Luận văn sư phạm Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf - lax - oleinik cho nghiệm nhớt

Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p L i C m n Trong su t trình th c hi n đ tài, em nh n đ b o h t s c nhi t tình c a th y giáo h cs h ng d n ch ng d n: Th.S Tr n V n B ng gi ng viên t Tốn Gi i tích, tồn th th y khoa Tốn Tr ng HSP Hà N i Em xin chân tr ng g i l i c m n sâu s c c a t i th y giáo h ng d n: Th.S Tr n V n B ng toàn th quý th y, khoa Tốn giúp đ t o u ki n t t nh t cho em hồn thành t t khố lu n B ng s n l c h t s c c a b n thân, khoá lu n đ c hồn thành Song khn kh th i gian có h n n ng l c c a b n thân nhi u h n ch nên khố lu n khó tránh kh i sai sót Em r t mong nh n đ cs đóng góp ý ki n c a q th y, b n sinh viên đ b n thân có th ti p t c hồn thi n h n n a trình h c t p gi ng d y Em xin chân thành c m n ! Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên Thân V n Tài GVHD:Th.S Tr n V n B ng -1- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p L i cam đoan Quá trình nghiên c u khoá lu n v i đ tài: “Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t vƠ công th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t” giúp em hi u sâu h n v b môn Gi i tích hi n đ i, đ c bi t v ph ng trình vi phân HR Qua c ng giúp em b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Em xin cam đoan khoá lu n đ c hoàn thành s c g ng n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân v i s h nhi t tình c a th y giáo h ng d n, ch b o h t s c ng d n: Th.S Tr n V n B ng c ng nh th y, t Tốn Gi i tích c a tr ng HSP Hà N i Và c ng m t đ tài không trùng v i đ tài c a tác gi khác Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y, cô b n sinh viên đ b n khố lu n đ c hồn thi n h n Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên Thân V n Tài GVHD:Th.S Tr n V n B ng -2- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p M cl c L i c m n ………………………………………………………………… L i cam đoan ……………………………………………………………… M c l c ………………………………………………………………………3 L i nói đ u ………………………………………………………………….4 Ch ng 1: Các kỦ hi u vƠ ki n th c m đ u …………………………… 1.1 Ký hi u …………………………………………………………….6 1.2 Ki n th c v gi i tích th c…………………………………………8 1.3 Ki n th c v gi i tích hàm ……………………………………… 1.4 Ki n th c v lý thuy t Tơpơ- đo-Tích phân ………………… 10 1.5 M t s b t đ ng th c ………………………………………… 11 Ch ng 2: Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t …12 2.1 M đ u ………………………………………………………… 12 2.2 Khái ni m nghi m nh t ………………………………………… 13 2.3 Tính nh t c a nghi m nh t ………………………………… 18 2.4 Các công th c Hopf-Lax ………………………………………23 Ch ng 3: Công th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t ……….29 3.1 Các ký hi u th ng dùng………………………………………29 3.2 Công th c Hopf-Lax c n …………………………………….30 3.3 Hamiltonian l i ph thu c vào u …………………………… 32 3.4 Hamiltonian ph thu c u d ki n ban đ u t a l i ……………34 K t lu n …………………………………………………………………….43 TƠi li u tham kh o ……………………………………………………… 44 GVHD:Th.S Tr n V n B ng -3- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p L i nói đ u Lí DO CH N TÀI Nh ta bi t ph ng tr nh vi phõn HR núi chung ph ng tr nh phi n núi ri ng cú ng d ng r t r ng rói th c t Cú r t nhi u l nh v c nghi n c u hi n đ i mà ph ng tr nh vi phõn HR đóng m t vai tr h t s c quan tr ng nh : lý thuy t bi u di n nhúm nhi u chi u, lý thuy t tr ng l ng t , lý thuy t c c kh ng gian thu n nh t v t lý to n M c d đ thuy t c c ph c đ c p t r t lõu (kho ng th k 18 19), nh ng lý ng tr nh phi n cho đ n c b n v n ch a đ c hoàn thi n T đ u th k 20 đ n nhu c u nghi n c u m t c ch ch t ch nh ng ph ng tr nh vi phõn HR k ch th ch s ph t tri n c c ph ng ph p c b n c a Gi i t ch th c,Gi i t ch hàm T p M t to n ph ng tr nh vi phõn HR, n u cú ý ngh a th c ti n th ch c ch n cú nghi m, v n đ nghi m hi u theo ngh a mà th i Cú r t nhi u ph ng tr nh vi phõn HR mà ta nghi n c u, đ c bi t ph ng tr nh phi n đ u kh ng cú nghi m c n V n đ đ t ta c g ng xõy d ng lý thuy t c c nghi m suy r ng ho c nghi m y u c a ch ng, đ c bi t t nh nh t nghi m (do nhu c u ng d ng th c t ) Khi nghi n c u ph c a ph ng tr nh vi phõn HR c p m t th b ng k thu t ng pháp tri t tiêu đ nh t, ta thu đ nghi m y u) c a to n Cauchy đ i v i ph c nghi m nh t (m t lo i ng tr nh Hamilton-Jacobi Nh v y nghi m nh t cú ý ngh a r t l n vi c nghi n c u ph ng tr nh vi phõn HR V t m quan tr ng r t l n c a nú th c t , nghi n c u khoa h c nh m gi p cho b n đ c cú c i nh n t ng qu t v ph GVHD:Th.S Tr n V n B ng -4- ng tr nh vi phõn HR SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p N n qu tr nh nghi n c u kho lu n em m nh d n l a ch n đ tài “Nghi m nh t c a ph ng tr nh đ o hƠm riêng c p m t vƠ c ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t” m t ph n nh c a lý thuy t ph ng tr nh vi phõn HR N I DUNG TÀI Trong khu n kh th i gian cú h n n n kho lu n c a em ch y u sõu vào m t s n i dung ch nh sau: Ch cho ng ng 1: “KỦ hi u vƠ ki n th c m đ u” Nh m m c đích cung c p i đ c nh ng ký hi u th ng d ng c c ki n th c cú li n quan đ ti n theo d i c c ph n ti p theo Ch ng 2: “Nghi m nh t c a ph ng tr nh đ o hƠm ri ng c p m t” Ta s đ c p đ n kh i ni m nghi m nh t c ng th c ki u Hopf-Lax c a ch ng, c ng c c Ch c l ng c a nghi m tr ng h p kh ng c n ng ta s đ a m t c i nh n t ng qu t v t nh nh t c a nghi m y u c ng th c Hopf-Lax cho tr ng h p c c Hamiltonian l i (d ki n ban đ u l i) Ch Ch ng 3: “C ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t” ng cú ph n: Ph n đ a c c ký hi u chung th ng d ng cho c c ph n ti p theo Ph n nh m thi t l p c ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho nghi m nh t v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi tr ng h p Hamiltonian kh ng ph thu c vào n hàm hàm ban đ u kh ng nh t thi t li n t c đ u Ph n th c hi n c ng vi c t ng t nh ng đ i v i Hamiltonian l i ph thu c vào n hàm c ng gradient theo c c bi n kh ng gian c a nú Ph n Hamiltonian s ch a bi n th i gian n hàm c ng v i gradient theo c c bi n kh ng gian c a nú GVHD:Th.S Tr n V n B ng -5- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p Ch ng Kí HI U VÀ KI N TH C M U 1.1 Kí HI U 1.1.1 KỦ hi u h nh h c (i) ฀ n kh ng gian Euclide th c n chi u (ii) U bi n c a U, U  U  U bao đóng c a U (iii) UT  U   0,T  (iv) T  U T  U T bi n parabolic c a U T (v) B0 ( x, r )   y  ฀ n | x  y  r  h nh c u m ฀ n v i tõm x b n k nh r > (vi) B( x, r ) h nh c u đóng v i tõm x b n k nh r > (vii) ฀ n   x  ( x1, x2 , , xn )  ฀ n | xj  0j  1,2, , n n a kh ng gian m ph a tr n; ฀   x  ฀ | x  0 (viii) M t m b t k ฀ n1 th ( x, t )  ( x1, x2 , , xn , t ) th ng đ c ký hi u ng d ng t  xn1 bi n th i gian 1.1.2 KỦ hi u c c hƠm s (i) N u u : U  ฀ , ta vi t u( x)  u( x1, x2 , , xn ) ( x U ) Ta núi u tr n n u u kh vi v h n (ii) u   max(u,0), u    (u,0), u  u   u  , u  u   u  (iii) Hàm u : U  ฀ đ c g i li n t c Lipschitz n u u( x)  u( y)  C x  y v i h ng s C v i m i x, y U Ta vi t GVHD:Th.S Tr n V n B ng -6- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p u ( x)  u( y) x y x, yU , x y Lip u  : sup (iv) T ch ch p c a c c hàm f , h đ c ký hi u: f*h ( f * h)( x) :  f ( y)h( x  y)dy 1.1.3 Các kỦ hi u đ o hƠm Gi thi t u : U  ฀ , x U (i) u u ( x  h i )  u ( x) , n u gi i h n t n t i ( x)  lim h0 xi h (ii) Ta hay vi t u xi thay cho (iii) T ng t u xi  2u  3u  u xi x j ,  u xi x j xk , v.v xi x j xi x j xk n (iv) u   u xi xi  tr ( D 2u ) to n t Laplace c a u i 1 1.1.4 C c kh ng gian hƠm (i) C (U )  u : U  ฀ | u li n t c  C (U )  u  C (U ) | u li n t c đ u  C k (U )  u : U  ฀ | u li n t c kh vi k l n  C k (U )  u  C k (U ) | D u li n t c đ u v i m i   k (ii) Lp (U )  u : U  ฀ | u đo đ c Lebesgue, u Lp (U )   , u Lp (U )   U p u dx  L (U )  u : U  ฀ | u đo đ p (1  p  ) c Lebesgue, u L (U )   , GVHD:Th.S Tr n V n B ng -7- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i u Khoá Lu n T t Nghi p L (U )  ess sup u U Lp loc (U )  u : U  ฀ | u  Lp (V) v i m i V  U  1.1.5 HƠm véct (i) N u m > u : U  ฀ m , u  (u1, u , , u m ), ( x U ) D u  ( D u1, D u , , D u m ) v i m i đa ch s  ,  2 Dk u  D u |   k D k u    D u    k    (ii) Khi k = ta cú  u1 u1       x x n    Du     = ma tr n gradient  m  m  u  u   x xn mn  1.2 KI N TH C V GI I TệCH TH C 1.2.1 Tính ch t c a hƠm tr n húa (i) f   C  (U ) (ii) f   f h u kh p n i   (iii) N u f  C (U ) , th f   f đ u tr n m i t p compact c a U (iv) N u  p   f  Lploc (U ) th 1.2.2 f   f Lploc (U ) nh lỦ hƠm n Gi s f  C1 (U ; ฀ m ) J yf(x0 , y0 )  Khi t n t i m t t p m V  U v i ( x0 , y0 ) V , t p m W  ฀ n v i x0  W , m t C nh x g : W  ฀ m cho: GVHD:Th.S Tr n V n B ng -8- SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p (i) g ( x0 )  y0 , (ii) f(x, g ( x))  z0 ( x  W) , (iii) N u ( x, y) V f(x, y)  z0 th y  g ( x) , (iv) N u f  C k th g  C k (k  2, ), Hàm g đ c x c đ nh n g n x0 b i ph ng tr nh f(x, y)  z0 1.3 KI N TH C V GI I TệCH HÀM 1.3.1 Kh ng gian Banach 1.3.1.1 nh ngh a v kh ng gian đ nh chu n Ta g i kh ng gian đ nh chu n (hay kh ng gian n t nh đ nh chu n) kh ng gian n t nh X tr n tr m t nh x t ng P ( P ฀ ho c P ฀ ) c ng v i X vào t p s th c ฀ , ký hi u ฀ đ c chu n, th a c c ti n đ sau: (i) (x  X) x  0, x   x   (ký hi u ph n t kh ng  ); (ii) (x  X) (  P )  x   x ; (iii) (x, y  X) x  y  x  y 1.3.1.2 nh ngh a v s h i t kh ng gian đ nh chu n Dóy m ( xn ) c a kh ng gian đ nh chu n X g i h i t t i m x  X , n u lim xn  x  Ký hi u lim xn  x hay xn  x (n  ) n  n 1.3.1.3 nh lỦ v không gian Banach Kh ng gian đ nh chu n X kh ng gian Banach ch kh ng gian X m i chu i h i t t đ i đ u h i t 1.3.2 Kh ng gian Hilber Cho H kh ng gian n t nh th c Ánh x (, ) : H  H  ฀ đ g i t ch v h ng n u : GVHD:Th.S Tr n V n B ng -9- SVTH: Thân V n Tài c Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p (i) (u, v)  (v, u ), u, v  H (ii) Ánh x u  (u, v) n t nh v i m i v  H (iii) (u, v)  0, u  H (iv) (u, u )   u  Kh ng gian Hilbert m t kh ng gian Banach v i chu n đ tích vơ h c sinh b i m t ng 1.3.3 To n t n t nh b ch n 1.3.3.1 To n t n t nh b ch n kh ng gian Banach (i) Ánh x A: X  Y g i to n t n t nh n u: A(u  v)   Au   Av, u, v  X ,  ,   ฀ (ii) Cho kh ng gian đ nh chu n X Y To n t n t nh A t kh ng gian X vào kh ng gian Y g i b ch n, n u t n t i h ng s C cho: Ax  C x , x  X 1.3.3.2 To n t n t nh b ch n kh ng gian Hilbert Cho H kh ng gian Hilbert v i t ch v h ng (,) (i) N u A: H  H to n t n t nh b ch n, to n t li n h p c a nú A*: H  H th a ( Au, v)  (u, A* v), u, v  H (ii) A đ i x ng n u A*  A 1.4 KI N TH C V Lí THUY T T P - O - TÍCH PHÂN 1.4.1 Kh i ni m h u kh p n i Cho m t kh ng gian đ đo (X, M,  ), A  M Ta núi m t t nh ch t (T) x y h u kh p n i tr n A (vi t t t h.k.n) n u t n t i m t t p h p B M cho B  A,  (B)  t i m i m x A\B đ u cú t nh ch t (T) GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 10 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p Bài làm Ta ki m tra c c gi thi t c a h qu 3.2.1 đ u tho T nh tr c ti p ta đ c nghi m nh t Lipschitz c a to n (3.7)-(3.8) x2 u(t,x) = ,  2t t  0, x ฀ T nh ch nh quy t nh nh t c a nghi m đ c kh ng đ nh nh sau H qu 3.2.2 N u f UC (฀ n ) , H l i đ i h u h n, (3.4) x c đ nh m t hàm u li n t c Lipschitz  , T   ฀ n v i   , u UC ( 0, T   ฀ n ) nghi m nh t nh t c a to n (3.1)-(3.2) UCx (U ) V d Cho a > , t m nghi m nh t Lipschitz c a to n sau: u u  ( )  0, t x t > 0, x฀ , (3.9) u(0, x)  a x , x฀ (3.10) Bài làm D a vào h qu 3.2.2 ta suy nghi m nh t c a to n (3.9)-(3.10)   a 2t   a x , x  at u (t , x)    x , x  at  2t 3.3 HAMILTONIAN L I VÀ PH THU C VÀO u X t to n Cauchy đ i v i ph ng tr nh Hamilton-Jacobi d ng u  H (u , Dxu )  U , t GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 32 - (3.11) SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p u (0, x)  f ( x) tr n ฀ n (3.12) Ta lu n gi thi t r ng: (i) H ( , p) li n t c ฀ n1, H (, p) kh ng gi m tr n ฀ v i m i p ฀ n (ii) H ( , ) l i thu n nh t d ng b c m t ฀ n v i m i  ฀ , t c H ( ,  p)   H ( , p),   0,   ฀ nh lỦ 3.3.1 Gi s hàm H  H ( , p) th a u ki n: H ( , p) hàm n a li n t c d i kh ng gi m theo  p c đ nh; H ( , p) hàm l i thu n nh t d ng c p m t theo