Phương trình đạo hàm riêng

NGUYỀN MINH CHƯONG (chú biên) NGUYỄN MINH TRÍ - P H Ư O N S HÀ TlẾN NGOẠN LÊ QUANG TRUNG T R ÌN H DẠO HÀM RIÊNG NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2000 517 -— GD-00 194/162-00 M ã số :7 K M L Ó I N Ó I Đ AU Bộ môn phương trĩnh dạo hàm riêng hay phương trinh Vật lý tốn lầ mịn tốn học vừa mang tinh lý thuyết cao vừa mang tỉnh ứng d ụng rộng, dược dạy ỏ trường Đại học Khoa học, Sư phạm, Kỹ thuật^*^ dược nghiên cứu tạo nghiên cứu sinh ỏ trương áy ỏ nhiầu Viện chuyên ngành Ngành toán học dã góp ph ần xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học khoa học khác R t nhiêu ngành khoa học (kể xá hội), công nghệ dầu phải sử dụng Nó có m ặ t góp phần nãng cao tín h hấp dẫn lý thú, tính dầy dù sảu sắc, tính hiệu giá trị nhiêu ngành tối ưu, dieu khiển tối ưUy t r ò chơi v i p h â n , giải t í c h số, t í n h t o n k h o a học, k ể c ả lý thuyết lý thuyết kỳ dị, tai biến, rẽ nhảnh, hỗn loạn (chaos), Ay m cho dến nay, sách tiếng Việt v'ẻ mơn cịn vĩ sách N h xuất Giáo dục đưa vào danh sách ẩn p h ẩ m năm 1999 Quyển sách so với sách "Lý thuyết phương trĩnh dạo hàm riêng" năm 1995 N hà xuất Khoa học Kỹ thuật có nhiều phhĩi dổi mói, bổ sung N hữ n g p h n dổi bổ sung nhằm giúp độc già nấm vững nội dung bàn dã trinh bày sách, dịng thời giúp dộc giả có nhu càu hiểu biết nhiêu số hướng nghiên cứu đại ve phương trĩnh dạo hàm riêng tuyến tính Quyển sách gịm chương Chương I giói thiệu số định nghm văn de có tính chát ban đàu, thường gặp phương trình dạo hàm riêng (♦) Sau học xong giải tích cổ diển số cờ sở cùa giải tích hàm, chẳng hạn |14) toán Caucỉiy, toán biên, m ậ t dặc trưng, tính dặt tốn, phân loại phương trinh, dặc biệt dã lưu ý giúp giả tiếp xúc vói số phương trinh lý qua dó phan dộc già thấy dược vai trò quan trọng, cãn thiết lý thuyết phương trinh dạo hàm riêng dộc vặi rát Chương II giói thiệu khơng gian Lp, khơng gian Sobolev wị, tính chát, định lý nhúng Đây khơng gian rát thường gặp ìiãu hét khoa học, cơng nghệ, dặc biệt, vói p = Chương III, IV, V đe cập đến phương trĩnh elliptic, hyperboỉic, parabolic cấp hai đơn giản nhát, gần mỏ rộng chút it phương trĩnh Laplace, phương trĩnh sóng phương trinh truyền nhiệt Một giáo trĩnh ban đàu u'ê phương trinh dạo hàm riêng củng dê cập đến ba loại phương trĩnh đăy có nâng cao ít, dặc hiệt, có xét dến nghiệm suy rộng không gian Sobolev Chương VI trinh bày lớp toán biên tồng quát nhầm dẫn dến số kết nghiên cứu gan dây Đảy la chương dành cho độc giả muốn tiếp xúc với số hướng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tin h dại Thông qua só kết mói nhát hướng nghiên cứu số sách báo có liên quan mà dã giới thiệu danh sách tài liệu tham khảo, dộc giả tự thấy tốn, vấn d'ê cịn mỏ d ể tiếp tục p h t triển di sảu nghiên cứu Chúng tơi tập trung giói thiệu hướng nghiên cứu v'ê toán tủ giả ui phân (tổng quát hơĩi tốn tử tích phân Fourier), lóp tốn tử bao trủm nhiầu lóp phương trình vi phân tích phăn, kỳ dị dạo hàm riêng tuyến tính, thân mang giá trị khoa học