Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN 978 604 82 2548 3 178 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1, Lê Thị Thúy2 1 Bộ môn Toán học Khoa CNTT, Trường Đại h[.]

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1 , Lê Thị Thúy Bộ mơn Tốn học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn Bộ mơn Tốn - Khoa KHTN, Trường Đại học Điện lực, email:thuylt@epu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG 2.2 Phương trình cân Trong báo này, chúng tơi trình bày lý Định nghĩa Nếu với T  , f thuyết miền thay đổi theo thời gian hàm định nghĩa bởi: Chúng giới thiệu định nghĩa miền f : U   t   t  ¡ ,  y, t   f  y, t  thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, t T, T  điều kiện biên, điều kiện ban đầu f  phương trình cân bằng, số phương trình cân định nghĩa hàm bởi: f :0    T,T   ¡ , f  x,t   f    t  x, t  khơng khuếch tán khuếch tán, phương trình parabolic miền thay đổi theo thời gian Ta có W  t    t  W0    t  , miền trơn với biên W  t  Khi đạo hàm NỘI DUNG CHÍNH theo thời gian hàm T W(t) kí hiệu 2.1 Miền phụ thuộc thời gian d T  y, t  dy tính sau: Giả sử x điểm miền cố định  dt W t cho trước 0  ¡ n (là tập mở trơn) Bổ đề Với ký hiệu trên, thời điểm t  , xê dịch theo đường cong d t a Y(t; x) ¡ n Chúng ta giả sử đường T  y, t  dy viết dạng hai dt W t  cong nghiệm hệ phương trình vi phân cổ điển ơtơnơm: biểu thức sau:  u.r  Y  t; x   V  Y  t; x     Y  0;x   x  (1) uuuuur T y, t dy  div T y, t V      y  dy (2)  t  y W t  W t    hoặc: với hàm vectơ vận tốc trơn cho trước ur V : ¡ n  ¡ n Với t  ¡ , ánh xạ:  t  : ¡ n  ¡ n ,  t  z  Y  t; z  vi đồng phôi thỏa mãn: i)    I ; ii)  t  s     t  o   s ,  t, s  ¡ Ta có  t  nghịch đảo  t  Khi miền 0 cố định ban đầu xê dịch thành miền   t    t   , t  ¡ , biên   t     t  0 Các miền W0 0 xê dịch thành W  t    t  W0 , t  ¡ , biên W  t    t   W0 ur r T y, t dy  T y, t V y ds        t  W t  W t  (3) Giả sử phương trình cân T  y, t  : r r d T y, t dy  f y, t dy        Jds dt W t  W t  W  t  f  y, t  tỷ lệ sản sinh hay số lượng T đơn vị thể tích r W  t  J trường vectơ chảy hay lưu thông T biên W  t  Khi ta có: r d T y,t dy  f y, t dy  div       y Jdy (4) dt Wt  W t  W t  178 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Từ (4) Bổ đề 1, ta có mệnh đề sau: Chúng ta dùng (8) để định nghĩa Mệnh đề Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm (7), nghĩa T  y, t  thỏa mãn (7) cân miền thay đổi theo thời gian khi T  x,t  thỏa mãn (8) đẳng thức sau thỏa mãn: 2.4 Một số phương trình cân ur T  y, t  divy T  y, t  V  y khuếch tán không khuếch tán t (5) r Phương trình khơng dịng khơng  f  y,t   div y J , y    t  , t  0, khuếch tán: ur hoặc:     ur  T  x, t   T  x, t  div V  x, t  t r  f  x, t   div y J  x, t  , x  , t     (6)     t T  y, t   div y T  y, t  V y   f  y, t  ,   y    t , (9)  T  y,t   0, y    t  , t,  T  y,0   T0  y  , y  0 , 2.3 Điều kiện biên điều kiện ban đầu Chúng ta xét điều kiện biên Dirichlet và: ur  giả sử: T x, t  T x, t div V      x, t  f  x, t , t y   t  x ,      T  x, t   0, x  0 , t,  T  x,   T0  x  , x  0   t    t   ,   t     t   0  , x  0 , (10) T  y, t   ,  y    t  Phương trình vận chuyển (phương trình T  x,t   ,  x   dịng khơng khuếch tán): Ta có   t   1  t    t  Giả sử Với điều kiện biên ban đầu, ta có    I , T  y,0   T0  y  ,  y  0 T  x,0   T0  x  ,  x  0 Khi (5) (6) với điều kiện biên điều kiện ban đầu tương ứng: ur T   t  y,t   div y T  y,t  V  y   r   f y,t  div