p v i m i  ฀ Khi H # hàm t a l i n a li n t cd i H n n a, n u H li n t c tr n ฀ n1 th inf H # ( z) : z  ฀ n   , H # ( z)   z   H #*  H B đ 3.3.1 T p Q( H # ) : q  ฀ n : H # (q)   kh c r ng b ch n Ch ng minh T đ nh lý 3.3.1 ta suy t n t i N > cho H # ( z)  0,  z  N Nh v y Q( H # ) b ch n N n ta đ t h( z) : H # ( z),0 Hi n nhi n h n a li n t c d h n n a li n t c d i tr n ฀ n N u H # ( z)  , z , th h h u i Do c ng t đ nh lý 3.3.1 ta cú GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 33 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p   h( z)  inf H # ( z)  inf H # ( z)   (v lý) z N z N z N Ch ng t Q( H # )   Nh v y m nh đ đ c ch ng minh nh lỦ 3.3.2 Gi s (i)-(ii) th a d ki n ban đ u f hàm li n t c ฀ n Khi hàm u (3.13) m t nghi m nh t c a to n (3.11)-(3.12): x y   u (t , x)  infn  H # ( )  f ( y) , (t, x) U y฀  t  (3.13) H qu 3.3.1 Gi s r ng (i)-(ii) th a f  BUC (฀ n ) Khi u đ c xác đ nh b i (3.13) nghi m nh t nh t c a to n (3.11)-(3.12) kh ng gian BUC (U ) V d T m nghi m nh t c a to n: u u u  u   , u(0, x)  x , t x T t 0, x ฀ (3.14) Bài làm Hi n nhi n d ki n ban đ u f ( x)  x kh ng b ch n Bài to n (3.14) cú m t nghi m nh t đ c t nh theo c ng th c (3.13), u (t , x)  x , (t , x)  0, T   ฀ 1 t 3.4 HAMILTONIAN PH THU C u VÀ D KI N BAN UT A L I 3.4.1 Ki n th c chu n b Cho hàm f : ฀ n  ฀ , đ t GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 34 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p  *  inf f (x) x฀ n X t hàm đa tr L cho b i L:( * ,+)  2฀ \  , n a  Eh,a ta s g i L đa tr sinh ( b i f ) nh ngh a 3.4.1 Hàm f cú t nh ch t L -n a li n t c d li n t c d i n u đa tr sinh L    -n a i Cho f th a u ki n: lim f ( x)   , (3.15) x  v i a ฀ , E f ,a s b ch n Do ta cú m nh đ sau M nh đ 3.4.1 N u f li n t c th a u ki n (3.15) th đa tr sinh L    n a li n t c d i ch L n a li n t c d L p c c hàm cú t nh ch t L -n a liên t c d iđ i c nh n bi t thông qua đ nh lý sau: nh lỦ 3.4.1 Cho f hàm kh ng đ t c c ti u đ a ph ng b t k m t t p m c a ฀ n \ Argmin f f th a u ki n (3.15) Khi f cú t nh ch t L-n a li n t c d i Ch ng minh Theo m nh đ tr n ta ch c n ch ng minh L hàm n a li n t c d i Th t v y, gi s ( i )i  ( * , ), V t p m ฀ n  i    ( * , ) , L( )  V   Ta s ch ng minh L( i )  V   v i m i i đ l n GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 35 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p V L( )  V   n n t n t i x  L( )  V T gi thi t f kh ng đ t c c ti u V, s t n t i x V cho f ( x)  f ( x)   Do  i   ,   f ( x)  , n n ta s t m đ N ฀ cho v i m i c s i  N ta cú    i    f ( x) Hay ta cú  i  f ( x) v i m i i  N , v y x  E f , i  L( i ) v i m i i  N V y L( i )  V   v i m i i  N Suy u ph i ch ng minh H qu 3.4.1 Cho hàm li n t c f th a u ki n (3.15) N u f t a l i ng t ho c l i th f cú t nh ch t L-n a li n t c d i B đ 3.4.1 Gi s f : ฀ n  ฀ hàm t a l i cú t nh ch t L-n a li n t c d i Khi h ( f *( , p)) p 1 n a liên t c d i đ ng b c ( * , ) , f * ( , p)   n u    * Ch ng minh L y   ( * , ) x t   tu ý Do t nh    -n a li n t c d ic a L , t n t i       * cho L( )  L( )  B (0) tr n (   ,    ) T v i p  1, f *( , p)  sup  p, x , f ( x)    GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 36 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p  sup  p, x , x  L( )   sup  p, x , x  L( )  B (0)   sup  p, x , x  y  z, y  L( ), z  B (0)   sup  p, y , y  L( )    p f *( , p)  f *( , p)   ,   (   ,    ) T b t đ ng th c cu i ta suy ( f *( , p)) p 1 n a liên t c d i đ ng b c t i 0 3.4.2 Công th c đ i v i d ki n ban đ u t a l i X t to n Cauchy đ i v i ph ng tr nh đ o hàm ri ng phi n c p m t Hamiltonian ph thu c vào t , u, Dxu : u (t , x)  H (t , u (t , x), Dxu (t , x))  0, (t , x) U  (0, T )  ฀ n , t u(0, x)  f ( x), x ฀ n (3.16) (3.17) Hamiltonian d ki n ban đ u th a c c u ki n: (i) Hàm gi tr ban đ u f ( x)  C (฀ n ) t a l i, cú t nh ch t L-n a li n t cd i th a u ki n (3.15): f ( x)   x   (ii) Hamiltonian H :  0, T   ฀  ฀ n  ฀ hàm li n t c _ H (t ,  ,  p)   H (t ,  , p ) (t ,  , p )   0,T   ฀  ฀ n ,   _ H (t ,  , p) kh ng gi m theo  ฀ v i m i (t , p)   0, T   ฀ n (iii) Hamiltonian H th a m t hai gi thi t sau: _ V i m i t0  (0,T ) c đ nh, t n t i m t hàm h : 0,T   ฀  ฀ , h(t,  ) d ng v i h u h t t  (0, T ), h(.,  ) kh t ch v i  b t k , cho GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 37 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p H (t ,  , p)  h(t ,  ) H (t0 ,  , p), (t ,  , p)  0, T   ฀  ฀ n _ N u   1, pi  1, i  1, m , m m i 1 i 1 m a i 1 i  th H (t ,  ,  a i pi )   a i H (t ,  , pi ) (t ,  ) 0, T   ฀ Ta hy v ng s t m đ c nghi m nh t c a to n theo c ng th c sau:  u (t , x) : inf   ฀ : sup p฀ n    t  p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p) d   ,  (t , x) U (3.18) Ch Ủ T t nh li n t c c a f u ki n (3.15) ta suy :  * : inf  f (x):x ฀ n  h u h n Ch ý T b đ 3.4.1, ta th y u (t , x)   * (t , x)  0, T   ฀ n B đ 3.4.2 V i gi thi t (ii) , f  C (฀ n ) t a l i th a (3.15) Khi hàm u(t,x) x c đ nh b i (3.18) li n t c th a u (0, x0 )  lim ( t , x)(0, x0 ) u (t , x)  f *# ( x0 )  f ( x0 ) nh lỦ 3.4.2 V i c c gi thi t (i)-(iii) Khi hàm u(t,x) x c đ nh b i (3.18) m t nghi m nh t c a to n (3.16)-(3.17) Ch ng minh ch ng minh đ nh lý ta c n ch ng minh m t s b đ Gi s (t0 , x0 ) U đ c ch n m t c ch t y ý, đ t   u(t0 , x0 ) Ta cú: GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 38 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p Eu ,  (t , x)   0,T   ฀ n : u (t , x)      t    (t , x) : sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d   p 1    t    (t , x) : p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  p 1 Ta th c tri n Hamiltonian H m t c ch li n t c t i toàn b kh ng gian (n+ 1)chi u nh sau: H ( ,  , p)  H (0,  , p) n u t  ; H ( ,  , p)  H (T,  , p) n u t  T T đú ta x t t p  x c đ nh nh sau F (t , x; p) : p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  0, p  S(0;1), t (t , x)  ฀  ฀ n V (t0 , x0 ) m c a U n n t n t i m t lõn c n V ' c a (t0 , x0 ), V'  U Nh v y Eu ,  V '    V ' T