Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

Giải gần đúng đạo hàm và tích phânLỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo cô giáo, em đã tiếp thu đ

Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian học tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được

sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo cô giáo, em đã tiếp thu đượcnhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầulàm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong khoaToán - Những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng em trưởng thànhnhư hôm nay

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ở chân thành và sâu sắc nhất tới thầy: TS Nguyễn Văn Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp

nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Sinh viên

Bùi Thị Cương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêutrong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứucủa bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Bùi Thị Cương

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 2

A. SAI SỐ 2

1.1 Số gần đúng và sai số 2

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp 5

B. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 6

1.4 Đạo hàm 6

1.5 Tích phân 8

CHƯƠNG 2 9

2.1 Mở đầu 10

2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange 10

2.3 Giải gần đúng đạo hàm nhờ đa thức nội suy với mốc cách đều 14

2.4 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng hàm nội suy Spline bậc ba 24

CHƯƠNG 3 28

3.1 Mở đầu 28

3.2 Công thức hình thang 29

3.3 Các công thức Parabol (Simpson) 33

3.4 Công thức Newton-Cotes 39

3.5 Công thức Chebyshev 42

3.6 Công thức Gauss 43

3.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte-Carlo 46

CHƯƠNG 4 48

A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48

B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 1 - Bùi Thị Cương

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toàn có nguồn gốc từthực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hailĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán ứng dụng Khi nói đến toán ứng dụngkhông thể không nói đến giải tích số

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng cácphương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu Sự ra đời vàphát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bàitoán thực tế như: Các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán,nhận dạng…

Ngày nay với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của giải tích sốcàng trở lên cần thiết Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóađang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của giải tích số Để tiết kiệm bộ nhớtrong máy tính người ta đề suất ra những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn,thưa như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…

Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn giải tích số em đã lựa chọn đề tài cho

khóa luận đề tài tốt nghiệp của em là: “Tính gần đúng đạo hàm và tích phân”

Khóa luận này gồm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Giải gần đúng đạo hàm

Chương 3: Giải gần đúng tích phân

Chương 4: Bài tập

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A SAI SỐ

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng - sai số tương đối và sai số tuyệt đối

Ta gọi x là số gần đúng của x* nếu x không sai khác nhiều so với x* hiệu

số Δ = | x*- x | được gọi là số thực của x vì không biết được giá trị đúng x*nên không thể xác định được ∆

Mặt khác ta có thể tìm được số ∆≥0 sao cho | x*- x | Δx Khi

đó: Δx được gọi là sai số tuyệt đối của x



x= x

x đươc gọi là sai số tương đối của xSuy ra Δx=|x|.x là công thức thể hiện được mối liên hệ giửa sai số tương đối và sai số tuyệt đối

1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn

a, Hiện tượng quy tròn số

Khi gặp một chữ số có quá nhiều số đáng nghi, người ta bỏ đi vài chữ số

ở cuối, việc làm đó gọi là quy tròn số

Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn tuyệtđối

b, Sai số quy tròn tuyệt đối

Gọi x là số gần đúng của x* và x’ là số quy tròn của x Thế thì số θx sao cho |x – x’| θx được gọi là sai số quy tròn của x’

Vì |x* - x’ | | x* - x | + | x – x’ | Δx + θx nên ta thấy khi làm tròn

số thì sai số tuyệt đối tăng thêm θx

1.1.3 Cách viết số gần đúng

a, Chữ số có nghĩa

Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kểcác chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải là chữ số cónghĩa

Xét hàm số u của 2 biến x và y có dạng u = f (x,y) Cho biết sai số về x;

y Hãy lập công thức tính sai số về u

Ta kí hiệu: Δ1, Δ2, Δ3 là các số gia của x; y; u

dx, dy, du là các vi phân của x; y; u

x

x

Δx, Δy, Δu là các sai số tuyệt đối của x;

Cho nên nếu | x – y | rất bé thì sai số tương đối là rất lớn Vì vậy, trong tínhtoán người ta tìm mọi cách để tránh phải trừ các số gần nhau

1.2.3 Sai số của tích u = x.y

Ta có Δ3 du = ydx + xdy yΔ1

+ xΔ2 Suy ra |Δ3| |y| |Δ1| + |x| |Δ2| |y|

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã cho bằngmột bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện các phéptính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử Phương pháp này thaybài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản được gọi là phương pháp gần đúng.Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường,

ta luôn phải quy tròn các kết quả trung gian Sai số tạo bởi tất cả các lần quytròn như vậy gọi là sai số tính toán

Sai số cuối cùng là tổng hợp của 2 loại sai số phương pháp và sai số tínhtoán

Chú ý:

Sai số tổng hợp cuối cùng của phần sai số phương pháp và sai số tínhtoán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai sốcho phép

x

B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1.4 Đạo hàm

1.4.1 Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a,b) và x0 (a,b)

nếu tồn tạigiới hạn (hữu hạn)

đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

Hàm số y f

(x)

được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm x0 (a,b), có đạo hàm bên phải x = a, có đạo hàm bên trái x = b

f (x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y được

gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số y f (x) và kí hiệu là y 

hoặc

f (x)

Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, cấp 4…

Cho hàm số f liên tục trên K và a; b là hai số bất kì thuộc K Nếu F

là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số

phân của f từ a đến b , và kí hiệu:

trên, f là hàm số dưới dấu tích phân,

và x là biến số lấy tích phân.

