Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

Giải gần đạo hàm tích phân LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy giáo khoa Tốn - Những người giúp đỡ, chăm lo dìu dắt chúng em trưởng thành hôm Đặc biệt, em xin gửi lời cảm chân thành sâu sắc tới thầy: TS Nguyễn Văn Hùng - người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian em thực khóa luận Sinh viên Bùi Thị Cương Đại học Sư phạm Hà Nội Bùi Thị Cương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Bùi Thị Cương MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.3 B Sai số tính tốn sai số phương pháp ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 Đạo hàm 1.5 Tích phân CHƯƠNG 2.1 Mở đầu 10 2.2 Giải gần đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange 10 2.3 Giải gần đạo hàm nhờ đa thức nội suy với mốc cách 14 2.4 Giải gần đạo hàm nhờ áp dụng hàm nội suy Spline bậc ba 24 CHƯƠNG 28 3.1 Mở đầu 28 3.2 Cơng thức hình thang 29 3.3 Các công thức Parabol (Simpson) 33 3.4 Công thức Newton-Cotes 39 3.5 Công thức Chebyshev 42 3.6 Công thức Gauss 43 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo 46 CHƯƠNG 48 A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48 B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học bắt nguồn từ nhu cầu giải toàn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán ứng dụng Khi nói đến tốn ứng dụng khơng thể khơng nói đến giải tích số Giải tích số mơn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, tốn xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển giải tích số góp phần quan trọng tạo thuật giải toán thực tế như: Các tốn ngược lĩnh vực thăm dò, chuẩn đốn, nhận dạng… Ngày với phát triển tin học kiến thức giải tích số trở lên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính người ta đề suất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận… Vì vậy, với niềm u thích mơn giải tích số em lựa chọn đề tài cho khóa luận đề tài tốt nghiệp em là: “Tính gần đạo hàm tích phân” Khóa luận gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Giải gần đạo hàm Chương 3: Giải gần tích phân Chương 4: Bài tập Đại học Sư phạm Hà Nội -1- Bùi Thị Cương CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần - sai số tương đối sai số tuyệt đối Ta gọi x số gần x* x không sai khác nhiều so với x* hiệu số Δ = | x*- x | gọi số thực x khơng biết giá trị x* nên xác định ∆ Mặt khác ta tìm số ∆≥0 cho | x*- x | Δx Khi đó: Δx gọi sai số tuyệt đối x   x= x x đươc gọi sai số tương đối x Suy Δx=|x|.x công thức thể mối liên hệ giửa sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn a, Hiện tượng quy tròn số Khi gặp chữ số có nhiều số đáng nghi, người ta bỏ vài chữ số cuối, việc làm gọi quy tròn số Mỗi quy tròn số, ta tạo sai số gọi sai số quy tròn tuyệt đối b, Sai số quy tròn tuyệt đối Gọi x số gần x* x’ số quy tròn x Thế số θx cho |x – x’| θx gọi sai số quy tròn x’ Vì |x* - x’ | | x* - x | + | x – x’ | Δx + θx nên ta thấy làm tròn số sai số tuyệt đối tăng thêm θx 1.1.3 Cách viết số gần a, Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số, ta kể chữ số từ chữ số khác khơng tính từ trái sang phải chữ số có nghĩa Chẳng hạn 1,46 có ba chữ số có nghĩa 0,0146 có ba chữ số có nghĩa 1;4;6 b, Chữ số đáng tin Mọi chữ số thập phân x biểu diễn dạng: p s x   s pq s 10 x Trong s số nguyên từ đến Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối Δx Thế s gọi chữ số hay chữ số đáng tin s chữ số đáng nghi x   x s 0.5.10   s 0.5.10 c, Cách viết số gần Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối Δx Thế có cách viết số gần x: Cách 1: x  x(1 x) x Cách 2: Viết theo quy ước chữ số có nghĩa x chữ số