Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 60.46.01.06 Học viên : Lục Thanh Dự Giảng viên hướng dẫn :PGS TS Phạm Văn Kiều HÀ NỘI - 2017 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán - Tin giúp đỡ trình học tập trình hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Phạm Văn Kiều, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình nghiên cứu để luận văn hoàn thành thời hạn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lục Thanh Dự I Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Phạm Văn Kiều, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với đề tài:"Chuyển động Brown phương trình đạo hàm riêng" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Lục Thanh Dự II Mục lục Lời cảm ơn I Lời cam đoan II Lời nói đầu 1 Kiến thức bổ trợ 1.1 Định nghĩa 1.2 Toán tử đặc trưng 1.3 Phương trình truyền nhiệt 11 1.4 Phương trình Laplace 12 1.5 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai 12 Chuyển động Brown phương trình đạo hàm riêng 2.1 16 Hàm điều hòa toán Dirichlet 16 2.1.1 Định nghĩa hàm điều hòa 16 2.1.2 Định nghĩa tính chất giá trị trung bình 18 2.2 Bài toán Dirichlet 21 2.3 Phương trình truyền nhiệt chiều 23 III 2.3.1 Định lý Tychonoff 24 2.3.2 Nghiệm không âm phương trình truyền nhiệt 27 Quan hệ trình khuếch tán phương trình đạo hàm riêng 34 3.1 Nghiệm ngẫu nhiên, giả thiết thác triển trơn 34 3.2 Điểm quy kì dị biên 40 Tài liệu tham khảo 46 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown quan sát thấy tượng kỳ lạ hạt phấn hoa lơ lửng cốc nước Chúng liên tục lắc lư, chuyển động cách ngẫu nhiên dường không dừng lại cốc nước giữ yên gần tuyệt đối Năm 1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động Mô hình chuyển động Brown giống nhiều chuyển động bất thường khác lĩnh vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế Năm 1905, Albert Einstein (1987- 1955) giới thiệu mô hình chuyển động Brown từ quỹ đạo nguyên tử với cú sốc qua tính toán xác suất thống kê sử dụng thuyết động học phân tử Người xây dựng chặt chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) Norbert Weiner (1984- 1964) Ông đưa nhiều ứng dụng chuyển động Brown lý thuyết tín hiệu truyền tin Paul Levy (1886- 1971) có nhiều đóng góp nghiên cứu tính chất toán học chuyển động Brown Kyioshi Itô (1915- 1971) đóng góp phát triển phép tính vi phân ngẫu nhiên tảng chuyển động Brown Một ứng dụng chuyển động Brown tìm kiếm giải pháp cho nhiều vấn đề phương trình đạo hàm riêng Ellip Parabolic Thiết lập kết nối chuyển động Brown phương trình đạo hàm riêng Elipp Parabolic dựa toán tử Laplace Toán tử Laplace toán tử đạo hàm cấp hai trình khuếch tán Vào năm 1923, Norbert Weiner xây dựng trình khuếch tán tương ứng với toán tử Laplace gọi trình Weiner Quá trình Weiner xem mô hình toán học chuyển động Brown Với mong muốn tìm hiểu kĩ chuyển động Brown đặc biệt hàm điều hòa trình khuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàm riêng đặc biệt trình truyền nhiệt định chọn đề tài “Chuyển động Brown phương trình đạo hàm riêng” cho luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Giới thiệu khái niệm chuyển động Brown, thuật toán Laplace, trình