Bài viết Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện trong L1 .
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1, Nguyễn Ngọc Huy1 Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG QT = Các tốn miền thay đổi hình dạng theo thời gian xuất lĩnh vực vật lý, sinh học, hóa học hay lĩnh vực khác thu hút quan tâm ý nhà toán học thời gian gần Những kết ban đầu phương trình đạo hàm riêng miền thay đổi theo thời gian xem tài liệu tham khảo [1], [2], [6] Trong báo này, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm yếu lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính miền thay đổi theo thời gian với điều kiện L1 NỘI DUNG CHÍNH ΣT = ∪ Ωt × {t} = ∪ ∂Ωt × {t} = t∈( 0,T ) t∈( 0,T ) ∪ t∈( 0,T ) ∪ ζ t ( Ω0 ) × {t} , t∈( 0,T ) ζ t ( ∂Ω0 ) × {t} Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu tính giải tốn sau: ⎧∂ t u − ∇ ⋅ a ( x, t , ∇u ) + ∇ ⋅ ( uν ) + g ( x, t , u , ∇u ) ⎪ ⎪= f , ( x, t ) ∈ QT , (1) ⎨ ⎪a ( x, t , ∇u ) ⋅υ = 0, ( x, t ) ∈ ΣT , ⎪u x,0 = u x , x ∈ Ω ⎩ ( ) 0( ) với f ∈ L1 (QT ) u0 ∈L1 ( Ω0 ) Xét hàm a : QT × \ + × \ d → \ d thỏa mãn số điều kiện tăng trưởng cho ∇ ⋅ a ( x,t,∇u ) bao hàm trường hợp toán tử ( 2.1 Đặt toán Laplacian Δu p-Laplacian ∇ ⋅ ∇u Cho trước miền bị chặn Ω0 ⊂ \ , với biên ∂Ω0 trơn Giả sử d ≥ 1, ν : \ × \ d → \ d trường vectơ trơn có giá compact, ζ : \ × \ d → \ d dòng tương ứng với trường vectơ ν định nghĩa d ∂ tζ ( x, t ) = ν ( t , ζ ( x, t ) ) , ζ ( x0 , ) = x0 , với x0 ∈ \ d Ta có ý rằng, với x đường cho trước, ánh xạ cong tích phân ν với t cho trước, vi đồng phôi Giả ánh xạ sử Ω0 ⊂ supp ( ν ) , ta định nghĩa Ωt = ζ t ( Ω0 ) miền không trụ p−2 ∇u ) < p ≠ Cụ thể, giả sử a : QT × ( 0, T ) × \ d → \ d hàm Carathéodory với thỏa mãn: (A1) Với ( x,t ) ∈QT ξ , ξ ' ∈ \ d ( a ( x,t,ξ ) − a ( x,t,ξ '))(ξ − ξ ') ≥ a ( x,t,0 ) = (A2) Tồn p > ( x,t ) ∈Q T cho với ξ ∈ \ d a ( x,t,ξ ) ≤ ζ ( x,t ) + K ξ ζ ∈Lp' ( QT ), 174 2d + d +1 p−1 , 1 + = K ≥ p p' (A3) Tồn α > cho Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 a ( x, t , ξ ) ξ ≥ α ξ p ( x,t ) ∈QT ξ ∈ \ d Thành phần phi tuyến g : QT × \+ × \× \d → \ thỏa mãn (G1) Tồn C > để λ g ( x,t, λ , ξ ) ≥ −C , với λ ∈ \, ξ ∈ \ d (G2) Điều kiện tăng trưởng kiểu kỳ dị theo thành phần gradient, nghĩa tồn ≤ σ < p cho ( )( g ( x,t, λ ,ξ ) ≤ h λ γ ( x,t ) + ξ σ ), với γ ∈L1 ( QT ) h hàm tăng \+ Ta có nhận xét rằng, điều kiện (A0)(A3) a cho ta thấy rằng, lớp toán tử thỏa mãn điều kiện chứa toán tử pLaplacian, nghĩa a ( x,t,ξ ) ≡ a p (ξ ) = ∇ξ p−2 ∇ξ với p > 2d + d +1 Ngoài ra, điều kiện (A2) yếu điều kiện đơn điệu mạnh thông thường sau: p a ( x,t,ξ ) − a ( x,t, ξ ') (ξ − ξ ') ≥ C ξ − ξ ' , với C > ( ) 2.2 Kết ( )) u ∈C ⎡⎣0,T ⎤⎦ ; L1 ( Ωt ) ∩ Lq 0,T ;W 1,q ( Ωt ) d gọi nghiệm yếu với < q < p − d +1 toán (1) g ( x,t,u,∇u ) ∈L1 ( QT ) ( ) với ψ ∈C Q T mãn đẳng thức sau: ∞ với ψ (T ) = thỏa T ∫ ∫ ⎡⎣ a ( x, t , ∇u ) ⋅∇ψ − uν ⋅∇ψ + g ( x, t , u, ∇u )ψ ⎤⎦dxdt Ωt T − ∫ ∫ uψ t dxdt = Ωt ta nhận ∇u ∈Lq (QT ) với q ∈( 0,1) Trong trường hợp này, thay nghiên cứu nghiệm yếu, ta nghiên cứu nghiệm "renormalized" toán (1), tức loại nghiệm yếu khái niệm ta nghiên cứu Việc nghiên cứu tồn nghiệm “renormalized” cho lớp toán (1) vấn đề mở toán Các nghiên cứu nghiệm “renormalized” xem tài liệu tham khảo [3] [4] Định lý Giả sử điều kiện (A1)-(A3) (G1)-(G2) thỏa mãn Khi với u0 ∈L1 ( Ω0 ) f ∈ L1 (QT ), tồn d nghiệm yếu u toán (1) ( 0,T ) định nghĩa theo Định nghĩa Sau trình bày lược đồ chứng minh phương pháp chứng minh tương ứng theo bước Lược đồ chứng minh: Bước 1: Xây dựng toán xấp xỉ với liệu trơn Lấy u0,ε ∈C ∞ ( Ω0 ) fε ∈ C ∞ (QT ) mà u0,ε → u0 L ( QT ) T ∫ u ψ ( ) dx + ∫ ∫ ψ fdxdt fε → f Hơn nữa: u0,ε ≤ u ≤ f f L1( Ω ) ε L1( Q ) L1( QT ) ( ) T Đặt G ( u, ∇u ) = ∇ ⋅ ( uν ) + g ( x, t , u, ∇u ) , ta sử L1 Ω0 dụng phương pháp Galerkin tương tự [1] để chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Tồn nghiệm yếu toán xấp xỉ: ( ) ) ( ) ( ) ⎧∂ u ε − ∇ ⋅ a x,t,∇u ε + G u ε ,∇u ε = f , ( x,t ) ∈Q , ε ε T ⎪ t ⎪ ε ⎨ a x,t,∇u ⋅ υ = 0, ( x,t ) ∈ST , ⎪ ε ⎪⎩u ( x,0 ) = u0,ε , x ∈Ω0 , G uε ,∇uε Gε u ε ,∇uε = 1+ ε G u ε ,∇u ε Ω0 L1 ( Ω0 ) Kết báo chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1) Trước hết ta định nghĩa nghiệm yếu toán Định nghĩa Một hàm ( 2d + cần thiết để d +1 2d + định nghĩa nghiệm yếu Vì p ≤ d +1 Chú ý: Điều kiện p > ( ( ( ) ) Bước 2: Chứng minh tính bị chặn Ωt 175 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 Để qua giới hạn tìm nghiệm yếu tốn, cần tính bị chặn theo ε nghiệm xấp xỉ uε Áp dụng phương pháp [5] [7], chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Tồn số C (T ) phụ thuộc vào u0 ( ) L1 QT uε f ( ( )) Lq 0,T ;W 1,q Ωt với < q < p − ( ) L1 QT cho ≤ C (T ) , d d +1 Từ kết tính bị chặn Bổ đề 2, có dạng Bổ đề AubinLions tính compact miền biến đổi theo thời gian (xem [8]) Bổ đề (Bổ đề dạng Aubin-Lions cho miền thay đổi theo thời gian) Giả sử {un } dãy bị chặn Lq ( QT ) {∇un } bị chặn Lq ( QT ) Ngoài ra, giả sử tồn C > với N ∈ \ cho ∂t un ,ψ ≤ C ∑ sup ∂αx ψ α ≤N t∈(0,T ) Khi đó, dãy L ( QT ) {u } n ( ) L2 Ωt tiền compact q Bước 3: Qua giới hạn Sử dụng kết bước 2, ta u nghiệm yếu toán (1) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Calvo, M Novaga, G Orlandi, 2017, Parabolic equations in time-dependent domains, J Evol Equ., 17, 781-804 [2] Manuel Fernando Cortez, Aníbal Rodríguez-Bernal PDEs in Moving Time Dependent Domains Without Bounds: A Scientific Canvas of Nonlinearity and Complex Dynamics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p 369, 2013, Understanding Complex Systems, 978-3-642-34069-7 ffhal-00954462f [3] D Blanchard, F Murat, 1997, Renormalised solutions of nonlinear parabolic problems with L1 data: existence and uniqueness, Proc Royal Soc Edinburgh Sect A, 127 (6), pp 1137-1152 [4] D Blanchard, H Redwane, 1998, Renormalized solutions for a class of nonlinear evolution problems, J Math Pures Appl., 77, p 117-151 [5] L Boccardo, T Gallouét, 1989, Non-linear elliptic and parabolic equations involving measure data, J Funct Anal 87, 149-169 [6] S Bonaccorsi, G Guatteri, 2001, A variational approach to evolution problems with variable domains, J Diff Eq., Vol 175, Issue 1, 51-70 [7] Goudon, M Saad, 2001, Parabolic equations involving 0th and 1st order terms with L1 data, Rev Mat Iberoam, 17, 433-469 [8] A Moussa, 2016, Some variants of the classical Aubin-Lions Lemma, J Evol Equ 16 176 ... , d d +1 Từ kết tính bị chặn Bổ đề 2, có dạng Bổ đề AubinLions tính compact miền biến đổi theo thời gian (xem [8]) Bổ đề (Bổ đề dạng Aubin-Lions cho miền thay đổi theo thời gian) Giả sử {un... Chứng minh tính bị chặn Ωt 175 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 Để qua giới hạn tìm nghiệm yếu tốn, cần tính bị chặn theo ε nghiệm xấp xỉ uε Áp dụng phương. .. (QT ), tồn d nghiệm yếu u toán (1) ( 0,T ) định nghĩa theo Định nghĩa Sau tơi trình bày lược đồ chứng minh phương pháp chứng minh tương ứng theo bước Lược đồ chứng minh: Bước 1: Xây dựng toán xấp