tổng hợp rát cao, đồng thời lại công cụ mạnh mẽ uyền chuyền việc nghiên cứu tốn tuyển tính phi tuyến Nếu gắn vói lý thuyết sóng nhỏ, lý thuyết xáp xỉ sóng nhị lý thuyết p h ổ giả trị lý thuyết củng giả trị thực tiễn cao vĩ rát nhiều lỉnh vực nghiên cứu, thực tiễn, dặc biệt lỉĩiỉi vực có Liên quan dến xử lý tin hiệu, hình ảnh, v.v dềỉi CÕ-ÌI dến lý thuyết này, nỉmt dối với hướng nghiên cứu khoa học công nghệ mủi nhọn kiện dát nưóc khai thác d'ầu khi, khai thác khoảng sản, ỉiải sàn, hài dương học, khí tượng tliùy vãn, địa chấn học, sinh học, v.v So VÓI sách "Li thuyết phương trinh dạo hàm riêng" năm 1995, chúng tơi dưa thêm vào hưóng : phương trinh giả vi phân trẽn trường số p-adic da tạp với mục tiêu nói bên Trừ cỉiương VI mang nhiều tinh chát giói thiệu tổng quan, ỏ chương dều có đe nhieu tập vừa dể ứng dụng lý thuyết, vừa để bổ sung lý thuyết, nhầm giúp dộc giả nắm vững dầy dủ nội dung trình bày Sau trưóc giới thiệu cấc tài liệu tham khảo dã cho đáp số iập dã ra, hướng dản lời gidí, CỈIO lời giải bàỉ tập Chúng tơi tràn trọng cảm ơn Nhà xuất hản Giáo dục dã cổ vũ tạo diêu kiện để sách dời phục vụ sớm, dặc biệt Tiến sỉ Phạm Phu dã giúp tác giả nỉiieu trinh làm sách Hà nộiy Xuân 1999 C ÁC TẢ C GIÀ FOREWORDS Partial differential equations (PDE) or Equations of Mathematical Physics form one o f basic domain o f research o f Mathematics, which has luiderange o f application, both in tỉieory and practice This subfect has been taught in various uniưerties, colleges and many other institutinos It is very helpful and indispensable in many other areas not only o f mathematics, physics and other natural sciences and technology but also in social studies ỉ t appears and plays an important role in optimization, optimaỉ controỉ, dfferential games, numerỉcal analysis, scientific computing, and also in such theories, as singularity, catastrophe, bifurcation, chaos, Hoỉvever up to now there is uerỵ few books on PDE in Vietnamese so the Education Publishing House is pỉaning to pubỉish this book by the year 1999 the present book differs from the 1995 one "theory o f PDE" pubỉished by the Science and Technics Publishing House by many revisioĩis and expansions, the latter aims to help the readers to have a thorough understanding o f concepts introduced in the book, and also, regarding more advanced readers, to provide some current research in linear PDE This book consists o f chapters ỉn chapter ĩ we give some preliminary definitions and concepts, usually treated in PDE, such as Cauchy problem, boundary value problems, characteristic surfaces, weỉl “ posedness o f the probỉem, classification o f equations, and especially we in troduce the readers ivitỉi most basic equations in theoritical Physics, tuhich shoius the important character of PDE In chapter I I we introduce L^-spaces, Soboỉev w^^-spaces, embedding theorems and various properties These are very common spaces Lvhich appear in many areas of S c i e n c e and technology, especially for p =2 In chapters