2.1 Mở đầu

Nguyên tắc chung để giải gần đúng đạo hàm của một hàm số y f (x)

làngười ta thay nó bởi hàm nội suy (thường là hàm đa thức

2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange

2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange

a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Vậy tồn tại duy nhất 1 đa thức với các điều kiện kể trên.

b, Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử

x i1 x i h,i 0,1, , (n 1); x0 a, x n b

Khi đó dùng phépđổi biến

Trong công thức (2.1) các hệ số

1nj .C j không phụ thuộc vào hàm số

f (x) , mốc nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong

Trước tiên ta tìm đa thức nội suy Lagrange của f

nhỏ vì nếu không thì sai

2.3 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy với mốc cách đều

Ta tìm đa thức nội suy

P n (x)

t(t 1) (t n 1) n!

Đây là công thức đa thức nội suy Newton tiến

2.3.2 Đa thức nội suy Newton lùi

2.3.3 Đa thức nội suy Gauss 1 tiến, 1 lùi

Giải sử  x0 ih,(i 0, 1, n) Ta tìm đa thức nội suy ở

 1 (x  x ) (x  x )(x x )(x x ) (x x ) (2n)!h 2n

2n y

Đây là công thức nội suy Gauss 1 tiến, 1 lùi

2.3.4 Đa thức nội suy Gauss 2 tiến, 1 lùi

Giải sử xi  x0 th,(i 0, 1, , n) Ta tìm đa thức nội suy

Nếu thay x lần lượt bởi x i (i 0,

thì

3  1

1) 

(2n 1)!

2n y

xét một trường hợp điển hình tính nhờ công thức

nội suy Newton tiến

Bài toán 4

Hàm số y f (x) được cho bởi bảng

y 0,100335 0,422793 0,842288 1,557407 3,602102Tính

Ta thấy các mốc nội suy cách đều nhau

0,77 -0,061671

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 20

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 21

Bài toán 6

1(22, 07819921 15,62019535) 1675, 484203

0, 0225

Hàm số y f (x) được cho bởi bảng

y 1,357846 1,657648 2,023644 2,470449 3,015905

Ta thấy các mốc nội suy cách đều nhau

x th) y  n1 t n2 1) t(t  n3 t(t 1)(t 2) 

y n4

t(t 1)(t 2)(t 3)

4!

4

Trước tiên ta lập bảng sai phân

Ta thấy các mốc nội suy cách đều nhau

0, 6515346 (4t3 18t2

22t 6)

4!

=0,500592565

Như đã biết, phương pháp nội suy bằng đa thức có một hạn chế căn bản

là nếu tăng mốc nội suy lên thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên, điềunày rất không thuận tiện trong viêc tính toán Nhằm khắc phục hạn chế đó,người ta đã đề xuất những giải pháp khác nhau, một trong những giải pháp là

nội suy hàm số y f (x) bằng các Spline đa thức.

Sau đây ta xét một vài khái niệm ban đầu về nội suy hàm số y



nhờ Spline đa thức bậc 3 nội suy

f (x)

Xét phân hoạch a x0 x1  x n1 x n b Một đa

thức bậc 3 trênđoạn [a,b] với phân hoạch

Bài toán đặt ra là tìm Spline đa thức bậc 3 nội suy thỏa mãn

S (x i ) yi ; S '(x i ) yi ',i 0,1, , n

1

i

[a,b] nên tại các xi (i=1, 2,…,(n-1) thì đạo hàm hai phía

bằng nhau Ta được 1 hệ gồm (n-1) phương trình với (n+1) ẩn là mi

2m 

6 (

Hệ (2.2) gồm (n+1) phương trình, (n+1) ẩn, ma trận hệ số có dạng đườngchéo trội Suy ra hệ số có duy nhất nghiệm là m= (m0, m1, , mn).

Thay các mi vừa tìm được vào S(x) ta được đa thức Spline S(x) thỏa mãnđiều kiện bài toán đặt ra

Từ đó ta được đa thức Spline S(x) trên từng đoạn nhỏ, chẳng hạn với

x [0, 

]2

cũng rất khó khăn.