Weiner, phương trình đạo hàm riêng, hàm điều hòa trình khuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt trình truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu Chuyển động Brown Phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích ngẫu nhiên Phương pháp giải tích Phương pháp martingale Bố cục Bài báo cáo bao gồm 51 trang, phần mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương trình bày hệ thống kiến thức xác suất bao gồm hệ thống định nghĩa, toán tử đặc trưng, phương trình truyền nhiệt, phương trình đạo hàm riêng cấp hai Chương 2: Chuyển động Brown phương trình đạo hàm riêng Chương trình bày chi tiết định nghĩa hàm điều hòa, định nghĩa tính chất giá trị trung bình, toán Dirichlet, phương trình truyền nhiệt chiều Đồng thời nêu chứng minh định lý Tychonoff, tính chất nghiệm không âm phương trình truyền nhiệt Chương 3: Quan hệ trình khuếch tán phương trình đạo hàm riêng Tôi trình bày mối quan hệ trình khuếch tán phương trình đạo hàm riêng Đồng thời trình bày số tính chất điểm quy kì dị biên Mặc dù cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo anh chị nghiên cứu sinh, anh chị bạn học viên Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lục Thanh Dự Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Định nghĩa Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu 2Ω tập hợp gồm tất tập Ω Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 (σ - đại số) Lớp A ⊂ 2Ω gọi đại số • Ω∈A • Nếu A ∈ A Ac = Ω\A ∈ A • Nếu A, B ∈ A A ∪ B ∈ A Nếu A đại số thỏa mãn: với dãy (An ) ⊂ A, ta có ∞ ∞ n=1 n=1 ∪ An ∈ A, ∩ An ∈ A, A gọi σ - đại số (Ω, A) gọi không gian đo Với họ σ - đại số Ω, giao chúng σ - đại số Trái lại, hợp σ - đại số chưa σ - đại số Nếu C tập 2Ω tồn σ - đại số nhỏ Ω chứa C Ta gọi σ đại số σ - đại số sinh C kí hiệu σ(C) Ta gọi σ - đại số sinh họ tất tập mở Rd σ - đại số Borel Rd kí hiệu B(Rd ) Định nghĩa 1.1.2 • Họ (F)t≥0 σ - đại số F gọi lọc Ft ⊂ Fs với s ≥ t ≥ • Lọc (Ft )t≥0 gọi liên tục phải Ft = ∩s≥t Fs với t ≥ • Lọc (Ft )t≥0 gọi thỏa mãn điều kiện thông thường liên tục phải F0 chứa tất tập có xác suất không Định nghĩa 1.1.3 (Quá trình ngẫu nhiên) Họ (Xt )t∈T biến ngẫu nhiên nhận giá trị Rd gọi trình ngẫu nhiên với tập số T không gian trạng thái Rd Khi tập T tập số nguyên dương (Xt )t∈T gọi trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, T tập R+ (Xt )t∈T gọi trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Với t cố định Xt (ω) hàm đo theo ω Với ω cố định Xt (ω) gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên ứng với ω Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình Weiner) Quá trình Wt gọi trình Weiner xuất phát từ 0, < ∞ điều kiện sau thực hiện: a) W0 = b) Với ≤ t0 < t1 < t2 < < tn đại lượng ngẫu nhiên Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , , Wtn − Wtn−1 độc lập Nếu < t ≤ (T /2), ta chọn t1 ∈ ((T /2), T ) sử dụng (2.27) viết ∞ p(t1 − t; x, y)v(t1 , y)dy v(t, x) = −∞ ∞ ∞ −∞ ∞ −∞ p(t1 − t; x, y)p(T − t1 ; y, z)dydF (z) = p(T − t; x, z)dF (z) = −∞ Cl Chú ý 2.3.7 Ký hiệu bn hội tụ hoàn toàn nghĩa Fn → F Fn (±∞) → F (±∞) (với Cl hội tụ yếu) Định lí 2.3.8 (Định lý Helly) bn Nếu g(x) bị chặn R