Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

Giải gần đạo hàm tích phân LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo cô giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Những người giúp đỡ, chăm lo dìu dắt chúng em trưởng thành hôm Đặc biệt, em xin gửi lời cảm chân thành sâu sắc tới thầy: TS Nguyễn Văn Hùng - người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian em thực khóa luận Sinh viên Bùi Thị Cương Đại học Sư phạm Hà Nội Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Bùi Thị Cương Đại học Sư phạm Hà Nội Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.3 Sai số tính toán sai số phương pháp B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 Đạo hàm 1.5 Tích phân CHƯƠNG 2.1 Mở đầu 10 2.2 Giải gần đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange 10 2.3 Giải gần đạo hàm nhờ đa thức nội suy với mốc cách 14 2.4 Giải gần đạo hàm nhờ áp dụng hàm nội suy Spline bậc ba 24 CHƯƠNG 28 3.1 Mở đầu 28 3.2 Công thức hình thang 29 3.3 Các công thức Parabol (Simpson) 33 3.4 Công thức Newton-Cotes 39 3.5 Công thức Chebyshev 42 3.6 Công thức Gauss 43 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo 46 CHƯƠNG 48 A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48 B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50 Đại học Sư phạm Hà Nội Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân LỜI NÓI ĐẦU Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toàn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán ứng dụng Khi nói đến toán ứng dụng không nói đến giải tích số Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển giải tích số góp phần quan trọng tạo thuật giải toán thực tế như: Các toán ngược lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng… Ngày với phát triển tin học kiến thức giải tích số trở lên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính người ta đề suất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận… Vì vậy, với niềm yêu thích môn giải tích số em lựa chọn đề tài cho khóa luận đề tài tốt nghiệp em là: “Tính gần đạo hàm tích phân” Khóa luận gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Giải gần đạo hàm Chương 3: Giải gần tích phân Chương 4: Bài tập Đại học Sư phạm Hà Nội -1- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần - sai số tương đối sai số tuyệt đối Ta gọi x số gần x* x không sai khác nhiều so với x* hiệu số Δ = | x*- x | gọi số thực x giá trị x* nên xác định ∆ Mặt khác ta tìm số ∆≥0 cho | x*- x |  Δx Khi đó: Δx gọi sai số tuyệt đối x x= x đươc gọi sai số tương đối x x Suy Δx=|x|.x công thức thể mối liên hệ giửa sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn a, Hiện tượng quy tròn số Khi gặp chữ số có nhiều số đáng nghi, người ta bỏ vài chữ số cuối, việc làm gọi quy tròn số Mỗi quy tròn số, ta tạo sai số gọi sai số quy tròn tuyệt đối b, Sai số quy tròn tuyệt đối Gọi x số gần x* x’ số quy tròn x Thế số θx cho |x – x’|  θx gọi sai số quy tròn x’ Vì |x* - x’ |  | x* - x | + | x – x’ |  Δx + θx nên ta thấy làm tròn số sai số tuyệt đối tăng thêm θx Đại học Sư phạm Hà Nội -2- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 1.1.3 Cách viết số gần a, Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số, ta kể chữ số từ chữ số khác không tính từ trái sang phải chữ số có nghĩa Chẳng hạn 1,46 có ba chữ số có nghĩa 0,0146 có ba chữ số có nghĩa 1;4;6 b, Chữ số đáng tin Mọi chữ số thập phân x biểu diễn dạng: p x    s  p  q  s 10s x Trong s số nguyên từ đến Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối Δx Thế s gọi chữ số hay chữ số đáng tin  x  0.5.10s  x  0.5.10s s chữ số đáng nghi c, Cách viết số gần Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối Δx Thế có cách viết số gần x: Cách 1: x   x x(1  x) Cách 2: Viết theo quy ước chữ số có nghĩa x chữ số đáng tin 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu Xét hàm số u biến x y có dạng u = f (x,y) Cho biết sai số x; y Hãy lập công thức tính sai số u Ta kí hiệu: Δ1, Δ2, Δ3 số gia x; y; u dx, dy, du vi phân x; y; u Đại học Sư phạm Hà Nội -3- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Δx, Δy, Δu sai số tuyệt đối x; y; u Vì | x* - x|  Δx nên ta có: |Δ1|  Δx |Δ2|  Δy Ta phải tìm Δu để có |Δ3|  Δu 1.2.2 Sai số tổng u = x + y Ta có Δ3 = Δ1 + Δ2 suy Δ3  |Δ1| + |Δ2| nên Δ3  Δx + Δy Ta chọn Δx + y = Δx + Δy để có |Δ3|  Δu Do ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối tổng bẳng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý: Nếu u = x - y với x y dấu u = u  x   y = u x y Cho nên | x – y | bé sai số tương đối lớn Vì vậy, tính toán người ta tìm cách để tránh phải trừ số gần 1.2.3 Sai số tích u = x.y Ta có Δ3  du = ydx + xdy  yΔ1 + xΔ2 Suy |Δ3|  |y| |Δ1| + |x| |Δ2|  |y| Δx + |x|Δy Suy Δu = |y| Δx + |x|Δy Do u = Tức  y x  x  y  u = = x y x y u x y xy = x + y Vậy sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số tích Đặc biệt ta có ( xn ) = n x với n số nguyên dương Đại học Sư phạm Hà Nội -4- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 1.2.4 Sai số thương u  x ,y 0 y Tương tự trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối thương tổng sai số tương đối số hạng:  x   x   y y 1.2.5 Công thức tổng quát n Cho u = f (x1,x2,…,xn) ta có:  u   i 1 n f x xi i f  x  xi u i 1 i Suy  u   u f ( x1 , x2 , , xn ) 1.3 Sai số tính toán sai số phương pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho toán đơn giản giải thông qua việc thực phép tính thông thường tay hay máy tính điện tử Phương pháp thay toán phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Để giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thông thường, ta phải quy tròn kết trung gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính toán Sai số cuối tổng hợp loại sai số phương pháp sai số tính toán Chú ý: Sai số tổng hợp cuối phần sai số phương pháp sai số tính toán.Vì vậy, phải ý điều chỉnh cho sai số cuối nhỏ sai số cho phép Đại học Sư phạm Hà Nội -5- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 Đạo hàm 1.4.1 Đạo hàm điểm Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng (a,b) x0  (a,b) tồn giới hạn (hữu hạn) lim x x0 f ( x)  f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm hàm x  x0 số y  f ( x) điểm x0 kí hiệu f '( x0 ) y '( x0 ) Tức f '( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 1.4.2 Đạo hàm phía Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) ta gọi giới hạn x  x0 đạo hàm bên phải hàm số y  f ( x) điểm x0 kí hiệu f '( x0  ) Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) lim x x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 gọi đạo hàm bên trái hàm số y  f ( x) điểm x0 kí hiệu f '( x0  ) 1.4.3 Đạo hàm khoảng, đoạn Hàm số y  f ( x) gọi có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng Hàm số y  f ( x) gọi có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm x0  (a,b), có đạo hàm bên phải x = a, có đạo hàm bên trái x = b 1.4.4 Các quy tắc tính đạo hàm a Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u  u ( x ), v  v ( x ) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Đại học Sư phạm Hà Nội -6- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân (u  v)  u  v Ta có:  u  vu  uv ,    v2 v  v  v( x)   (u  v )  u  v (uv)  uv  uv b Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số u  g ( x) có đạo hàm x ux  g ( x) hàm số y  f (u ) có đạo hàm u  g ( x) yu  f (u ) , hàm số hợp y  f [ g ( x )] có đạo hàm x y( x)  yu ux c Bảng đạo hàm số hàm sơ cấp (c)  ( c số) (sin x)  cos x ( x n )  n.x n-1 (cos x)   sin x  x   x  tan x    a   a ln a  cot x    x x  log x a   cos x sin x x ln a 1.4.5 Đạo hàm cấp cao Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm điểm x  ( a, b) Khi hệ thức y  f ( x) xác định hàm số khoảng ( a, b) Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y gọi đạo hàm cấp hàm số y  f ( x) kí hiệu y f ( x) Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, cấp 4… Đại học Sư phạm Hà Nội -7- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 0,15 0,97799511 0,20 0,961538461 0,25 0,94117647 0,30 0,917431192 0,35 0,890868596 0,40 0,862068965 0,45 0,831600831 0,5 0,800000000 0,55 0,767754318 0,60 0,735294117 0,65 0,702987687 0,70 0,671140939 0,75 0,640000000 0,80 0,60976097 0,85 0,580551523 0,90 0,552486187 0,95 0,525624178 1,0 0,500000000 Áp dụng công thức Simpson ta có dx  1 x h  [ y0  y20  2( y2  y4   y18 )  4( y1  y3   y19 )] = 0,7853977162 Đại học Sư phạm Hà Nội - 38 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 3.4 Công thức Newton-Cotes Nếu thay f ( x) đa thức nội suy Lagrange với mốc cách b Pn ( x)  Pn ( x0  th ) đặt I   P( x )dx ta có công thức Newton-Cotes a Cnj t (t  1) (t  n) n n j Vì Pn ( x0  th)  (1) f (x j )  n! (t  j ) j 0 t (t  1) (t  n) Cnj Nên ta có: I    (1) n j h f ( x j )dt n! (t  j ) j 0 n Nếu đặt Ai  Đặt H i  n n n ( 1) n  j t (t  1) (t  n) h. dt I   Ai f ( xi ) i!(n  i )! t i j 0 Ai ta có công thức ba b  n f ( x )dx  (b  a ) H i f ( xi ) (3.5) i 0 a Công thức (3.5) công thức Newton-Cotes, hệ số Hi hệ số Cotes Đặt N bội chung nhỏ mẫu số Hi 0  i  n  H i  b Suy  n f ( x )dx  (b  a) i 0 a Hˆ i f ( xi ) N Hˆ i N (3.6) Nhận thấy hệ số Cotes không phụ thuộc vào hàm số y= f(x) độ dài bước h, thường tính sẵn Dưới bảng hệ số Cotes, ứng với n=1, 2, 3, 4, 5, n Hˆ Hˆ 1 Hˆ Đại học Sư phạm Hà Nội H ˆ Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ N - 39 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 3 32 12 32 19 75 50 50 75 19 41 216 27 272 27 216 90 288 41 840 Xét trường hợp đặc biệt công thức Newton-Cotes a, Nếu n  1, x0  a, x1  b đa thức nội suy L1(x) có deg L1 ( x)  ta b có  f ( x)dx  a ba [ f (a )  f (b)] (3.7) Công thức gọi công thức hình thang (địa phương) b, Nếu n  2, x0  a, x1  ab , x2  b đa thức nội suy L2(x) có b deg L2 ( x)  ta có:  f ( x)dx  a ba b a [ f (a)  f   f (b)   (3.8) Đây công thức parabol (đại phương) Nhận xét Khi n lớn, hệ số Newton-Cotes phức tạp Vì vậy, ta nên chia đoạn [0;1] thành số phần Sau áp dụng công thức NewtonCotes với n’ nhỏ đoạn Bài toán dx theo công thức Newton-Cotes với 1 x Giải gần tích phân I   n=4 Giải Tính toán tiến hành theo bảng sau Đại học Sư phạm Hà Nội - 40 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân i xi yi Hˆ i yi Hˆ i 0 7,00 0,5 0,94117647 32 30,11764704 0,500 12 6,000 1,5 0,164948453 32 5,278350496 0,058823529 0,411764705 Suy   48,80776224 Áp dụng công thức Newton-Cotes ta được: I  48 ,80776224  1,084616939 90 Bài toán dx theo công thức Newton-Cotes với 1 x Giải gần tích phân I   n=6 Giải Tính toán tiến hành theo bảng sau: i xi yi Hˆ i yi Hˆ i 0 