đáng tin 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu Xét hàm số u biến x y có dạng u = f (x,y) Cho biết sai số x; y Hãy lập cơng thức tính sai số u Ta kí hiệu: Δ1, Δ2, Δ3 số gia x; y; u dx, dy, du vi phân x; y; u Δx, Δy, Δu sai số tuyệt đối x; y; u Vì | x* - x| Δx nên ta có: |Δ1| Δx |Δ2| Δy Ta phải tìm Δu để có |Δ3| Δu 1.2.2 Sai số tổng u = x + y Ta có Δ3 = Δ1 + Δ2 suy Δ3 |Δ1| + |Δ2| nên Δ3 Δx + Δy Ta chọn Δx + y = Δx + Δy để có |Δ3| Δu Do ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối tổng bẳng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý:   x y Nếu u = x - y với x y dấu u = u = u xy Cho nên | x – y | bé sai số tương đối lớn Vì vậy, tính tốn người ta tìm cách để tránh phải trừ số gần 1.2.3 Sai số tích u = x.y Ta có Δ3 du = ydx + xdy yΔ1 + xΔ2 Suy |Δ3| |y| |Δ1| + |x| |Δ2| |y| Δx + |x|Δy Suy Δu = |y| Δx + |x|Δy  y  x  x y x  y Do u = u = = y x y x u Tức xy = x + y Vậy sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số tích Đặc biệt ta có n ( x ) = n x với n số nguyên dương x 1.2.4 Sai số thương u  , y 0 y Tương tự trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối thương tổng sai số tương đối số hạng: x   x y y 1.2.5 Công thức tổng quát n f Cho u = f (x1,x2,…,xn) ta có: u   x i i1 n x i f  x x i  u Suy    i1 i u u f (x1 , x2 , , xn ) 1.3 Sai số tính tốn sai số phương pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho tốn đơn giản giải thơng qua việc thực phép tính thơng thường tay hay máy tính điện tử Phương pháp thay toán phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Để giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thơng thường, ta ln phải quy tròn kết trung gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính tốn Sai số cuối tổng hợp loại sai số phương pháp sai số tính tốn Chú ý: Sai số tổng hợp cuối phần sai số phương pháp sai số tính tốn.Vì vậy, phải ý điều chỉnh cho sai số cuối nhỏ sai số cho phép B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 Đạo hàm 1.4.1 Đạo hàm điểm Cho hàm số y f (x) xác định khoảng (a,b) x0 (a,b) tồn lim giới hạn gọi đạo hàm hàm f (x) x giới hạn (hữu hạn)  f (x0 ) x0 x x0 số y  f (x) điểm x0 kí hiệu f '(x0 ) y '(x0 ) Tức f '(x0 ) lim f (x) f (x0 )  x x x0  x0 1.4.2 Đạo hàm phía lim Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải xx đạo hàm bên phải hàm số  f (x)  ta gọi giới hạn f (x0 ) x x0 y f (x) điểm x0 kí hiệu Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)  f '(x0 ) lim x x0  gọi đạo hàm bên trái hàm số y f (x)  f (x) f (x0 ) x x điểm x0 kí hiệu f '(x0 ) 1.4.3 Đạo hàm khoảng, đoạn Hàm số y f (x) gọi có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng Hàm số y f (x) gọi có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm x0 (a,b), có đạo hàm bên phải x = a, có đạo hàm bên trái x = b 1.4.4 Các quy tắc tính đạo hàm a Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u u(x), v  hàm số có đạo hàm điểm x thuộc v(x) khoảng xác định -0,795 -0,188 0,188 0,795 -0,832 -0,374 0,374 Bài toán dx  1 Giải gần tích phân: I x n=5 Giải 1 dx Ta có: I   ) 1  x f (x)  i xi theo phương pháp Chebyshev với  f (x )) ( f (x   2 11 x Trong 0,832 tính tốn tính theo bảng sau x i f (xi ) -0,832 xi 0,692224 -0,374 0,139876 0,139876 0,877288406 0 1,000 1,000 0,374 0,139876 0,139876 0,877288406 0,832 0,692224 1,692224 0,590938315 1,692224 0,590938315 Suy  3,936453444 Áp dụng công thức Chebyshev ta I=0,787290688 3.6 Cơng thức Gauss Ta tìm n số x1, x2, …, xn [-1,1] n số A1, A2,…, An cho n 1 i1 f (x)dx Ai f (xi ) với đa thức P(x) mà deg P(x) 2n 1 Nhận thấy công thức với đa thức P(x), deg P(x) 2n 2n-1 1 với đơn thức 1, x, x , …, x j Ta thay