Về các bài toán không elliptic của phương trình đạo hàm riêng

?? iil ti BO BAI HOC VA TRUNG HOC CHUIEK NGHIEP !rirU?oT3g Dpi hgc TÌn^ hg^ Ha n p i u 11 II "H II 11 U 11 II H II \ II II M ; a 11 II II M 11 il 11 t( [) \ / VL GAG BAI 'TCAI^ iJIONG KC^ItTIC QUA IHTJOMÌ IRINH DAO HAM Rl£Jì(} ( L u ^ van Ihó t i e n s i Toen - l y ) +++ •i •|V*ii'>i * , * ^W-*!^ ti iP^^^arHA NOI 1981 11 11 It II II 11 11 ti II 11 II 11 11 II 11 ti 11 II II il il II 11 11 11 ti il H 1) ;i 11 11 li !f li U il II li ti 11 ti II 11 li 11 il II 11 11 ti U 11 II 11 11 il11 II MUC LUC sS^trong Mo» dau Chu?c*n;_4 I : B e i i:OGn b i é n t r o n g mien gio'i han i l EhiPn^^ Isf h i ^ u va Iret qua can thiet 'I • llt) mien phv thugr t h a ^ s6 Toan tu» At Toan ti ma rgng Mài toan b i e n t r o n , hg mien bien thién» i":* B a i t o a n b i e n t r o n ^ mil^^n ^ió'i hpn : lj> B a i t o a n b i e n v o i ve p h a i cua phcPon^ t-rlnli khúng tro^.ô y&t b i t o a n Ahong ciia^- H ' (G^) B i t o a n b i é n troni^: mien g i ó i hgn Chu?o^2; I I , B a i t o a n b i e n d S i vó'à ptoo'ng t r l n l i e l l i p t i c G!^^/ o i e n t r e n Dien cua mien 15 15 15 17 18 19 22 36 36 56 39 47 Si • ihU'Cng t r i i i h e l l i p t i c B\:':y b i c n « %2* Dang d i ^ u cua hàm C ( t ) v ó i t e g^n 49 H3 v i dii 67 ChLJo'i^ I I I » '+7 Cac b i to6n khong e l l i p t i c d i vó'i hg phiJo^^ t r l n h B i x c t s o § D^t b ò i t o a n ijieu j.;ièn e l l i p o i c cua b a i t o a n Đ3ô B i t o a n khong e l l i p t i c thiì rihatÈ^^0 B a i t o a n Idiong e l l i p t i c thiJ h a i Tei l i S u them Idiao : 73 73 75 85 94 109 ÌSAN MO_DAU M-^ic d l c h cue b a n l u ^ vèn g i n h cho v i ^ c n g h i é n cu'u càc b i t o a n b i é n khòng e l l i p t i c d o i v ó i xxxgt v i l&p phupoìig t r l n h va hg pbiTomg t r l n h d«io hàm r i e n g t i ^ e n t l n h TyU?ó'c h e t chung t o i x i n t r l n h bay mpt càch v a n t a t qua t r l n h n g h i e n ci5u va du?a vào nhlkLg djjih n g h i a va k h a i ni§m t o a n hgc ca b a n ma chung t a s e su? djuig v e sau» Gria sii Qt l m§t mien k l n , g i o ì ngi t r o n g khong g i a n O c l i t R^, v ó i b i é n T l m§t da t « p du tro'n ( n - l ) c h i e u Ky h i § u X = ( x ^ , , x ^ ) l tga dg cua cac diem t r o n g R , x ' l t ^ a dg céc diem t r é n r Troni^ Or t a x é t pbuio^ t r l n h dgo hàm r i e n g t ^ y e n t i n h cap 2m v ó i e s c h$ so t r o ^ v6 h^n t UCx.D) - Z ^^Cx) D^uu) X foc; Tpén t i é n T cho m d i e u icl§n b i é n t u y e n t i n h CO-I) - - Ti-ong B-(2:,D) l càc b i e u thiic v i phan tvyen t i n h cap m ( 2nt-l) v ó i h^ s8 du t r o ^ t r é n b i é n P J Phifcmg t r l n h ( o - l ) d\ig>c goi l thuĐc loôii e l l i p tsii diSm X é R^ neu ; L^(z, n v ó i m^i vócto^ = a^(x) i"^ ^ (0-3) I = ( ^ ^ , , 1^) khàc khong, dò Già sur pbLfig t r l n h ( o - l ) thugc l o ^ i e l l i p t$ii diéms^thuSc b i é n ^ # Ta thyPc h i j n l i è n t i e p cac phóp b i e n dSi tpa : chiiyln g8c t^a d§ deix diemS-.