Thuyết minh đề tài các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU XUẤT SẮC Tên đề tài (tiếng Việt) Các điều kiện tối ưu phương pháp số cho tốn điều khiển tối ưu khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Tên đề tài (tiếng Anh) Optimality conditions and numerical methods for nonsmooth optimal control problems governed by partial Thời gian thực differential equations 24 tháng , tháng 1/2021-12/2022 Giới thiệu tóm tắt Bài tốn chuyển pha (phase transitions) xuất nhiều lĩnh vực khí hậu học (sự tan băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, đúc kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa thức ăn), (xem Meirmanov [23] Visintin [31]) Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region) pha (băng – nước, rắn – lỏng) biến đổi tự theo thời gian Chẳng hạn xét toán pha Stefan (two-phase Stefan problem) cho phương trình biến phân sau: y hàm mật độ lượng (internal energy density function), u nguồn nhiệt (internal heat source) v enthalpy Hàm hàm không trơn cho phương trình sau: Khi miền ranh giới pha cho Với (, phương trình (1) có nghiệm ( (xem [Chương II, 31]) Do hàm liên tục không khả vi nên ánh xạ nghiệm liên tục không khả vi Sự tối ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) khơng trơn hệ số Tikhonov tập ràng buộc cho, chẳng hạn, Việc tìm nghiệm tối ưu tốn (2) địi hỏi nghiên cứu điều kiện tối ưu (bậc 1, bậc 2) nhưkhảo sátsự hội tụ đánh giá sai số toán rời rạc (dựa phương pháp phương pháp phần tử hữu hạn— finite element method (FEM), phương pháp rời rạc hóa gradient—gradient discretization method (GDM)) (2) Tổng quan tình hình nghiên cứu cần thiết tiến hành nghiên cứu 2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước Các chủ đề nghiên cứu điều kiện tối ưu phương pháp số cho toán ĐKTƯtrơn với ràng buộc cho phương trình đạo hàm riêng 22 nhiều nhà toán học nước giới quan tâm Sau số tác giả, người nghiên cứu lĩnh vực này: W Alt, N Arada, J F Bonnans, E Casas,C Christof, C Clason, V Dhamo, B.T Kien, K Malanowski, V H Nhu, N J.-P Raymond,A Rösch, N H Son,R Temam, B A Ton, F Tröltzsch, D Wachsmuth,… Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối ưucho tốn ĐKTƯ khơng trơn cơng bố số tác giả.Đó là: Meyer Susu (2017) [25] Betz (2019) [4]cho tốn ĐKTƯ với phương trình parabolic nửa tuyến tính không trơn; Christof đồng tác giả (2018) [14] cho tốn ĐKTƯ với phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng trơn;Clason đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho tốn ĐKTƯ với phương trình elliptic tựa tuyến tính khơng trơn Dưới số cơng trình liên quan tới hướng nghiên cứu đề tài [1] W Alt and K Malanowski, The Lagrange-Newton method for nonlinear optimal control problems, Comp Optim Appl., 2(1993), 77-100 [2] W Alt and K Malanowski, The Lagrange-Newton method for state constrained optimal control problems, Comp Optim Appl., 4(1995), 217239 [3] N Arada, E Casas and F Tröltzsch, Error estimate for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp Optim Appl., 23(2002), 201-229 33 [4] L M Betz, Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of non-smooth, semilinear parabolic equations, SIAM J Control Optim., 57(2019), 4033–4062 [5] T Bewley, R Temam and M Ziane, Existence and uniqueness of optimal control to the Navier-Stokes equations, C R Acard Sci Paris, 330(2000), 1007-1011 [6] J F Bonnans, Second-order analysis for control constrained optimal control problems of semilinear elliptic systems, Appl Math Optim 38 (1998), 305–325 [7] J F Bonnans and H Zidani, Optimal control problems with partially polyhedric constraints, SIAM J Control Optim 37 (1999), 1726–1741 [8] E Casas and V Dhamo, Error estimates for the numerical approximation of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data, Numer Math 117 (2011), 115–145 [9] E Casas, J.