > 1)
Giả sử © là một miền trong R", ta cĩ thể chứng minh được u 1A một hàm điều hịa trong © khi và chỉ khi wu liên tục và thỏa mãn 2 điều kiện
sau:
Trang 17-(1) u-¢ ¢6 cue dai dia phuong tai zy € 2 va y € C?(Q) thi Ay(xo) > 0 (2) u—y c6 cực tiểu địa phương tại zg € 9 và ¿ € C?(©) thì Ag(zo) < 0
Với hai ví dụ trên, ta sẽ lấy 2 điều kiện trên làm định nghĩa nghiệm nhớt của phương trình Laplaece
Tương tự, ta sẽ định nghĩa nghiệm nhĩt cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 2 Van dé mau chốt là nguyên lý cực đại vẫn thỏa mãn đối với các phương trình đĩ nhờ thủ tục tuyến tính hĩa Do vậy định nghĩa nghiệm nhớt địi hỏi nguyên lý cực đại phải thỏa mãn khi
"được thử" với các nghiệm dưới và nghiệm trên trơn Theo cách đĩ thì tốn tử vi phân khơng áp dụng vào mà được áp dụng vào các hàm trơn
Nghiệm cổ điển œ của phương trình elliptie đều với vế phải bằng 0 (phương trình cĩ thể phi tuyến), cĩ tính chất Hessian 2% cĩ các giá trị
riêng với dấu khác nhau và chúng liên hệ với nhau theo nghĩa: các giá trị
nhỏ nhất và lớn nhất là so sánh được với nhau, tức là chúng điều khiển
nhau qua các hằng số elliptie Điều đĩ là rõ ràng đối với các phương trình tuyến tính dạng khơng divergenee:
ajj(#)Ư,u(z) = tr [A(z).D”u(z)] = 0,
trong đĩ A(z) = [ø¡;()] và tr là vết của ma trận Nĩi cách khác, một
phương trình elliptie quy định độ cong của các nghiệm Trong mục 2.1.2
tơi đưa ra tốn tử cực trị Pucci, nĩ diễn tả sự điều khiển đối với các giá
trị riêng của 2œ qua các hằng số elliptic Tập các nghiệm nhớt của các tốn tử cực trị Pucci gọi là lớp Š, nĩ chứa tất cả các nghiệm cổ điển của các phương trình elliptie đều tuyến tính và phi tuyến với các hằng số elliptic cố định Mục 2.1.3 giới thiệu một số ví dụ về phương trình
elliptie phi tuyến hồn tồn
2.1 Nghiệm nhớt của phương trình elliptic 2.1.1 Nghiệm nhớt
Xét phương trình
Trang 18trong đĩ z € © và œ, ƒ là hàm xác dinh trén mién bi chin Q cita R” F(M, z) là hàm giá trị thực xác định trên 9 x Ĩ Trong đĩ ® là tập tất
cả các ma trận đối xứng thực cấp øœ x ø Ta giả thiết Ƒ là tốn tử elliptic
đền, tức là:
Định nghĩa 2.1.1 F 1A elliptic déu nếu tồn tại 2 hằng số dương À < A
(được gọi là bằng số ellipfie) sao cho với mọi M € § và z€ S
AN < F(M + N,z)— F(M,z) <A||A|, VN >0
Ta viết N > 0 nếu N 1a ma tran déi xứng thực, khơng âm, cịn || A ||
là (1?, L?)- chuẩn của Aƒ (tức là |||] = sup |A/z|) Do đĩ ||N|| là giá
|z|=1
trị riêng lớn nhất của W khi ý >0
Với các giả thiết trên thì phương trình (2.1.1) được gọi là phương
trình elliptie đều cấp hai hồn tồn phi tuyến
Nếu khơng nĩi gì thì ta luơn giả sử ƒ và #' là các hàm liên tục tại z
Ta nhớ rằng bất kì W € ® đều cĩ sự phân tích duy nhất dưới dạng N = N*—N™- véi N+, N- > 0 va N*N~ = 0 Ta dé dang kiém tra
diéu sau
Bổ đề 2.1.1 Ƒ là elliptic đều nếu và chỉ nếu
F(M + N,z) < F(M,z) + A||N*||[—A||N ||, VM,NeS, vzeO
Chú ý rằng: Từ điều kiện elliptie đều suy ra F(M, x) là đơn điệu tăng va Lipschitz theo M € S
Vi du Dé thay, todn tt tuyén tinh Lu = a;;(x)0;;u vdi a;; la ma tran
đối xứng thực cĩ các giá trị riêng thuộc đoạn [A, A] 1a elliptic déu (theo
Dịnh nghĩa 2.1.1) với các hằng số elliptie À,wA
Tiếp theo ta đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của (2.1.1) Trước tiên, cần nhớ lại rằng hàm 0 xác định trên © được gọi là cĩ cực đại địa phương
tai rp (xp € Q) néu v(x) < 0(zạ) với mọi z thuộc một lân cận nào đĩ cua Xo
Định nghĩa 2.1.2 Mot ham liên tục wu trong 2 dude goi la nghiém nhét dưới (tương ứng: nghiệm nhớt trên) của (2.1.1) trong ©, khi điều kiện
Trang 19-18-sau thoa man
Néu x € 2, y € C?(Q) va u— ¿ cĩ cực đại địa phương tại z thì
F(D* p(x), 20) = F(20) (2.1.2)
[Nếu — ¿ cĩ cực tiểu địa phương tại z thi F(D?y(a0), 70) < f(xo)]- Ta nĩi œ là nghiệm nhớt của (2.1.1) nếu nĩ vừa là nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình đĩ
Ta cũng nĩi (Du, z) > [tương ứng: <, =] ƒ(#) theo nghĩa nhớt trong © nếu + là nghiệm nhớt dưới [tương ứng: nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt] của (2.1.1) trong 9