^^ sau dò q u ^ • * • cac t r u c tO|i dg de cho t r u c x^ hupoìig theo phteotig cua Vécto» phép tuyen dSi vói P t s i diem S- Ta chu y rèng t l n h e l l i p t i c cua h^ phiro^ t r l n h ( o - l ) khong thay d o i sau cac phep bien doi tg>a d9 t r é n day Sau day de don giàn C8C Isy hi§u t a co the già t h i e t ràng phu»o?ng t r l n h ( o - l ) va càc d i e u ki§n b i é n (o-2) duep^c v i e t h? tpa d § d i a phuotog tfii diemS^ BUy gicf niia khong gian R^ = ^ x- ^^ ^ ^ Ta xet b i toan b i é n sau day t T a,^o) D%&) = o , ^,^0 (0-4) - 5- Te ky hi^u X» = (x^ , ,Xj^_^) , S i C^^^-w^n-W céc t^a dy cua càc dilm t r é n s i e u phang x^ = o Sau thj^c hi§n phep b i e n doi J o u r i e r theo cac b i e n x* = ( x q f , X j j ^ ^ (x* —> $ ) t ^^^ cBch hlnh thu'c t a dim b i toan b i é n (o-4) (o-3) ve b i toan t r é n n&a dufoìig thang x^» o : I- ^.w^," Cr'J5/^c5',x„) = D ip (0-6) CJ ^y-^'^) -u-C^'/^n) l b i e n d o i Jourier cua hàm u(x» ,x^) theo b i e n x* x C ^ * " * ' ^ - ' ^ Ky hi§u j làkhéng gian càc nghi§m cua phifoìig t r l n h (o-6) g i o ì n$i k h i x ^ — > co (vói 5^ ^ o)« T^ong tru?òiig h^ n ^ t h l tu? d i e u ki§n e l l i p t i c cua phu?oìag tr\xih ( o - l ) suy *a chieu cu© ^ bang m (xem ^17] chu»o:ng X) Con d o i v ó i triPỊ'ng hg^ n si t h l phai già t h i e t bo sung thém d i e u ki^n l j chieu cua é phai bang m (ti5c l bang so càc d i e u ''il'WBKrlt", - - kifn bién) Ta n ó i r i n g b i t o a n ( o - l ) - ( o - ) t h o e man d i e u k i § n Sopirò - L o p a t i n s k i t » ! diems ^ neu b i t o a n (o-&) - ( - ) v ó i m©i S 9^ va v ó i m9i v é c t o ' a(^) ^ C^') co nghi$m dny n h a t trorjg ^ Tpon^ nhutig truoìng h^'p khàc n h a u , d i ^ u kzi^n S a p i r o - L o p a t i n s k i co t h e duyc aio t » éxjhrx ixkiTk^ à^^ tuo>ng du'o'ng kh&c nliau Dieu k i § n dgic t r u n g cho mgt loTp cac b i t o a n b i é n d S i v ó i ph^o^ig t r l n h (ho^c h§ phu?olig t r l n h ) l o t i e l l i p du?«>X5 g p i l ; " b i t d n e l l i p t i c " (xem [16J , 117J ) ĐèSẩ-SSốiè_Si:l ô ^ ^ ^ "^^^^ ( - ) - ( - ) du?j)^c g p i l b i t o a n e l l i p t i c t r o n g mien Oc neu tìaoa man cac d i e u k i ^ n s a u day j i) dièmx € a * Tlsn tu' v i phan L(x,I)) l e l l i p t i c d e u t ^ i mpi l i ) B e i t o a n ( o - l ) - ( o - ) thoa man d i e u k i g n S e p i r o - L o p a t i n s k i t u i mâi diem s^ộ r *^ lỡbu?ng VI du dcm g i a n v e Ifcài t o a n e l l i p t i c i a c e e b i t o a n Dirichfee va IJoi man d o i v ó i pbu?oìig t r l n h l o ó t - x o n g B i t o a n d^o hàm nghiéng d S i v ó i phu?o^ t r l n h t r o n g R^ X l!i - U^ r' - - v ó i M>^ , v ^ ' l hu?