Fn → F xác đến số, thì: gdFn → gdF Bổ đề 2.3.9 (Bổ đề Helly Bray) Cl Nếu với hầu chắn Fn → F , cặp a < b mà Fn (a) → F (a) Fn (b) → F (b) ta có: b b gdFn → a gdF a Hệ 2.3.10 Giả sử u(t, x) hàm không âm xác định dải (O, T ) × R, < T ≤ ∞ Khi bốn khẳng định sau tương đương: (i)’ Đối với hàm không giảm F : R → R ∞ u(t, x) = p(t; x, y)dF (y); < t < T, x ∈ R (2.36) −∞ (ii)’ u thuộc lớp C 1.2 (0, T ) × R thỏa mãn phương trình truyền nhiệt (2.15) 32 (iii)’ Đối với họ Brown {Ws , Fs ; ≤ s < ∞} , (Ω, F), {P x }x∈R , cố định t ∈ (0, T ), x ∈ R, trình {u(t − s, Ws ), Fs ; ≤ s < t} Martingale (Ω, F, R) (iv)’ Đối với họ Brown {Ws , Fs ; ≤ s < ∞} , (Ω, F), {P x }x∈R ta có: u(t, x) = Ex u(t − s, Ws ); ≤ s < t < T, x ∈ R (2.37) Chứng minh Giả sử T hữu hạn, ta nhận hệ v(t, x) = u(T − t, x) từ định lý (2.3.6) Nếu T = ∞, với số nguyên n ≥ ta có: (t, x) = u(n − t, x); < t < n, x ∈ R Hơn nữa, theo định lý (2.3.6) với ta thấy điều kiện (ii) , (iii) (iv) tương đương, chúng cho (i) , cho tồn , với n ≥ cố định, hàm không giảm F : R → R cho (2.36) cố định (0, n) × R Cho t ≥ n từ (2.37) ta có: n u(t, x) = E u , Wt−(n/2) = ∞ x u −∞ ∞ n n , z p t − ; x, z dz 2 ∞ = p −∞ ∞ p(t; x, y)dF (y) = −∞ 33 −∞ n ; z, y n t − ; x, z dzdF (y) Chương Quan hệ trình khuếch tán phương trình đạo hàm riêng 3.1 Nghiệm ngẫu nhiên, giả thiết thác triển trơn Giả sử không gian r chiều cho toán tử vi phân với hệ số liên tục L= ∂2 aij (x) + ∂xi ∂xj bi (x) i ∂ ; ∂xi (3.1) (ξt , Px ) trình khuếch tán với toán tử đạo hàm L Giả thiết trình Feller, nghĩa toán tử nửa nhóm chuyển hàm liên tục bị chặn thành liên tục Mệnh đề 3.1.1 Giả sử D compact, τ thời điểm khỏi (D) Giả sử v(x) hàm khả vi liên tục đến hạng hai xác định Rr , biến thành bên compact chứa D Khi đó: Eτ ≤ c−1 v(x) x ∈ D Chứng minh Hàm v nằm miền xác định toán tử cực vi phương 34 trình khuếch tán, hàm ngẫu nhiên: t ηt = v(ξt ) − Lv(ξs )ds (3.2) Martingale họ σ - đại số F≤t t Thực vậy, trước hết v(ξt ) − Lv(ξs )ds đo F≤t Hơn s t Lv(ξu )du|F≤s = − Ex v(ξt ) − t Lv(ξu )du + Ex [v(ξt )|F≤s ] − Ex 0 Lv(ξu )du|F≤s (3.3) hầu khắp nơi, tính chất Markov, số hạng thứ hai thứ ba tương ứng bằng: t−s P t−s v(ξs ) −Eξs t−s P u Lv(ξu )du Lv(ξu )du = − 0 Ta có: t−s P u Lv(y)du P t−s v(y) − v(y) = s Ta nhận hệ thức (3.3) hầu khắp nơi v(ξs ) − Lv(ξu )du Nếu thực tính chất Markov họ không giảm σ - đại số Ft ⊇ F≤t t v(ξt ) − Lv(ξu )du Martingale Ft Nó Martingale F≤t trình khuếch tán (ξt , Px ) có tính Markov họ σ - đại số Từ mệnh đề "Giả sử T đoạn hay nửa khoảng với mút phải tmax ; ξt , t ∈ T Martingale họ σ - đại số Ft , t ∈ T với quỹ đạo liên tục phải Giả sử τ, σ thời điểm Markov, τ ≤ σ ≤ tmax Khi đó: ξτ = E(ξσ |Fτ ) hầu khắp nơi" Ta rút rằng: Ex ητ ∧T = Ex η0 = Ex v(ξ0 ) = v(x), hầu khắp nơi Cho nên τ ∧ T thời điểm Markov họ σ - đại số F≤t 35 (3.4) Từ (3.4) ta nhận được: τ ∧T v(x) = Ex v(ξτ ∧T ) − Lv(ξs )ds (3.5) Từ tính toán : ξs , ξτ ∧T ∈ D, Lv(ξs ) ≤ −c, v(ξτ ∧T ) ≥ Ta nhận v(x) ≥ cEx (τ ∧ T ) Chuyển qua giới hạn T → ∞ Ta nhận được: v(x) ≥ cEx τ Cho phương trình Lv(x) = −g(x), x ∈ D, (3.6) v(x) = ϕ(x), x ∈ ∂D (3.7) ∂D biên D, D miền khép kín (đóng) nghĩa là: Tập D tập đóng, tập điểm liên thông