Tích phân hệ phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————– * ——————— TRẦN HỒNG HẠNH TÍCH PHÂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Cử nhân Toán - Tin Giảng viên hướng dẫn : TS NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Đà Nẵng, 5/2014 - Mục lục MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÝ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ Affine không gian Affine 1.2 1.3 Phép biến đổi không gian Affine 1.2.1 Đẳng cấu Affine 1.2.2 Phép biến đổi Affine Đường cong đồng Affine 6 1.4 1.5 1.6 Nhóm Lie - Đại số Lie Các khái niệm Tính đồng đa tạp Định lí Frobenius 12 14 18 Hệ phương trình đạo hàm riêng 2.1 Xây dựng họ siêu diện thực 20 21 2.2 2.3 Sự tồn tính nghiệm Xây dựng cách giải hệ phương trình 27 29 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Nhiều vấn đề tốn học đưa đến phương trình đạo hàm riêng hệ phương trình đạo hàm riêng Trong khóa luận này, tơi xem xét vấn đề liên quan đến việc nghiên cứu mô tả siêu diện thực đồng Affine không gian phức chiều Thảo luận vấn đề tính đồng cho hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính Mỗi phương trình hệ mô tả tác động trường vector lên đa tạp đồng nghiên cứu, mà đa tạp cho phương trình ban đầu chưa biết Bài tốn mơ tả đa tạp đồng lớp đa tạp thảo luận đưa ta đến việc nghiên cứu tập hợp nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng Các kết biết mối quan hệ phương trình đạo hàm riêng với tốn hình học sử dụng khóa luận sở cho nghiên cứu đặc biệt Cấu trúc nghiên cứu: Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến phần nội dung khóa luận Cụ thể chúng tơi tóm tắt khái niệm, kí hiệu phép biến đổi Affine, đường cong đồng Affine, nhóm Lie, đại số Lie, đa tạp đồng định lí Frobenius Chương Hệ phương trình đạo hàm riêng Trong chương này, đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình bày việc xây dựng họ siêu diện thực Nội dung thứ hai tồn tính nghiệm, nội dung sở để đến nội dung cuối cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng Khóa luận hồn thành trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, hướng dẫn giảng viên, Tiến sĩ Nguyễn Thị Thùy Dương Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo động viên tơi nhiều suốt q trình hồn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cán Khoa Tốn giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập trường Xin cảm ơn bạn sinh viên ngành Tốn động viên có nhiều ý kiến đóng góp cho tơi suốt q trình thực khóa luận Do trình độ thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh thiếu sót Tơi mong nhận góp ý bảo thầy cô bạn Đà nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên thực Trần Hồng Hạnh KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh rank(A) dimE MỘT SỐ KÝ HIỆU hạng ma trận A số chiều E {x1 , x2 , , xn } f :A→A → − → − ϕ: A → A ∼ = hệ n vectơ ánh xạ Affine An − → An φo ϕ [., ] không gian Affine n chiều không gian