ó'ng t i e p xuc v ó i b i é n P, khong thóe man dieukién Sapiré - Lopatinski t e i m^i diem b i é n , neu n » t h l b i toàn luon luon l b i toan e l l i p t i c (xem chLfo^tlO, [17] ) • Bài toan ( o - l ) - (o-2) siiilx r a mpt toan tiJ r U = (L, B^ , , B ^ ) làmSt tdàn tu? ti^ren t i n h g i o ì n Đ i : ^ Cđ(G) vo c^C^)^C!C^^^^C^Cr) tri S80 cho : vó'i m»i wct) C^U^) thl B5ng thol toan tu? Ucó the mó rpng thành m^t toan ti tuyen tinh gi n§i tJ khong ^isn Sololep H^(G) vào tich tn^c tiep càc khong gian Sélciàp t dò S> S^ ::: max(2m, m ^ + i , , m^ + 1) Ngu b i toan ( o - l ) - (o-2) l e l l i p t i c t h l U dxXffc g p i l toan tu' e l l i p t i c * £ g t qua co» ban cua 1;^ tliuyet b i toan b i é n e l l i p t i c - e l v i ^ c chu'ng minh sy? tu?o'ng du?o^- cua càc k e t lulin s a u day (xem chUloTig 10 [173 > va Li 5] ) I U s CL)6i,. B^^) II l t o a n ttf e l l i p t i c U - co t h è mo' rpng t h n h mpt t o a n tiS? Kéte tb H^^(Cì) vlo%^^\a, III nghi^m : V ) , B i t o a n ( o - l ) - ( o - ) co u»&c ltf^:ng t r ộ n ô^ôằ-^(.) ' ^ lô^"^c.) "%"ằ.-; irj "-("ng dipng l : Vly t a co mpnh de s a u : i i ^ S è - ^ L ^ r l ^ : ^^1 toan ( - ) - ( - ) l oài toén b i é n e l l i p t i c ^ i ^ v c h i i ^ i cac hp s8 e , b , c t r o n g d i e u k i p n b i é n ( - ) t h o e man d i e u k i ^ n ( - ) Bay ^ i c ' t a isy h i é u ^ l t o é n t i cua b i t o n ( I - I ) ( - ) , i^ - l t o é n tu? cua b i t o é n ( - ) - ( - ) ti5c l : P: t'*C&)xC"C6; ^ u —> 5^4 = CPU, 6U) k h i dò : tu' mpnh de ^ , àp dun^ ly t h y y e t co d i é n e cua b i t o é n b i é n e l l i p t i c (xem [17] , [ i j , hojlc [16] [_153 ) • * b l : v ó i d i e u k i p n ( - ^ ) du'pc t h o e mcn , t o n tii L - 91 - :>, ^; M.t C\6i) Boi VBJ non d%t : vó'i c:iU y ; t h l ta cò \£jc lu'p'ng (5-15)» i>inh i j cbu'ng minh xong Cu8i cùiig, tu? diiih ly 5-1 dinh ly 5-2 , ta they so vói tru'òng hp'p bei toén (1-1)(1-2) toén e l l i p t i c , t h l tru'cTig hpp khòng e l l i p t i c VJ?a xét, dg cho baffi tồn ('l^'])-(/l-.2) gigi du?©'c idiòng gian H^(G) x H^(G),QÈàii doi boi vephéi cua dieu ki^n bién (1-2) phei troti hon (tru»ÓT.g hgp e l l i p t i c !) m§t cap cu the l : neu dieu kipn (2-17) thoé men, tu'c (1-1)-(1-2) toén e l l i p t i c , t h l toén t i ^ cua tồn cò thè ^O' ^Q^ thành tồn t& Kete i^ : 5^2/ , tru'ig hpp khòng e l l i p t i c (5-1) vù?a x é t , t h l ^ l mct tồn t i Kéte ttì : - 94 - H^C^) X tt^Cf} §4 s ^ s-i h'-^^} X H'-' ( X » " ' Crj A H^- -Cr; B^i toén Idiòn^:; B l l i j t i c tbji hai,,d8i vói^^hg^^^^^ l TpOng muc bay t a x é t b i toén ( - ) - ( - ) vó'i già t h i e t : gii?a càc phan ti5 cua céc me tr pn a b thoa man hp tliu'c seu day : (4^1) De dàng t' ey rang dò céc thl'e s8 ve t r a i cua b