Vì vậy, người ta chia [a,b] thành N khoảng nhỏ và trên mỗi khoảng nhỏ

này ta xấp xỉ hàm số f(x) bằng một đa thức Sau đó lấy tích phân trên từngkhoảng nhỏ cho mỗi đa thức tương ứng và tổng các tích phân tìm được là xấp

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 30

x i1

Đối với tích phân thứ i+1 ta có

Thay vào tích phân (3.1) ta được

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 31

Chia đoạn [1; 2] thành n=10 đoạn con bằng nhau, h=0,1 ta tính ra bảng

a ih, h  b a ,i 0,1, , 2n

Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay hàm

nội suy bậc hai P2(x)

Với tích phân thứ nhất ta có:

f 

xbằng một đã thức

h ( y 2i 4 y 2i2 y 2i2 )

3Thay vào tích phân cần tìm ta được

n2 4 y 2n1 y 2 n )]

3

Việc chia đoạn [0;1] thành n= 12 đoạn con bằng nhau ta tính ra bảng sau

x 3 sin 5 x2

2

0, 083333333 0,0520807160,166666666 0,2081659237

2

0,25 0,466844978

0,333333333 0,8226578660,416666666 1,261585566

0,583333333 2,2552156350,666666666 2,6885766

0,833333333 2,9590998080,916666666 2,588575718

0,10 0,990099009

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 40

a

b , x

2 

(3.8)

Đây là công thức parabol (đại phương)

Nhận xét

Khi n lớn, các hệ số Newton-Cotes khá phức tạp Vì vậy, ta nên chia

đoạn [0;1] thành một số phần bằng nhau Sau đó áp dụng công thức Cotes với n’ nhỏ hơn trên từng đoạn con

Newton-Bài toán 7

2 dx

0

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 41

theo công thức Newton-Cotes với

Tính toán được tiến hành theo bảng sau

theo công thức Newton-Cotes với

Tính toán được tiến hành theo bảng sau:

Áp dụng công thức Newton-Cotes ta được

Nhận thấy công thức trên đúng với mọi P(x),

khi công thức đúng với mọi đa thức 1, x, , x n

n x1 x2 x3 x4 x5

f (x)



11

đúng với mọi đa thức P(x) mà deg P(x) 2n 1.

Nhận thấy công thức trên đúng với mọi đa thức P(x),

khi và chỉ khi nó đúng với mọi đơn thức 1, x, x2, …, x2n-1

là các nghiệm của đa thức Legendre Ln(x) thì

(3.13) luôn đúng Theo tính chất của hệ đa thức Legendre,các nghiệm của nó

là thực, phân biệt và thuộc vào khoảng (-1,1)

Định thức của hệ này là Vandermond D (x i x j ) 0

 1

và các Ai được tính từ hệ (3.14) được gọi là công thức Gauss

Sau đây là bảng các yếu tố của công thức Gauss với n= 1, 2, 3, 4

Suy ra: 1,568574282

Áp dụng công thức Gauss ta được I=1,568574282

3.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte-Carlo

Phương pháp Monte-Carlo là phương páp giải bài toán bằng cách sử dụng nhiều phép thử ngẫu nhiên

Giả sử là một miền giới nội trong

Coi đây là n tích phân một lớp và cứ mỗi lớp có thể áp dụng một trong

những công thức giải gần đúng tích phân đa trình bày ở trên Cách này chỉ

thuận lợi khi miền lấy tích phân là hình hộp trong R n

Nhận xét

Phương pháp Monte - Carlo có ưu điểm là không phụ thuộc vào số lớptích phân và tính phức tạp của miền lấy tích phân nên có nhiều áp dụng rộngrãi, tuy nhiên tính chính xác không cao

CHƯƠNG 4 BÀI TẬP

Bài 11: Cho f(x)=cosx trên [0, 3

] Hãy giải thích gần đúng đạo hàm 2

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 50

Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 51

KẾT LUẬN

Trên đây em đã trình bày xong toàn bộ khóa luận của mình đó là “Giải gần đúng đạo hàm và tích phân”.

Khóa luận này đã cung cấp một số phương pháp để có thể giải đạo hàm

và tích phân một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn Cùng với các ví dụ minhhọa cụ thể và được chọn lọc kỹ lưỡng khóa luận này sẽ giúp bạn đọc tiếp cận

hơn với bộ môn “Giải tích số” và có thể coi đây như một tài liệu tham khảo

Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu còn hạn chế, phạm vi nghiên cứu tươngđối rộng nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót Rất mong được quýthầy cô và các bạn đóng góp

Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô là giangviên trong trường, các cán bộ trong thư viện nhà trường và đặc biệt là thầy

giáo TS.Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành

xong đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1, Phạm Kỳ Anh - Giải tích số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 1996

2, Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường - Giải Tích Số - NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội – 2000

3, Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường - Giáo trình giải tích số - NXB Giáo dục - 2000

4, Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính - NXB Giáo dục - 1998

5, Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh - Bài tập phương

pháp tính - NXB Khoa Học và Kỹ thuật Hà Nội - 1996

6, Hoàng Xuân Huấn - Giáo trình các phương pháp số - NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội

7, Dương Thủy Vỹ - Giáo trình phương pháp tính - NXB Khoa Học và Kỹ

Thuật Hà Nội