Mệnh đề 2.1.1 Các khẳng định sau đây là tương đương
(1) u là nghiệm nhĩt dưới của (2.1.1) trong ©
(2) Nếu zạ € ©, A là một lân cận mỏ của zụ, @ € Œ”(A),
u<yp trong A va u(#g) = (20) (2.1.3)
thi F(D* p(x), 20) = f (20)
(3) Giống như (2) nhưng thay y € C?(A) bởi yp 1a mét paraboloid
Chú ý 2.1.1 Theo thuật ngữ trong mục 2.1.1, ta nĩi ¿ tiếp xúc trên
với œ tại zọ, nếu tồn tại một lân cận mở 4 của z sao cho (2.1.3) thỏa
mãn
Chứng minh mệnh đề 2.1.1
Ta thấy (1) = (2) và (2) = (3) là hiển nhiên Để chứng minh (3) = (1), ta gid stt p € C?(Q) va u— ¿ cĩ cực đại địa phương tại zg Với
e > 0 đủ nhỏ, đặt
P(x) = u(y) + Dol) (2—0)-+ 5(2 — 29)! D*p(t0)(—29) + Sle — 2)
Ta cĩ P là paraboloid tiép xtc trén véi u tai zp Do (3) đúng nên ta cĩ:
F(D?¢(ao) + el, 20) > f(a) Cho ¢ > 0, ta cĩ F(D?y(x9), 20) > f (20)
Trang 20trong © thì w = —ø là nghiệm nhớt dưới của G(D?u(x),2) = —f(x)
trong ©, trong đĩ
G(M,z) = —F(—M,z)
Chú ý rằng Œ cũng là hàm elliptic đều
Bồ đề 2.1.2 Giả sử u là nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong © và u khả vi cấp hai theo nghĩa từng điểm tại zạ € © (xem Định nghĩa 1.2.1)
Khi đĩ F(D”u(aa), #o) > f (xo)
Chứng mình
Giả sử P là paraboloid thỏa mãn (1.2.11) Khi đĩ P(z) +e-E=mỈ tiếp
xúc trên với œ tại zg, với mọi e > 0 Tương tự như chứng minh Mệnh đề
2.1.1 ta cĩ kết luận của bổ đề Oo
Ti diéu kien elliptic déu, ta co: méi C? - nghiém cé dién cia (2.1.1) là một nghiệm nhớt Bổ đề 2.1.2 cho ta điều ngược lại, tức là ta cĩ hệ quả 2.1.1
Hệ quả 2.1.1 Giả sử u € C”(O) Khi đĩ u là nghiệm nhớt dưới của
(2.1.1) trong © khi và chỉ khi F(D?u(+),z) > f(x), Vre 9Ð
Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa nghiệm nhớt dưới Mệnh đề 2.1.2 Giả sử u và là các nghiệm nhớt dưới của (2.1.1) trong
Q Khi đĩ sup(u, 0) cũng là nghiệm nhĩt dưới của (2.1.1) trong 9 Kết quả sau đây liên quan tới vấn đề thác triển nghiệm nhớt trên
Mệnh đề 2.1.3 Cho © và ©¡ là các miền bị chặn sao cho Ư C Ơ¡ Giả situ € Ở(©¡) là một nghiệm nhĩt trén trong Q, cia F(D?u,xr) = f(x)
va v € C(Q) 1a mét nghiém nhét trén cia F(D?u, x) = g(z)
Hơn nữa gia thiét v > u trên OANQ, va dat
va h=
Ị- trong ©ị\O ‹ I) trong 2,\Q
w=
[ inf (u,v) trong Q | sup (f,g) trong Q Khi dé w IA mot nghiém nhét trong Q, cia F(D?w,x) = h(x)
Trang 21-Ta cĩ kết quả tương tự cho nghiệm nhớt dưới Chứng minh mệnh đề 2.1.3
Giả sử ¿ là một 2 - hàm tiếp xúc dưới với + tai ry) € OQ) Nếu w(xo) = (#ạ) thì ¿ tiếp xúc dưới với w tại zạ, do đĩ F(D”e(#e),#g) < ƒ(#o) < h(zo) Nếu u(ao) > w(xo) = v(x) thi zo € Q (do u > v trén 99đn9/) va vy tiép xtc dudi vdi v tai xy nén F(D°y(x9), 20) < g(to) <
h(a) L]
Chúng ta cũng dễ dàng chứng minh tính đĩng của họ các nghiệm nhớt
của (2.1.1) Cụ thể ta cĩ
Mệnh đề 2.1.4 Cho {H:},„ị là dãy các tốn tử elliptic đều với các hằng
86 elliptic \, A va goi {ux},., C C(Q) la ham théa man F,(D?u,,2) >
f(x) theo nghĩa nhĩt trong © Giả sử Fị hội tụ đều trên các tập con
compact ctia S x Q tdi F va u, héi tu déu trén cdc tap con compact ctia
© tới u Khi dé: F(D?u, x) > f(x) theo nghia nhét trong Q
Chứng minh
Lấy một paraboloid P tiếp xúc với œ tại zg; xét hình cầu bất kì
B,(zu) C®, € > 0, ky > 1 Khi do dé dang thay P(x) +e 2! +c tiếp
xúc trên với một u, nào dé tai x, € ,(zg), k > kạ và c là hằng số cụ
thể Từ đây ta cĩ điều phải chứng minh Oo
2.1.2 Lớp nghiệm Š của phương trinh elliptic đều
Trong mục này ta định nghĩa lớp "tất cả các nghiệm của tất cả các phương trinh elliptic déu" Dé lam điều đĩ, ta cần tới các tốn tử cực
trị Pucci Ý tưởng ở đây là thay một phương trình bất kì bằng một bắt
đẳng thức thực sự qua các hằng số clliptic
Cho0<Ầ<A Với M € 6, ta định nghĩa:
ẤMEC(M,A,A) = MC(M) =ÀÀ }e/+A À e¡,
e;>0 c¿<0
M*(M,A,A) = M*(M)=AS e+ So e;,
e;>0 c¿<0
trong đĩ e; = e;(Äf) là các giá trị riêng của M
Trang 22tức là: A|€[”< A¿@&; < A|£l”, Vệ R”" Ta kí hiệu A € 4a
Ta xác định một phiếm hàm tuyến tính La trên Š bởi
