Nghiệm dừng của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN HOÀNG ANH TUẤN NGHIỆM DỪNG CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CĨ TRỄ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN HOÀNG ANH TUẤN NGHIỆM DỪNG CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CÓ TRỄ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sƣ phạm Toán học Giảng viên hƣớng dẫn: TS.Đặng Thị Phƣơng Thanh Phú Thọ, năm 2019 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp, ngồi nỗ lực thân, tơi cịn nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, giáo Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo TS Đặng Thị Phương Thanh Giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương Cô dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, bảo tơi q trình thực khóa luận, đồng thời giúp tơi lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong làm việc khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy cô giáo giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, gia đình, bạn bè người ln sát cánh, ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập q trình thực hồn chỉnh khóa luận Mặc dù cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì tơi mong nhận góp ý thầy giáo bạn để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Hoàng Anh Tuấn Mục lục Mục lục Phần I: MỞ ĐẦU Phần III: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các khơng gian hàm tốn tử 1.1.1 Không gian hàm liên tục 1.1.2 Không gian hàm khả tích Lebesgue 1.1.3 Không gian Sobolev 1.1.4 Không gian đối ngẫu 10 1.2 Không gian chứa trễ 10 1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng 13 1.4 Một số định lí 15 1.4.1 Các bổ đề compact 15 1.4.2 Một số định lí quan trọng 18 Chương NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CĨ TRỄ VƠ HẠN 19 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 19 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 20 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM DỪNG 26 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 28 Chương NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN CĨ TRỄ 31 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 31 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 32 3.3 SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM DỪNG 40 3.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 42 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Phần I: MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần đầu vào kỷ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỷ XIX Nó coi cầu nối tốn học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn tốn thực tế Đặc biệt lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến Lớp phương trình xuất nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học, Vì vậy, nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Bài tốn đặt nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến có ứng dụng xét tính đặt tốn (bởi, phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm) nghiên cứu tính trơn hay dáng điệu tiệm cận nghiệm biến thời gian t → ∞ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường miêu tả trạng thái mơ hình thực tế Do đó, biết dáng điệu nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp Một phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến cụ thể, đóng vai trị quan trọng, có nhiều ý nghĩa tự nhiên phương trình phản ứng khuếch tán Phương trình phản ứng – khuếch tán phương trình giới thiệu trình học tập sinh viên có dạng: ut − ∆u + f (u) = g, (1) f, g tương ứng hàm phi tuyến hàm ngoại lực Lớp phương trình có nhiều ứng dụng thực tế, xuất nhiều trình vật lí sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt khuếch tán, mơ hình quần thể sinh học, công trình [1, 18, 26, 28] Do đó, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Trong năm gần đây, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thơng qua chứng minh tính ổn định nghiệm tồn tập hút nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ nhiều lớp phương trình học chất lỏng có trễ Tuy nhiên, khó khăn xuất số hạng chứa trễ gây ra, phần lớn kết tập hút đạt trường hợp trễ hữu hạn (xem[3, 5, 6, 7] tài liệu tham khảo đó) Việc phát triển kết cho trường hợp trễ vô hạn, trường hợp khó nhiều tính khơng bị chặn trễ, đạt số tiến vài năm gần vài trường hợp đặc biệt không gian pha Cγ L1g (D(Aα )) [4, 8, 24] Do đó, khóa luận này, chúng tơi xét phương trình truyền nhiệt có trễ vơ hạn khơng gian pha chứa trễ giới thiệu [17] sau: { } BCL−∞ (L2 (Ω)) = φ ∈ C((−∞, 0]; L2 (Ω)) : ∃ lim φ(s) ∈ L2 (Ω) , s→−∞ không gian Banach với chuẩn ∥φ∥B CL := sup ∥φ(s)∥L2 s∈(−∞,0] Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng nghiên cứu nhiều năm gần lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng: ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1], (2) f hàm phi tuyến g hàm ngoại lực Chú ý ε = 0, phương trình khuếch tán khơng cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển quen thuộc Lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển giới thiệu [1] E.C Aifantis phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển khơng mơ tả hết khía cạnh tốn phản ứng-khuếch tán Nó bỏ qua tính nhớt, đàn hồi, áp suất mơi trường q trình khuếch tán chất rắn Hơn nữa, E.C Aifantis rằng, lượng từ phương trình phát trình khuếch tán chất rắn mơi trường khác có tính chất khác Ví dụ, lượng phát từ phương trình mơi trường truyền dẫn có áp suất có độ nhớt hay khơng có độ nhớt khác Do đó, ơng xây dựng mơ hình tốn học qua số ví dụ cụ thể, có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình đưa lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển Lớp phương trình thường sử dụng để mơ tả tượng vật lí dịng chảy khơng Newton, tượng học chất lỏng, học chất rắn tỏa nhiệt (xem [1, 14, 15, 18, 26, 27]) Gần đây, E.C Aifantis đưa thêm mơ hình toán này, xin xem [2] Trong năm gần đây, tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình khuếch tán khơng cổ điển nghiên cứu rộng rãi trường hợp ôtônôm trường hợp không ôtônôm Mặt khác, có tình mà mơ hình mơ tả tốt hàm chứa trễ xuất phương trình Hàm chứa trễ xuất hiện, chẳng hạn muốn điều khiển hệ cách sử dụng lực khơng tính đến mà lịch sử nghiệm Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, kết nghiên cứu tồn tập hút đạt phương trình khuếch tán không cổ điển chứa trễ chủ yếu trường hợp trễ hữu hạn [9, 10, 29], ngoại trừ 02 cơng trình gần đây, xét trễ vô hạn số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev, kiểu đa thức tập hút tồn cục [19, 25] Mục tiêu khóa luận - Chứng minh tồn nghiệm, tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình phản ứng - khuếch tán có trễ vô hạn không gian pha BCL−∞ (L2 (Ω)) - Chứng minh tồn nghiệm, tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ vô hạn trường hợp hàm phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức cách đặc biệt hóa nội dung báo [25] Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết nghiên cứu đề tài mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc hồn thiện lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, giải số vấn đề chưa nghiên cứu mà nhiều nhà khoa học ngồi nước quan tâm Về mặt ứng dụng, sử dụng kết ý tưởng đề tài để nghiên cứu toán vật lý, học, hóa học sinh học Phần III: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tồn nghiệm, sử dụng phương pháp cơng cụ Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp compact, bổ đề compact, bổ đề xử lí số hạng phi tuyến [16] • Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng, sử dụng phương pháp lí thuyết ổn định Lyapunov Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình phản ứng - khuếch tán phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn tại, tính tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng phương trình phản ứng - khuếch tán phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ Hơn nữa, { ∥unt ∥2γ [ (1 ) + ∥un (0)∥2 λ1 θ∈(−∞,−t] θ∈[−t,0] ) ]} ∫ t+θ ( 2Lg n 2γθ +e ∥h∥∗ + √ ∥us ∥γ + 2C0 |Ω| ds λ1 { ≤ max sup e2γθ ∥ϕ(t + θ)∥2 ; ≤ max sup e 2γθ ∥ϕ(t + θ)∥ ; sup θ∈(−∞,−t] (1 ) + ∥un (0)∥2 + λ1 e2γθ ) } ∫ t( 2Lg n 2 ∥h∥∗ + √ ∥us ∥γ + 2C0 |Ω| ds λ1 Từ eγθ ∥ϕ(θ + t)∥ = sup eγ(θ−t) ∥ϕ(θ)∥ = e−γt ∥ϕ∥γ ≤ ∥ϕ∥γ , sup θ≤0 θ∈(−∞,−t] ∥u(0)∥ ≤ ∥ϕ∥γ , ta suy ∥unt ∥2γ (1 ) 2Lg ≤ + ∥ϕ∥2γ + T (∥h∥2∗ + 2C0 |Ω|) + √ λ1 λ1 ∫ t ∥uns ∥2γ ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có [ ]( ) 2Lg (1 ) t 2Lg t √ n 2 λ1 ∥ut ∥γ ≤ + ∥ϕ∥γ + T (∥h∥∗ + 2C0 |Ω|) + √ e λ1 λ1 Khi đó, ta có đánh giá sau: Tồn số C, phụ thuộc vào số số toán (cụ thể, λ1 , T, Lg h) R > 0, cho ∥unt ∥2γ ≤ C, ∀ t ∈ [0, T ], ∥ϕ∥γ ≤ R (3.7) Đặc biệt, ta suy {un } bị chặn L∞ (0, T ; V ) Từ (3.6) (3.7), ta có ∥un ∥Lp (0,T ;Lp (Ω)) ≤ C (3.8) Sử dụng (3.2) ta ′ ′ {f (un )} bị chặn Lp (0, T ; Lp (Ω)), 35 (3.9) p′ liên hợp p Nhân phương trình (3.1) với ∂t u lấy tích phân miền Ω, ta có ( ) ∫ d n n n n |∂t u | + ∥∂t u ∥ + ∥u ∥ + F (u )dx dt