Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian

Bài viết Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các lý thuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian. Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của phương trình cân bằng, một số phương trình cân bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1 , Lê Thị Thúy Bộ mơn Tốn học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn Bộ mơn Tốn - Khoa KHTN, Trường Đại học Điện lực, email:thuylt@epu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG 2.2 Phương trình cân Trong báo này, chúng tơi trình bày lý Định nghĩa Nếu với T  , f thuyết miền thay đổi theo thời gian hàm định nghĩa bởi: Chúng giới thiệu định nghĩa miền f : U   t   t  ¡ ,  y, t   f  y, t  thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, t T, T  điều kiện biên, điều kiện ban đầu f  phương trình cân bằng, số phương trình cân định nghĩa hàm bởi: f :0    T,T   ¡ , f  x,t   f    t  x, t  khơng khuếch tán khuếch tán, phương trình parabolic miền thay đổi theo thời gian Ta có W  t    t  W0    t  , miền trơn với biên W  t  Khi đạo hàm NỘI DUNG CHÍNH theo thời gian hàm T W(t) kí hiệu 2.1 Miền phụ thuộc thời gian d T  y, t  dy tính sau: Giả sử x điểm miền cố định  dt W t cho trước 0  ¡ n (là tập mở trơn) Bổ đề Với ký hiệu trên, thời điểm t  , xê dịch theo đường cong d t a Y(t; x) ¡ n Chúng ta giả sử đường T  y, t  dy viết dạng hai dt W t  cong nghiệm hệ phương trình vi phân cổ điển ơtơnơm: biểu thức sau:  u.r  Y  t; x   V  Y  t; x     Y  0;x   x  (1) uuuuur T y, t dy  div T y, t V      y  dy (2)  t  y W t  W t    hoặc: với hàm vectơ vận tốc trơn cho trước ur V : ¡ n  ¡ n Với t  ¡ , ánh xạ:  t  : ¡ n  ¡ n ,  t  z  Y  t; z  vi đồng phôi thỏa mãn: i)    I ; ii)  t  s     t  o   s ,  t, s  ¡ Ta có  t  nghịch đảo  t  Khi miền 0 cố định ban đầu xê dịch thành miền   t    t   , t  ¡ , biên   t     t  0 Các miền W0 0 xê dịch thành W  t    t  W0 , t  ¡ , biên W  t    t   W0 ur r T y, t dy  T y, t V y ds        t  W t  W t  (3) Giả sử phương trình cân T  y, t  : r r d T y, t dy  f y, t dy        Jds dt W t  W t  W  t  f  y, t  tỷ lệ sản sinh hay số lượng T đơn vị thể tích r W  t  J trường vectơ chảy hay lưu thông T biên W  t  Khi ta có: r d T y,t dy  f y, t dy  div       y Jdy (4) dt Wt  W t  W t  178 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Từ (4) Bổ đề 1, ta có mệnh đề sau: Chúng ta dùng (8) để định nghĩa Mệnh đề Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm (7), nghĩa T  y, t  thỏa mãn (7) cân miền thay đổi theo thời gian khi T  x,t  thỏa mãn (8) đẳng thức sau thỏa mãn: 2.4 Một số phương trình cân ur T  y, t  divy T  y, t  V  y khuếch tán không khuếch tán t (5) r Phương trình khơng dịng khơng  f  y,t   div y J , y    t  , t  0, khuếch tán: ur hoặc:     ur  T  x, t   T  x, t  div V  x, t  t r  f  x, t   div y J  x, t  , x  , t     (6)     t T  y, t   div y T  y, t  V y   f  y, t  ,   y    t , (9)  T  y,t   0, y    t  , t,  T  y,0   T0  y  , y  0 , 2.3 Điều kiện biên điều kiện ban đầu Chúng ta xét điều kiện biên Dirichlet và: ur  giả sử: T x, t  T x, t div V      x, t  f  x, t , t y   t  x ,      T  x, t   0, x  0 , t,  T  x,   T0  x  , x  0   t    t   ,   t     t   0  , x  0 , (10) T  y, t   ,  y    t  Phương trình vận chuyển (phương trình T  x,t   ,  x   dịng khơng khuếch tán): Ta có   t   1  t    t  Giả sử Với điều kiện biên ban đầu, ta có    I , T  y,0   T0  y  ,  y  0 T  x,0   T0  x  ,  x  0 Khi (5) (6) với điều kiện biên điều kiện ban đầu tương ứng: ur