Vi M = ODO’, trong đĩ Dị = eœ;ð; (với e; là các giá trị riêng của 4) và Ĩ là một ma trận trực giao, nên dễ thấy: w{-(M,À,A)= int LẠM, cà (2.1.4) M*(M,A,A)= sup LaM (2.1.5) AEAy A Trước hết ta liệt kê một số tính chất cơ ban cia M~ va M* Bổ đề 2.1.3 Ta cĩ các tính chất sau (1) M -.(M) <M'(M) (2) ÀXỞ <A<A<A=M(Ậ,A,A)<ẤM(AM,A,A) và M+(M,X',A') > MT?(M,A, A) bo (3) M-(M,\, A) = —M*(—M, A, A) (4) M#(aM) = ee (5) M'(M)+ XL(N) < M*(M +N) < M*(M) + M*(N) (6) M-(M)+M-(N) < M>(M +N) <M-(M) + M*(N)
(7) N>0>AINI <M-(N) < MA(N) < nA [NI]
(8) M- va M* 1A cdc toan ti elliptic déu vdi céc hang sé elliptic A, nA Chứng minh
Ta thấy các tính chất (1), (2), (3) và (4) là hiển nhiên Cịn hai tính
chất (5) và (6) được suy ra từ (2.1.4) và (2.1.5) Tính chất (7) là hiển nhiên cịn tính chất (8) được suy ra từ các tính chất (5), (6) và (7) L
Bay giờ ta định nghĩa lớp S
Định nghĩa 2.1.3 Cho ƒ e C(9),0<À< A Ta kí hiệu S(,, A, f) la
khơng gian các hàm € C(Q) sao cho Mt(D?u, A, A) > f(x) theo nghĩa
nhét trong 2
Tương tu S(A, A, f) lAkhong gian cac ham u € C(Q) sao cho M- (D?u A, A) < f(x) theo nghia nhét trong 2 Dat:
SQA Af) = SOAP) ASO,A, f),
Trang 23-22-R6 rang ta c6é: S(A, A, f) C S*(A, A, f) va S(A, A, 0) = S*(A, A, 0) Ta viết 9, 5, 9, S*(A, A, f) bai 9, 5, $, S'(ƒ) khi A,A đã xác định Viết 9, S, 9, S'(A,A,0) bởi $, 5, ®, S!(A,A) (hoặc đơn giản hon là
S, S, 8, $*) Ta goi céc ham thuộc 5, 5, S(A,A, ƒ) tương ứng là các nghiệm dưới, nghiệm trên và nghiệm
Sau đây là một số tính chất của các lớp hàm đĩ
Bồ đề 2.1.4 Th cĩ các tính chất san
() ÀÄ <ÄẦ<A<A = 6(A,A,ƒ) C S(A,A,ƒ); tương tự với S, S, S*
(2) we SO,A, f) > -u € SA, A,—f)
(3) œ>0,z >0, u€ 5(A,A,ƒ), 0(u) = auly/r) voi y € rQ =>veS(\,A,af(y/r)/r’)
(4) we S(A,A,f), 6 € C?(Q) va M*(D?d(z)) < g(x), Vr € 2
=>u-@ES(A,A,f—g)
Chứng mình
Ta chỉ chứng mỉnh tính chất (4) Lấy ¿ € C” và tiếp xúc với — ở tai vy) € Q, khi đĩ ¿ + ĩư tiếp xúc trên véi u tai zo, nén M*(D? v(x) +
D?¢(x)) > ƒ(+g) Theo (5) của Bổ đề 2.1.3 ta cĩ MT là dưới cộng tính Do d6 M*(D*p(xo)) + M*(D?9(20)) = F(a0) Tw day ta cé M*(D?y(a9)) > f (xo) — g(xo) L] Chú ý 2.1.2 Theo Mệnh đề 2.1.2 và 2.1.4, ta cĩ (1) u,v € S(f) > sup(u,v) € S(f) (2) wueSsSu eS (3) S(f), S(f) va S(f) la dong
Ménh dé 2.1.5 Gia sit u théa man F(D?u,r) > f(x) [tuong tng F(D*u, 2) < f(x)] theo nghia nhét trong Q Khi dé u € S(4, A, f(x) —
F(0,z)) [tương ting u € 5S, A, f(x) — F(0,2z)))
Tong quắt hon, Vo € C?(Q) ta cédu—¢ € S(4, A, f(x) — F(D?¢(2), 2)
[tương ứng: u — ộ € S(4, A, f(z) — F(D?¢(z), x))] Chứng minh
Khẳng định thứ nhất là trường hợp đặc biệt của khẳng định thứ hai
Trang 24tiép xtc trén vdi u — y tai x Khi do y + ¢ tiếp xúc trên với u tai x9,
do đĩ theo Bồ dé 2.1.1 (goi e; là các giá trị riêng của D?p(x)), ta c6 ƒ(œo) < F(D*p(#0) + D*o(20), 20) < P(D*9(a0), su) + A |[D*z(eu ola [eee | < F(D°¢(x0), Xo )tASoe += “Se e;>0 m0 = F(D°6(x9), 2) + M*(D? (20), 2A), Chứng tổ ¡ — ¿ € 5(2, A, ƒ(z) — F(D?ø¿(z).z)) L] Sử dụng ý tưởng trong chứng minh (2.1.4) và (2.1.5), ta chứng minh được lớp các C”(O) - hàm chứa trong S(A, A, ƒ) chính là lớp cdc C?(Q)
- ham œ sao cho: Vz € © tồn tại một ma trận đối xứng a;;(z) với các giá
trị riêng thuộc {A, A] sao cho a;;()Ø,;u(#) = f(x) Luu ý rằng a;;(#) cĩ thể khơng liên tục tại z Kết quả tương tự cũng đúng đối với S va S
Như vậy, 5(À, A, ƒ) là lớp tất cả các nghiệm yếu (theo nghĩa nhớt) của
tất cả các phương trình elliptie đều, tuyến tính cĩ dạng khơng divergence
aij(x)O,ju(x) = f(x)
với các hằng số elliptic À, A và với về phải ƒ
Mặt khác, mỗi nghiệm nhớt cia F(D?u,x) = f(x) đều thuộc lớp S(¿, A, ƒ(z) — F(0.z)) (theo Mệnh đề 2.1.5) Do vậy, mọi kết quả đúng
với các hàm thuộc các lớp Š đều đúng với các nghiệm nhớt của phương trình elliptie đều phi tuyến hồn tồn Tức là, tính hữu dụng của lớp Š là ở chỗ tránh khơng phải tuyến tính hĩa
Chú ý 2.1.3 Ta cĩ thể định nghĩa nghiệm nhớt của (2.1.1) và các lớp
