Bài viết Biến đổi Fourier hàm suy rộng và nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trình bày biến đổi Fourier trong không gian Schwartz và không gian các hàm suy rộng để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm yếu, nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm.
Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 Transport and Communications Science Journal THE FOURIER TRANSFORM TO DISTRIBUTIONS AND SOLUTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Nguyen Sy Anh Tuan* University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 15/03/2021 Revised: 19/05/2021 Accepted: 24/05/2021 Published online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11 * Corresponding author Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: 0903231051 Abstract The study of the regularity or the smoothness of the solutions of the partial differential equations in the broad distributions has stimulated an important mathematical development This article presents the Fourier transform in a Schwartz space and the space of distributions to study generalised solutions, weak solutions and fundamental solutions of the partial differential equations that are being interested by many mathematicians Part introduces the geometric symbols and necessary functional spaces for the reader to connecting the following sections Fourier transforms in the Schwartz space are included in Part Part is devoted to presenting the Fourier transform to distributions The problems of generalised solutions, weak solutions and fundamental solutions of the partial differential equations are presented in Part The results of the study show that partial differential equations act as a bridge between mathematics and applications, promoting the development of mathematical ideas in many different fields Keywords: Fourier transform, distributions, generalised solutions, fundamental solutions © 2021 University of Transport and Communications 646 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải BIẾN ĐỔI FOURIER HÀM SUY RỘNG VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Nguyễn Sỹ Anh Tuấn* Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 15/03/2021 Ngày nhận sửa: 19/05/2021 Ngày chấp nhận đăng: 24/05/2021 Ngày xuất Online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11 *Tác giả liên hệ Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: 0903231051 Tóm tắt Việc nghiên cứu tính quy hay độ trơn nghiệm phương trình đạo hàm riêng lớp hàm suy rộng kích thích hướng Tốn học quan trọng phát triển Bài viết trình bày biến đổi Fourier khơng gian Schwartz không gian hàm suy rộng để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm yếu, nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà toán học quan tâm Phần đưa vào ký hiệu hình học khơng gian hàm cần thiết để người đọc dễ theo dõi phần Biến đổi Fourier không gian Schwartz đưa vào phần Phần dành cho việc trình bày biến đổi Fourier hàm suy rộng Các toán nghiệm suy rộng, nghiệm yếu nghiệm phương trình đạo hàm riêng trình bày phần Kết nghiên cứu cho thấy phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị cầu nối toán học ứng dụng, thúc đẩy phát triển ý tưởng toán học