f(x1) x n i (j=0, 1,…, 2n-1) ta hệ sau  j 1 (1)  Ai xji i1  (3.12) j    j 0,1, , 2n 1 Đây hệ phương trình phi tuyến 2n phương trình 2n ẩn xi Ai(i=1,2,…, n) Xét n đa thức dạng f (x) x kn.L (x), k 0,1, , n 1 Ln(x) đa thức Legendre Vì bậc đa thức khơng vượt q (2n-1), nên ta có: 1 f (x)dx  n k x Ln (x)dx  Ai xi Ln (xi ),k 0,1, ,(n  1) k 1 1 i1 k n Theo tính chất đa thức Legendre ta có x k Ln (x)dx 0 1 n Suy ra: k Ai xi Ln (xi ) 0,k   i 0,1, , (n 1) Nếu chọn xi (i 1, 2, , n) (3.13) nghiệm đa thức Legendre Ln(x) (3.13) ln Theo tính chất hệ đa thức Legendre,các nghiệm thực, phân biệt thuộc vào khoảng (-1,1) Tìm xi ta tính Ai (I = 1, 2, …,n) từ n phương trình hệ phương trình (3.12) là: n  Ai xji i1  (1) j1 j    j 0,1, , (n 1) (3.14) Định thức hệ Vandermond D (x i x j ) 0 i j Vậy đa thức Ai xác định n Ai f (xi với xi nghiệm đa thức f (x)dx  i Tóm lại cơng thức  )   1 Legendre Ln (x) Ai tính từ hệ (3.14) gọi công thức Gauss Sau bảng yếu tố công thức Gauss với n= 1, 2, 3, n x1 A1 x2 A2 2 -0.577 0,577 -0,775 0,556 -0,861 0,348 -0,340 Bài toán 10 x3 A3 0,889 0,775 0,556 0,652 0,340 0,652 x4 A4 0,861 0,348 dx I  theo công thức Gauss với n=4 Giải gần tích phân 1 x Giải Ta lập bảng sau ( coi f (x)  )2 x i xi f (xi ) Ai Ai f (xi ) -0,861 0,574276655 0,348 0,199848275 -0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,861 0,574276655 0,348 0,199848275 Suy ra:  1,568574282 Áp dụng công thức Gauss ta I=1,568574282 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo Phương pháp Monte-Carlo phương páp giải toán cách sử dụng nhiều phép thử ngẫu nhiên Giả sử là miền giới nội R n f (x) hàm số xác định cần tính I f (x)dx  Coi n tích phân lớp lớp áp dụng cơng thức giải gần tích phân đa trình bày Cách thuận lợi miền lấy tích phân hình hộp Rn n khơng lớn Nếu n lớn miền phức tạp, người ta thường dùng phương pháp Monte- Carlo Giả sử x1 1 với I  f (x)dx , x = (x1 x2, …,xn) xác định i (x , , x ) x n  i (x1 , , i1 x ) 1 i i hàm số f(x) = f(x1, x2, …, xn) thỏa mãn f (x , , x ) 1 n  Xét M điểm k  P (x , , x đại k  k  ), k 1,2 , M Các tọa độ chúng n lượng ngẫu nhiên, độc lập, phân phối đền đoạn [0,1] Nếu k  ta tính f (Pk ) Nếu Pk ta đặt f (Pk ) 0 , sau  đặt: I M Với M đủ lớn xác suất lớn ta có I I M M f (Pk ) i1 Với 0,0 1, xác suất ta có tTrong  thỏa mãn  (t) I I M  e t 2 x dx  t ( f (x) I )2 dx M   2  Nhận xét Phương pháp Monte - Carlo có ưu điểm khơng phụ thuộc vào số lớp tích phân tính phức tạp miền lấy tích phân nên có nhiều áp dụng rộng rãi, nhiên tính xác khơng cao CHƯƠNG BÀI TẬP A GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Bài 1: Hàm số f(x) cho bảng x 0,05 0,2 0,35 0,5 0,65 y 0,100335 0,422793 0,842288 1,557407 3,602102 Tính f(0,62) , f’(0,11) Bài 2: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 y 0,540419 0,876058 1,063398 1,176005 1,249046 Tính f(0,71) , f’(0,71) Bài 3: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 y 0,298876 0,494807 0,685795 0,869931 1,045374 Tính f(0,2) , f’(0,49) Bài 4: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 y 0,393626 0,721484 1,197422 2,092571 5,041915 0,62 0,77 Tính f(0,17) , f’(0,53), f’’(0,53) Bài 5: Hàm số f(x) cho bảng x 0,17 0,32 y 0,808661 3,341350 0,47 -3,130383 -0.778660 -0,061671 Tính f(0,73), f’(0,21), f’’(0,21) Bài 6: Hàm số f(x) cho bảng x 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 y 0,4000 1,4848 2,6811 3,9983 5,4465 Tính y’ điểm 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1,2 Tính y’’ 0,8 ; 1,0 Bài 7: Hàm số f(x) cho bảng x 0,12 0,27 0,42 0,57 0,72 y 0,295520 0,624897 0,867423 0,989390 0,973848 Tính f(0,18) , f’(0,69) Bài 8: Hàm số f(x) cho bảng x -0,35 -0,1 