5(ƒ) tương ứng với các hàm Ƒ'{M, -) và ƒ bị chặn, khơng nhất thiết liên tục Trong trường hợp này, tất cả các kết quả trong các mục 2.1.1 và
2.1.2 vẫn cịn đúng, ngoại trừ tính chất đĩng, tức là Mệnh đề 2.1.4 và
khẳng định (3) trong Chú ý 2.1.2
Trang 25-2.1.3 Ví dụ về phương trình elliptic hồn tồn phi tuyến
Trước tiên ta đề cập tới một số kiến thức cơ sở về tốn tử vi phân F Giả sử F' là một hàm trên 9 x ©, thuộc lớp C1, trong đĩ Š là khơng gian tất cả các ma trận đối xứng cấp n x ø Thác triển Ƒ' lên tồn
khơng gian tất cả các ma trận thực cấp n x n, ching han bằng cách đặt F(A,2) = FG(A + A'), z) Khi đĩ F' là một hàm của đ x ø biến a¿; và
của biến z Ta đặt
F(A, 2) = Ơa;; (A, 2)
Rõ ràng, nếu Mƒ và N là các ma trận đối xứng thì DF(M,z)N =
F,;(M,x)N;; khơng phụ thuộc vào cách thác triển đã nêu của Ƒ Đồng
thời, dé kiểm tra rằng nếu #' là elliptie đều (theo Định nghĩa 2.1.1) với
cac hang sé elliptic \, A thì
A|€lŸ < Fj (M, x); < AE)’, VM ES, Vr €Q, VEER" (2.1.6)
Mặt khác, từ (2.1.6) suy ra F 1a elliptic déu (theo Dinh nghia 2.1.1) véi céc hang s6 elliptic \, nA
Ta nĩi F 1a lom néu F(M,z) lA ham lém cia M € S Bay gid, gia sit
thêm #' thuộc lép C? Khi đĩ #' là lõm khi và chỉ khi
Ty m(M,+)N;j Nại < 0, VM € S, Var € Q, VNeE S, (2.1.7)
trong d6 Fij4 = 0? F /(0a;;0a,:) L6p céc phương trình lõm (hoặc lồi) là một trong những lớp phương trình elliptie phi tuyến hồn tồn quan trọng (xem các ví dụ sau)
Sau đây là một số phương trình elliptie cấp hai phi tuyến hồn tồn () Phương trình Puecci: Là các phương trình:
M -(D?u) = f(x), M'(D?u) = f(x),
trong đĩ MÔ và ẤM” là các tốn tử cực trị Pueci (xem mục 2.1.2) Chúng là phương trình elliptice đều Sử dụng Bồ đề 2.1.3, ta thấy ~ là lõm và
FT là lồi
(ii) Phương trinh Bellman: Khi thay ho A), trong định nghĩa tốn tử
Trang 26tính thì ta nhận được phương trình Bellman đối với chi phí tối ưu trong bài tốn điều khiển ngẫu nhiên
Cụ thể hơn, phương trình Bellman cĩ dạng
F(D?u, x) := inf (L„ú(#) — ƒ2(z)) = 0 (2.1.8)
acA
trong đĩ A 1A tap bat ki, f, 1A ham thuc trén Q véia € A va Lau = a7(z)Ø;;u là một tốn tử elliptic đều với các hệ số đo được, bị chặn Nếu
(aiJ(x)),, cĩ các giá trị riêng thuộc [A, A] với mỗi z € 9 và œ € 4, thì tốn tử Bellman (2.1.8) là elliptie đều (xem Định nghĩa 2.1.1) Tốn tử Bellman Ƒ(A/, z) là lõm theo AM
Chú ý rằng nếu mọi a7(z) và ƒ„(z) đều là các hàm hằng thì phương
trình Bellman tương ứng cĩ dạng F(D?u) = 0
(iii) Phuong trinh Isaacs: Là các phương trình xuất hiện trong lý thuyết trị chơi vi phân cĩ dạng
F(D?u, 2) := sup inf (Lagu(x) — fas(x)) = 0, 3 8
trong d6 Lag la mot ho tốn tử elliptie đều với các hằng số elliptic đo
được, bị chặn À, A như trong (ii), cịn các chỉ số œ, đ thuộc hai tập nào đĩ Các phương trình Isaacs vẫn là phương trình elliptie đều, nhưng khơng cịn là phương trình lõm hoặc lồi
(iv) Phương trình Monge - Ampérc: Là phương trình
det D?u = ƒ(z) (2.1.9)
O day F(M) = det M va F,;(M) la phan phu dai sé cia Mj; Ta c6
F,; = (det W)M”, trong d6 [M“] la ma tran nghich dao cia M (nếu tồn
tại) Do vậy, (2.1.9) là elliptic chỉ với các ma trận ă xác định dương, hay (2.1.9) là elliptie chỉ với các hàm œ lồi ngặt trên © Để tồn tại một
Trang 27-» Ging Mrs + Girdsr = 0,
Giza + MM" = S° Gi Mys M+ $0 Gi IaM = 0
Do vay, ta c6 Gi; 4 = —M‘* M7 Kiém tra (2.1.7), ta co G 1a lom trén nĩn các ma trận, đối xứng, khơng âm
(u) Phương trình khi biết độ cong Gauss: Cho u € C?(Q) va k(x) 1a do cong Gauss của đồ thị của tại điểm (z,w(z)) Khi đĩ w thỏa mãn
nt+2
F(D?u, Du, x) := det D?u — K(a)(1 + \Dul?) * =0 (2110)
6 day F chi phụ thuộc vao Du Các kết quả cĩ thể mở rộng cho lớp phương trình rộng hơn (xem chú thích dưới đây) Với lớp đĩ, phương trình (2.1.10) là elliptie chỉ với các hàm + lồi ngặt
Chú thích: Ta cĩ thể xét Œ!! hoặc W?” - nghiệm nhớt bằng cách xét hàm thử ĩ trong định nghĩa nghiệm nhớt tương ứng thuộc C! hoac
W?° (với p > n) Khi đĩ ta cĩ lớp nghiệm nhớt nhỏ hơn Lúc đĩ định
nghĩa nghiệm nhớt cần được điều chỉnh một chút