-P Raymond and H Zidani, Pontryagin's principle for local solutions of control problems with mixed control-state contraints, SIAM J Control Optim Vol 39, 4(2000), 1182-1203 [10] E Casas and M Mateos, Uniform convergence of the FEM Applications to sate constrained control problems, Comput Appl Math., to appear 44 [11]E Casas and F Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM: COCV, 17(2011), 771-800 [12]E Casas and F Tröltzsch, First- and second-order optimality conditions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations, SIAM J Control Optim 48 (2009), 688–718 [13]S Cherednichenko and A Rösch, Errorestimates for the discretization of elliptic control problems with pointwise control and state constraints, Comput Optim Appl, 44(2009), 27-77 [14]C Christof, C Clason, C Meyer, S Walther,Optimal control of a nonsmooth semilinear elliptic equation,Mathematical Control and Related Fields (2018), 247-276 [15]C Clason, V H Nhu, A Rösch, Optimal control of a non-smooth quasilinear elliptic equation, Mathematical Control and Related Fields, accepted 2018(to appear in 2021) [16]C Clason, V H Nhu, A Rösch,No-gap second-order optimality conditions for optimal control of a non-smooth quasilinear elliptic equation, revised 2020 [17]B T Kien and V H Nhu, Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J Control and Optim., 52(2014), 11661202 55 [18]B T Kien, N V Tuyen and J.-C Yao, Second-order KKT optimality conditions for multi-objective optimal control problems, SIAM J Control Optim., 56(2018), 4069-4097 [19]B T Kien, X Qin, C.-F Wen and J.-C Yao,Second-order optimality conditions for multiobjective optimal control problems with mixed pointwise constraints and free right end point, SIAM J Control Optim., 58(4), 2658-2677 [20]K Kunisch and D Wachsmuth, Sufficient optimality conditions and semi-smooth Newton methods for optimal control of stationary variational inequalities, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 18 (2012), 520–547 [21]K Malanowski, Sufficient optimality conditions for optimal control subject to state constraints, SIAM J Control Optim., 35(1997), 205-227 [22] K Malanowski, Second-order sufficient conditions for stateconditioned optimal control problems, J Optim Th Appl.,123(2004), 595-617 [23] A Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis Press, Paris, 2014 [24] C Meyer, A Rösch and F Tröltzsch, Optimal control of PDEs with regulized pointwise state constraints, Comp Optim Appl., 33(2006), 209-228 66 [25] C Meyer and L M Susu, Optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations, SIAM J Control Optim 55 (2017), 2206-2234 [26] A Rösch and F Tröltzsch, Sufficient second-order optimality conditions for an elliptic optimal control problem with pointwise control-state constraints, SIAM J Optim 17 (2006), 776-794 [27] A Rösch and D Waschsmuth, Semi-smooth Newton method for an optimal control problem with control and mixed control state constraints, Optim Meth Sof.,26(2011), 169-186 [28] J.-P Raymond and H Zidani, Pontryagin's principle for stateconstrained control problems governed by parabolic equationswith unbounded controls, SIAM J Control Optim.,36(1998),1853-1879 [29] N.H Son, B T Kien and A Rösch, Second-order optimality conditions for boundary control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J Optim., 26(2016), 1912-1943 [30] B A Ton, An optimal control free boundary problem for the NavierStokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831-839 [31] A Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996 2.2 Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Qua khảo sát cơng trình chúng tơi thấy có hai vấn đề chưa giải Vấn đề thứ việc đưa racác điều kiện tối ưu(bậc bậc 2) cho tốn ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình parabolic tựa 77 tuyến tính (chẳng hạn tốn ĐKTƯ (2)) Vấn đề mở thứ hai nghiên cứuphương pháp số, khảo sát hội tụ đánh giá sai số cho toán rời rạc tốn ĐKTƯ khơng trơn Khi nghiên cứu điều kiện cực trị cho tốn ĐKTƯ khơng trơn, tác giả [4,14,15,25] sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ toán ĐKTƯ gốc toán ĐKTƯ trơn (regulization scheme), sau nhận tính compact tập nghiệm tối ưu cho toán xấp xỉ, cuối thông qua giới hạn thu hệ điều kiện cực trị cho toán gốc Tuy nhiên toán ĐKTƯ (2), thành phần khơng trơn xuất tốn tử đạo hàm cấp cao đo khơng nhận tính compact tập nghiệm tối ưu cho tốn ĐKTƯ xấp xỉ Vì lược đồ khơng thể áp dụng trực tiếp cho tốn (2) Để nghiên cứu hội tụ đánh giá sai số cho toán rời rạc toán ĐKTƯ trơn, phương pháp sử dụng rộng rãi việc áp dụng điều kiện cần tối ưu bậc điều kiện đủ tối ưu bậc (xem [3,8,10,11,13]) Tuy nhiên theo tìm hiểu chúng tơi, chưa có tài liệu nghiên cứu hội tụ đánh giá sai số cho toán ĐKTƯ khơng trơn Do để nghiên cứu hai vấn để mở nêu trên, cần phải đưa phương pháp mới, công cụ kỹ thuật chứng minh mới, cần phải cải tiến phương pháp tiếp