a t dang t u ' c (2-17) deu bang 0, dò b i tồn ( i - i ) - ( i - ) tr&" thành b i toén kiiòng e l l i p t i c Ihifong phàp dung mpc l du?a b i toén ( i - I ) - ( - ) v ó i dieu kipn (4-1) ve b i toén oien dSi vó'i hi ^hio'n^ trlnii e l l i p t i c cap bang céch dgt : ^ i - "^x (4^2) ^ Keu t a ky h i u w-(iy,,yV^j céc hg tliu'c (4-2) cò t h e v i e t Iffi du'ól dan,2 : w =: R^^ t_'ong dò K - l t o é n tu' cua hp Cosi-Riemenn (4-2) - 95- 2a cung chu y r i n g b i g u thiJc Au (ó' ve t r é i cue hp phifcmg t r l n h ( I - i ) ) cò the v i e t diPĨl d^ng : Au = R(Ru) = Rjj (4-5) Ngoài r e k neu ky bigi: E^ jB^ l càc ma t r ^ sau day : t h l (4-2) » cung co the v i e t du'cl d^rig khàc : w = Ru = B^u^ + ^2% VÓI céch dSt (4-2) tìil he pi:iU?o-ng t r l n h (1-1) du'd'c diffa ve he phu'cng t r l n h ce^- sau day troc^ G : Ru - w = o (4-4) Rw + A^u^ + A^^và céc d i e u ÌISL •*• ^.-'^ = ^' kign b i è n (1-2) du'pc v i e t du'ói dgng : aw + cu = f trén T (4-5) %u' v«y v i c x é t b i toàn ( I - i ) - ( - ) vó'i d i e u kipn (4-1) du'g'c du'a ve xét b i toan ( - ) - ( - ) , dong thò=i càc b i toén ttPong du?o'ng v ó i mot céch ty? nhién Sau day bang phu'oìig phép tlifi d i e u kipn de cho b i toén ( - ) - ( - ) l b i toàn e l l i p t i c , r S i rJic- ly thuyet toàn bién e l l i p t i c t a nlipii du'p'c dinJi ly ve tlrJi g i a i chugii cue b i toàn ( - ) - ( - ) , sau dò t a phat biéu dinh ly ve t l n h g i e i chuin cua b i toén kbiòng e l l i p t i c ( I - i ) - ( - ) càc khòng gien - 96 - hàm difp'c chgn nhu' l mpt he qua suy r a tu t h u y e t n ó i t r é n » dSng t h o l cbu'ng miih ifó'c lu'tfixg t i é n nghièm cue n ò 22 Ljlip l ^ i l y t h u y e t de làm trorig §2 (cung nhu' t r o n g Ì ) , t a ù i e t hi phu?or^ t r l n h ( - ) t r o n g h§ t o e dp d i a phisotig tfei mèt diem s b e t ì^ cua b i é n V , sau dò x é t b i t o n thuan n h a t -trén nu'a m i t ph^ng t r é n arBi tlm d i e u k i p n S a p i r ò - L ò p e t i n s k i cua b a i t o a n ( - ) - ( - : ? ) b i ^ u d i è n qua cec he so cua he pbiPo'ng t r l i j i (4-4) ve d i e u k i p n b i é n ' ( - ) , !Itu'óc h § t t a chu y r n g cung xihu? tru'ó-c d é y , h§ phu'Cìng t r l n h ( - ) kìiong b i e n d o i d©nj qua phép t3.nli t i C n son^ song gSc t d dp cua h^ t o a dp t r o n g R'" den diem s^ b a t ky thuSc P Do dò s a u dèy t a se tlm dgng cue h i ( - ) s a u phép qu€y hp t g a de m$t góc « ( - ) (^os "=< s zj) sec cho hi t p a dp x u a t p h t ( x , y ) t r u n g v ó i hi t p e dp d i ^ phu'on^ ( x ' , y * ) t a i d i e:m ^o TT^U'Ó'C h e t t a chu y sii b i e r d ò i cue t o é n ti5 ^ qua ( - p } : ì^ ÌX' = - ^.