Sử dụng W?” - nghiệm nhớt ta cĩ thể bỏ giả thiết về tính liên tục cua F'(M, -) va f
Mặt khác ta cũng cĩ thể định nghĩa nghiệm nhớt cho lớp phương trình elliptic tổng quát hơn, là phương trình
F(D?u, Du, u, 2) = f(x)
và định nghĩa lớp Š tương ứng với các nghiệm của phương trinh elliptic đều phi tuyến cĩ dạng
đ;;(#)Ø,;u + b¡(z)Ð,u + c(z)u = ƒ(z) Ve(z) < 0
2.2_ Đánh giá Alexandroff và nguyên lý cực đại
Trang 28trị quan trọng trong lý thuyết chính quy, nĩ cho ta một cận đối với roca) Voi moi wu € S(, A, f) trong Q Hon nita
supu theo supu va ||f|
Q ao
L”- chuẩn của ƒ được tính trên một tập con của ©, gọi là "tập mật tiếp" của + Nĩ là tập mang nhiều thơng tin quan trọng của 0
Về cơ bản, chứng minh của đánh giá ABP dựa theo chứng minh
đối với nghiệm mạnh Khĩ khăn cơ bản là chứng minh bao lồi của một nghiệm nhớt là đủ chính quy, chính xác là Œ1!,
Ta bắt đầu bằng việc định nghĩa bao lồi của một hàm liên tục Trước hết ta chú ý rằng supremum của một họ các hàm lồi là một hàm lồi và
mỗi hàm lồi trên một tập mở đều là hàm liên tục
Một hàm L xác định trên IR" được gọi là hàm affine nếu
L(a) = ly + (+),
véi ly € R va 1 1A mot ham tuyén tinh
Chi y 2.2.1 Cho w là một hàm xác định trên tập A C R”, ay € A
Gia stt L 1A một hàm affine tiếp xúc dưới với + tại zg € A, tức là: L{(œg) =t0(#g), L(z) <0(+), Vee A
Khi đĩ, ta nĩi (hoặc đồ thị của 7) là một siêu phẳng giá của w tai xo Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu 4 là tập lồi, mở và :ø là hàm lồi thì tồn tại một giá siêu phẳng của w tại zọ (với mọi zạ € 4); mặc dù giá siêu phẳng cĩ thể khơng duy nhất Sự tồn tại của giá siêu phẳng là một hệ
quả trực tiếp của định lý Hahn - Banach áp dụng đối với tập lồi, mở {(a;y) € Ax R:y > w(x)} va diém (x9, w(x0))
Dinh nghĩa 2.2.1 Giả sử v 1A mét ham liên tục trên tập lồi, mở A
Bao loi cha v trong A là hàm:
I'(v)(x) = sup {w(x) : w <u trong A, œ lồi trong 4}
= sup {L(z) :L<v trong A, L la affine}, véi « €
A L
Ta c6 ['(v) 1A mot hàm lồi trong A Tập
{v =T[(v)} = {@ € A: v(x) = T(v)(x)}
Trang 29-được gọi là tập một tiếp (dưới) của 0 Các điểm thuộc tập mật tiếp -được
gọi là các điểm mật tiếp
Bây giờ ta sẽ chứng minh đánh giá ABP cổ điển đối với các nghiệm nhớt trên, và ta sẽ gọi nĩ là đánh giá ABP
Định lý 2.2.1 Cho u € S(A,A, ƒ) trong Bạ, trong đĩ Bạ là hình cầu mở với bán kính d trong R", f là hàm liên tục, bị chặn trên Bạ Giả sử u là hàm liên tục trên By va u > 0 trén OBy Khi đĩ
1/n
supu' < ca( | 3) , (2.2.1)
Ba PBạn{u=T,}
trong đĩ, ta đã thác triển u bằng 0 bên ngồi Hạ, nên —u~ liên tục trên
Bạy; Tụ là bao lồi trong Hạy của —u— và Ở là một hằng số phổ dụng
Nhớ rằng, một hằng số là phổ dụng nếu nĩ chỉ phụ thuộc vào ø, À và A
( với ø là số chiều) Khĩ khăn trong việc chứng minh (2.2.1) đối với
nghiệm nhớt trên œ là œ cĩ thể khơng khả vi Tuy nhiên, ta sẽ chứng
minh I, € C! Khi đĩ cách chứng minh cổ điển của đánh giá ABP cho
các nghiệm trơn được sử dụng (xem Bổ dé 2.2.2)
Bổ đề dưới đây cho ta tính chính quy của bao lồi F„ tại các điểm mật tiếp
B6é dé 2.2.1 Cho u € 5(A,A, ƒ) trong By = Bạ(0) Giả sử ƒ là hàm
bị chặn (khơng nhất thiết liên tục) và œ là hàm Idi trong Bs; sao cho 0<y <u trong B; va 0 = ¿(0) = u(0) Khi đĩ
Trang 30Tap {x € Bs: pla) < cr} là lồi và chứa , Từ đĩ và chon po, stt dung Chú ý 2.2.1 ta suy ra y>Cr trong HïĐH;, (2.2.3) trong đĩ j7 là siêu phẳng tiếp xtc trong R" vdi B; tai x Dé don giản, ta giả sử rằng z = (0,0, ,0,r), H = {vr €R":2, =r} Ta viết ø = (#',#„), #ø'€ IR"”1,
Để chứng minh (2.2.2), ta phải tìm một cận trên của Œ Diều này
thực hiện được bằng cách sử dụng giả thiết œ € S(f) và xây dựng một paraboloid tiếp xúc dưới với œ và các đường cong tăng "quá nhanh" Thật vậy, xét tập mở A4 = Bs 1 {-r<a, <r} Ta c6 OA = A, U A, U 4;, trong đĩ A, = Byjo đ {#„ — r} › A, = Bye đ {Ln = —r}, ỗ A; = {|z| = = Am <r}
Ta biết rằng y > 0 trong B; va 633) Do vậy
y>Cr* trong A, va œ@>0 trong A, U 44a (2.2.4)
Xét paraboloid:
|2