T   t  y,t   div y T  y,t  V  y   r   f y,t  div J , y   t  ,   y  T y, t  , y    t  , t,     T  y,0   T  y  , y   0,     hàm lớp C1 từ ¡ n  ¡  ¡ Khi (7) (8) trở thành: ur  T y, t  div T y, t V     y y t  r r    y T  y, t  a  y, t   div y a  y,t  T  y,t      f  y,t  , y    t  ,  T  y,t   0, y    t  , t, T  y,0   T  y  , y   , (11) 0      (7) và: ur  T x, t  T x, t div V    x, t t    r   f  x,t   div y J  x, t  , x  0 , (8)   x   , t, T  x, t   ,  T x,0  T y , x  0  0       r r J  y, t   a  y,t  T  y,t  , y    t  với a  và: r  T x, t  T x, t C x,t   T x, t b  x, t          x t    f  x, t  , x  0 ,  T  x, t   0, x  0 , t,  T  x,   T0  x  , x  0 , (12) 179 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 với k  , c  y, t  hàm trơn cho trước đó, ur r C  x,t   div y V  x, t   div y a  x,t  , r r b  x, t   D  t y.a  y,t    r g  y, t    g i  y, t  , ,g n  y,t   Chúng ta có  Phương trình r cân khuếch tán: Giả sử J  y, t   k  y T  y, t  , y    t  , với k  , ur  T y, t   T y, t V   y y  t    ur   T  y, t  div V  y   k T  y, t     f  y, t  , t    t  , (13)  T  y, t   0, y   t  , t,  T  y,0   T0  y  , y  0 ,   kết sau: Bổ đề Phương trình (15) tương đương với T   x, t   kdiv  B x, t    t r r    T  x, t  h  x, t   d  x, t  x     c  x,t  T  x, t   f  x, t  , x   , (16)  T  x, t   0, x  0 , t, T  x,   T  x  , x   , 0  với B x, t   A  x,t   x T  x, t  ,  A  x, t    a k,i  x, t   , và: n  k  t  y  i  t  y ,  y  y j1 j j ak ,i  x, t    ur T x,t   T x,t  div V  x,t    t   n  2 T x, t  n T x, t  k   a k,i  x,t   si  x,t      k,i1 xkxi i1 xi      f  x,t  (14)  T x,t   0, x 0 , t,  T x,0  T0  x  , x 0 ,  d i  x, t   si  x, t   ci  x, t  , s i  x, t   y  i  t  y , n ci  x, t    k 1  si  x,t    j1 y2j ,  Bổ đề Giả sử điều kiên thỏa mãn với điều kiện ban đầu T0  L2  0  (15) (16) có nghiệm  i  t  y x i y   t  x  k  t  y  i  t  y   y  k  y  i y j y j j1 n a k,i  x, t    n ak ,i  x, t  r h  x,t  r r  g  x, t   y 1  t  y, , g  x, t   y  n  t  y , đó: y    t  x,    y  i  t  y , y   t  x 2.5 Phương trình parabolic miền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Amann, 1995, Linear and Quasilinear thay đổi theo thời gian Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag, Trong mục xét phương Berlin trình parabolic miền thay đổi theo thời [2] F Cortéz and A Rodríguez-Bernal, 2013, gian Phương trình không thiết PDEs in moving time dependent domains, phương trình cân Xét tốn: In: Rubio R et al (eds ) Understanding n  T T y,t  k  T y,t       y,t .g i  y, t    y  t  y i  i    c  y, t  T  y, t   f  t, y , y    t  , (15)  T y,t  0, y   t , t,     T  y,0   T0  y , y  0 ,  Complex Systems, Springer, Berlin, Heidelberg, 559-577 [3] P Hartman, 1964, Ordinary differential equations, John Wiley and sons [4] O.A Ladyzhenskaya, 1969, The mathematical theory of viscous incompressible flow, Gordon and Breach 180 ... nghĩa Mệnh đề Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm (7), nghĩa T  y, t  thỏa mãn (7) cân miền thay đổi theo thời gian khi T  x,t  thỏa mãn (8) đẳng thức sau thỏa mãn: 2.4 Một số phương trình cân... 2.5 Phương trình parabolic miền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Amann, 1995, Linear and Quasilinear thay đổi theo thời gian Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag, Trong mục xét phương Berlin trình. .. phương Berlin trình parabolic miền thay đổi theo thời [2] F Cortéz and A Rodríguez-Bernal, 2013, gian Phương trình khơng thiết PDEs in moving time dependent domains, phương trình cân Xét tốn: In: Rubio