vectơ n chiều tích hai phép Affine tích Lie Re(zk ) Im(zk ) E1 , , Er [Ei , Ej ] phần thực số phức zk phần ảo số phức zk hệ r trường vectơ đại số Lie với phép toán ngoặc M atn (K) grad(Φ)|(i,0,0) tập hợp ma trận vuông cấp n K độ biến đổi Φ điểm (i, 0, 0) KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ánh xạ tuyến tính liên kết đẳng cấu SVTH: Trần Hồng Hạnh Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 (Hạng ma trận) Hạng ma trận A cấp cao tất định thức khác ma trận A Kí hiệu: rank(A) Định nghĩa 1.2 (Hệ sinh) Hệ vectơ {x1 , x2 , , xn } gọi hệ sinh T - không gian vectơ E với vectơ x ∈ E, x tổ hợp tuyến tính x1 , x2 , , xn Nghĩa là: ∀x ∈ E tồn α1 , α2 , , αn ∈ T cho : x = α1 x1 + + αn xn Định nghĩa 1.3 (Cơ sở không gian vectơ) Hệ vectơ {x1 , x2 , , xn } gọi sở không gian vectơ E trường số T nếu: i) {x1 , x2 , , xn } hệ sinh E ii) {x1 , x2 , , xn } độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.4 (Số chiều khơng gian vectơ) Cho không gian vectơ E trường số T, số vectơ có sở E gọi số chiều E Kí hiệu: dim(E) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 1.1 Ánh xạ Affine không gian Affine Định nghĩa 1.5 Cho A A hai không gian Affine trường K liên kết với hai không gian vector V V’ Ánh xạ f : A → A gọi ánh xạ Affine có ánh xạ tuyến tính ϕ : V → V’ cho với cặp điểm M,N −−−→ −−→ N = f (N ) Ta có: M N = ϕ(M N ) A ảnh M = f (M ), Ánh xạ tuyến tính ϕ : V → V’ gọi ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ Affine f → − → − → − Chú ý: Người ta ký hiệu ánh xạ tuyến tính ϕ = f : A → A 1.2 1.2.1 Phép biến đổi không gian Affine Đẳng cấu Affine Định nghĩa 1.6 Nếu ánh xạ Affine f : A → A khơng gian Affine A song ánh gọi phép đẳng cấu Affine không gian Affine A lên không gian Affine A Định nghĩa 1.7 Không gian Affine A gọi đẳng cấu với không gian Affine A tồn đẳng cấu Affine f : A → A cho f (A) = A Ký hiệu: A ∼ =A Hệ 1.1 A ∼ =A ⇔V∼ = V’ ⇔ dimA = dimA với A không gian hữu hạn chiều 1.2.2 Phép biến đổi Affine Định nghĩa 1.8 Phép đẳng cấu Affine f : A → A không gian Affine A lên gọi phép biến đổi Affine f không gian Affine A → − → − gọi tắt phép Affine Khi ánh xạ tuyến tính liên kết ϕ : A → A f phép tự đẳng cấu tuyến tính cịn gọi phép biến đổi tuyến tính KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh Định lí 1.1 Tích hai phép Affine phép Affine có phép biến đổi tuyến tính liên kết tích phép biến đổi tuyến tính liên kết hai phép Affine cho Đảo ngược phép Affine phép Affine có phép biến đổi tuyến tính liên kết đảo ngược phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Affine cho Chứng minh: Cho hai phép Affine f : A → A g : A → A có phép biến đổi tuyến tính → − → − → − → − liên kết ϕ : A → A φ : A → A ∀M, N A M = f (M ), N = f (N ), M ” = g(M ) = go f (M ), N ” = g(N ) = go f (N ) −−−→ −−−−→ −−→ Ta có: M ”N ” = φ(M N ) = φo ϕ(M N ) Tích go f : A → A ánh xạ Affine có ánh xạ tuyến tính liên kết φo ϕ Vì φ ϕ phép