41 41 0,166666666 0,857142857 216 185,1428571 0,333333333 0,75 27 20,25 0,5 0,666666666 272 181,3333333 0,666666666 0,6 27 16,2 0,833333333 0,545454545 216 117,8181818 0,5 41 20,5 Suy   582,2443722 Đại học Sư phạm Hà Nội - 41 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Áp dụng công thức Newton-Cotes ta I 582,2443722  0,693148062 840 3.5 Công thức Chebyshev Ta tìm số B n số x1, x2, …, xn  [-1,1] cho công thức  n f ( x) dx   Bf ( xi ) (3.9) i 1 1 f ( x)  Pn ( x) với Pn(x) đa thức mà deg( Pn ( x))  n Công thức (3.9) gọi công thức Chebyshev Nhận thấy công thức với P(x), deg( P( x))  n công thức với đa thức 1, x, , x n Thay f ( x) ta có 2= n.B, từ ta có B  Chebyshev có dạng:  f ( x) dx  1 Vậy công thức n n  f ( xi ) n i 0 Ta thay f ( x) x, x2, …, xn ta có hệ phương trình phi tuyến  n k n(1  (1) k 1  xi  2(k  1)  i 1 k  1,2, , n  (3.11) Giải hệ (nếu có nghiệm) thay nghiệm vào công thức Chebyshev Dưới bảng hoành độ Chebyshev với giá trị n n x1 x2 -0,577 0,577 -0,707 Đại học Sư phạm Hà Nội x3 x4 x5 0,707 - 42 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân -0,795 -0,188 0,188 0,795 -0,832 -0,374 0,374 0,832 Bài toán dx theo phương pháp Chebyshev với 1 x Giải gần tích phân: I   n=5 Giải 1 dx Ta có: I    ( f ( x1 )   f ( x5 )) 2 1  x Trong f ( x)  i tính toán tính theo bảng sau  x2 xi xi  xi f ( xi ) -0,832 0,692224 1,692224 0,590938315 -0,374 0,139876 0,139876 0,877288406 0 1,000 1,000 0,374 0,139876 0,139876 0,877288406 0,832 0,692224 1,692224 0,590938315 Suy   3,936453444 Áp dụng công thức Chebyshev ta I=0,787290688 3.6 Công thức Gauss Ta tìm n số x1, x2, …, xn  [-1,1] n số A1, A2,…, An cho  1 n f ( x) dx   Ai f ( xi ) i 1 với đa thức P(x) mà deg P ( x)  2n  Đại học Sư phạm Hà Nội - 43 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Nhận thấy công thức với đa thức P(x), deg P ( x)  2n  với đơn thức 1, x, x2, …, x2n-1 Ta thay f(x1) xij (j=0, 1,…, 2n-1) ta hệ sau  n  ( 1) j 1 j A x   i i j 1  i 1  j  0,1, ,2n   (3.12) Đây hệ phương trình phi tuyến 2n phương trình 2n ẩn xi Ai(i=1,2,…, n) Xét n đa thức dạng f ( x)  x k Ln ( x), k  0,1, , n  Ln(x) đa thức Legendre Vì bậc đa thức không vượt (2n-1), nên ta có: 1 n k k i  f ( x)dx   x L ( x)dx   A x L ( x ), k  0,1, ,(n  1) n 1 1 i n i i 1 k Theo tính chất đa thức Legendre ta có  x L ( x)dx  k  n n 1 n Suy ra: k i  A x L ( x )  0, k  0,1, ,(n  1) i n i (3.13) i 1 Nếu chọn xi (i  1,2, , n) nghiệm đa thức Legendre Ln(x) (3.13) Theo tính chất hệ đa thức Legendre,các nghiệm thực, phân biệt thuộc vào khoảng (-1,1) Tìm xi ta tính Ai (I = 1, 2, …,n) từ n phương trình hệ phương trình (3.12) là:  n  (1) j 1 j A x   i i j 1  i 1  j  0,1, ,(n  1)  Đại học Sư phạm Hà Nội (3.14) - 44 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Định thức hệ Vandermond D   ( xi  x j )  i j Vậy đa thức Ai xác định Tóm lại công thức  f ( x)dx   n i 1 Ai f ( xi ) với xi nghiệm đa thức 1 Legendre Ln ( x) Ai tính từ hệ (3.14) gọi công thức Gauss Sau bảng yếu tố công thức Gauss với n= 1, 2, 3, n x1 A1 x2 A2 2 -0.577 x3 A3 0,577 -0,775 0,556 0,889 0,775 0,556 -0,861 0,348 -0,340 0,652 0,340 0,652 x4 A4 0,861 0,348 Bài toán 10 dx theo công thức Gauss với n=4 1  x Giải gần tích phân I   Giải Ta lập bảng sau ( coi f ( x)  Suy ra: )  x2 i xi f ( xi ) Ai Ai f ( xi ) -0,861 0,574276655 0,348 0,199848275 -0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,861 0,574276655 0,348 0,199848275   1,568574282 Đại học Sư phạm Hà Nội - 45 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Áp dụng