P(z) = —(z„ + ry — 46 j„ Ử 52
Trong As, ta co © = |a|? < |e’ +r? < |z'Ÿ + © Nen 4C(r' 2/6) Ia’ |”
(3/4)Cr? Tit đĩ suy ra P < Cr? trong A, va YD < 0 trong A, U 4¿
Điều này va (2.2.4) cho thay P < ¿ < u trên ØA Mặt khác, P(0) > 0 = ¿(0) = +(0) Nên tịnh tiến P theo phương thẳng đứng một cách thích hợp, ta cĩ P tiếp xúc dưới với œ tại một điểm y € A Tai y do, do u € S(A,A, f) nén
Trang 31-Vi Đa = P22 — eee = Ln -1yn-1 = -8C5, Pan = e Pi =0 (Vi z 7), nên ta cĩ Lấy Ta cĩ M(D?P) > 2£ Sử dụng (2.2.5) ta nhận được 8 Œ< sup fo Bs Do vay sup y < (8/À)(sup ƒT)z? Lấy r = |z|, ta cĩ (2.2.2) với B, Bs Oo Bổ đề sau đây khơng yêu cầu œ € S(ƒ) Nĩ được chứng minh bằng
cách sử dụng cơng cụ của hình học trong chứng minh của đánh giá ABP đối với các hàm trơn
Bổ dé 2.2.2 Cho u là hàm liên tục trong B, sao cho u > 0 trén OB, và T„ là hàm xác định trong Định lý 2.2.1 Giả sử T„ e Ơ"!(B,)
Trang 32v6i x9 € By
Ta xét hàm số & cé dé thi 1A non trong R"t! = R” x R co dinh
(2p, —M) = (2, —u-(ao)) va day OB3q(x9) x {0} Véi bat ki € € R” c6
M
If] < 3a
thì H = {(@, 0,41) € R" x R: a4, = L(x) := —M 4+ €(x — zy) } 1a siéu
phẳng giá của k tại zạ trong Ưzaz(zs) (xem Chú ý 2.2.1 về Khái niệm siêu phẳng giá)
Lưu ý: || < M/(3đ) = supw /3d, Bog C Bya(ao) va u- = 0 trong
Bog\Ba, nén c6 một siêu phẳng #f song song với j7 là siêu phẳng giá của —u_ trong Ư;¿ tại một điểm x* € By
Theo định nghĩa của bao lồi, ta cĩ Jƒ cũng là siêu phẳng giá của Ï„
tại z* Vì I„ khả vi nên H tiếp xúc với đồ thị của T, tai 2* va do đĩ € € VI, (2") Ta chứng minh được rằng Đu¿sa(0) C VP u(Ba) và do đĩ xét độ đo của các tập đĩ M" —— <IVT,(B,)| dr (2.2.7) C(n)
Theo Định lý 1.2.1, ta cĩ VF„ là khả vi hầu khắp nơi trong By Tite la VI kha vi tai mọi z € 4 với |B;\A| = 0 Theo cơng thức tính diện tích
của ánh xạ Lipschitz (xem Định lý 1.2.1 và lưu ý F„ là lồi nên 2°F'„(z)
khơng âm tại Vz € 4), tacĩ |VT,(,)|< / det D’L,, A Theo (2.2.7) thì : AM" < | detD?T, d” < | e L]
Từ bổ đề trên ta thấy, để chứng minh đánh giá ABP (Định lý 2.2.1),
ta chỉ cịn phải chứng minh T„ € C1!(B,), det D*F„(z) = 0 tại hầu hết
x € Bạ\{u = T„} và D?T,(z) < CƒT*(z)” tại hầu hết z € Z¿n{u = F,}
C(n)
Trang 33-Điều này cĩ được nhờ Bổ đề 2.2.1 (cho ta T, 1a C' tai các điểm mật
tiếp) và bổ đề sau
Trong bổ đề này ta khơng cần giả thiết € 5(ƒ)
Bổ đề 2.2.3 Cho u € C(B,), u > 0 trên ƠBạ và T„ định nghĩa như trong Định lý 2.2.1 Cho K > 0 và 0 < e < d là các hằng số Giả sử với
bat ki vy € Bạn{u = T„} đều tồn tại một paraboloid với độ mở K, tiếp
xúc với Lụ„ tại zạ trong B.(zạ) tức là
6(E,, B.(zo))(u) < K, Vay € Bun {u=Ty,} (2.2.8)
Khi đĩ T„ € C™(B,) và do do tén tai mot tap A C By sao cho |B,\A| =
0 va T, khả vi hai lần tại Vz € A Hơn nữa ta cĩ
1/n
supu < coma | det pr.) ;
Ba An{u=I,}
với C(n) là một hang sé chi phu thudc vao n
Trước hết ta nhé rang: T’, là bao lồi trong Ủ;¿ của —u~, trong đĩ ta
đã thác triển w = 0 bên ngồi Ởạ Do vậy Ï'„ < 0 trong Ư+z„¿ Hơn nữa ta cĩ thể thác triển F„ = 0 trên ØƯ;„ và khi đĩ ['„ liên tục trên Ởạ„ và cĩ
một siêu phẳng giá tại mọi điểm trong Bog, tức là Vzọ € „ tồn tại một
hàm affine 7 sao cho I(Zzg) = T„(#s) và Ù < Tụ trong Bog (xem Cha ¥ 2.2.1 khi zo € Bog, con khi rp € OBogg thì sự tồn tại của được suy ra
trực tiếp từ định nghĩa của Ï,)
Chứng minh Bổ đề 2.2.3
Theo Bổ đề 2.2.2, ta chỉ cần chứng minh rằng T„ e Ơ"!(,) và
det D°T, (x) = 0 (2.2.9)
Điều đĩ được thực hiện qua hai bước Ta thấy, Vụa € B¿đ\{u =T,,}
cĩ một siêu phẳng Lo tiép xtc dưới với F„ tại gạ, theo (2.2.8) cĩ một
paraboloid tiếp xúc trên với I, tai yo Chitng to T,, 1a C™ tai yo, Loy =
Pu (yo) + DP u(yo)(y — 9o) và
Trang 34Bude 1 Goi x) € By\{u=T,} va L la situ phang gid cta T, tai xp trong Boy Ta chting to ring:
(a) xp thudc một đơn hình S với các đỉnh 71, 22, ., 2n41 (tite S 1a bao li cha tap {21,%9,.-.,0n+i}) va L =T, trong don hinh 9 đĩ Các điểm £1, 0,- ,%y+1 khong nhất thiết phải khác nhau Hơn nữa, mọi đỉnh z; đều thuộc ạf1{u = T„}, chỉ trừ ra một đỉnh z„„¡ là cĩ thể thuộc ØBạa