IIĨ, w , V the simplest equations of elliptic, hyperbolic an parbolic o f second order are considered, which generalize a little bit the Laplace equation, ivaưe equation and equation of heat conduction Any introductory course on PDE should incldude the reatment of these three equations Here we give it a niore advanced consideration, namely by discassing generaỉized solutions in Sobolev spaces Chapter VI deals ivith a class o f boundary value problems in general case luhich aims toward some recent researchs This chapter is intended for readers who loish to he familiar loith some current rasearch in linear PDE The readers may, through the bibliography at the end o f this book, find appropriate open poblems and research to study deeper We make emphasis on the study o f pseudodifferential operators O-VDO) (more general, the Fourier integraỉ operators), ivhich couer a wide class o f ordinary differential equations, singular integraỉ equations, PDE This theory is itself o f great valuabole synthetic one and at the same time is very powerfuỉ and fĩexible tool to study linear and nonlinear boundary value problems ỉ t will be of great importance, both in theory and practice, i f one makes use o f ỉvith spectral theory, luavelets and their approximations, since they seem to be very useful in investigating many areas of Science and t e c h n o l o g y e s p c i a ỉ l y the areas, concerning signal and image P r o c e s s i n g and the asreas of the main research directions of our country We introduce Ếwo ĩteu) directions of reseasch (which differs from the 1995 book "Theory o f DPE" : ^^DO over p-adics and 071 manifolds Except for ckapter Vĩ which has an overvỉeiv character there are given many exercices and problems after each chapter or the* readers to check their under- standing o f the concepts introduced, we give aỉso ansiuers or hints to these probỉems and exercices before introducing the References We'd like to thank Education Publishing House luhich encouraged and made all possibỉe for the book to see the ligỉit in a short period o f time, especialỉy Dr Pham Phu for great help in preparing for publishing Hanoiy Sprỉng 1999 T H E AƯTỈỈORS C hu n g I MỘT SỐ VẤN ĐÊ C BẢN §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHÍA VÀ ví DỤ Đ ịn h n g h ỉa p h ơn g trìn h đào hàm r iê n g tu yến tín h Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ th u ậ t trình nghiên cứu thường dẫn đến việc khảo sát phương trình co dạng sau : = /; (1) đd f hàm (hoặc vectơ hàm) biết miền Q c A toán tử vi phân tuyến tính tác dụng Q, tức tốn tử có dạng A = X a„(x)D«, \a với a = (ap (2) ơị số nguyên khồng âm ; n D « = D", D«2 Dj = r ‘a/9Xj, i = ^ F T , |a| = i= hàni (hoặc ma trậĩi) Q, u = u(x) hàm chưa biết Q Cấp cao n h ất đạo hàm riêng u, có m ặt hệ thức (2) gọi cấp tốn tử A Định nghia Phương trình (1) với toán tử A cấp m hàm u, f thỏa m ãn điều kiện -nêu gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m Phương trình truyển sóng : - Aa = 0, (22) (Phương