công thức Gauss ta I=1,568574282 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo Phương pháp Monte-Carlo phương páp giải toán cách sử dụng nhiều phép thử ngẫu nhiên Giả sử  miền giới nội R n f ( x) hàm số xác định cần tính I   f ( x) dx  Coi n tích phân lớp lớp áp dụng công thức giải gần tích phân đa trình bày Cách thuận lợi miền lấy tích phân hình hộp R n n không lớn Nếu n lớn miền  phức tạp, người ta thường dùng phương pháp MonteCarlo Giả sử I   f ( x)dx , x = (x1 x2, …,xn)  xác định  x1  với  i  n   i ( x1 , , xi 1 )  xi   i ( x1 , , xi 1 )  hàm số f(x) = f(x1, x2, …, xn) thỏa mãn  f ( x1 , , xn )  Xét M điểm Pk ( x1 k  , , xn k  ), k  1,2 , M Các tọa độ chúng đại lượng ngẫu nhiên, độc lập, phân phối đền đoạn [0,1] Nếu k   ta tính f ( Pk ) M Nếu Pk   ta đặt f ( Pk )  , sau đặt: I M   f ( Pk ) i 1 Với M đủ lớn xác suất lớn ta có I M  I Với   0,0    1, xác suất  ta có I  I M   M  t2 ( f ( x)  I )   2 dx  Trong t thỏa mãn  (t )  2 Đại học Sư phạm Hà Nội t e  x2 dx  - 46 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân Nhận xét Phương pháp Monte - Carlo có ưu điểm không phụ thuộc vào số lớp tích phân tính phức tạp miền lấy tích phân nên có nhiều áp dụng rộng rãi, nhiên tính xác không cao Đại học Sư phạm Hà Nội - 47 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân CHƯƠNG BÀI TẬP A GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Bài 1: Hàm số f(x) cho bảng x 0,05 0,2 0,35 0,5 0,65 y 0,100335 0,422793 0,842288 1,557407 3,602102 Tính f(0,62) , f’(0,11) Bài 2: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 y 0,540419 0,876058 1,063398 1,176005 1,249046 Tính f(0,71) , f’(0,71) Bài 3: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 y 0,298876 0,494807 0,685795 0,869931 1,045374 Tính f(0,2) , f’(0,49) Bài 4: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 y 0,393626 0,721484 1,197422 2,092571 5,041915 0,62 0,77 Tính f(0,17) , f’(0,53), f’’(0,53) Bài 5: Hàm số f(x) cho bảng x 0,17 y 0,808661 0,32 0,47 3,341350 -3,130383 -0.778660 -0,061671 Tính f(0,73), f’(0,21), f’’(0,21) Bài 6: Hàm số f(x) cho bảng Đại học Sư phạm Hà Nội - 48 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân x 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 y 0,4000 1,4848 2,6811 3,9983 5,4465 Tính y’ điểm 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1,2 Tính y’’ 0,8 ; 1,0 Bài 7: Hàm số f(x) cho bảng x 0,12 0,27 0,42 0,57 0,72 y 0,295520 0,624897 0,867423 0,989390 0,973848 Tính f(0,18) , f’(0,69) Bài 8: Hàm số f(x) cho bảng x -0,35 -0,1 0,15 0,4 0,65 y 0,387322 0,762616 1,501553 2,856482 5,821162 Tính f(-0,25) , f’(0,61), f’’(0,61) Bài 9: Hàm số f(x) cho bảng x 0,25 0,6 0,95 1,3 1,65 y 1,263565 1,753211 2,432601 3,375263 4,683217 Tính f(1,58) , f’(0,29), f’’(0,31) Bài 10: Hàm số f(x) cho bảng x 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 y 0,216281 0,43789 0,742991 1,142935 1,805534 Tính f(0,17) , f’(0,69), f’’(0,77) Bài 11: Cho f(x)=cosx [0, 3 ] Hãy giải thích gần đạo hàm   3   3  f ' ( ), f ' ' ( ) nhờ Spline bậc với phân hoạch  0, ,  ,  3  2 Đại học Sư phạm Hà Nội - 49 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân B GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Bài 12 Tính tích phân sau phương pháp Simpson với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần  cos x dx Bài 13 Bằng phương pháp hình thang,với việc chia đoạn [1;2] thành 10 phần Tính  cos x dx Bài 14 Bằng công thức Simpson với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần Tính  cos x dx