điểm D giới hạn điểm Biên ∂D miền trơn, lân cận điểm biểu diễn dạng phương trình: x1 = f (x2 , , xr ) x2 = f (x1 , x3 , , xr ), , xr = f (x1 , , xr−1 ), f hàm khả vi liên tục đến hạng ba Ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1.2 Giả sử hệ số khuếch tán hệ số dịch chuyển trình khuếch tán (ξt , Px ) khả vi liên tục, ma trận khuếch tán không suy biến, giả sử D miền compact với biên trơn Trên D cho hàm liên tục khả vi g, biên ∂D miền cho hàm khả vi đến hạng ba liên tục ϕ.Khi đó: 36 τ v(x) = Ex ϕ(ξτ ) + g(ξt )dt , nghiệm toán (3.6) (3.7) Chứng minh Nghiệm toán Dirichlet ra, tồn Ta cần chứng minh trung bình biến hàm quỹ đạo ξt Ta thác triển hàm v toàn không gian hàm khả vi liên tục đến hạng hai trở thành hữu hạn Ta xác định hàm ngẫu nhiên: t ηt = v(ξt ) − Lv(ξs )ds Khi với công thức τ ∧T v(x) = Ex v(ξτ ∧T ) − Lv(ξs )ds Ta chuyển công thức qua giới hạn T → ∞ Ta tính đại lượng ngẫu nhiên dấu kỳ vọng Ex có ước lượng giá đại lượng ngẫu nhiên v + Lv τ τ v(x) = Ex v(ξτ ) − τ Lv(ξs )ds = Ex ϕ(ξτ ) + g(ξs )ds (3.8) Trường hợp đặc biệt: u(x) = Ex ϕ(ξτ ) thỏa mãn phương trình Lu = với biên, u|∂D = ϕ; τ g(ξs )ds phương trình Lv = −g với điều kiện không biên; v(x) = Ex m(x) = Ex τ phương trình Lm = −1 với điều kiện biên không Dưới ta phát biểu không chứng minh "Định lý tồn nghiệm" Friedman Định lí 3.1.3 Giả sử đường cong tứ giác D cho hàm liên tục khả vi g(x, y) cạnh bên cho hàm ϕ1 (y) ϕ2 (y) khả vi liên tục đến hạng ba, 37 đáy trơn hàm ϕ(x) khả vi liên tục đến hạng ba, đồng thời thực điều kiện phù hợp: ϕt (T ) + ϕ (fi (T )) + g(fi (T )) = 0, i = 1, 2 Khi tồn nghiệm v(x, y), (x, y) ∈ D Phương trình: ∂v ∂ 2v (x, y) + (x, y) = −g(x, y), (x, y) ∈ D ∂y ∂x2 (3.9) Thỏa mãn cạnh bên đáy trơn D điều kiện v(fi (y), y) = ϕi (y) i = 1, 2, (3.10) v(x, T ) = ϕ(x) (3.11) Đồng thời nghiệm nghiệm khả vi liên tục đến hạng hai biên Mệnh đề 3.1.4 Giả sử τ thời điểm trình (Wt , ηt ) khỏi D Khi hàm v(x, y) = Ex,y [ τ g(Ws , ηs )ds + χ[ητ =T ] ϕ(Wt ) +χ[ητ chứng minh tồn σ > cho: Px [τ < h] > − với ρ(x, x0 ) < σ Giả sử r1 , r2 , , rn , điểm hữu tỷ (0, h) Từ Px0 [τ < h] = rút rằng: lim Px0 ({ξr1 ∈ / D} ∪ {ξr2 ∈ / D} ∪ ∪ {ξrn ∈ / D}) = n→∞ Ta chọn n cho xác suất lớn − 40 biến cố đối lập có: Px0 {ξr1 ∈ D, ξr2 ∈ D, , ξrn ∈ D} < Ta viết xác suất dạng kỳ vọng toán: Ex0 χD (ξr1 ) χD (ξrn ) Tồn hàm liên tục f (x) không âm D cho: Ex0 f (ξr1 ) f (ξrn ) < Thực vậy, với tư cách hàm lấy: f (x) = fN (x) = exp {−N ρ(x, D)} với N đủ lớn, Bởi vì: lim Ex fN (ξr1 ) fN (ξrn ) = Ex0 χD (ξr1 ) χD (ξrn ) N →∞ Hơn từ họ Markov Feller rút rằng: Hàm F (x) = Ex f (ξr1 ) f (ξrn ) liên tục Như tồn σ > cho: Ex f (ξr1 ) f (ξrn ) < với ρ(x, x0 ) < σ Ta suy Px {ξr1 ∈ D, , ξrn ∈ D} < , Px [τ < h] > − Định lí 3.2.3 Giả sử (ξt , Px ) trình khuếch tán Feller D tập đóng, τ thời điểm ξt khỏi D u(x) = Ex ϕ(ξτ ), ϕ hàm cho biên Nếu x0 điểm quy biên D, hàm ϕ liên tục bị chặn có u(x) → ϕ(x0 ) x → x0 , x ∈ D (và u(x0 ) = ϕ(x0 )) 41 Chứng minh Giả sử σ số dương tùy ý Ta chọn σ |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < Ta có: để với ρ(x, x0 ) < mà |u(x) − ϕ(x0 )| = |Ex [ϕ(ξτ ) − ϕ(x0 )]| ≤ Ex χ[τ − σ h , x ∈ U /2 (x0 ) Khi đó: Ex χ[τ