biến đổi tuyến tính nên φo ϕ phép biến đổi tuyến tính Do tích go f phép biến đổi Affine Đảo ngược phép Affine f phép Affine f −1 có phép biến đổi tuyến tính liên kết ϕ−1 1.3 Đường cong đồng Affine Định nghĩa 1.9 Đường cong γ ∈ R2 gọi đường cong đồng Affine cho hai điểm đường cong tồn phép biến đổi Affine chuyển điểm sang điểm (cùng với lân cận nó) Những đường cong đồng Affine đường phép biến đổi Affine thích hợp Phép biến đổi tọa độ sau phép biến đổi Affine :  a b ∗ ∗ x = a1 x + b1 y + c1  1 , với ∆ =  ∗ ∗  a2 b2 y = a2 x + b2 y + c2 Trong : (x,y) - tọa độ gốc, KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP cong bảo toàn    =0  (1.1) (x∗ , y ∗ ) - tọa độ chuyển đổi SVTH: Trần Hồng Hạnh Lưu ý : Phép biến đổi Affine (1.1) với điều kiện ∆ viết: x∗ = a1 x + b1 y + c1 y ∗ = a2 x + b2 y + c2 Bài tốn: Mơ tả đường cong đồng Affine mặt phẳng Lưu ý : Các đường cong đồng Affine mặt phẳng đường cong biến đổi thành phép biến đổi Affine Ví dụ Đường cong S = x2 + y = đường cong đồng Affine Thật vậy, phép quay mặt phẳng với góc ϕ : x∗ = xcosϕ − ysinϕ y ∗ = xsinϕ + ycosϕ phép biến đổi Affine bảo tồn đường trịn Chọn góc ϕ = ϕB − ϕA ta thu phép biến đổi cần tìm định nghĩa 1.9 Định lí 1.2 Tất đường cong không suy biến cấp hai, : ellip, hyperbolic, parabolic đường cong đồng Affine Chứng minh: x2 y a) Xét đường Ellip : + = a b Được biết, đường ellip đường trịn bị "nén" Điều có nghĩa việc nén dọc theo trục tọa độ có phương trình: x∗ = cx y∗ = y (1.2) Thay (1.2) vào phương trình đường trịn x2 + y = R2 , ta nhận được: (x∗ )2 + (y ∗ )2 = R2 c KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh (y ∗ )2 (x∗ )2 + =1 (cR)2 R2 : phương trình Ellip Tồn phép biến đổi Affine (tuyến tính) biến đường ellip thành đường tròn Điểm A B đến điểm A∗ B ∗ tương ứng Trong điểm nằm đường tròn thuộc đường tròn Mà đường trịn đường cong đồng Affine Vì vậy, tồn phép đổi affine, mà điểm A∗ di chuyển đến điểm A∗∗ = B ∗ Và điểm chuyển đến điểm đường tròn thuộc đường tròn Việc chuyển đổi ngược biến đường trịn thành ellip điểm A∗∗ di chuyển đến điểm A∗∗∗ = B Sự kết hợp phép biến đổi Affine biến điểm A thành điểm B Lưu ý : Giữa đường cong nghiên cứu đường cong đồng biết tồn song ánh Affine đường cong đường cong đồng Affine x2 y b) Xét đường Hyperbolic : − = a b Ta sử dụng phép biến đổi : x = x∗ a y = y∗b Để biến hyperbolic thành: (x∗ a)2 (y ∗ b)2 − = ⇔ x2 − y = 2 a b Chúng ta sử dụng hàm hyperbolic (cht sht) (1.3) Như ta biết, hàm sinϕ, cosϕ hàm lượng giác thỏa mãn: sin2 ϕ + cos2 ϕ = Các hàm hyperbolic : ch2 t − sh2 t = Xét phép biến đổi Affine (tuyến tính) gọi phép quay hyperbolic: x∗ y∗ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP =A x y (1.4) SVTH: Trần Hồng Hạnh 32 Hai tích phân hệ phương trình, ta giải phương trình vi phân thường ta :  y12 C1    y = −  y   2n n C1 = − ny2 ⇔   C = nx − my   1  x = C2 + my1 n n Thay vào tích phân cuối hệ phương trình: − m m y1 y1 − C1 − C2 