Ω ≤ ⟨h, ∂t un ⟩ + Lg ∥unt ∥γ |∂t un |, ∫ u F (u) = f (s)ds nguyên hàm f (u) Vì d |∂t u | + ∥∂t u ∥ + dt n n ( ) ∫ n n ∥u ∥ + F (u )dx ≤ ∥h∥2∗ + L2g ∥unt ∥2γ Ω Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức từ đến t kết hợp với điều kiện (3.7), (3.8), ta {∂t un } bị chặn L2 (0, T ; V ) Bước 3: Sự hội tụ không gian Cγ (V ) tồn nghiệm yếu Ta chứng minh unt → ut Cγ (V ), ∀ t ∈ (−∞, T ], cách Pn ϕ → ϕ Cγ (V ), (3.10) un → u C([0, T ]; V ) (3.11) Trước tiên, kiểm tra hội tụ (3.10) Thật vậy, giả sử ngược lại, dẫn đến tồn ε > dãy con, mà ta sử dụng kí hiệu cũ, cho eγθn ∥Pn ϕ(θn ) − ϕ(θn )∥ > ε (3.12) Ta giả sử θn → −∞, cịn θn → θ, Pn (θn ) → ϕ(θ), ∥Pn ϕ(θn ) − ϕ(θ)∥ ≤ ∥Pn ϕ(θn ) − Pn ϕ(θ)∥ + ∥Pn ϕ(θ) − ϕ(θ)∥ → n → +∞ Tuy nhiên, với θn → −∞ n → +∞, kí hiệu χ = lim eγθ ϕ(θ), ta thu θ→−∞ eγθn ∥Pn ϕ(θn ) − ϕ(θn )∥ = ∥Pn (eγθn ϕ(θn )) − eγθn ϕ(θn )∥ ≤ ∥Pn (eγθn ϕ(θn )) − Pn χ∥ + ∥Pn χ − χ∥ + ∥χ − eγθn ϕ(θn )∥ → Điều mâu thuẫn với (3.12), (3.10) 36 Tiếp theo, ta kết hợp kết quan trọng tính compact phương pháp lượng để qua giới hạn dãy dãy {un } để nhận nghiệm toán (3.1) Từ đánh giá Bước 2, ta thấy tồn dãy (ta sử dụng kí hiệu cũ) {un }, phần tử u ∈ L∞ (0, T ; V ) ∩ Lp (0, T ; Lp (Ω)) với u′ ∈ L2 (0, T ; V ), ξ ∈ L2 (0, T ; H) cho un ⇀∗ u L∞ (0, T ; V ), un ⇀ u Lp (0, T ; Lp (Ω)), ∂t un ⇀ ∂t u L2 (0, T ; V ), ′ (3.13) ′ f (un ) ⇀ ζ Lp (0, T ; Lp (Ω)), g(unt ) ⇀ ξg L2 (0, T ; H) Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions (xem Bổ đề 1.2 Chương 1), ta un → u L2 (0, T ; H), theo dãy Vì un → u hầu khắp nơi Ω × [0, T ] Do f liên tục nên f (un ) → f (u) hầu khắp nơi Ω × [0, T ] Từ (3.9), ta có ′ ′ f (un ) ⇀ f (u) Lp (0, T ; Lp (Ω)) Vì ζ = f (u) Từ hội tụ {un } đến u L∞ (0, T ; V ), ta thu un (t) → u(t) V với hầu khắp t ∈ (0, T ) Do ∫ t u (t) − u (s) = n ′ (un ) (r)dr H, ∀s, t ∈ [0, T ], n s từ (3.13) ta có {un } đồng liên tục [0, T ] với giá trị H Do phép nhúng V ⊂ H compact, từ (3.7) tính đồng liên tục H, sử dụng định lí Arzela-Ascoli ta có un → u C([0, T ]; H) (3.14) Lại từ (3.13) ta có với dãy {tn } ⊂ [0, T ] với tn → t, un (tn ) ⇀ u(t) V, ta sử dụng (3.14) 37 (3.15) Bây giờ, ta chứng minh (3.11) phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại, coi u ∈ C([0, T ]; V ), tồn ϵ > 0, t0 ∈ [0, T ] dãy (vẫn kí hiệu cũ) {un } {tn } ⊂ [0, T ] với lim tn = t0 cho n→+∞ ∥un (tn ) − u(t0 )∥ ≥ ϵ Để chứng minh điều vô lí, dùng phương pháp lượng Ta nhận thấy bất đẳng thức lượng với un : ∫ t ∫ t n n n |u (t)| + ∥u (t)∥ + ∥u (r)∥ dr + (f (un (r)), un (r))dr 2 s s ∫ t 1 ≤ ⟨h, un (r)⟩dr + |un (s)|2 + ∥un (s)∥2 + C3 (t − s), ∀ s, t ∈ [0, T ], 2 s (3.16) C3 số thỏa mãn ∫ t |g(unr )|2 dr ≤ C3 (t − s) ∀ ≤ s < t ≤ T s Mặt khác, từ (3.7) (H2), tồn ξg ∈ L2 (0, T ; H) cho {g(unt )} hội tụ yếu tới ξg L2 (0, T ; H) Vì vậy, ta chuyển qua giới hạn thu u nghiệm ) d( (u, v) + (∇u, ∇v) + (∇u, ∇v) + ⟨f (u), v⟩ = ⟨h, v⟩ + (ξg , v) dt Do đó, u thỏa mãn bất đẳng thức lượng ∫ t ∫ t 2 |u(t)| + ∥u(t)∥ + ∥u(r)∥ dr + ⟨f (u(r)), u(r)⟩dr s s ∫ t ( ) 2 = |u(s)| + ∥u(s)∥ + ⟨h, u(r)⟩ + (ξg , u(r)) dr, ∀ ≤ s < t ≤ T, s với giới hạn yếu ξg ta có đánh giá ∫ t ∫ t |ξg | dr ≤ lim inf |g(unr )|2 dr ≤ C3 (t − s), ∀ ≤ s ≤ t ≤ T s n→+∞ s Vì vậy, ta có u thỏa mãn bất đẳng thức (3.16) với số C3 Tiếp theo, xét hai hàm Jn , J : [0, T ] → R xác định ∫ t ∫ t n n n n Jn (t) = (|u (t)| + ∥u (t)∥ ) + ⟨f (u (r)), u (r)⟩dr − ⟨h, un (r)⟩dr − C3 t, 0 ∫ t ∫ t ⟨f (u(r)), u(r)⟩dr − ⟨h, u(r)⟩dr − C3 t J(t) = (|u(t)|2 + ∥u(t)∥2 ) + 0 38 Dễ thấy Jn J hàm liên tục khơng tăng Hơn nữa, từ tính hội tụ un tới u hầu khắp nơi theo thời gian với giá trị V , hội tụ yếu L2 (0, T ; V ), ta suy Jn (t) → J(t) hầu khắp t ∈ [0, T ] (3.17) Bây giờ, nhận xét trường hợp t0 = kéo theo từ (3.16) với s = định nghĩa un (0) = Pn ϕ(0) Vậy, ta giả thiết t0 > Điều quan trọng, ta xấp xỉ giá trị t0 từ bên trái dãy {t′k }, tức lim t′k ↗ t0 k→+∞ Do u(·) liên tục t0 , nên tồn kϵ cho ϵ |J(t′k ) − J(t0 )| < , ∀ k ≥ kϵ Mặt khác, lấy n ≥ n(kϵ ) cho tn > t′kϵ , Jn không tăng với t′k hội tụ (3.17) đúng, ta có |Jn (tn ) − J(t0 )| ≤ |Jn (t′kϵ ) − J(t′kϵ )| + |J(t′kϵ ) − J(t0 )|, ϵ rõ ràng, lấy n ≥ n′ (kϵ ), ta nhận |Jn (t′kϵ ) − J(t′kϵ )| < Vì n lim sup ∥u (tn )∥ ≤ ∥u(t0 )∥ (3.18) n→+∞ Hơn nữa, từ (3.15) ta có un (tn ) ⇀ u(t0 ) V Vì vậy, ta có ∥u(t0 )∥ ≤ lim inf ∥un (tn )∥ n→+∞ Kết hợp (3.18) (3.19), ta un (tn ) → u(t0 ) V Cuối cùng, ta cần chứng minh g(unt ) → g(ut ) L2 (0, T ; V ) Ta có ∥unt − ut ∥γ = sup eγθ ∥un (t + θ) − u(t + θ)∥ θ≤0 { = max eγθ ∥Pn ϕ(θ + t) − ϕ(θ + t)∥, sup θ∈(−∞,−t] } sup e ∥u (t + θ) − u(t + θ)∥ γθ n θ∈[−t,0] { } −γt n ≤ max e ∥Pn ϕ − ϕ∥γ , max ∥u (θ) − u(θ)∥ → θ∈[0,t] 39 (3.19) Vậy, unt → ut Cγ (V ), ∀ t ≤ T Mặt khác, ta đồng giới hạn yếu ξg từ (3.13), nên nhận g(unt ) → g(ut ) L2 (0, T ; H) Từ kết hội tụ trên, ta có u nghiệm yếu toán (3.1) 3.3 SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM DỪNG Nghiệm dừng toán (3.1) phần tử u∗ ∈ V ∩ Lp (Ω) thỏa mãn ((u∗ , v)) + ⟨f (u∗ ), v⟩ = (g(u∗ ), v) + ⟨h, v⟩, (3.20) với hàm thử v ∈ V ∩ Lp (Ω) Định lí 3.2 Giả sử điều kiện (H1) - (H3) thỏa mãn Khi (a) Tồn nghiệm dừng tốn (3.1); (b) Nếu có điều kiện sau λ1 − ℓ − Lg √ λ1 > 0, (3.21) nghiệm dừng tốn (3.1) Chứng minh Cho {ej : j ≥ 1} sở V ∩ Lp (Ω) Với số tự nhiên n ≥ 1, ta kí hiệu Vn = span{e1 , , en } ta xác định nghiệm xấp xỉ un toán (3.1) n u = n ∑ γnj ej , (3.22) j=1 ((un , ej )) + ⟨f (un ), ej ⟩ = (g(un ), ej ) + ⟨h, ej ⟩, j = 1, , n (3.23) Để chứng minh tồn un , ta định nghĩa toán tử Rn : Vn → Vn sau ((Rn u, v)) := ((u, v)) + ⟨f (u), v⟩ − (g(u), v) − ⟨h, v⟩, 40 ∀ u, v ∈ Vn Với u ∈ Vn , ta có ((Rn u, u)) ≥ ∥u∥2 + C1 ∥u∥pLp (Ω) − C0 |Ω| − ∥h∥∗ ∥u∥ − Lg ∥u∥|u| ≥ ∥u∥2 + C1 ∥u∥pLp (Ω) − C0 |Ω| − ∥h∥2∗ − L2g |u|2 Áp dụng bất đẳng thức Young, ta 2p C1 p − ( C1 p ) p−2 p−2 ∥u∥pLp (Ω) + Lg |Ω| p −2 L2g |u|2 ≤ Vì C1 ∥u∥2 + ∥u∥pLp (Ω) − C0 |Ω| − ∥h∥2∗ 2 −2 ( 2p p − C1 p ) p−2 p−2 − Lg |Ω| p ((Rn u, u)) ≥ (3.24) Do đó, ta lấy 2p 2p − ( C1 p ) p−2 p−2 + Lg |Ω|, p −2 