0,15 0,4 0,65 y 0,387322 0,762616 1,501553 2,856482 5,821162 Tính f(-0,25) , f’(0,61), f’’(0,61) Bài 9: Hàm số f(x) cho bảng x 0,25 0,6 0,95 1,3 1,65 y 1,263565 1,753211 2,432601 3,375263 4,683217 Tính f(1,58) , f’(0,29), f’’(0,31) Bài 10: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 y 0,216281 0,43789 0,742991 1,142935 1,805534 Tính f(0,17) , f’(0,69), f’’(0,77) Bài 11: Cho f(x)=cosx [0,  ), f '  f '( '( ) 3 3 ] Hãy giải thích gần đạo hàm  , 3 nhờ Spline bậc với phân hoạch   3  ,  0,  2 B GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Bài 12 Tính tích phân sau phương pháp Simpson với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần cos 2x dx Bài 13 Bằng phương pháp hình thang,với việc chia đoạn [1;2] thành 10 phần x dx Tính cos Bài 14 Bằng cơng thức Simpson với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần Tính  cos x2dx Bài 15 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Newton-Cotes với n=6 dx  I 1 x Bài 16 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=4 1 x I  1 xdx Bài 17 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=5  2x ( I cos )dx x2 Bài 18 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Chebyshev với n=5  sin x I 0 ( Bài 19 Giải gần tích phân x )dx I ( x y 2 phương pháp )dxdy G Monte-Carlo, với G (x, y) (x y 1; x 0; y 0 Bài 20 Giải gần tích phân sin(xy) I  dxdy Đại học Sư phạm Hà Nội - 50 - Bùi Thị Cương phương pháp G xy Monte-Carlo, với G (x, y) (x  ) ( y  4 22  )   Đại học Sư phạm Hà Nội - 51 - Bùi Thị Cương KẾT LUẬN Trên em trình bày xong tồn khóa luận “Giải gần đạo hàm tích phân” Khóa luận cung cấp số phương pháp để giải đạo hàm tích phân cách nhanh chóng dễ dàng Cùng với ví dụ minh họa cụ thể chọn lọc kỹ lưỡng khóa luận giúp bạn đọc tiếp cận với mơn “Giải tích số” coi tài liệu tham khảo Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, phạm vi nghiên cứu tương đối rộng nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu xót Rất mong q thầy bạn đóng góp Một lần cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giang viên trường, cán thư viện nhà trường đặc biệt thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành xong đề tài Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phạm Kỳ Anh - Giải tích số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 1996 2, Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường - Giải Tích Số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 2000 3, Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường - Giáo trình giải tích số - NXB Giáo dục - 2000 4, Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính - NXB Giáo dục - 1998 5, Phan Văn Hạp, Hồng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh - Bài tập phương pháp tính - NXB Khoa Học Kỹ thuật Hà Nội - 1996 6, Hoàng Xuân Huấn - Giáo trình phương pháp số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 7, Dương Thủy Vỹ - Giáo trình phương pháp tính - NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội ... thức Gauss 43 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo 46 CHƯƠNG 48 A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48 B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50 LỜI NĨI ĐẦU... có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm x0 (a,b), có đạo hàm bên phải x = a, có đạo hàm bên trái x = b 1.4.4 Các quy tắc tính đạo hàm a Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u u(x), v  hàm. .. Đạo hàm cấp cao Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm điểm x (a,b) Khi hệ thức y f (x) xác định hàm số khoảng (a,b) Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y  gọi đạo hàm cấp hàm