(b) Nếu đặt z¿ = $2?” À;z; với À; > 0, OPA, = 1 thi A; > 1/(3n)
với ít nhất một chỉ số ¡ thỏa mãn x; € ByN {u=T,}
Theo định nghĩa, F„(#) = sup {F¿) :Ù< —u- trong Đạạ, L là affine}
và L chính là Ù tại đĩ supremum đạt được khi z = zạ Do đĩ Ù phải cĩ ít nhất một điểm mật tiếp trong Ủ›¿ với —w~ Do vậy, bao lồi đĩng Œ
của {z € ›a: L(z) = —u" (z)} khác rỗng
Giả sử zo ¢ Œ Khi đĩ tồn tại một hàm affine Ï sao cho l(#ạ) > 0 và
l(C) < 0 Vì thế cho nên, Ù + ổÏ < —u~ trong Bog véi 6 > 0, vil am
trong một lân cận mở của Œ và —u_ — ÙL dương bên ngồi lân cận mở
đĩ Nĩi riêng, P„(zs) > (+ ðÌ)(zg) > L(zạ) Điều này mâu thuẫn với
tính cực đại cha L tai xo, tức là „(#s) = L(#)
Ta c6 2p € C Theo định lý Caratheodory, zs là một tổ hợp lồi của n + 1 điểm z,zs›, ,z„¿¡ thuộc {x € By: L(x) = —u"(z)} Lưu ý là
cĩ khơng quá một điểm z;, với |z;| = 2d vì nếu trái lại thì F„ = 0 (vơ lý với phần (a)) Ta chứng minh (b) Nếu Vz; € Ư¿ thì À; > 1/(» + 1) > 1/(3n) với ít nhất một chỉ số ¡ Nếu z„,¡ € Øạ¿, À; < 1/(3n) Vi < n thì À„¿¡ > 2/3 va n 2 1 4 1 > =l|#„ —À`—lz¡| > -d- <4, |zo| si” +1| 3m |z:| 3 3 điều này vơ lý
Bước 2 Cho zụ và L như trong bước | va lay h € R" thỏa mãn |h| < d
Sử dụng bước 1, ta cĩ thể đánh số lại các z; sao cho ø¡ € Đạđ1{u =T„},
À¡ > 1/(3n) và viết
Trang 35-h # +h = Ài(¡ + i) + rot + + Angi Ln41- 1 Ta cĩ I L(a9 +h) <Py (ao +h) < MPa (ar +>) 4 AoDy (ary) +o + Anca Pu(anes) 1 Gia stt € hl <—
Khi đĩ ta cĩ |h| /À¡ < e Do E là siêu phẳng gid cha T, tai 7; € By
{u = T„} và Lz = T„(z¡) + DỮ,„(#i)(# — z¡) nên theo (2.2.10) áp dụng
với ạ là z; € B¿đ1\ {u = E„} ta cĩ
)
+ẦaI„(z›) + + Az+IL(#„ +1)
Do đĩ, từ Ƒ là siêu phẳng giá của Ï„ tại #;¿, VI < ¡ < m +1 (và nhớ là
L=T,, trong don hình sinh bởi z,#›s, ,#„+_¡), ta cĨ +ÀaT„(zs) + + An+iTu(#z+1)- = L(x +h) + |hP < L(œu + h) + #5R|h Vậy ta đã chứng minh được T„ là Ớ"! tại mọi zs € By\{u =T,} và h h K Lí + h) < Tuy + h) S Ài (1 (n+2)+ MJ 2 1 h h Kk 1 Ài 6(Eụ, B:/(a„j(o))(g) <S 3n, Vzạc P¿\{u=T,} - (2211) Từ (2.2.10), (2.2.11) và Mệnh đề 1.2.2 (áp dụng với Q = Ưạ¿, B = Ưụạ
và e thay thế bởi e/(3n)), suy ra I„ € Ch!(đ)
Khẳng định (a) cũng suy ra zạ € Ư¿\ {u = T„}, tồn tại một khoảng
mở (tức là khoảng trên đường thang) qua zo, trên đĩ F„ là affine Vì thế
ta cĩ (2.2.9) Vậy ta chứng minh xong Bo dé 2.2.3 O
Trang 36Ta chứng minh rằng 0(T„, „a(zo))(#ạ) < Csup f*, Vzọ€ BaN{u=T,} (2.212) Đa va det D?T,,(xp) < Cf*(x0)", Vzọo€ Pađn{u=T,}, (2.2.13) trong đĩ Œ và 1 < 1 là các hằng số dương phổ dụng Nếu cĩ điều đĩ thì sử dụng Bổ đề 2.2.3 véi e = vd, K = Csup f* ta Ba
cĩ Định lý 2.2.1 Vậy ta chứng minh hai khẳng định đĩ
Lấy z € ạ({u=T,} và L là siêu phẳng giá của F„ tại zo
Theo Mệnh đề 2.1.3 (áp dụng với F = M7), ta cĩ —u~ = inf(u,0) € 5(A,A, ƒTXø,) trong Dạ
Do EL là afine nên I, — E là lồi và —w- — L € S(A,A, ft x2,)
trong ạ¿ (xem (4) trong Bồ đề 2.1.4) Mặt khác (VŨ < 6 < 3),
xo € Bs(ao) C Bu, O< T, —L < —u~ — L trong Bạ(zg) và các dấu
bằng xẩy ra tại zạ, nên theo Bổ đề 2.2.1, ta cĩ
L{(z) < T,(œ) < L{z) + C(sup ƒ*xp,)|# — xo” Vø € Bua(m)
Bs(2o)
Từ đĩ ta cĩ (2.2.12), cho 6 > 0 va sử dụng tính liên tục của f ta cĩ
(2.2.13) oO
Chú ý 2.2.2 Theo chứng minh trên, ta thấy điều kiện ƒ liên tục trong Định lý 2.2.1 cĩ thể được thay bởi sup ƒT* | ƒT*(zs) khi ổ |0, với hầu
Bs(xo)
hét xp € ByNf{u =Ty}, tức là tại hầu hết các điểm mật tiếp của u trong By
Sử dụng Dinh ly 2.2.1 va két quả về sự thác triển các nghiệm trên
(theo Mệnh đề 2.1.3) ta cĩ thể mở rộng đánh giá ABP cho các miền bị
chặn bất kì như sau:
Định lý 2.2.2 Cho © là một miền bị chan trong R" va f là hàm liên tuc, bi chan trong Q Gia situ € S(A, A, f) trong Q, u € C(Q), u > 0 trên 8Ị Khi đĩ
SIbUu— < Œ diam(Q)||
Q f*Ì: ra (2.2.14)
Trang 37-Ổ đây Ở là một hằng số phổ dụng, điam(Ị) là đường kính của © và „ là bao lồi trong Bạạ của —u~, Bạ là hình cầu bán kính d = diam(Q) sao cho Q C By và thác triển u = 0 bên ngồi ©
Chứng minh