β > 2C0 |Ω| + 2∥h∥2∗ ((Rn u, u)) ≥ ∀u ∈ Vn với ∥u∥2 = β Từ hệ định lí điểm bất động Brouwer, với n ≥ 1, tồn un ∈ Vn cho Rn (un ) = 0, với ∥un ∥ ≤ β Nhân phương trình (3.23) với γnj cộng đẳng thức với với j = 1, , n, ta ∥un ∥2 = (g(un ), un ) + ⟨h, un ⟩ − ⟨f (un ), un ⟩ −2 2p p − ( C1 p ) p−2 p−2 C1 n p ≤ Lg |Ω| + C0 |Ω| + ∥h∥2∗ + ∥un ∥2 − ∥u ∥Lp (Ω) p 2 Do vậy, ta có đánh giá tiên nghiệm sau 2p 2p − ( C1 p ) p−2 p−2 + Lg |Ω| p −2 ∥u ∥ + n C1 ∥un ∥pLp (Ω) ≤ 2C0 |Ω| + 2∥h∥2∗ Do dãy {un } bị chặn V ∩ Lp (Ω), tồn u∗ V ∩ Lp (Ω) dãy (vẫn kí hiệu cũ) thỏa mãn un ⇀ u∗ V ∩ Lp (Ω) Mặt khác, từ (3.2) ta có ′ {f (un )} bị chặn Lp (Ω), 41 (3.25) p′ liên hợp p Vì vậy, ′ f (un ) ⇀ ξ Lp (Ω) Do phép nhúng V → H compact, ta giả sử un → u∗ mạnh H Vì un → u∗ hầu khắp nơi Ω Bởi f liên tục nên f (un ) → f (u∗ ) hầu khắp nơi Ω Từ (3.25), ta có ′ f (un ) ⇀ f (u∗ ) Lp (Ω) Vậy, ξ = f (u∗ ) Mặt khác, từ (g2) ta có g(un ) ⇀ g(u∗ ) H Vì vậy, u∗ nghiệm dừng tốn (3.1) Ta chứng minh tính nghiệm dừng Giả sử u∗ v ∗ hai nghiệm dừng toán (3.1) Đặt w = u∗ − v ∗ , ta có ′ Aw + f (u∗ ) − f (v ∗ ) = g(u∗ ) − g(v ∗ ) (V ∩ Lp (Ω))′ = V ′ + Lp (Ω) Vì vậy, chọn hàm thử v = u∗ − v ∗ , ta ∥u∗ − v ∗ ∥2 + ⟨f (u∗ ) − f (v ∗ ), u∗ − v ∗ ⟩ = (g(u∗ ) − g(v ∗ ), u∗ − v ∗ ) Từ (g2) (3.3), ta có −1/2 ∗ ∗ ∥u∗ − v ∗ ∥2 ≤ ℓλ−1 ∥u − v ∥ + Lg λ1 ∥u∗ − v ∗ ∥2 Vậy, −1/2 (1 − ℓλ−1 − Lg λ1 )∥u∗ − v ∗ ∥2 ≤ 0, √ từ λ1 − ℓ − Lg λ1 > 0, định lí chứng minh 3.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG Định lí 3.3 Giả sử điều kiện (H1) - (H3) (3.21) thỏa mãn Khi đó, tồn giá trị < λ < 2γ cho nghiệm u(·) (3.1) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ Cγ (V ), w(t) = u(t) − u∗ , với u∗ nghiệm dừng xác 42 định Định lí 3.2 thỏa mãn đánh giá sau với t ≥ 0: ( ) 2L2g −λt 2 ∗ ∥w(t)∥ ≤ e |w(0)| + ∥w(0)∥ + ∥ϕ − u ∥γ , λ1 (2γ − λ) { ∥wt ∥γ ≤ max e−2γt ∥ϕ − u∗ ∥2γ , e −λt ( 2L2g |w(0)| + ∥w(0)∥ + ∥ϕ − u∗ ∥2γ λ1 (2γ − λ) 2 )} (3.26) (3.27) Chứng minh Cho w(t) = u(t) − u∗ , ta có (∂t w(t), w(t)) − (∆∂t w(t), w(t)) − (∆w(t), w(t)) + ⟨f (u(t)) − f (u∗ ), w(t)⟩ = (g(ut ) − g(u∗ ), w(t)) Với số dương λ cố định, nhân hai vế phương trình với eλt áp dụng (3.3), (H2), ta ( ) d λt 2 e (|w(t)| + ∥w(t)∥ ) + 2eλt ∥w(t)∥2 dt ( ) λt 2 ≤e λ(|w(t)| + ∥w(t)∥ ) + 2ℓ|w(t)| + 2Lg ∥wt ∥γ |w(t)| Do đó, áp dụng bất đẳng thức Young với δ > 0, ta có ( ) d eλt (|w(t)|2 + ∥w(t)∥2 ) dt ( ) Lg λt −1 −1 ≤ eλt λ(λ−1 e ∥wt ∥2γ + 1) + 2ℓλ1 + δLg λ1 − ∥w(t)∥ + δ Lấy tích phân từ đến t, ta ∫ Lg t λs e (|w(t)| + ∥w(t)∥ ) ≤ |w(0)| + ∥w(0)∥ + e ∥ws ∥2γ ds δ ( )∫ t −1 −1 + λ(λ−1 eλs ∥w(s)∥2 ds + 1) + 2ℓλ1 + δLg λ1 − λt 2 2 43 (3.28) ∫ t eλs ∥ws ∥2γ ds sau Ta đánh giá số hạng ∫ t eλs sup e2γθ ∥w(s + θ)∥2 ds θ≤0 ∫ = e ∫ { t = λs max sup e 2γθ ∥w(s + θ)∥ ; sup e θ≤−s 2γθ } ∥w(s + θ)∥ ds θ∈[−s,0] { } t −(2γ−λ)s ∗ (2γ−λ)θ λ(s+θ) max e ∥ϕ − u ∥γ ; sup e e ∥w(s + θ)∥ ds θ∈[−s,0] Vì vậy, λ < 2γ, áp dụng bất đẳng thức (3.28), ta ∫ t Lg ∗ e (|w(t)| + ∥w(t)∥ ) ≤ |w(0)| + ∥w(0)∥ + ∥ϕ − u ∥γ e(λ−2γ)s