nhiều lĩnh vực khác Từ khóa: biến đổi Fourier, hàm suy rộng, nghiệm suy rộng, nghiệm © 2021 Trường Đại học Giao thông vận tải ĐẶT VẤN ĐỀ Bài tốn đặt cần phải tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng khơng có nghiệm cổ điển để lý giải tượng thực tế mà mơ tả Ví dụ, ta xét định luật bảo toàn ut + F (u) x = Phương trình xuất thuỷ động học mô tả nhiều tượng vật lý khác Nói chung định luật bảo tồn khơng có nghiệm cổ điển Tuy nhiên phương trình đạo hàm riêng đặt chỉnh ta xét nghiệm suy rộng nghiệm yếu Biến đổi Fourier hàm suy rộng đóng vai trị quan trọng việc nghiên 647 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 cứu nghiệm suy rộng, nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng CÁC KHƠNG GIAN HÀM Trong phần làm quen với ký hiệu kiến thức phụ trợ cần thiết sử dụng phần sau ¡ n không gian Euclide thực n chiều, n +1 Một điểm = Một điểm n x = ( x1 , , xn ) thường ký hiệu ( x, t ) = ( x1 , , xn , t ) , t biến thời gian Nếu x = ( x1 , , xn ) y = ( y1 , , yn ) thuộc Một véc tơ dạng = (1 , , n ) n n xy = xk yk , x = xk2 k =1 k =1 n n , thành phần i số nguyên không âm, gọi đa số bậc = 1 + + n Cho trước đa số , ký hiệu x = x11 x1n D u ( x) = u ( x) = x11 xnn u x11 xnn 2u toán tử Laplace u u = j =1 x j x j n Giá hàm liên tục u ký hiệu supp u = x C () = u : → n | u khả vi vô hạn} Hàm u C () gọi hàm trơn D( n ) không gian hàm khả vi vơ hạn D( n ) cịn gọi không gian hàm thử P n L ( ) = u : n | u ( x) 0 → | u đo Lebesgue, u L1loc () = u : → Lp ( n n ) với giá compact p = u ( x) dx n p } (1 p ) | u L1 (V ) với V } Ta viết V V V , V compact ta nói V chứa compact mặt phẳng phức Nếu z ta ký hiệu z số phức liên hợp z BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHƠNG GIAN SCHWARTZ 3.1 Định nghĩa Khơng gian Schwartz không gian hàm trơn giảm nhanh, S( n ) = f C ( n ): f , = sup x f ( x ) , với đa số , x n 648 n } [1] Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 Sự hội tụ S ( với , n n S (¡ ) → f k → f k − f ) : Ta nói f k ⎯⎯⎯ n , → 0, k → 3.2 Biến đổi Fourier không gian S ( n ) Định nghĩa: Nếu f S ( n ) , ta định nghĩa biến đổi Fourier f fˆ ( ) = (2 )n /2 e (2 )n /2 e − ix f ( x)dx, n (1) n biến đổi Fourier ngược f ( ) = ix f (x)dx, n (2) n Định nghĩa tích chập: Nếu f , g S ( n ) ta định nghĩa tích chập f g ( f g )( x) = f ( x − y) g ( y)dy (3) n 3.3 Các tính chất biến đổi Fourier Giả sử u, v S ( (i) n ) Khi ˆˆ uvdx = uvd n [2] n (ii) D u ( ) = i uˆ ( ) (iii) (u * v)( ) = (2 ) n /2 uˆ ( )vˆ( ) (iv) u = (uˆ) ˇ Chứng minh: (ii) Ta có D u ( ) = = (2 )n /2 i (2 ) n /2 − ix e D u( x)dx = n (−1) (2 ) n /2 D x (e −ix )u ( x)dx = n e−ix u ( x)dx = i uˆ ( ) (đpcm) n (iv) Tính u ( x) = (2 )n /2 e ix uˆ ( )d = n (2 ) n e i ( x − y ) u ( y)dyd = (uˆ ) ˇ ( x) (đpcm) 2n Các tính chất (i) (iii) xem [3] 3.4 Các ví dụ biến đổi Fourier khơng gian Schwartz Ví dụ 1: Tìm biến đổi Fourier hàm Gauss g ( x) = e− k x , k Giải: Với x = ( x1 , , xn ) n n , g ( x) = e − kx j j =1 649 (4) (5) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 Ta có g ( x) hàm Schwartz, g ( x) S ( n ) Trước hết ta tìm biến đổi Fourier hàm Gauss biến g ( x j ) = e − kx j , xj Thấy g ( x j ) thoả mãn phương trình g ( x j ) + 2kx j g ( x j ) = (6) Lấy biến đổi Fourier hai vế phương trình theo biến x j ta i gˆ ( j ) + 2ki ( gˆ ( j ) ) = gˆ ( j ) = ce Ta có c = gˆ (0) = 2 g ( x j )dx j = − 2 e − kx j − j 4k , j = 1, , n (7) dx j − −t e dt = nên suy Ta biết − 1 2 k C= e − ( k x j )2 k d( k xj ) = − e −t dt = − 1 = k 2k (8) Do biến đổi Fourier hàm Gauss n gˆ ( ) = gˆ ( j ) = e 2k j =1 n − 4k , = (1 , , n ) n (9) Ví dụ 2: Tìm biến đổi Fourier hàm f ( x) nghiệm phương trình tích phân: x f ( x) + e −x f ( )d = e −2 x (10) − Thấy x − − −x e f ( )d = H ( x − )e − ( x − ) f ( )d = ( e − x H ( x) ) f ( x) 1, x H ( x) hàm Heaviside [4]: H ( x) = 0, x (11) (12) Do phương trình cho tương đương với phương trình f ( x) + ( e − x H ( x) ) f ( x) = e −2 x (13) Lấy biến đổi Fourier hai vế phương trình ta có −2 x fˆ ( ) + 2 e− x H ( x)( ) fˆ ( ) = e ( ) Do biến đổi Fourier hàm f ( x) là: 3 d i fˆ ( ) = + 2 + d + i 650 (14) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 (Vì e− a x ( ) = 2a , a ) 2 2 a + Ví dụ 3: Tìm biến đổi Fourier hàm nghiệm phương trình vi sai phân du + au ( x) + u ( x − 1) = f , a dx Ta có vµ f S ( ) (15) du ( ) = i uˆ ( ), u ( x − 1)( ) = e − i uˆ ( ) dx (16) Do lấy biến đổi Fourier hai vế phương trình ta i uˆ ( ) + auˆ ( ) + e−i uˆ ( ) = fˆ ( ), Do biến đổi Fourier hàm u uˆ ( ) = fˆ ( ) i + a + e −i (17) BIẾN ĐỔI FOURIER HÀM SUY RỘNG 4.1 Định nghĩa (hàm suy rộng) Ta gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u : D ( Giá trị phiếm hàm u hàm f D ( n n )→ hàm suy rộng ) ký hiệu u f u , f Không gian hàm suy rộng ký hiệu D’ ( n ) Ta nói dãy f n hàm suy rộng hội tụ đến hàm suy rộng f với hàm thử dãy f n , hội tụ đến f , 4.2 Các ví dụ hàm suy rộng Ví dụ 1: Giả sử f L1loc ( n ) [5] Khi u f : D ( u f , = n )→ xác định f ( x) ( x)dx (18) n hàm suy rộng Thật vậy, tính liên tục u f suy từ đánh giá u f , f ( x) ( x) dx K DK, K compact n (19) f ( x) dx K Hiển nhiên phiếm hàm u f tuyến tính ⇒ đpcm Ví dụ 2: Giả sử hàm thử n Khi phiếm hàm x : D ( x , = ( x) 651 n )→ xác định (20) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 hàm suy rộng (gọi độ đo Dirac x n ) Thật vậy, ta có x , k = k ( x) → ( x) = x , nÕu k → D ( Ví dụ 3: Giá trị Cauchy P v : D ( ) → , x lim+ →0 x ( x) x n ) ⇒ đpcm dx (21) hàm suy rộng Thật vậy, a cho supp −a, a ta có ( x) − (0) (0) P v , = lim+ dx + dx = →0 x x x x a x a = lim+ →0 x a ( x) − (0) x a x ( x) − (0) x a dx = ( x) − (0) −a x Giới hạn tồn hữu hạn dx 2a max , 4.3 Đạo hàm hàm suy rộng Định nghĩa: Giả sử f hàm suy rộng D’ ( định f , = f , − , D ( x j x j n n ) Đạo hàm riêng hàm f xác ) , j 1, , n (22) 1, x Ví dụ 1: Hàm Heaviside H ( x) = hàm suy rộng 0, x Với D ( ) ta có H , = − H , = − H ( x) ( x)dx = − ( x)dx = (0) = , Vậy H = Ví dụ 2: D ln x = P v D’ ( x (23) n (24) ) Thật ta có D ln x , = − ln x , = − lim+ →0 ln x ( x)dx = \ − , ( x) − (0) = − lim+ ( x)dx + ln ( ) − (− ) = lim+ dx = →0 →0 x x − a ,a\− , − a ,a\− , 652 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 = P v , (đpcm) (Vì x − a , a \ − , v(0) dx = lim+ ln ( ) − (− ) = ) →0 x 4.4 Hàm suy rộng ôn hồ ) → hàm suy rộng ơn hồ Giá trị phiếm hàm u hàm f S ( n ) ký hiệu u f u , f Định nghĩa: Ta gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u : S ( n Khơng gian hàm suy rộng ơn hồ ký hiệu S ( n ) [6] Chú ý: (i) Nếu u S ( n ) x u S ( n ), , n0 (ii) Hàm suy rộng ơn hồ hàm suy rộng, nghĩa S ( 4.5 Biến đổi Fourier không gian S ( Mệnh đề: Với , S ( n n (2 )n /2 ) D’ ( n ) (25) ) ) ta có ˆ , = , ˆ [7] Chứng minh: Theo Định lý Fubini ta có ˆ , = = n (2 ) n /2 ( x)e n n − ix dx ( )d = − ix ( x) ( )e d dx = ,ˆ n n Định nghĩa: Biến đổi Fourier hàm suy rộng u S ( uˆ , = u , ˆ , S ( n n ) xác định ) (26) Biến đổi Fourier ngược hàm suy rộng u S ( , = u, , S ( n ) Một số tính chất biến đổi Fourier S ( (i) u ( x + y ) = eiy uˆ , u S ( n ), y n n ) xác định (27) n ): ; (ii) Dx u = i uˆ ; (iii) x u = i uˆ Chứng minh: (i) Ta có u ( x + y), = u ( x + y), ˆ = u, ( x − y) = u, eiy = = uˆ , eiy = eiy uˆ , (đpcm) Các tính chất (ii) (iii) xem [8] Ví dụ: Biến đổi Fourier độ đo Dirac x0 hàm suy rộng xác định 653 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 ˆx , = x , ˆ = ˆ ( x0 ) = 0 (2 )n /2 e ( y)dy − ix0 y (28) n e−ix0 y ˆ Vậy x0 ( y) = Đặc biệt ˆ0 = n /2 (2 ) n /2 (2 ) Lấy biến đổi Fourier ngược ta có 1ˆ = (2 ) n / NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 5.1 Định nghĩa (nghiệm suy rộng): Giả sử P( D) toán tử đạo hàm riêng f D’ ( n ) Hàm u D’ ( n ) gọi nghiệm suy rộng phương trình P( D)u = f P ( D )u , = f , , D’ ( n ) (29) Bài toán 1: Giả sử f L1loc ( ) xét u( x, t ) = f ( x − t ) [9] Khi u L1loc ( suy rộng phương trình sóng chiều Thật vậy, ta có t2u − 2xu, = u, t2 − 2x = ) nghiệm f ( x − t )( t2 ( x, t ) − 2x ( x, t ))dxdt với D ( ) u = x − t u +v u −v ( x, t ) = , Đặt = (u, v) , với D ( v = x + t 2 ) Vì t2 = u2 + v2 − 2 u v , 2x = u2 + v2 + 2 u v nên t2 − 2x = −4 u v Suy f (u ) u v dvdu = −2 f (u ) u v (u, v)dv du = u v (u, v)dv = ⇒ đpcm t2u − 2xu, = −2 5.2 Nghiệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa: Hàm suy rộng E D’ ( ) gọi nghiệm toán tử đạo hàm riêng P( D) P( D) E = 0 [10] D’ ( n ) (30) n Bài tốn 2: Tìm nghiệm tốn Cauchy phương trình Schrodinger n ut = iu (0, ) n t = 0 , f S ( n ) u ( x, 0) = f ( x) trª n Lấy biến đối Fourier theo biến hai vế phương trình ta uˆ ( , t ) = −i uˆ ( , t ) uˆ ( , 0) = fˆ ( ) (31) t −i t Giải phương trình vi phân ta có uˆt ( , t ) = fˆ ( )e Lấy biến đổi Fourier ngược ta nghiệm tốn là: 654 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 ( −i u ( x, t ) = fˆ ( )e t ) = ( 2 ) (e ) f = F f −i t n /2 (32) −x it e nÕu t n F ( x, t ) = ( 4 it ) 0 nÕu t (33) Ta chứng minh F ( x, t ) nghiệm toán tử Schrodinger F ( x, t ) nÕu t Với đặt F ( x, t ) = 0 nÕu t Ta phải chứng minh t F ( x, t ) − iF ( x, t ), ( x, t ) = F ( x, t ), ( − t − i) ( x, t ) → (0, 0) → với D ( n +1 ) Bằng cách lấy tích phân phần ta có: t F ( x, t ) − iF ( x, t ), ( x, t ) = = = F ( x, t )(− − i) ( x, t )dxdt = −iF ( x, t ) ( x, t )dxdt + F ( x, t ) ( x, t )dxdt + F ( x, ) ( x, )dx = t n ( n t − i) F ( x, t ) ( x, t )dxdt + n n F ( x, ) ( x, )dx + 0( ) = 0( ) + F ( x, ) ( x,0)dx n Ta có sup ( x, ) − ( x, 0) → → 0+ x t n n n F ( x, )dx = n Từ cho → 0+ ta ( t − i ) F , = (0, 0) (đpcm) Bài toán (Phương pháp triệt tiêu độ nhớt phương trình Burgers) Ta nghiên cứu nghiệm u → toán giá trị ban đầu phương trình độ nhớt Burgers ut + u ux = uxx , x , t u ( x, 0) = u0 ( x), x (u ) = Nếu đặt x = −u , t − u x3 từ (34) suy t = t − xx − 2x = (34) (x ) 2 + xx (35) Phương trình (35) phương trình phi tuyến thường xuất lý thuyết điều khiển 655 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 tối ưu ngẫu nhiên Đặt = g () hàm g : xác định sau Ta chọn hàm g cho hàm thoả → mãn phương trình tuyến tính Ta có t = g ( ) t t = xx = g () 2x + g () xx Thế đạo hàm t = t g ( ) t g ( ) x = g () x ; , xx = g () 2x + g () xx vào phương trình (35) rút g ( ) − x gọn ta nhận phương trình t − xx = − g ( ) Ta phương trình truyền nhiệt t − xx = với điều kiện chọn hàm g cho (36) g ( ) − = nghĩa lấy g = e 2 g ( ) h( x) − x 2 ( x ) = e Do u = − x = −2 Từ điều kiện ban đầu ta suy h( x) nguyên hàm u0 ( x) Xét toán giá trị ban đầu phương trình truyền nhiệt t − xx = h( x) − 0 ( x) = e 2 (37) Thay hình thức i vào cơng thức nghiệm phương trình Schordinger x2 − 4 t e nÕu t toán (với n = ) ta có nghiệm (36) ( x, t ) = 4 t 0 nÕu t Từ ta có nghiệm toán giá trị ban đầu (37) ( x, t ) = 4 t e − h( y ) ( x − y )2 − 2 4 t e dy − Trở lại biến gốc ban đầu ta có nghiệm phương trình độ nhớt Burger u ( x, t ) = x− y − t e e − K ( x , y ,t ) 2 − K ( x , y ,t ) 2 dy (38) dy − ( x − y)2 , x, y , t h( x) nguyên hàm u0 ( x) 2t Bây ta chứng minh nghiệm u hội tụ → tới nghiệm suy rộng u định luật bảo toàn [11] Với K ( x, y, t ) = h( y ) + 656 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 u2 u + t = 0, x , t x u ( x, 0) = u ( x), x (39) Kỹ thuật triệt tiêu độ nhớt cho phép tìm nghiệm Entropi u phương trình (39), nghiệm khơng liên tục qua sóng sốc giới hạn nghiệm u (34) Ở trình bày tóm tắt phương pháp Laplace nghiên cứu tiệm cận → tích − I phân chứa biểu thức e , I hàm cho trước Bổ đề (tiệm cận) Giả sử k , l : tính k tăng bậc hai Giả thiết tồn y0 Khi lim →0 e hàm liên tục, l tăng nhiều tuyến cho k ( y0 ) = k ( y) −k ( y) l ( y )e − → dy = l ( y0 ) −k ( y) dy − Chứng minh: Đặt k0 = k ( y0 ) Khi hàm ( y ) = e e k0 −k ( y ) , y k0 −k ( z ) dz − 0, ( y)dy = thoả mãn − ( y ) → nh hµm mị víi y y, → 0 Do lim →0 l ( y )e − e −k ( y) dy −k ( y) = lim →0 dy l ( y) ( y)dy = l ( y ) Bổ đề chứng minh xong − − Từ bổ đề suy lim u ( x, t ) = u( x, t ) (40) →0 Công thức (40) cho ta cơng thức nghiệm Entropi tốn giá trị ban đầu (39) Bài tốn 4: Tìm hàm suy rộng E S ( không gian ba chiều, nghĩa E = ) nghiệm toán tử Laplace Lấy biến đổi Fourier hai vế phương trình cho ta 657 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 646-659 − Eˆ ( ) = Vì = (2 ) nên Eˆ ( ) = − (41) (2 ) Lấy biến đổi Fourier ngược ta nghiệm phương trình E = − (2 ) ( −2 ) (42) Đổi biến sang toạ độ cầu ta có −2 d = 2 R R d d 0 Trong không gian S ( Do với S ( − R → =− − 3 ) có lim( −2 R→ −2 L1loc ( ) −2 1B (0, R ) ) = ( ) (43) ) ta có E , = (2 ) (− = − lim(2 ) r sin dr = 4 R r2 −2 − −2 −2 R → 1B (0, R ) , = − lim(2 ) − R → −2 lim R → (2 ) ) , = − lim (2 ) ( ( x )e i x −2 1B (0, R ) ( ) ( )d = dxd = − B (0, R ) ) , = lim (2 )3 R→ 3 −2 ei x d ( x)dx Bằng cách đổi miền ta có R S −2 R R ei x d = r −2ei r x d r dr = cos(r x )d dr S Dùng tiếp phép = arccos s S d =− , suy ds − s2 cos(r x)d = −2 cos(r x s)ds = −4 −1 s2 (44) sin(r x ) (45) rx sin(r x ) sin x Từ suy dx = nên dr = x rx 2x 0 Vì R sin(r x ) 1 E, = lim 4 dr ( x)dx = R → (2 ) rx (2 )3 Vậy nghiệm suy rộng toán E ( x) = 658 4 x 2 ( x)dx = x 4 x ( x)dx (46) Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 646-659 KẾT LUẬN Bài viết trình bày biến đổi Fourier cho lớp hàm suy rộng đưa vài phương pháp để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm cho số phương trình đạo hàm riêng mà thực tế chúng khơng có nghiệm khả vi đến bậc cần thiết LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng gửi đến Trường Đại học Giao thông vận tải lời cảm ơn chân thành tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực nghiên cứu báo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E M Stein, R Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I), Princeton: Princeton University Press, (2003), ISBN 0-691-11384-X [2] J Jost, Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag (2002), ISBN 0-387-95428-7 [3] Juha Kinnunen, Shulin Zhou, A local estimate for nonlinear equations with discontinuous coefficients, Communications in partial differential equations, 24 (1999) 2043-2068 https://doi.org/10.1080/03605309908821494 [4] N S Minh, T D Vân, N S A Tuấn, The space of exponential functions associated with a class of differential operator and application, Pro Of Inter Conference on Applied analyses and Mechanies of Continuous Media, Ho Chi Minh City, (1995), 268-281 [5] Yaffe, Laurence G, Chapter 6: Symmetries, Physics 226: Particles and Symmetries Retrieved January, 2021 [6] P.Agarwal, R.P Agarwal, M Ruzhansky, Special Functions and Analysis of Differential Equations, RC Press, 2020 https://doi.org/10.1201/9780429320026 [7] Drabek Pavel, Holubova Gabriela, Elements of partial differential equations, Berlin: de Gruyter, (2007), ISBN 9783110191240 [8] Treves Francois, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels Mineola, N.Y: Dover Publications, (2006), ISBN 978-0-486-45352-1 https://www.elsevier.com/books/topological-vectorspaces-distributions-and-kernels/treves/978-1-4831-9859-0 [9] Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phép biến đổi Fourier - Cauchy cho hàm thuộc lớp Holder, Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, 68 (2019) 17-25 [10] Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phương pháp biến đổi Fourier nhiều chiều phương trình đạo hàm riêng, Kỷ yếu Hội thảo Giảng dạy Nghiên cứu Khoa học bản, (2020) 41-48 [11].Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, A Remark on Analytic Pseudodifferential Operators with Singularities, Vietnam Journal of Mathematics, 26 (1998) 91-94 http://www.math.ac.vn/publications/vjm/vjm_26/No.1/91-94_Tuan.PDF 659 ... đưa vào phần Phần dành cho việc trình bày biến đổi Fourier hàm suy rộng Các toán nghiệm suy rộng, nghiệm yếu nghiệm phương trình đạo hàm riêng trình bày phần Kết nghiên cứu cho thấy phương trình. .. Lấy biến đổi Fourier ngược ta có 1ˆ = (2 ) n / NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG 5.1 Định nghĩa (nghiệm suy rộng) : Giả sử P( D) toán tử đạo hàm riêng f D’ ( n ) Hàm. .. LUẬN Bài viết trình bày biến đổi Fourier cho lớp hàm suy rộng đưa vài phương pháp để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm cho số phương trình đạo hàm riêng mà thực tế chúng khơng có nghiệm khả vi