dy1 = dG 2n n n m m y C y − C2 y12 + C3 − 1 2 6n n 2n y12 m my1 y1 − ny2 − (nx1 − my1 ) + C3 = − y1 − 6n n 2n m m x1 y1 = − y13 + y1 y2 − + C3 6n n 2n ⇒G =− Giải hệ phương trình (2.25) ta : C1 C2 C3 y12 = − ny2 = nx1 − my1 m m = − y1 y2 + x1 y12 + y13 + G n 2n 6n (2.26) Nghiệm chung phương trình (2.24) có dạng: Φ(C1 , C2 , C3 ), (2.27) với Φ - hàm tùy ý khả vi liên tục Theo định lý hàm ẩn thể tích phân C3 : ˜ , C2 ) C3 = Φ(C (2.28) Ta trở lại giá trị tích phân đầu tiên, ta có: m m y12 G = y1 y2 − x1 y1 − y1 + H − ny2 , nx1 − my1 n 2n 6n KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP (2.29) SVTH: Trần Hồng Hạnh 33 H - hàm tùy ý khả vi liên tục Các phương trình cịn lại giải tương tự y12 − ny2 , t2 = nx1 − my1 Đặt t1 = Ta có:  ∂G y12 ∂H   =− +   ∂x n ∂t1        ∂G m 1m ∂H ∂H = y2 − x y1 − y + y − m 1  ∂y1 n n n2 ∂t1 ∂t2         m ∂G ∂H   = y1 − n ∂y2 n ∂t1 Và thay vào phương trình (2.23):  ∂H ∂H   2t1 + t2 = 3H   ∂t1 ∂t2    ∂H ∂H    −t2 + (ns − m2 − n2 ) = ∂t1 ∂t2 (2.30) m s + + t1 n2 n Chúng ta thu hệ gồm hai phương trình phụ thuộc vào hai biến Chúng ta giải phương trình thứ hai a) Ta chia làm hai trường hợp nhỏ Nếu ns − m2 − n2 = 0, giải phương trình thứ hai hệ phương trình (2.30), ta có hệ phương trình vi phân thường: dt1 dt2 dH − = = m s t2 ns − m2 − n2 n + n + t1 Ta có hệ phương trình:  dt1 dt2   − =   ns − m2 − n2  t2      dt2 = ns − m2 − n2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP m2 n2 dH + ns + t1 ⇔   (ns − m2 − n2 )dt1 = −t2 dt2        m2 n2 + ns + t1 dt2 = dH ns − m2 − n2 SVTH: Trần Hồng Hạnh 34 Giải phương trình ta được: −t22 − 2C1 −t22 2 − (ns − m − n )t1 ⇒ t1 = C1 = 2(ns − m2 − n2 ) Thay giá trị t1 vào phương trình ta được: −t22 − 2C1 m2 s + + dt2 = dH 2(ns − m2 − n2 )2 n2 n m2 n2 + ns + ⇒ − 2C1 − t22 dt2 = dH 2 2(ns − m − n ) m2 n2 + ns + t32 2C1 t2 + ⇒H=− 2(ns − m2 − n2 )2 ⇒H + C2 m2 n2 + ns + −t22 t32 2 =− 2t − (ns − m − n )t + + C2 2(ns − m2 − n2 )2 m2 n2 + ns + −t32 t32 2 =− − (ns − m − n )t1 t2 + (ns − m2 − n2 )2 Vậy: t32 t22 2 H=k + (ns − m − n )t1 t2 + Q − − (ns − m2 − n2 )t1 (2.31) m2 n2 + ns + Với k = (ns − m2 − n2 )2 Phương trình cịn lại, thay kết đạt đặt: r=− Ta có: t22 − (ns − m2 − n2 )t1 (2.32)  ∂H ∂Q   = kt2 (ns − m2 − n2 ) + (ns − m2 − n2 )    ∂t1 ∂r   ∂H ∂Q    = k(t22 + (ns − m2 − n2 )t1 ) + t2 ∂t2 ∂r KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 35 Thay vào phương trình cịn lại hệ phương trình (2.30) ta được: 2t1 kt2 (ns − m2 − n2 ) + (ns − m2 − n2 ) ∂Q + t2 k(t22 + (ns − m2 − n2 )t1 )+ ∂r t32 + (ns − m2 − n2 )t1 t2 + Q k ∂Q +t2 = ∂r ⇔ 2(ns − m2 − n2 )t1 + t22 ∂Q = 3Q ∂r Ta phương trình vi phân thường: 2rQ = 3Q Ta có: (2.33) dr dQ dr dQ = ⇒ = ⇒ lnr = lnQ + lnC ⇒ lnr = lnQC 2r 3Q r Q Vậy: Q = r C, C = const (2.34) Quay trở lại biến cũ, ta có kết hệ phương trình (2.20): [m2 + n(n + s)](nx1 − my1 )3 (m2 + n2 + ns)(nx1 − my1 ) F = x2 y1 + + 3n2 [m2 + n(n − s)]2 (ns − m2 − n2 )n2 −1 2 nx1 y1 my13 n2 y12 − ny2 −1 y2 + + (nx1 − my1 )2 + (m2 + n2 − ns) − ny2 2 (2.35) Chúng ta có kết có dạng: F = Ω + (Θ) Đặt v = F (x1 , y1 , x2 , y2 ), ta có được: − + mny1 y2 (v − Ω)2 = Θ3 (2.36) Và ý bậc cao Θ 2, lập luận bề mặt kết bề mặt đại số bậc KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh + C 36 Trong kết cuối cùng, bề mặt bậc sau : (m2 + n(n + s))(nx1 − my1 )3 + v − x y1 + 3n2 (m2 + n(n − s))2 (m2 + n2 + ns)(nx1 − my1 ) + (ns − m2 − n2 )n2 y12 − ny2 + − 12 nx1 y12 − y12 2 − ny2 = C − (nx1 − my1 ) + (m + n − ns) 2 my13 n + mny1 y2 b) Nếu ns − m2 − n2 = 0, hệ phương trình (2.30) trở thành:  ∂H ∂H   2t1 + t2 = 3H   ∂t1 ∂t2    ∂H    −t2 = ∂t1 m2 s + + t1 n2 n Giải phương trình thứ hai hệ phương trình Ta có hệ phương trình vi phân thường: dt2 dH dt1 = = s −t2 t1 ( m n2 + n + 1)t1 t1 m2 s ⇔− + + dt1 = dH t2 n2 n t21 ⇔ − (m2 + ns + n2 ) + C = H 2t2 n t2 ⇔ − (m2 + ns + ns − m2 ) + C = H (Vì ns − m2 − n2 = 0) 2t2 n Vậy: H=− KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP st21 + Q(t2 ) nt2 (2.37) SVTH: Trần Hồng Hạnh 37 Ta có:  2t1 s ∂H   =−   t2 n  ∂t1   ∂H t21 s ∂Q    = + ∂t2 t2 n ∂t2 Thay kết tìm vào phương trình cịn lại, ta có: 2t1 2t1 s − t2 n + t2 st21 =3 − +Q nt2 t21 s ∂Q + t22 n ∂t2 Suy ra: t2 Q = 3Q (2.38) Q = t32 C, C = const (2.39) Ta giải thu kết quả: Chúng ta thực việc thay ngược thu kết quả: −v(nx1 − my1 ) = x2 y1 (nx1 − my1 ) − s y12 2 − ny2 + n (2.40) (nx1 − my1 ) − 21 nx1 y12 − + n2 my13 + mny1 y2 + C(nx1 − my1 )4 Trong trường hợp này, ta có bề mặt bậc 2) Xét trường hợp n = Hệ phương trình (2.23) trở thành :  ∂G ∂G ∂G   + y1 + 2y2 = 3G x1   ∂x ∂y ∂y  1       ∂G ∂G m + y1 = my2 − x1 y1  ∂x1 ∂y2         ∂G ∂G ∂G  s +m + x1 = y12 − sy2 ∂x1 ∂y1 ∂y2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP (2.41) SVTH: Trần Hồng Hạnh 38 Chúng ta giải phương trình thứ hai a) Tùy thuộc vào m mà mà ta phân thành trường hợp phụ Nếu m = 0, giải phương trình thứ hai hệ phương trình (2.41), ta có hệ phương trình vi phân thường : ⇔  dx1 dy2   =   y1  m   dG dx1    = m my2 − x1 y1 Suy : y2 = dy2 dG dx1 = = m y1 my2 − x1 y1   x y1  C1 = − y2   y1 dx1 = mdy2     m ⇔ ⇔   my − x y   my2 − x1 y1 1   dx1 = dG  dx1 = dG m m x1 y1 − C1 m Thay giá trị y2 vào phương trình dưới, ta được: m x1 y1 m − C − x y1 dx1 = dG m ⇒ −C1 dx1 = dG ⇒ −C1 x1 + C2 = G ⇒G=− x1 y1 − y x + C2 m Vậy: y1 x21 G=− + x1 y2 + H(y1 , y1 x1 − my2 ) m (2.42) t = y1 t2 = y1 x1 − my2 (2.43) Đặt: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 39 Ta có:  ∂G 2x1 y1 ∂H   =− + y2 + y1   ∂x1 m ∂t2        ∂G x21 ∂H ∂H =− + + x1  ∂y1 m ∂t1 ∂t2         ∂H ∂G   = x1 − m ∂y2 ∂t2 Thay vào hai phương trình cịn lại hệ phương trình (2.43)  −2x1 y1 ∂H   x + y + y   m ∂t2            2x1 y1 ∂H   s − + y2 + y m ∂t2 ⇔ + y1 ∂H −x21 ∂H ∂H + + x1 + 2y2 x1 − m + m ∂t1 ∂t2 ∂t2 x21 y1 +3 − 3x1 y2 = 3H m x21 ∂H ∂H +m − + x1 + m ∂t1 ∂t2 + x1 x1 − m ∂H ∂t2  ∂H ∂H   y + 2(x y − my ) = 3H  