Bài 15 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Newton-Cotes với n=6 dx 1 x I  Bài 16 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=4  x4 dx 1 x I  Bài 17 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=5  2x I   cos( )dx  x2 Bài 18 Giải gần tích phân sau nhờ phương pháp Chebyshev với n=5  I  ( sin x )dx 1 x 2 Bài 19 Giải gần tích phân I   ( x  y ) dxdy phương pháp G Monte-Carlo, với G  ( x, y ) ( x  y  1; x  0; y  0 Bài 20 Giải gần tích phân I   G sin( xy ) dxdy phương pháp xy 1 1 Monte-Carlo, với G  ( x, y ) ( x  )  ( y  )   2 4 Đại học Sư phạm Hà Nội - 50 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân KẾT LUẬN Trên em trình bày xong toàn khóa luận “Giải gần đạo hàm tích phân” Khóa luận cung cấp số phương pháp để giải đạo hàm tích phân cách nhanh chóng dễ dàng Cùng với ví dụ minh họa cụ thể chọn lọc kỹ lưỡng khóa luận giúp bạn đọc tiếp cận với môn “Giải tích số” coi tài liệu tham khảo Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, phạm vi nghiên cứu tương đối rộng nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Rất mong quý thầy cô bạn đóng góp Một lần cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giang viên trường, cán thư viện nhà trường đặc biệt thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành xong đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Đại học Sư phạm Hà Nội - 51 - Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phạm Kỳ Anh - Giải tích số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 1996 2, Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường - Giải Tích Số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 2000 3, Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường - Giáo trình giải tích số - NXB Giáo dục - 2000 4, Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính - NXB Giáo dục - 1998 5, Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh - Bài tập phương pháp tính - NXB Khoa Học Kỹ thuật Hà Nội - 1996 6, Hoàng Xuân Huấn - Giáo trình phương pháp số - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 7, Dương Thủy Vỹ - Giáo trình phương pháp tính - NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội Đại học Sư phạm Hà Nội - 52 - Bùi Thị Cương [...].. .Giải gần đúng đạo hàm và tích phân Tổng quát: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp n  1 , kí hiệu là y  n1 hoặc f  n 1 ( x) với n  N , n  2 Nếu hàm số y  n1  f  n-1 ( x ) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f ( x) , kí hiệu là y  n  hoặc f   ( x) n Vậy f  n  ( x)   f ( n 1) ( x)  1.5 Tích phân 1.5.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục trên K và a;...   f ( x)dx   g ( x)dx a a b a b  k f ( x)dx  k  f ( x)dx với k  R a a CHƯƠNG 2 GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Đại học Sư phạm Hà Nội 2 -9- Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân 2.1 Mở đầu Nguyên tắc chung để giải gần đúng đạo hàm của một hàm số y  f ( x) là người ta thay nó bởi hàm nội suy (thường là hàm đa thức pn ( x) Sau đó lấy f ( x)  pn ( x), f ( x)  pn ( x) ở trên đoạn [a,b]... a; b là 2 cận tích phân, số a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f ( x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân 1.5.2 Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số f ; g liên tục trên K và a; b; c là 3 số bất kì thuộc K Đại học Sư phạm Hà Nội 2 -8- Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân Khi đó ta có: b  f ( x)dx  0 a b a  f ( x)dx    f (... 1 4 CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 3.1 Mở đầu Thông thường, nếu ta biết được nguyên hàm của hàm số f ( x) là F ( x) b thì tích phân S   f ( x )dx  F (b)  F ( a) Nếu F ( x) là một hàm có dạng phức a tạp thì việc tính F ( a) và F (b) cũng rất khó khăn Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 28 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân Vì vậy, người ta chia [a,b] thành N khoảng nhỏ và trên mỗi khoảng... giá trị của tích phân thì việc giải gần đúng tích phân này nhờ công thức hình thang sẽ cho sai số tương đối là 0,053% Bài toán 2 Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [0; 1] thành 10 phần bằng nhau 2 4 Tính:  cos x 2 dx 3 1 Giải Chia đoạn [1; 2] thành n=10 đoạn con bằng nhau, h=0,1 ta tính ra bảng sau Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 31 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân x 4 cos... trong những giải pháp là nội suy hàm số y  f ( x) bằng các Spline đa thức Sau đây ta xét một vài khái niệm ban đầu về nội suy hàm số y  f ( x) nhờ Spline đa thức bậc 3 nội suy Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 24 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân Xét phân hoạch a  x0  x1   xn 1  xn  b Một đa thức bậc 3 trên đoạn [a,b] với phân hoạch   đã cho là hàm số y = S(x) thỏa mãn 2 điều... mh  Tương tự như trên, thay x  xi và x  xi 1 ta có:    i  i i  và 6   hi  yi 1 mi 1hi    h 6   i   Thay vào S ( x ) i thì ta có: Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 25 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân mi m y mh y m h ( xi 1  x)3  i 1 ( x  xi )3  ( i  i i )( xi 1  x)  ( i 1  i 1 i )( x  xi ) 6hi 6hi hi 6 hi 6 Lấy đạo hàm ta có: S ( x) i S '( x) i  ... thuộc vào hàm số f ( x) , mốc nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính và nhược là nếu them mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu Nếu f ( x) là đa thức, deg f ( x)  n thì Pn ( x)  f ( x) Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 11 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân 2.2.2 Áp dụng Phương pháp chung Để giải. .. 0 x1 Vậy có:  f ( x)dx  h x0 t 1 t2 1 y  y1 y0 )  h[y0  y0 ]  h 0 t 0 2 2 2 y0  y1 2 Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - 29 - Bùi Thị Cương Giải gần đúng đạo hàm và tích phân xi 1 Đối với tích phân thứ i+1 ta có  f ( x)dx  h xi yi  yi 1 2 Thay vào tích phân (3.1) ta được b h  f ( x)dx  2 [( y 0  y1 )  ( y1  y2 )   ( yn 1  yn )] a b Nghĩa là I   f ( x)dx  I với a h I  [y0  yn... x) thì phần dư là R   ( x)  f   ( x)  Pn  ( x) k k k Việc giải gần đúng đạo hàm như vậy (nhất là đạo hàm cấp cao) kém chính xác 2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì Bài toán Cho xi   a, b  ; i  0,1, , n; xi  x j , i  j và yi  f ( xi ); i  0,1, , n Hãy xây dựng đa thức nội suy Pn ( ... GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Đại học Sư phạm Hà Nội -9- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân 2.1 Mở đầu Nguyên tắc chung để giải gần đạo hàm hàm số y  f ( x) người ta thay hàm nội suy (thường hàm. .. số cho phép Đại học Sư phạm Hà Nội -5- Bùi Thị Cương Giải gần đạo hàm tích phân B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 Đạo hàm 1.4.1 Đạo hàm điểm Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng (a,b) x0  (a,b) tồn... 3.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte-Carlo 46 CHƯƠNG 48 A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48 B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50 Đại học Sư phạm Hà Nội Bùi Thị Cương Giải