c Eu , ,  cú chung nún ti p x c cú chung nún ph p n h ng t i (t0 , x0 ) D ki m tra hàm F (t , x; p) c a (t , x) gradient c a nú D(t , x) F (t , x; p) li n t c theo (t , x) , (t , x)  ฀  ฀ n , p  S(0;1) G i S0 t p ch s tác đ ng t i (t0 , x0 ) U , t c t p c c ch s p  S(0;1) th a F (t0 , x0 ; p) Ch ng ta s c n m t s k t qu li n quan t i S0 B đ 3.4.3 S0   n u  *   Ch ng minh Hi n nhi n   u(t0 , x0 )   * Do  *   Gi s v i   GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 39 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p   t0 sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p) d    p 1 (3.19) H hàm li n t c n n H li n t c đ u tr n t p compact: V 0,T     1,   1  S(0;1) Do hàm G( , p) :  H ( ,  , p)d li n t c đ u tr n   1,   1  S(0;1) , t0 d nđ nh (G( , p)) p 1 li n t c đ ng b c    1,   1 Theo b đ 3.4.2, h (T ( , p)) p 1, T ( , p) : p, x0  f *( , p)   H ( ,  , p) d t0 n a li n t c tr n đ ng b c      ' ,    '  v i   '  1,    * (3.19) suy t n t i     ' cho T p, x0  f *( , p)   H ( ,  , p)d t0 t0  p, x0  f * ( , p )   H ( ,  , p )d   0 0  0, p  S (0;1),  :          D nđ n   sup p, x0  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  p 1 t0   0,  :          Núi c ch kh c t0     sup  p, x0  f * (  , p)   H ( ,   , p) d   0, v i   2 p 1   GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 40 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p i u mõu thu n v i đ nh ngh a u( t0 , x0 )  T ta cú u ph i ch ng minh B đ 3.4.4 (t0 , x0 ) m ch nh quy c a  Ch ng minh - N u S0   th   t0 sup p, x0  f * ( , p)   H ( ,  , p) d  p 1 Do t nh li n t c c a hàm v ch ng minh b đ 3.4.2 n n t n t i m t lõn c n V c a (t0 , x0 ) cho   t sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  (t , x) V p 1 T u(t , x)   , (t, x) V Ngh a V  Eu , Nh v y, (t0 , x0 ) m t m c a Eu , m c a  T ta suy k t lu n tr ng h p - Khi S0   , ta th y DF (t0 ,  ; p)  (H (t0 ,  , p), p)  v i m i p  T c h  ( H (t0 ,  , p0 ),  p0 ) tho v ct ( H (t0 ,  , p0 ), p0 ), h   p0  1  0, p0  S0 , nh v y (t0 , x0 ) m chu n t c c a  N n nú m ch nh quy c a  T b đ tr n ta cú nún ph p n h Eu , t i (t0 , x0 ) đ ng c a  c ng c a c cho b i m  N (t , x ) ( Eu , )   i DF (t0 , x0 ; pi ) : i  0, pi  S0 ,1  i  m  n  1  i 1  0 GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 41 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p B đ 3.4.5   Ký hi u S*   p  ฀ n : F (t0 , x0 ; p)  sup F (t0 , x0 ; p)  q 1   t p tr n sup đ t đ m s i  m  i 1 i c gi tr Khi S0  S * , n u (i )i t p g m  , ta s cú m  m  i 1  i 1  i H (t0 ,  , pi )  H  t0 ,  , i pi  (3.20) H qu 3.4.2 Cho f  C (฀ n ) hàm t a l i ng t th a (3.15) V i c c gi thi t (i)-(ii) Khi c ng th c (3.18) cho ta m t nghi m nh t c a (3.16)-(3.17) H qu 3.4.3 Cho f hàm l i, h u h n th a (3.15) Gi thi t (i)-(ii) th a Khi nghi m nh t c a (3.16)-(3.17) đ c x c đ nh b i c ng th c (3.18) V d T m nghi m nh t c a to n Cauchy sau: u (t , x)  (1  t )  u (t , x) Dxu (t , x)  0, (t , x)  (0, T )  ฀ t u(0, x)  x , x ฀ (3.21) (3.22) Bài làm Theo c ng th c (3.18) ta nh n đ c nghi m nh t c a (3.21)-(3.22) u(t , x)   , (t, x)  (0, T)  ฀   nghi m nh t c a ph t ng tr nh sau:     (1   ) d  x  GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 42 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i GVHD:Th.S Tr n V n B ng Khoá Lu n T t Nghi p - 43 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p K T LU N Tr n toàn b n i dung c b n c a kho lu n “Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t vƠ công th c ki u Hopf-Lax- Oleinik cho nghi m nh t” Trong trình tìm hi u, nghiên c u khố lu n em b c đ u làm quen v i cách th c làm vi c cú khoa h c đ t hi u qu cao Qua em c ng đ c c ng c th m nh ng ki n th c to n đ đ ng th i c ng th y đ Khoá lu n đ c h c tr n gh nhà tr ng, c s đa d ng phong ph c a to n h c c trình bày v i nh ng c g ng b c đ u nh m đ t đ c nh ng m c đích yêu c u sau: Tr nh bày cú h th ng ký hi u ki n th c c b n c a gi i tích M t m t cung c p cho b n đ c kh i ni m nghi m nh t tr n c s k thu t c a ph ng ph p tri t ti u đ nh t M t kh c kh ng đ nh l i m t l n n a t nh nh t nghi m c a ph a c c tr nh ngh a, ng tr nh vi phõn HR nh lý, C ng th c, vv T ng h p c a Hamiltonian ph ng ng v i t ng ng tr nh vi phõn HR Trong khu n kh th i gian cú h n, n ng l c c a b n thõn c n nhi u h n ch c ng l n đ u ti n em làm quen v i vi c nghi n c u khoa h c n n kho lu n khú tr nh kh i sai sút Em k nh mong quý th y, c c c b n sinh vi n đóng gúp ý ki n cho kho lu n c a em th m hoàn ch nh M t l n n a em xin bày t l ng bi t n sõu s c c a m nh t i th y gi o h ng d n: Th.S Tr n V n B ng c ng toàn th c c th y, c khoa To n tr ng HSP Hà N i nhi t t nh gi p đ t o u ki n t t nh t cho em hoàn thành kho lu n Em xin chân thành c m n ! GVHD:Th.S Tr n V n B ng - 44 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i GVHD:Th.S Tr n V n B ng Khoá Lu n T t Nghi p - 45 - SVTH: Thân V n Tài Tr ng HSP Hà N i Khoá Lu n T t Nghi p TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Ph Hy, (2006), Gi i t ch hàm, Nxb Khoa h c K thu t [2] Nguy n Xuõn Li m, (1994), T p đ i c ng - đ đo - t ch phõn, Nxb Gi o d c [3] Tr n Nxb [4] Tr n c Vân, (2005), Lý thuy t ph ng tr nh vi phõn đ o hàm riêng, i h c Qu c gia Hà N i c Vân, (2005), C ng th c ki u Hopf-Lax-Oleinik cho ph tr nh Hamilton- Jacobi, Nxb GVHD:Th.S Tr n V n B ng ng i h c Qu c gia Hà N i - 46 - SVTH: Thân V n Tài ... ………………………………… 18 2.4 Các công th c Hopf- Lax ………………………………………23 Ch ng 3: Công th c ki u Hopf- Lax- Oleinik cho nghi m nh t ……….29 3.1 Các ký hi u th ng dùng………………………………………29 3.2 Công th c Hopf- Lax c n …………………………………….30... “C ng th c ki u Hopf- Lax- Oleinik cho nghi m nh t” ng cú ph n: Ph n đ a c c ký hi u chung th ng d ng cho c c ph n ti p theo Ph n nh m thi t l p c ng th c ki u Hopf- Lax- Oleinik cho nghi m nh t... Lu n T t Nghi p L i cam đoan Quá trình nghiên c u khoá lu n v i đ tài: “Nghi m nh t c a ph ng trình đ o hƠm riêng c p m t vƠ công th c ki u Hopf- Lax- Oleinik cho nghi m nh t” giúp em hi u sâu