trình (20) xét R", phương trỉn h (21) (22) xét Chúng ta xét phương trìn h tuyến tính cấp hai tổng quát Q c R" : n - ỵ , % (^) ịj= ì ^2 " ỹ + ỉ ^ i /-1 ^ ) ' tro ng đd ajj(x) = a^ịix), i, j = 1, 2, Tì coi thực Nghiệm phương trình (23) giả thiết thuộc C^(Q) Ký hiệu A(x) = [aị-(:r)] m a tr ậ n gồm hệ số đạo hàm cấp hai toán tử Giả sử s Q điểm tùy ý ; Ằ2 ÌX^), A^(x^) giá trị riêng thực ma trận A(x^^) Tk ký hiệu n'^ — số giá trị riêng dương, n~ = n~{x^) số giá trị riêng âni số giá trị riêng không, n = n'^ ĨI~ + Đ ịnh nghỉa Phương trình (23) gọi phương trình loại Elliptic điểm (hoặc elliptic điểm x^) n'^ = n nT = n Phương trin h (23) gọi phương trình loại Hyperbolic điểm Xq ri^ — n ~ l vh rT — \ ri^ — n~ = n Phương trìn h (23) gọi phương trình loại Elliptic, Hyperbolic Parabolic trê n tập hợp Q tương ứng elliptic, hyperbolic, p a r a b o lic điểm Q Rõ ràng, phương trìn h (23) không thiết thuộc loại t i t ấ t c ả c c điểm c ủ a m i ề n Q VÍ dụ Xét phương trình 'tVaphigin (n = 2) 'ớ^u d^u dxị lìxị t r o n g đố Xj) > với Xj > ; a(-Xj) < với X| < v a(Xj) = Xj - Phương trình ỉà elỉiptic với với < ; parabolic với = > 0, hyperbolic Ta k h ô n g s â u o v iệ c p hân lo i c c p h n g t r ìn h lo i khác, chẳng hạn phương trình (23) có \ < < ỈI - \ < n.“ < n - Bây ta xét vấn đề đưa phương trinh (23) dạng tác Giả sử e Q Xét phép biến đổi V = ỉ — 1, 2, 71 (y = y f x j j biến lân cận ( x ộ th àn h lân cận V(y^^) điểm tương ứng, = y ( x j ; Vị(:c) G (ư), í = 1, 2, n Ký hiệu X = x(y) phép biến đổi ngược Giả th iết rằn g m a trậ n Jacobi J(X) = [l)yị/'ỚXị] phép biếnđổi không suy biến, tức det Jfx) Ký hiệu u(x(y)J = v(y) Rõ ràng ta cđ n k=\ i n n •> ;t = i - ^ V, Khi đó, sau phép đổi biến phương trìn h (23) cd dạng , n E ( ^ ') ) v + F ( y , v , V 'r s k s = ■] u )= -n (24) n a,,(x) = ^(^ịji^)yỊc yỵ F hàm không phụ thuộc i.j =1 ' J vào đạo hàm cấp hai hàm V Nếu ký hiệu ma trậ n A (x) = [a^^ (x)] rõ ràng A(x) = JAcT\ Theo kết biết đại số thỉ số giá trị riêng dương, âm bàng không m a trậ n A(x) trùng vởi số giá trị riêng dương, âm không m a trận xJ Như phương trình (24) y & V loại với phương trìn h (23) X E tương ứng Ta lấy m ột điểm tùy ý G Q Với m a trậ n A(x^) tổn m a tr ậ n không suy biến T = cho TAT* có dạng đường chéo l\n " 'r TAT* = -V 0 Khi đd, ta thay biến y = Tx ta có J = A có dạng đường chéo Điểu có nghĩa trìn h (24) có dạng X = - 'àXị_^ phương - v + _ + _ =Fj, ^n+n-^n+ n Fị hàm khơng phụ thuộc vào đạo hàm cấp hai hàm V D ạng gọi d n g c h í n h t ắ c c ủ a p h n g t r i n h (23) điểm x^ Như v ậ y , với điểm G Q t a c ố thể phép đổi biến không suy biến để đưa phương trỉn h (23) vễ dạng tắc Vì phép biến đổi phụ thuộc vào hệ sô' c ủ a đạo hàm cao n h ấ t (23) tạ i X = nên hệ số không phụ thuộc X (hằng số tro n g Q) ta sè tìm phép biến đổi tuyến tín h đưa (23) dạng tác tồn miền Q Tương ứng với phương trìn h (23) ta thiết lập phương trinh n iA{x)VF ,VF) ^ ỵ aịị (X) = 0, (25) Phương trinh gọi phương trinh mật dặc trưng (hay đường dặc trưng n = 2) Mặt s d Q có phương trình F(x) = (F G CHQ) hàm n thực ^ 0) gọi m ặt đặc trưng phương trinh (23) i=\ ' hàm Ffx) t h ỏ a mãn (25) với X G s Nếu phương trình (23) Elliptic Q ma trậ n A(xj xác định dương âm tạ i X G Q Điều cđ nghĩa (25) xảy F„ = = = F„ ==0 Do đd phương trinh M ■'^2 n elliptic khơng có m ặt đặc trư n g thực Nếu phương trình (23) hyperbolic Q th ì có th ể r ằ n g t i đ i ể m b ấ t kỳ c ủ a Q đ ề u c ố m ộ t m ậ t đ ặ c t r n g qua Chẳng hạn, xét phương trình tru y ền song ^xx = nn TI n l n l CĨ phương trình m ặt đặc trư ng n n Rõ ràn g hàm : P(x) = - [(Xj - x ^)2 + + (a:„ _ J _ ị) G ndi Vậy m ặt cong xác định - t(^l i) 2], tùy ý, thỏa m ãn phương trình phương trìn h _ - ^ - i)^] = m ặ t đặc trưng Đd m ặt nón có đỉnh (x^ , ,x^) trục song song với Ox^ Xét phương trình truyển nhiệt Phương trinh đậc trư n g F ị+ + F ị ■i =0 ■n ~ Rõ ràng nghiệm phương trình cd dạng F = (p hàm khả vi liên tục tùy ý, ự>’ ^ Bởi đặc trư ng cùa phương trình truyền nhiệt ỉà m ặt phẳngx^ = const P h ân loại phương trìn h tu y ến tín h cấp h tro n g trường hợp hai biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực , y)u^ + c{x , y)u^^, = F{x, y, u, , u^) (26) Ma trậ n hệ số đạo hàm bậc cao n h ấ t cd dạng a {x ,y ) b{x\y) A (x) = b{x,y) c{x,y) vả phương trình đặc trư n g (24) d e tíA - X E ) == (a ~ Ằ)fc - X) - = b'^ = “ (a + c)A + ac - = 0, Khi đó, từ định nghĩa tính chất nghiệm phương trình bậc hai ta rút phương trình (26) thuộc loại ; - elliptic ac - hyperbolic ac - parabolic ac ~ > ; < ; = Trong trường hợp phương trình cấp hai với hai biến ta cụ th ể phép đổi biến để đưa phương trỉnh thuộc loại vể phương trỉnh có dạng đặc biệt đđ mà ta gọi dạng tác Xét phép đổi biến Ệ = Ệ{x, y) ; rị = tịix, y), với n h ữ n g h m k h ả vi li ê n tụ c h a i ỉầ n v : Đ { ị , n) rị{x,y) Khi đd, phương trình (26) theo biến có dạng «|(Ỉ-26|(ỉ, Ì I )U^, ^ + C | ( ệ , ,>1,U ttj = u ,, (27) ; + ^(sr % + ềy rix) + c, = 07^2 ; + 0^22 •' w' cịn Fj hàm khơng chứa đạo hàm cấp hai Ngoài ra, loại phương trình (26) khơng thay đổi ta làm phép đổi biến nói t r ê n 2-a.jC , = (6 -a c ) - ỉyri^) (28) Rõ ràng việc chọn Ệ{x, y), ĨỊÌX, y) cho phương trình (26) có dạng đơn giản gắn chặt với nghiệm phương trình aZị + 2bZ Ạ , + cZj = (29) Tá dễ chứng minh bổ để sau cho ta mối liên hệ phương trình (29) phương trình vi phân thường Bồ đầ Hàm z = nên phương trình vi phân thường cấp hai (29’) cd hai nghiệm phân biệt y) = ; y?2 (x, y) = c^, theo bổ đề ^ ị (x, y), (29) Hơn n ữ a ta có nghiệm riêng phương trình (y-i)’ ir2Y.r (^PlYy (y’2)’,V D( 0, chai hai vế phương trình (26) cho 2b(x, y) phương trìn h (26) cd dạng u ^ = F*(x , y , u Tdm lại, phương trìn h loại hyperbolic (26) đưa dạng (30) D ạng gọi dạng tắc phương trỉnh loại hyperbolic (26) Nếu ta lại thực phép đổi biến ỉ = « +y3 Tị = a - p ta nh ận m ột dạng tắc khác phương trỉnh loại hyperbolic (26) : Ti*ường hợp A = 6“ - ac < ; Phương trìn h (26) thuộc loại elliptic Do A = tổng quát ~ ac < nên phương trình (29’) cố hai nghiệm (f(x, y) = c ; y) = c, đđ