J , y   t  ,   y  T y, t  , y    t  , t,     T  y,0   T  y  , y   0,     hàm lớp C1 từ ¡ n  ¡  ¡ Khi (7) (8) trở thành: ur  T y, t  div T y, t V     y y t  r r    y T  y, t  a  y, t   div y a  y,t  T  y,t      f  y,t  , y    t  ,  T  y,t   0, y    t  , t, T  y,0   T  y  , y   , (11) 0      (7) và: ur  T x, t  T x, t div V    x, t t    r   f  x,t   div y J  x, t  , x  0 , (8)   x   , t, T  x, t   ,  T x,0  T y , x  0  0       r r J  y, t   a  y,t  T  y,t  , y    t  với a  và: r  T x, t  T x, t C x,t   T x, t b  x, t          x t    f  x, t  , x  0 ,  T  x, t   0, x  0 , t,  T  x,   T0  x  , x  0 , (12) 179 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 với k  , c  y, t  hàm trơn cho trước đó, ur r C  x,t   div y V  x, t   div y a  x,t  , r r b  x, t   D  t y.a  y,t    r g  y, t    g i  y, t  , ,g n  y,t   Chúng ta có  Phương trình r cân khuếch tán: Giả sử J  y, t   k  y T  y, t  , y    t  , với k  , ur  T y, t   T y, t V   y y  t    ur   T  y, t  div V  y   k T  y, t     f  y, t  , t    t  , (13)  T  y, t   0, y   t  , t,  T  y,0   T0  y  , y  0 ,   kết sau: Bổ đề Phương trình (15) tương đương với T   x, t   kdiv  B x, t    t r r    T  x, t  h  x, t   d  x, t  x     c  x,t  T  x, t   f  x, t  , x   , (16)  T  x, t   0, x  0 , t, T  x,   T  x  , x   , 0  với B x, t   A  x,t   x T  x, t  ,  A  x, t    a k,i  x, t   , và: n  k  t  y  i  t  y ,  y  y j1 j j ak ,i  x, t    ur T x,t   T x,t  div V  x,t    t   n  2 T x, t  n T x, t  k   a k,i  x,t   si  x,t      k,i1 xkxi i1 xi      f  x,t  (14)  T x,t   0, x 0 , t,  T x,0  T0  x  , x 0 ,  d i  x, t   si  x, t   ci  x, t  , s i  x, t   y  i  t  y , n ci  x, t    k 1  si  x,t    j1 y2j ,  Bổ đề Giả sử điều kiên thỏa mãn với điều kiện ban đầu T0  L2  0  (15) (16) có nghiệm  i  t  y x i y   t  x  k  t  y  i  t  y   y  k  y  i y j y j j1 n a k,i  x, t    n ak ,i  x, t  r h  x,t  r r  g  x, t   y 1  t  y, , g  x, t   y  n  t  y , đó: y    t  x,    y  i  t  y , y   t  x 2.5 Phương trình parabolic miền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Amann, 1995, Linear and Quasilinear thay đổi theo thời gian Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag, Trong mục xét phương Berlin trình parabolic miền thay đổi theo thời [2] F Cortéz and A Rodríguez-Bernal, 2013, gian Phương trình không thiết PDEs in moving time dependent domains, phương trình cân Xét tốn: In: Rubio R et al (eds ) Understanding n  T T y,t  k  T y,t       y,t .g i  y, t    y  t  y i  i    c  y, t  T  y, t   f  t, y , y    t  , (15)  T y,t  0, y   t , t,     T  y,0   T0  y , y  0 ,  Complex Systems, Springer, Berlin, Heidelberg, 559-577 [3] P Hartman, 1964, Ordinary differential equations, John Wiley and sons [4] O.A Ladyzhenskaya, 1969, The mathematical theory of viscous incompressible flow, Gordon and Breach 180 ... nghĩa Mệnh đề Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm (7), nghĩa T  y, t  thỏa mãn (7) cân miền thay đổi theo thời gian khi T  x,t  thỏa mãn (8) đẳng thức sau thỏa mãn: 2.4 Một số phương trình cân... 2.5 Phương trình parabolic miền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Amann, 1995, Linear and Quasilinear thay đổi theo thời gian Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag, Trong mục xét phương Berlin trình. .. phương Berlin trình parabolic miền thay đổi theo thời [2] F Cortéz and A Rodríguez-Bernal, 2013, gian Phương trình khơng thiết PDEs in moving time dependent domains, phương trình cân Xét tốn: In: Rubio