ds δ ( )∫ t Lg −1 −1 + λ(λ−1 max (eλr ∥w(r)∥2 )ds + 1) + 2ℓλ1 + δLg λ1 − + δ r∈[0,s] λt Chọn δ = √ 2 λ1 δLg λ−1 −2+ Lg đạt giá trị nhỏ hệ số tích δ phân cuối trở thành −1/2 −1 λ(λ−1 + 1) + 2ℓλ1 + 2Lg λ1 − (3.29) √ Do giả thiết λ1 − ℓ − Lg λ1 > 0, ta chọn λ ∈ (0, 2γ) cho (3.29) khơng âm Vì thế, ta kết luận eλt (|w(t)|2 +∥w(t)∥2 ) ≤ (|w(0)|2 +∥w(0)∥2 )+ √ Lg (1−e(λ−2γ)t )∥ϕ−u∗ ∥2γ , λ1 (2γ − λ) hay (3.26) Cuối cùng, e(2γ−λ)θ ≤ θ ≤ 0, kết hợp với (3.26) đánh giá sau ∥wt ∥2γ ≤ sup e2γθ ∥w(t + θ)∥2 θ≤0 { = max sup e 2γθ } ∗ ∥ϕ(t + θ) − u ∥ ; max e θ∈[−t,0] θ∈(−∞,−t] 2γθ { } −2γt ∗ 2γθ = max e ∥ϕ − u ∥ ; max e ∥w(t + θ)∥ θ∈[−t,0] ta có (3.27) 44 ∥w(t + θ)∥ KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu tính đặt tốn tồn tại, tính ổn định nghiệm dừng phương trình phản ứng - khuếch tán phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ vơ hạn Khóa luận đạt kết nghiên cứu sau: Chứng minh tồn tại, nghiệm yếu; tồn nghiệm dừng lớp phương trình phản ứng khuếch tán có trễ vơ hạn khơng gian pha (Chương 2) Chứng minh tồn tại, nghiệm yếu; tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ vơ hạn đặc biệt hóa tốn tử A báo tác giả Đ.T.P Thanh trở thành toán tử −∆ (Chương 3) 45 Tài liệu tham khảo [1] E.C Aifantis (1980), On the problem of diffusion in solids, Acta Mech 37, 265-296 [2] E.C Aifantis (2011), Gradient nanomechanics: applications to deformation, fracture, and diffusion in nanopolycrystals, Metallurgical and Materials Transactions A, vol 42, no 10, 2985-2998, [3] C.T Anh and L.V Hien (2012), Exponential stability of solutions to semilinear parabolic equations with delays, Taiwanese J Math 16, 2133-2151 [4] C.T Anh and L.V Hieu (2012), Existence and uniform asymptotic stability for parabolic equations with infinite delay, Elect J Diff Equa 51, 1-14 [5] C.T Anh and L.V Hieu (2012), Attractors for non-autonomous semilinear parabolic equations with delays, Acta Math Viet 37, 357-377 [6] C.T Anh, L.V Hieu and N.T Huy (2013), Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay, Discrete Contin Dyn Syst 33, 483-503 [7] C.T Anh, L.V Hieu and T.T Loan (2010), Global attractors for semilinear parabolic equations with delays, Int J Evol Equ 5, 1-18 [8] C.T Anh, L.V Hieu and D.T.P Thanh (2014), Global attractor for parabolic equations with infinite delay, Bulletin PAN, Vol 62 No.1, 49 60 46 [9] L Bai and F Zhang (2015), Uniform attractors for multi-valued process generated by non-autonomous nonclassical diffusion equations with delay in unbounded domain without uniqueness of solutions, Asymptot Anal 94, 187-210 [10] T Caraballo and A.M Márquez-Durán (2013), Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonclassical diffusion equation with delay, Dyn Partial Differ Equ 10, 267-281 [11] J.K Hale and J Kato (1978), Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac 21, 11-41 [12] Y Hino, S Murakami and T Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, in: Lecture Notes in