\^ ^ vr ^ Y + C^^ ,^, They vào h a i phu'orag t r l n h deu cua hp ( - ) t a co : hp phuioiig t r l n h t r o n g hi t p a dO ( x « , y O : - 97 - H§ pbLfong t r l n h ttPCng dcPotjg v ó i hp phufong t r l r i h s s u day : t r o n g dò w^ "^^ ^ -^^ ^^^ ^*^ ^^^ tuyen t l n h cue càc hàm ^ »^2 ^ ^ ^ ^* ^^ "^^ ^^"^ ^^"^ lu'oTig cosfl< £Ìno( Mpt céch hoàn t o n tifoTig ti^ h a i ],hLfc^g t r l n h s e u cua h« ( - ) t r o n g h% t « a dp ( x ' , y ' ) tu'c^ng du'o'aig vó'i hp h a i p h i f o ^ t r l n h s a u day : t r o n g dò wj*",i^ - l céc t o h©p t i y e n tli^h cua u^ u- !•?', I o l céc t* hep tuyen t l n h cua 'k- i'o v ó i hi s8 l ìpec d a i luPpiig cosX ve s i n x ' s Vàìxi vèy he ( - ) t r o n g hi t g a de d i a plufong t a i diem b a t iiy t h u o c r co dang : ±{u - w* Rw t A'.V (4-6) =0 i A ^ V Ar^^ '"^ *^'^^ ^ - 96 - A,' C^Vj ) > ^^ (^\) > C'\Ì l.J v« n ^i ^ * ^ (^j-7) bien nhién nhèn thay rang b i é u thu'c ve t r é i cua d i e u kipn biézi (4-5) b § t b i e n dgng qua n ^ i phép bien doi t©8 d p Bay già' tronfi; lan cfen cua diom s^ e P t i e p t^ic phép "gien" tpa di ( - ) X" = x« y" = y -5 (^O v o i chu y ^Lo)^o , 2(J) -ft ^^ ta thifc hipn - 99 - t h l he pimpo^ng t r l i J a cap l (4-S) seu k h i 1hijc h i p n phép " g i a n " t p a d p , t a cho t a t ce cac hp so cua no n h ^ g i t r j t e i diam x^' = o , y " = o t a nh^n du'g'o hp phupong t r l n h "ng?i3ng" t f i goc t p a dp cò dging b a n dau ( ^ ) Gb? day ve seu de doTi gian céch v i e t t a se t r ó Igii ky h i § u céc b i e n t p a d§ l ( x , y ) nbu- c u , \ ^ Bay gio" t a x e t b a i toan t r o n n:?a khoiig g i a n ; ^x - ^^ = ^ ^2x ^ ^ y w 1x " ''2^'' = ^ N ^ ^ ^ I ^ x " ^ l l ^ y ^ ^I2^2y = ^ s e u phép b i e n d è i x o u r i e r t5ng "phan t h e o b i S n X;,du?p'c du'a ve b i t o é n b i e n d è i v ó i h$ phu?oii3 t r l n h v i phàn ti3U'ò*ng t r e n nu'a da'o'n^ tbaiig y > o : - 1Q0 - A -^ A «^ ^ M V (4-10) ^ A (4—11) f ^^, W^C^.o) + q , U, (5,0) C^^ ÌCS,o) Cria s i ^ l iciiòn^:^ i i a n céc ;:^jhipm den ve o k h i y ^ + a> ( v ó i I = coBst ^ o) cua hp ( ~ ) iihi dò beng céch g i a i t n i c t i e p hp phU'oiig t r l n h v i phàn t h u ? o ^ ( - ) t a tlm du'ft'c h^ 3i,2;hipm co' so= t r o n g "^ , d'bnz t t i o l nghièm t o n g q u t cua h% (4-10) t r o n g khòng g i a n # duPQ'c b i é u d i é n du'o^l dixsQ s a u d-y : ... mei hàm fC?) tH^G^), c% ^o ^ (Xem bo de C-là h i n g s8 [2] ) 22.2oàn tu' k% (A^t ) ô C^đ^ ClJ ^ ^ cbu?o^ [ j ) Già s^' l'W l hàm s8 thupc i&p C^C^) Voi m£i hàm. .. lifp^ig s a u day : t r o n g dò C ( t ) i l k|jR$ hàm cua t ó' ti'cng ifó'c liff^ng (1-12) ChiJng minh : HàmS F^^Cx) cìiZig v o i t a t ca càc d«o hàm cua nò barjg t r e n ^L ^^ t v i v^y £p à^io^... b é v a hàm ^CS;t,At) > Ta Isy h i ^ u , , t P ^ , At > ^6^ ^ (^ v (r^^^^ (1-5) ^ l^tl = S^ Khi t a co bo de s a u • » • • Bo_de_1_,1 : Gie su' ^C*) l a barn s8 tiiuOc l ó ^ C^C^&^) bàiig cung