cận hay kỹ thuật sử dụngtrước đó.Việc nghiên cứu vấn đề mở góp phần vào phát triển nhóm 88 nghiên cứu ĐKTƯ Việt Nam đồng thời tạo nên hướng nghiên cứu cho nhóm Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài đưa số kết điều kiện tối ưu phương pháp số cho tốn ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu điều kiện tối ưu (bậc bậc 2) cho tốn ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Nghiên cứu phương pháp số, bao gồm hội tụ đánh giá sai số tốn rời rạc tốn ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu Để thu kết nghiên cứu nói trên, trước tiên khảo sát nghiên cứu thật chi tiết cơng trình liên quan trước Trên sở đó, chúng tơi tiếp cận hai vấn đề cần giải sau - Về điều kiện cực trị: Trước hết cần nghiên cứu tính chất định tính phương trình đạo hàm riêng liên quan tới tốn ĐKTƯ Sau sử dụng công cụ kỹ thuật (hoặc cải tiến từ kỹ thuật biết) để nhận điều kiện tối ưu bậc bậc 99 - Về việc chứng minh tính hội tụ đánh giá sai số: Chúng nghiên cứu toán rời rạc (dựa phương pháp rời rạc hóa FEM GDM) phương trình trạng thái, phương trình liên hợp tốn ĐKTƯ Sau sử dụng điều kiện cần tối ưu bậc điều kiện đủ tối ưu bậc (đã nghiên cứu trên) để đưa hội tụ đánh giá sai số nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu toán liên tục Kế hoạch triển khai TT Họ tên Cơ quan công tác Chức danh thực đề tài Bùi Trọng Kiên Viện Toán học Chủ nhiệm đề tài Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thành viên Sản phẩm cần Thời gian đạt (bắt đầu, Nội dung, công việc chủ yếu (các mốc đánh giá chủ yếu) Người thực kết thúc) 1• - Nghiên cứu tính chất định tính phương trình đạo hàm riêng 01 cơng trình 12 tháng Bùi Trọng Kiên, liên quan tới toán ĐKTƯ cần xuất (từ Vũ Hữu Nhự, xét Nguyễn Quốc cho chủ đề 01/2021 – - Đưa điều kiện cực trị cho nghiên cứu 12/2021) Tuấn toán ĐKTƯ khơng trơn - Nghiên cứu tốn rời rạc 01 cơng trình 12 tháng phương trình trạng thái, phương xuất (từ Bùi Trọng Kiên, Vũ Hữu Nhự, 10 1010 trình liên hợp, tốn ĐKTƯ - Chứng minh hội tụ đánh giá sai số nghiệm tối ưu rời rạc cho chủ đề 01/2022 – nghiên cứu 12/2022) Nguyễn Quốc Tuấn nghiệm tối ưu toán ĐKTƯ liên tục Dự kiến kết đề tài 7.1 Dự kiến kết nghiên cứu Đưa 02 cơng trình cho kết điều kiện tối ưu hội tụ đánh giá sai số 11 1111 7.2 Dự kiến cơng trình cơng bố Số TT Kết cơng bố Số lượng Tạp chí SCI-E Web of Science 02 Tạp chí quốc tế khác Tạp chí quốc gia có uy tín Khác Ghi Tạp chí uy tín Tổng kinh phí đăng ký tài trợ: 8.1 Tổng hợp Mục TT Nội dung chi Tổng số chi Chia năm Năm 2021 Năm 2022 6650 Hội nghị, hội thảo 6700 Đi công tác nước 6800 Đi cơng tác nước ngồi 6850 Đồn vào 7000 Tiền công lao động trực tiếp 377.178.600 189.319.400 187.859.200 Chủ nhiệm đề tài 174.210.800 87.105.400 87.105.400 202.967.800 102.214.000 100.753.800 2.821.400 680.600 2.140.800 20.000.0000 10.000.000 10.000.000 Thành viên nghiên cứu chính, thư ký khoa học 7000 Chi giao khốn khác 7750 Quản lý phí Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000 8.2 Chi tiết: a Tiền công lao động: 12 1212 Chức Hệ số tiền TT Họ tên danh thực công (hstc) đề tài Bùi Trọng Kiên Tổng Năm Năm Tổng s số 2021 2022 CNĐT 0,79 148 74 74 174.210 Vũ Hữu Nhự TVC 0,49 139 70 69 101.483 Nguyễn Quốc Tuấn TVC 0,49 139 70 69 101.483 Tổng cộng: 426 214 212 377.178 b Chi tiết khoản lại: TT Mục chi Nội dung chi Tổng số Năm 2021 Năm 2022 7000 Nội dung chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800 7000 In ấn tài liệu, văn phòng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800 7750 Chi phí quản lý gián tiếp 20.000.000 10.000.000 10.000.000 22.821.400 10.680.600 12.140.800 TỔNG CỘNG: TRUNG TÂM Hà Nội, ngày tháng năm 20 Chủ nhiệm đề tài Bùi Trọng Kiên THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kế toán đơn vị 13 1313 14 1414 ... ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu điều kiện tối ưu (bậc bậc 2) cho tốn ĐKTƯ khơng trơn cho phương trình đạo hàm riêng Nghiên cứu phương pháp số, bao gồm... nghiên cứu nước Các chủ đề nghiên cứu điều kiện tối ưu phương pháp số cho toán ĐKT? ?trơn với ràng buộc cho phương trình đạo hàm riêng 22 nhiều nhà toán học nước giới quan tâm Sau số tác giả, người... vấn đề mở góp phần vào phát triển nhóm 88 nghiên cứu ĐKTƯ Việt Nam đồng thời tạo nên hướng nghiên cứu cho nhóm Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài đưa số kết điều kiện tối ưu phương pháp số cho tốn