Mathematics, vol 1473, SpringerVerlag, Berlin, 1991 [13] F Kappel and W Schappacher (1980), Some considerations to the fundamental theory of infinite delay equations, J Differential Equations 37, 141-183 [14] K Kuttler and E C Aifantis (1987), Existence and uniqueness in nonclassical diffusion, Quart Appl Math 45, 549-560 [15] K Kuttler and E Aifantis (1988), Quasilinear evolution equations in nonclassical diffusion, SIAM J Math Anal 19, 110-120 [16] J.-L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris [17] L Liu, T Caraballo and P Marín-Rubio, Stability results for 2D NavierStokes equations with unbounded delay, Journal of differential equations, Volume 265, Issue 11, (5 December 2018), 5455-6048 47 [18] J.C Peter and M.E Gurtin (1968), On a theory of heat conduction involving two temperatures, Z Angew Math Phys 19, 614-627 [19] F Rivero, A Márquez-Durán and T Caraballo (2017), Asymptotic behaviour of a non-classical and non-autonomous diffusion equation containing some hereditary characteristic, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 22 (2017), 1817-1833 [20] K Schumacher (1978), Existence and continuous dependence for differential equations with unbounded delay, Arch Rational Mech Anal 64, 315-35 [21] C Sun, S Wang and C.K Zhong (2007), Global attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 1271-1280 [22] C Sun and M Yang (2009), Dynamics of the nonclassical diffusion equations, Asymp Anal 59, 51-81 [23] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [24] D.T.P Thanh (2018), Asymptotic behavior of solutions to semilinear parabolic equations with infinite delay, Acta Mathematica Vietnamica, DOI: 10.1007/s40306-018-0289-5 [25] D.T.P Thanh (2017), Global attractor for a semilinear pseudoparabolic equation with infinite delay, Commun Korean Math Soc 32, 579-600 [26] T.W Ting (1963), Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch Ration Mech Anal 14, 1-26 [27] C Truesdell and W Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Mechanics, in: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin 48 [28] C Truesdell and W Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Mechanics, Encyclomedia of Physics, Springer, Berlin [29] K Zhu and C Sun (2015), Pullback attractors for nonclassical diffusion equations with delays, J Math Phys 56, 092703, 20 pp 49 ... cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Bài toán đặt nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến có ứng dụng xét tính đặt tốn (bởi, phương trình đạo hàm riêng. .. nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ nhiều lớp phương trình học chất lỏng có trễ Tuy nhiên, khó khăn xuất số hạng chứa trễ gây ra, phần lớn kết tập hút đạt trường hợp trễ hữu... dt có nghiệm đoạn [0, T ] Định lí 1.8 (Định lí Peano) Giả sử f hàm liên tục Khi tồn hàm T > cho phương trình dx = f (x), dt có nghiệm đoạn [0, T ] 18 x(0) = x0 , Chương NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH