Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2 TRAN QUANG TUYEN PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN GIÁI PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

TRAN QUANG TUYEN

PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN GIÁI PHƯƠNG

TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán giái

tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Tran Văn

Bang

Hà N®i - 2012

LèI CÁM ƠN

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói các thay cô giáo,đ¾c bi¾t là TS Tran Văn Bang, nhung ngưòi đã t¾n tình hưóng danđay hi¾u quá, thưòng xuyên dành cho tôi sn chí báo, giúp đõ và đ®ngviên giúp tôi hoàn thành lu¾n văn đúng thòi han

Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, phòng Sau Đai hoctrưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, cũng như toàn the các thay côgiáo trong trưòng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tôi hoct¾p và nghiên cúu

Tôi trân trong cám ơn Só giáo duc và Đào tao tính Vĩnh Phúc,Trưòng THCS và THPT Hai Bà Trưng đã tao đieu ki¾n thu¾n loicho tôi thòi gian tôi theo hoc lóp sau đai hoc

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói anh em, ban bè vàngưòi thân trong gia đình đã đ®ng viên, tao moi đieu ki¾n đe lu¾n vănnày có the đưoc hoàn thành

Hà N®i, tháng 06 năm 2012

Tác giá

Tran Quang Tuyen

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung nghiên cúu, thành tnu cna các nhà khoa hoc, đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Tác giá

Tran Quang Tuyen

Mnc lnc

Lài cám ơn 3

Lài cam đoan 4

Báng kí hi¾u 7

Má đau 8

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b% 11 1.1 Không gian Sobolev W 1,p(Ω) 11

1.2 Phương pháp bien phân 14

1.2.1 Bien phân cap m®t Phương trình Euler - Lagrange 14

1.2.2 Bien phân cap hai 17

1.3 Cnc tieu cna phiem hàm - Nghi¾m cna phương trình 18

1.3.1 Đieu ki¾n búc, tính núa liên tuc dưói 18

1.3.2 Tính loi 21

1.3.3 Nghi¾m yeu cna phương trình Euler - Lagrange 21 Chương 2 Điem tái han qua bài toán cNc tieu, Đ%nh lí bien dang và Nng dnng 24 2.1 Điem tói han qua bài toán cnc tieu 24

2.1.1 Bài toán cnc tieu 24

2.1.2 Úng dung đoi vói bài toán Dirichlet phi tuyen 29 2.2 Đ%nh lí bien dang và úng dung 33

2.2.1 Đ%nh lí bien d ang 33

2.2.2 Úng dung 39

Chương 3 Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngNa và Nng dnng 44 3.1 Đ%nh lí qua núi 44

3.1.1 Điem tói han kieu minimax 44

3.1.2 Đ%nh lí qua núi 46

3.1.3 Úng dung đoi vói bài toán Dirichlet 48

3.2 Đ%nh lí điem yên ngna 52

3.2.1 B¾c tôpô 52

3.2.2 Đ%nh lí điem yên ngna 54

3.2.3 Úng dung đoi vói bài toán c®ng hưóng 56

Ket lu¾n 61

Tài li¾u tham kháo 62 Tài li¾u tham kháo 62

6

C p(Ω) lóp hàm liên tuc cùng vói đao hàm trên mien Ω đen cap p.

C ∞(Ω) lóp các hàm khá vi vô han trên Ω

và tri¾t tiêu ó bên ngoài biên

0 (Rn) t¾p cna các hàm trong C p(Rn) có giá compact

D k đao hàm riêng thú k.

S(x0, r) m¾t biên cna hình cau B(x0,

r) dist(ω, B)khoáng cách tù ω tói B.

h.k.n hau khap nơi

L1(I) không gian các hàm khá tích trên I lay giá tr% trên R.

L p(Ω) không gian các hàm đo đưoc khá tích trên Ω và |u|p ∈ L1(Ω)

Mé ĐAU

1 Lí do chon đe tài

Chúng ta đã đưoc biet ve khái ni¾m phương trình vi phân đao hàmriêng (viet tat là phương trình đao hàm riêng) tù chương trình đai hoc

là nhung phương trình chúa hàm so can tìm và các đao hàm riêng cnanó

Phương trình đao hàm riêng đưoc nghiên cúu lan đau tiên vào the

kí XVIII trong các công trình cna nhung nhà toán hoc như Euler, Dalambert, Lagrange và Laplace như là m®t công cu quan trong đe

mô tá các mô hình cna v¾t lý và cơ hoc Chí đen the kí XIX và đ¾c

bi¾t là công trình nghiên cúu cna Riemann, phương trình đao hàm

riêng mói tró thành công cu manh dùng trong nhieu lĩnh vnc toán hockhác Tù khi xuat hi¾n cho đen ngày nay, phương trình đao hàm riêngđóng vai trò là chiec cau noi giua toán hoc và úng dung, thúc đay

sn phát trien các ý tưóng toán hoc trong nhieu lĩnh vnc toán hoc lý

thuyet khácnhau

Các phương trình đao hàm riêng nói chung là rat phúc tap Moi m®tphương pháp tiep c¾n chí phù hop đoi vói m®t lóp phương trình cuthe Trong chương trình Thac sĩ chuyên ngành giái tích mà chúng tôi

đã đưoc các thay giói thi¾u m®t so phương pháp giái các bài toán đoivói phương trình đao hàm riêng như: Phương pháp đ¾c trưng,Phương pháp tách bien, Phương pháp bien đoi tích phân, Phươngpháp bien đoi phương trình phi tuyen thành tuyen tính, Phương phápbien phân, Tuy nhiên do đieu ki¾n thòi gian cna môn hoc có han nênchúng tôi chưa có đieu ki¾n nghiên cúu kĩ tat các các phương pháptrên Đưoc sn giúp đõ và sn hưóng dan t¾n tình cna TS Tran VănBang, tôi chon đe tài

"Phương pháp bien phân giái phương trình đao hàm riêng"

Vói mong muon đưoc tìm hieu kĩ hơn ve phương pháp bien phân cũngnhư nhung khá năng úng dung cna nó đoi vói giái phương trình đaohàm riêng Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương (ngoài phan mó đau,ket lu¾n và tài li¾u tham kháo)

Chương 1 M®t so kien thúc chuan b%.

Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các khái ni¾m

và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian Sobolev, can thietcho quá trình sú dung sau này Tiep theo bang cách tiep c¾n ngan gonchúng tôi se giói thi¾u ve phương pháp bien phân và cnc tieu cnaphiem hàm

- nghi¾m cna phương trình

Chương 2 Điem tói han qua bài toán cnc tieu, đ%nh lí bien dang và

úng dung

Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu van đe điem tói han thông quabài toán cnc tieu đe giái bài toán Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí bien dang

và úng dung vào bài toán Neumann phi tuyen

Chương 3 Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung.

Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu đ%nh lí qua núi và úng dung vàobài toán Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung vàobài toán c®ng hưóng

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu ve phương pháp bien phân

Áp dung phương pháp bien phân vào đe giái m®t so phương trìnhđao hàm riêng Dirichlet phi tuyen, Neumann phi tuyen và c®ng hưóng

9

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet

ve úng dung cna phương pháp bien phân vào trong vi¾c giái phươngtrình đao hàm riêng phi tuyen (Dirichlet, Neumann và c®ng hưóng)

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu khá năng úng dung cna phương pháp bien phân đoi vóim®t so phương trình đao hàm riêng phi tuyen cu the

5 Phương pháp nghiên cNu

- Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo

- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

6 Đóng góp mái cúa lu¾n văn

- Trình bày nhung van đe cơ bán cna phương pháp bien phân

- Trình bày điem tói han qua bài toán cnc tieu, đ%nh lí bien dang và úng dung

- Trình bày đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna và úng dung

∇u = (

∂x

∂u ,

∂x

2

∂u , ,

∂u ∂v .(u, v) H1 = (u, v) L2 + . ,

Lưu ý: Có the viet W 1,p (Ω) bói W 1,p.

Tính chat 1.1 Không gian W 1,p là m®t không gian Banach vói 1

≤ p ≤ +∞; Không gian W 1,p là phán xa vói 1 < p < +∞ và tách đưoc vói 1 ≤ p < +∞ Không gian H1 là không gian Hilbert tách đưoc.

Chú ý 1.1 Cho m®t phiem hàm f xác đ%nh trên Ω Kí hi¾u f là thác

trien cna f bói 0 ó bên ngoài Ω, túc là

Ket lu¾n trên van đúng neu thay vì giá sú α ∈ C1(Ω) ta lay α ∈

C1(RN )∩ L ∞(RN ) vói ∇α ∈ L ∞(RN ) và suppα ⊂ R N \Γ (Γ là biên cna C1 (Ω))

i) u n |Ω → u trong L p (Ω),

ii) ∇u n | ω → ∇u| ω trong L p (ω) N , ∀ ω ⊂⊂ Ω.

(Kí hi¾u ω ⊂⊂ Ω có nghĩa là ω là t¾p mó sao cho ω ⊂ Ω và ω compact.)

13

Tính chat 1.3 Cho u ∈ L p (Ω) và 1 < p ≤ ∞, các tính chat sau đây là

iii) ∃ C : moi t¾p mó ω ⊂⊂ Ω và ∀, h ∈ R N : |h| < dist(ω, R N \Ω),

ta có ||τ h u − u|| L p (ω) ≤ C|h| Hơn nua, chon C = ||∇u|| L p(Ω) trong ii)

và iii).

Tính chat 1.4 (Đao hàm cúa m®t tích)

∂u

∂x i

Tính chat 1.6 (Công thNc đoi bien)

(JacH chí ma tr¾n

j

1.2 Phương pháp bien phân

Xét các phương trình đao hàm riêng có dang

Xét phương trình (1.3) so vói phương trình (1.1) ta có the coi các

nghi¾m cna (1.3) như là các điem tói han cna I [·].

Neu phiem hàm I [·] đat cnc tieu tai u thì u se thóa mãn (1.3) và do đó

u là m®t nghi¾m cna (1.1).

Neu không the giái trnc tiep đưoc bài toán (1.1), ta có the tìm nghi¾m cúa (1.1) de dàng hơn bang cách sú dnng các phương pháp cúa lí thuyet toi ưu đe tìm điem cnc tieu (điem cnc đai ho¾c điem tói han) cúa phiem hàm I [·].

1.2.1 Bien phân cap m®t Phương trình Euler - Lagrange

Giá sú U ⊂ R n là m®t t¾p mó, b% ch¾n vói biên ∂U trơn và L là m®t hàm trơn cho trưóc L : U × R × R n → R Goi L là hàm Lagrange Kí hi¾u L(x, z, p) = L(x1, , x n , z, p1, , p n ) vói x ∈

là bien thay the cho Dω(x).

xét hàm thnc

tieu cna I [·] và u + τv = u = g trên ∂U , cho nên

i(·) đat cnc tieu tai τ = 0 Do đó

U i=1 i i

Cuoi cùng, vì v có giá compact, bang cách lay tích phân tùng phan ta

0 = [ − (L p (x, u, Du))x i + L z (x, u, Du)]vdx.

U i=1

Do đang thúc này thóa mãn vói moi hàm thú v, suy ra u thóa mãn

phương trình đao hàm riêng phi tuyen

b¾c hai tna tuyen tính trong dang phân kì

V¾y, m®t điem cnc tieu trơn cna I [·] là nghi¾m cna phương trình

đao hàm riêng Euler - Largrange (1.9) và ta có the tìm đưoc nghi¾mcna (1.9) bang cách xét các điem cnc tieu cna (1.4)

là phương trình tuyen tính vói cau trúc phân kì

1.2.2 Bien phân cap hai.

Ta tính bien phân cap hai cna I [·] tai hàm u Vói u là điem cnc tieu cna I [·], cho nên i rr (0) ≥ 0, trong đó i(·) đưoc xác đ%nh bói (1.6).

+ 2 L p z (x, u, Du)v x v + L zz (x, u, Du)v2dx,

(1.10)

i=1

thóa mãn vói moi hàm thú v ∈ C ∞ (U ).

Ta thay (1.10) đúng vói moi hàm v liên tuc Lipschitz và tri¾t tiêu trên

ε ζ(x) (x ∈ U ) , (1.11)

ó đây ζ ∈ C ∞ (U ) và ρ : R → R là hàm tuan hoàn "zig - zag" đưoc

xác

j x

c

c

x neu 0 ≤ x ≤ 1đ%nh bói ρ(x)

Ta thay rang đieu ki¾n này can cho sn ton tai nghi¾m.

1.3 CNc tieu cúa phiem hàm - Nghi¾m cúa phương trình 1.3.1 Đieu ki¾n bNc, tính nNa liên tnc dưái.

(chang han như f = e x ho¾c (1 + x2)−1 ) Ta đ¾t giá thiet I [ω] vói

Tìm cnc tieu cna phiem hàm I [·], tù bat đang thúc (1.18) ta thay

se hop lí hơn, neu I [ω] đưoc xác đ%nh không chí vói các hàm liên tuc ω, mà còn các hàm ω trong không gian Sobolev W1(U ) thóa mãn đieu ki¾n biên (1.15) theo nghĩa vet Bói vì, lóp các hàm ω càng r®ng thì càng có nhieu khá năng tìm đưoc cnc tieu cna I [ω].

Kí hi¾u A = .ω ∈ W1(U )|ω = g trên ∂U theo nghĩa vet A đưoc goi

là

lóp các hàm chap nh¾n đưoc Theo (1.17) thì I [·] đưoc xác đ%nh (có

the

+∞) vói moi ω ∈ A.

b) NNa liên tnc dưái

Hàm liên tuc f : R → R thóa mãn đieu ki¾n búc se đat cnc tieu, nhưng đoi vói phiem hàm tích phân I [·] thì tính chat đó nói chung

Goi {uk } ∞ là dãy cnc tieu Lay ra m®t dãy con cna {u k } ∞ h®i tu tói

m®t cnc tieu cna I [·] Muon v¾y ta can có đieu ki¾n compact Neu

L

(U )

q n

M¾t khác, ta có u = g trên ∂U theo nghĩa vet và do đó u ∈ A Vì

v¾y, bang cách dùng tô pô yeu và tù đieu ki¾n búc (1.18) suy ra (1.22) vói

là nhung đieu ki¾n yeu hơn, như sau

I [u] ≤ lim inf I .u k j

Đ%nh nghĩa 1.2 Ta nói phiem hàm I[·] là núa liên tnc dưói yeu trên

1.3.2 Tính loi.

Đ%nh lý 1.1 (Tính nNa liên tnc dưái yeu)

Giá sú hàm Lagrange L(x, z, p) là b% ch¾n dưói và loi theo p vói moi

Đ%nh lý 1.2 (SN ton tai cúa điem cNc tieu)

Giá thiet rang L thóa mãn đieu ki¾n búc (1.17) và loi theo bien p, còn

u ∈ A thóa mãn I [u] = min I [ω]

ω∈A

Xét van đe duy nhat nghi¾m Nói chung, có nhieu điem cnc tieu, do đó

đe đám báo tính duy nhat ta can thêm giá thiet Xét hàm Lagrange

Đieu ki¾n (1.26) cho thay ánh xa p → L(x, p) là loi đeu vói moi x.

Đ%nh lý 1.3 (Tính duy nhat cúa điem cNc tieu).

Giá sú (1.25) - (1.26) thóa mãn Khi đó điem cnc tieu u ∈ A cúa I[·]

là duy nhat.

1.3.3 Nghi¾m yeu cúa phương trình Euler - Lagrange.

Ta chúng minh moi điem cnc tieu u ∈ A cna I[·] thóa mãn phương trình Euler -Lagrange ta can các đieu ki¾n tăng cna L và các đao hàm

cna nó Ta giá sú

 |D p L(x, z, p)| ≤ C

.|p| q−1 + |z| q−1 + 1.

 |D z L(x, z, p)| ≤ C

q

.|p| q−1 + |z| q−1 + 1 , (1.28)

vói C là hang so và ∀p ∈ R n , z ∈ R, x ∈ U Xét bài toán biên đoi vói phương trình đao hàm riêng Euler-Lagrange tương úng vói hàm L

lay xap xí ta thay (1.30) thóa mãn vói v ∈ W1(U ) bat kì.

Đ%nh nghĩa 1.3 (Nghi¾m yeu.)

Hàm u ∈ A đưoc goi là m®t nghi¾m yeu cna bài toán biên (1.29) đoi

vói phương trình Euler-Lagrange neu

U n=1 i (x, u,

Du)v i L+ (x, u, Du)vdx = 0 ∀v ∈ W q (U ).

Đ%nh lý 1.4 (Nghi¼m cúa phương trình Euler-Lagrange)

Giá thiet L thóa mãn đieu ki¾n tăng (1.27),(1.28) và u ∈ A sao cho

I [u] = min I [ω] Khi đó u là m®t nghi¾m yeu cúa (1.29).

ω∈A

Chú ý 1.2 Trong trưòng hop tong quát, phương trình Euler-Lagrange

(1.29) có nhung nghi¾m khác mà không phái là điem cnc tieu cna

I[·] Tuy nhiên, trong trưòng hop đ¾c bi¾t khi ánh xa (z, p) → L(x,

loi vói moi x, thì moi nghi¾m yeu chính là điem cnc tieu.

Tóm lai, phương pháp bien phân đ¾t ra hai hưóng nghiên cúu quan trong trong giái phương trình đao hàm riêng:

• Nghiên cúu điem tói han (đ¾c bi¾t là điem cnc tieu) cna m®t

phiem hàm

• Tìm nhung úng dung cna các ket quá ve toi ưu cna phiem hàm đoi

vói phương trình đao hàm riêng

Mà hai chương sau chúng ta se đe c¾p tói hai van đe đó m®t cách đay đn hơn

Chương 2 ĐIEM TéI HAN QUA BÀI TOÁN CUC

TIEU, бNH LÍ BIEN DANG VÀ ÚNG

DUNG

2.1 Điem tái han qua bài toán cNc tieu

2.1.1 Bài toán cNc tieu

"Cho không gian Hilbert E, t¾p đóng C ⊂ E và m®t phiem hàm ϕ : E →

R trong đó ϕ b% ch¾n dưói Tìm u0 ∈ C sao cho

ϕ(u0) = inf ϕ(u)”.

u∈C

Bài toán này tong quát, ta phái thêm giá thiet Vì phiem hàm ϕ : E → R b% ch¾n dưói trên đoan C ⊂ R chưa chac đat giá tr% nhó nhat, đe đat đưoc giá tr% nhó nhat phiem hàm ϕ liên tuc (Đ%nh lý Weierstrass) V¾y tính cnc tieu cna phiem hàm ϕ gan ch¾t vói tính “liên tuc” cna ϕ

và tính “compact” cna t¾p C.

Ket quá cơ bán cna lý thuyet tôpô

• Trong không gian tôpô X Phiem hàm ϕ : E → R là núa liên tuc dưói neu ϕ −1 (a, ∞) mó trong X, ∀a ∈ R (túc là ϕ −1 (−∞, a] đóng trong X, ∀ a ∈ R).

• Neu X thóa mãn tiên đe đem đưoc thú nhat (chang han X là không gian metric) thì ϕ : E → R là núa liên tuc dưói ⇔ ϕ (ˆ

Đ%nh lý 2.1 Cho X là không gian tôpô, compact và ϕ : X → R là

u)

≤ u

.

X

ChNng minh Ta có X

n=

1

ϕ −1 (−n, ∞) Theo giá thiet, có ϕ −1 (−n, ∞)

là t¾p mó và X là compact nên ton tai m®t phn huu han

n0

n=1 ϕ −1 (−n, ∞) vói moi n0 ∈ N Chúng tó ϕ(u) > −n0, ∀ u ∈ X hay ϕ b% ch¾n dưói

( vô lí ) V¾y c là giá tr% cnc tieu. Q

Đ%nh nghĩa 2.1 Cho E là không gian Hilbert, phiem hàm ϕ : E → R

đưoc goi là núa liên tuc dưói yeu, neu ϕ là núa liên tuc dưói đoi vói tô

pô yeu trên E Túc là ∀ u ∈ E : ϕ(u) ≤ lim inf ϕ(u n ), ∀ u n : u n ~ u, (u n

u, h) , ∀ h ∈ E).

h®i tu yeu tói

Đ%nh lý 2.2 Cho E là không gian Hilbert (ho¾c E là không gian

Banach phán xa) và ϕ : E → R là phiem hàm có tính chat

i) Núa liên tnc dưói yeu,

ii) Đieu ki¾n búc (túc là ϕ(u) → +∞ khi "u" → ∞) Khi

ChNng minh

Theo ii) ta chon R > 0 sao cho ϕ(u) ≥ ϕ(0), ∀ u ∈ E : "u" ≥

là núa liên tuc dưói yeu Theo Đ%nh lý 2.1 suy ra ∃ u0 ∈ B R :

ϕ(u0) = infB R ϕ Vì the ∃ u0 ∈ E : ϕ(u0) = inf ϕ theo cách chon R.

Q

33

E

Nh¾n xét 2.1 Neu trong Đ%nh lý 2.2 có thêm giá thiet phiem hàm

túc là ϕ r (u0) = 0 ∈ E ∗

Đ%nh lý 2.3 Cho E là không gian Hilbert (tong quát hơn E là không

gian Banach phán xa) và ϕ : E → R thóa mãn

i) Núa liên tnc dưói yeu,

ii) Đieu ki¾n búc,

iii) C ⊂ E, là t¾p con loi, đóng.

Khi đó, ∃ ˆ

ChNng minh

Chúng minh tương tn như Đ%nh lý 2.2, co đ%nh p ∈ C, chon R : ϕ(u)

> ϕ(p), ∀ u ∈ C và "u" ≥ R Xét ϕ trên t¾p loi, đóng và b% ch¾n B R

l : E → R là phiem hàm tuyen tính liên tuc Xét phiem hàm b¾c hai:

u) = inf ϕ(u) Khi đó, vói C là t¾p loi đóng trong E Bài toán cnc tieu ϕ(ˆ

có nghi¾m duy nhat

Lòi giái

u∈C

Th¾t v¾y, theo Đ%nh lý 2.3, ∃ u ∈ C vì ϕ thóa mãn đieu ki¾n búc,

loi, liên tuc suy ra ϕ là m®t núa liên tuc dưói yeu vì sú dung kí hi¾u

Hình 2.1

i) ϕ loi (núa liên tuc dưói) ⇔ epi(ϕ) là loi (đóng);

ii) ϕ loi (núa liên tuc dưói yeu) ⇔ epi(ϕ) là loi (đóng yeu);

M®t t¾p loi, đóng trong không gian Banach phán xa E × R là đóng yeu Theo giá thiet và i) thì epi(ϕ) là loi đóng trong E × R, nên theo ii) nó là đóng yeu.

Do v¾y, theo ii) thì ϕ là núa liên tuc dưói yeu Do đó ϕ loi, b% ch¾n

Th¾t v¾y, theo đ%nh lí Riesz - Fréchet

ϕ(u) = (ku, u) , u ∈ E là núa liên tuc dưói yeu.

Lòi giái Th¾t v¾y, ta có khang đ%nh manh hơn là ϕ liên tuc yeu ⇒ ϕ

núa liên tuc dưói yeu Vì

2

ˆ

= (Ku n − Ku, u n ) − (Ku, u n − u)

|(Ku n − Ku, u n )| ≤ "Ku n − Ku" "u n "

≤ "Ku n − Ku" C → 0

Vói giá thiet, K là toán tú đoi xúng dương (không nhat thiet hoàn toàn liên tuc) thì phiem hàm ϕ(u) loi và núa liên tuc theo tôpô yeu ϕ(u)

núa liên tuc dưói yeu

Ví dn 2.3 Giá sú Ω ⊂ RN (N ≥ 1) là m®t mien b% ch¾n và F : Ω × R

→

R là hàm thóa mãn đieu ki¾n Carathéodory, túc là

i) F (., s) đo đưoc trên Ω, ∀ s ∈ R co đ%nh,

ii) F (x, ) liên tuc trên R, ∀ x ∈ Ω.

Khi đó, toán tú Nemytskii u(x) ›→ F (x, u(x)) liên ket vói F là hoàn toàn xác đ%nh trên không gian các hàm đo đưoc u : Ω → R ([24],

chương 2.2) Bây giò, xét vói giá thiet ve đ® tăng thích hop, như sau ∃

Nemytskii liên tuc tù không gian L P vào không gian L α ,vói p ≥ α ( theo

2.1.2 Úng dnng đoi vái bài toán Dirichlet phi tuyen

Xét phương trình Dirichlet phi tuyen sau

−∆u = f (x, u) x ∈ Ω,

M¾nh đe 2.1 Giá sú f : Ω × R → R là hàm Carathéodory thóa mãn

đieu ki¾n ve đ® tăng (f1) Khi đó F (x, s) = ¸ s f (x, τ )dτ, phiem hàm

0

hoàn toàn xác đ%nh và ϕ ∈ C1(H1, R) vói

ChNng minh Ta xét không gian Sobolev H1(Ω) vói "u" =

và nó thóa mãn đieu ki¾n (F1) trong Ví dn 2.3 Suy ra ψ : H1 → R

hoàn toàn xác đ%nh và núa liên tuc dưói

yeu Chúng minh tính khá vi cna ψ, giá sú u

Khi đó

δ(h) = ψ(u + h) − ψ(u) −