1   ∂t1 ∂t2   ∂H ∂H 2s   m + sy1 = y12 + (x1 y1 − my2 ) ∂t1 ∂t2 m Ta hệ phương trình:  ∂H ∂H   t + 2t = 3H    ∂t1 ∂t2 (2.44)   ∂H ∂H 2st2   m + st1 = t21 + ∂t1 ∂t2 m Chúng ta giải phương trình thứ hai hệ phương trình (2.44) Ta hình thành hệ phương trình vi phân thường phương trình này: dt1 dt2 dH = = 2st2 m st1 t1 + m KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh =0 40 ⇔  st1   dt1 = dt2    m ⇔  dt1 dH     m = 2st2 t1 + m Suy : t2 =  s  C = t − mt2     2st2    t1 + m dt1 = dH m s t − C1 2m Thay vào phương trình dưới: ⇒ t21 + s t1 −C1 ) 2s( 2m m m dt1 dt1 = dH s2 2sC1 t + t − dt1 = dH ⇒ m m2 m t3 s2 t31 2sC1 t1 ⇒H= + − + C2 3m 3m3 m2 t31 s2 t31 2st1 st21 − = + − t2 + C 3m 3m3 m 2m t31 s2 t31 s2 t31 2st1 t2 − + + C2 = + 3m 3m3 m m2 t31 2st1 t2 2s2 t31 = + − + C2 3m m2 3m3 = 2s2 t31 2st1 t2 1− + + C2 m 3m m2 Vậy: H= Đặt: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 2s2 t31 2st1 t2 st21 1− + +Q − mt2 m 3m m2 st21 r= − mt2 (2.45) (2.46) SVTH: Trần Hồng Hạnh 41 Ta có:  ∂H  2 2 ∂Q  = kt (ns − m − n ) + (ns − m − n )   ∂r  ∂t1   ∂H ∂Q    = k[t22 + (ns − m2 − n2 )t1 ] + t2 ∂t2 ∂r Thay vào phương trình cịn lại ta được: 2t1 kt2 (ns − m2 − n2 ) + (ns − m2 − n2 ) +t2 ∂Q + t2 k(t22 + (ns − m2 − n2 )t1 ) ∂r t3 ∂Q = k + (ns − m2 − n2 )t1 t2 + Q ∂r ⇔ 2(ns − m2 − n2 )t1 + t22 ∂Q = 3Q ∂r Ta phương trình vi phân thường: 2rQ = 3Q (2.47) Ta giải thu được: Q = r C, C = const (2.48) Quay trở lại biến cũ, ta có kết hệ phương trình (2.20): x21 y1 2sx1 y12 2sx1 y1 2sy1 (x1 y1 − my2 ) F =− + x y1 + − + x y + m m2 m m2 (2.49) +C sy12 − m(x1 y1 − my2 ) Do đó, ta có kết có dạng: F = Ω + Θ2 (2.50) thỏa hệ phương trình(2.18), cách giải hệ phương trình sẽ: (v − Ω)2 = Θ3 (2.51) Chú ý bậc cao Θ 2, nên bề mặt kết bề mặt đại số bậc KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 42 Bề mặt bậc sau : 2sx1 y12 2sx1 y1 2sy1 (x1 y1 − my2 ) x2 y1 − + x y + v − + x2 y1 + m m2 m m2 sy12 − m(x1 y1 − my2 ) =C 2 b) Nếu m =  ∂G ∂G ∂G   x1 + y1 + 2y2 = 3G   ∂x1 ∂y1 ∂y2        ∂G = −x1 y1 y1  ∂y2         ∂G ∂G  s + x1 = y12 − sy2 ∂x1 ∂y2 (2.52) Ta thực giải phương trình thứ hai hệ phương trình (2.55): dG = −x1 ⇔ dG = −x1 dy2 dy2 Vậy: G = −x1 y2 + H(x1 , y1 ) Xét: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP (2.53)  ∂H ∂G   = −y +   ∂x1 ∂x1        ∂G ∂H =  ∂y1 ∂y1        ∂G    = −x1 ∂y2 SVTH: Trần Hồng Hạnh 43 Thay vào hai phương trình cịn lại ta được:  ∂H ∂H   −x y + x + y − 2y2 x1 = 3(−x1 y2 ) + 3H  1  ∂x1 ∂y1  ⇔   ∂H    −sy2 + s − x21 = y12 − sy2 ∂x1  ∂H ∂H   x + y = 3H  1  ∂y1  ∂x1 ⇔   ∂H   s = x21 + y12 ∂x1  ∂H ∂H   x + y = 3H  1  ∂y1  ∂x1   ∂H   s = y12 + x21 ∂x1 (2.54) Khi s = Lưu ý : Trong trường hợp tham số s khơng, có bề mặt có kích thước thấp Trường hợp khơng xét khóa luận Chúng ta giải phương trình cuối, ta có hệ phương trình vi phân thường: dH dx1 = ⇔ (x1 + y12 )dx1 = dH s x + y1 s x31 x31 x1 y12 H= + x1 y1 + Q(y1 ) = + + Q(y1 ) s 3s s Ta có: (2.55)  