Vì d = diam(Q) nén ta c6 thé lay hinh cau Bz sao cho Q C B, Ap dụng Bổ dé 2.1.3 v6iQ C By va F = M~ ta thấy —u- € S(A, A, f* xo)
trong Ư„ Ngoại trừ trường hợp Ï„ = 0, ta cĩ các điểm mật tiếp trong B¿ đầu thuộc © Vì ƒ* liên tục trong ©, nên theo Định lý 2.2.1 và Chú
ý 2.2.2 ta cĩ (2.2.14) oO
Kết quả sau đây là nguyên lý cực đại đối với nghiệm nhớt, nĩ được
suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.2
Hệ quả 2.2.1 Giả sử u € C(Ơ) Khi đĩ
Trang 38Chương 3
Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm
3.1 Bất đẳng thức Harnack
Bất đẳng thức Harnack là một đánh giá vơ cùng quan trọng trong nghiên cứu nghiệm của phương trình elliptic Nĩ là một mơ hình định lượng của nguyên lý cực đại mạnh, nĩ đo khoảng cách từ một nghiệm khơng âm của phương trình elliptie tới khơng Cụ thể hơn, nĩ khẳng định rằng với nghiệm khơng âm + bat kì của phương trinh elliptic déu với về phải ƒ, supremum của œ trên một tập compact được điều khiển bởi giá trị của w tại một điểm cộng với một chuẩn thích hợp của ƒ
Trong mục 3.1.2, tơi trình bày bất đẳng thức Krylov - Saforov - Har- nack đối với nghiệm nhớt và lớp S Hệ quả của việc chứng minh là bất đẳng thức Harnack yếu đối với các nghiệm trên, một nguyên lý cực đại "địa phương" đối với các nghiệm dưới và nguyên lý cực đại mạnh đối với các nghiệm trên
Trong mục 3.1.3, tơi trình bày tính liên tục HưÏder của các nghiệm trong lớp Š Tính chính quy HựÏder trong miền là một hệ quả dễ thấy của bất đẳng thức Harnack Cuối cùng là tính đồng liên tục (tương ứng: tính liên tục HựÏder) ra tới biên khi đữ kiện biên liên tục (tương ứng:
Trang 39-lién tuc Holder)
3.1.1 Hai đánh giá quan trọng
Trong mục này tơi giới thiệu hai đánh giá quan trọng trong chứng
minh bất đẳng thức Harnack và trong lý thuyết về tính chính quy Nhớ lại rằng Q;(xo) là khối lập phương mở trong ÏR" với tâm tại zọ
và độ dài cạnh Ï, tức là
n i i
Qœ) = ]] (x; — 5 t+ ;) va Qi = Q¡(0)
Trước hết ta giới thiệu một hàm barrier
Bổ đề 3.1.1 Cho hằng số 0 < À < A, tồn tại một hàm trơn ¿ trên
R" và các hằng số phố dụng dương Ở và M > 1 sao cho (nhớ rằng
Q,CQ3C Boyz)
y>0 trong R"\Boyz, (3.1.1)
p< -2 trong Q3, (3.1.2)
M*(D?y,\, A) < CE trong R", (3.1.3)
trong d60 < € <1 la m6t ham lién tuc trén R" védi sup € C Q Hơn nữa, @ > —ÌM trong R"
Chứng mình
Xét hằng số phổ dụng a = max {1, (n— 1) — 1} Ta cĩ Byjy C
Địa C Qi C Qs C Ba yrj2 C Bouya: Dat
p(x) = My — Mp|2|“ trong R"\Bi ja; với M,, Mz > 0 thoa man
0B; v„ =0 và #ØB; v„/; = -2
Khi đĩ ta cĩ (3.1.1) và ta cĩ thể thác triển ¿ một cách trơn lên tồn ïR"
Trang 40Cuối cùng, ta kiểm tra (3.1.3) Dé thay, néu r > 1/4 thi tai diém (r,0, ,0) ta c6
Aj;e = 0 (khiz Fj),
dug = —Mza(1+a)r°~?,
One = Mear-°~? (khi ¿ > 1)
Theo tính đối xứng quay và định nghĩa của œ, ta cĩ với |z| > 1/4 thì
M'(D2)ø) = M; [A(n —1)elz| *“?®— Aa(1l+ a)|z|[-^?] = M;[alzl[® ?(A(w=1)—=A(L+a))] <0 Mat khéc: M*(D?y)(x) < C= C(n,A, A) khi |z| < 1/4
Lay ham tron 0 < € < 1 théa man € = 1 trén Buys va € = 0 bén ngoai
Bị¿¿ Ta cĩ (3.1.3) L]
Đánh giá thứ hai là một hệ quả của sự phân hoạch khối lập phương của Calderĩn - Zygmund Gọi Q¡ là khối lập phương đơn vị Ta chia nĩ thành 2” khối lập phương cĩ độ dài cạnh 1/2 Lập lại phép chia đĩ với mỗi khối lập phương con Các khối lập phương con nhận được theo cách đĩ được gọi là các khối lập phương dụadic
Nếu @ là khối lập phương dyadie khác Q,, ta noi QO là "mẹ" của Q nếu @ là một trong 2" khối lập phương nhận được khi chia Ợ
Bổ đề 3.1.2 Cho AC BC Q¡ là các tập đo được, 0 < ð < 1 sao cho (a) |A| <6 (b) Nếu Q Ia khéi lap phwong dyadic sao cho |ANQ| > 6|Q| thi QcB Khi đĩ |A| < 6 |B] Chứng mình
Ta sử dụng kỹ thuật của Calderĩn - Zygmund Ta co: ng = |A| < Š
Chia Q¡ thành 2" khối lập phương dyadic Nếu @ là một trong 2" khối
lập phương con của Q¡ và thỏa mãn |Qđ A|/|@| < ơ thì ta tach Q thành 2" khối lập phương dyadic Ta lập lại quá trình này Ta cĩ một
họ Q!,Q?, các khối lập phương dyadie (khác @¡) sao cho
gral >ỗ, Vi