x21 y12 ∂H   = +    ∂x1 s s   ∂H 2x1 y1 ∂Q    = + ∂y1 s ∂y1 Thay vào phương trình cịn lại, ta được: x1 x21 y12 + s s + y1 2x1 y1 ∂Q + s ∂y1 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP x31 x1 y12 =3 + +Q 3s s ⇔ y1 ∂Q = 3Q ∂y1 SVTH: Trần Hồng Hạnh 44 Hay: y1 Q = 3Q (2.56) Giải phương trình vi phân thường ta được: Q = y13 C, với C = const (2.57) Thay ngược kết vào phương trình ta được: x1 y12 x31 + x y1 + − x1 y2 + Cy13 F = 3s s (2.58) Ta có bề mặt bậc Nghiên cứu thu tập hợp bề mặt đại số Affine đồng bậc 3, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 45 KẾT LUẬN Mục đích khóa luận xây dựng ví dụ bề mặt thực đồng khơng gian phức ba chiều Bài tốn mơ tả bề mặt chưa giải đầy đủ Trong khóa luận này, tơi nghiên cứu vấn đề phép lấy tích phân họ tham số đại số trường vector, hay nói cách khác, giải hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với đại số Trong trường hợp, mà hệ phương trình đạo hàm riêng cho phép giải thích hình học, mặt lý thuyết tồn tính Ngồi phần lý thuyết quan trọng này, lớp quan trọng hệ mà lớp liên quan đến họ siêu diện thực đồng Affine không gian phức ba chiều lấy tích phân dạng tường minh Các bề mặt khái quát qua số ví dụ, trình bày trước Tơi lưu ý kích thước lớn tốn (hàm tương tự phụ thuộc vào ba biến phức, sáu biến thực) việc thực nhiều phép tính số học "bằng tay" gần dẫn đến kết xác Do đó, việc tính tốn sử dụng gói phần mềm tốn học Maple Ở giai đoạn cuối khóa luận hoàn thành với hỗ trợ phần mềm (do đảm bảo tính xác kết quả) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh 46 Tài liệu tham khảo [1] AV Loboda Homogeneous strictly pseudo-convex hypersurfaces in a twodimensional isotropy groups Mat compilation - 2001 - T 192 - Pp - 24 [2] AV Loboda Affine homogeneous real hypersurfaces of 3-dimensional complex space - 2009 [3] MS Danilov, AV Loboda, On affine homogeneity of real hypersurfaces of indefinite space [4] Hình học cao cấp - Nguyễn Mộng Hy (2000) - Nhà xuất giáo dục [5] Phương trình vi phân - Hồng Hữu Đường, Nguyễn Thế Hồn, Vừ Đức Tơn - Nhà xuất đại học, trung học chuyên nghiệp Hà Nội (1975) [6] Giáo trình Tốn cao cấp - Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Viết Đức [7] Giáo trình Phương trình vi phân (2010) - Lê Hải Trung KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Hồng Hạnh ... vấn đề phép lấy tích phân họ tham số đại số trường vector, hay nói cách khác, giải hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng với đại số Trong trường hợp, mà hệ phương trình đạo hàm riêng cho phép... tích phân hệ phương trình, ta giải phương trình vi phân thường ta :  y12 C1    y = −  y   2n n C1 = − ny2 ⇔   C = nx − my   1  x = C2 + my1 n n Thay vào tích phân cuối hệ phương trình: ... tìm nghiệm hệ phương trình Ta giải phương trình hệ phương trình, kết thu bước thay vào phương trình chưa giải cịn lại Ta có hệ gồm bốn phương trình đạo hàm riêng:  ∂F ∂F ∂F ∂F   x1 + y1 +