Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

Giải gần đúng đạo hàm và tích phân LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo cô giáo, em đã tiếp t

Trang 1

Giải gần đúng đạo hàm và tích phân

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian học tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được

sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng em trưởng thành như hôm nay

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ở chân thành và sâu sắc nhất tới thầy: TS

Nguyễn Văn Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp

nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Sinh viên

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn

Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Trang 3

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 2

A SAI SỐ 2

1.1 Số gần đúng và sai số 2

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp 5

B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 6

1.4 Đạo hàm 6

1.5 Tích phân 8

CHƯƠNG 2 9

2.1 Mở đầu 10

2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange 10

2.3 Giải gần đúng đạo hàm nhờ đa thức nội suy với mốc cách đều 14

2.4 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng hàm nội suy Spline bậc ba 24

CHƯƠNG 3 28

3.1 Mở đầu 28

3.2 Công thức hình thang 29

3.3 Các công thức Parabol (Simpson) 33

3.4 Công thức Newton-Cotes 39

3.5 Công thức Chebyshev 42

3.6 Công thức Gauss 43

3.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte-Carlo 46

CHƯƠNG 4 48

A.GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 48

B.GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 50

Trang 4

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toàn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán ứng dụng Khi nói đến toán ứng dụng không thể không nói đến giải tích số

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu Sự ra đời và phát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bài toán thực tế như: Các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng…

Ngày nay với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của giải tích số càng trở lên cần thiết Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của giải tích số Để tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính người ta đề suất ra những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…

Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn giải tích số em đã lựa chọn đề tài cho

khóa luận đề tài tốt nghiệp của em là: “Tính gần đúng đạo hàm và tích phân”

Khóa luận này gồm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Giải gần đúng đạo hàm

Chương 3: Giải gần đúng tích phân

Chương 4: Bài tập

Trang 5

1.1.1 Số gần đúng - sai số tương đối và sai số tuyệt đối

Ta gọi x là số gần đúng của x* nếu x không sai khác nhiều so với x* hiệu

số Δ = | x*- x | được gọi là số thực của x vì không biết được giá trị đúng x* nên không thể xác định được ∆

Mặt khác ta có thể tìm được số ∆≥0 sao cho | x*- x |  Δx Khi đó:

Δx được gọi là sai số tuyệt đối của x

x= x

x



đươc gọi là sai số tương đối của x

Suy ra Δx=|x|.x là công thức thể hiện được mối liên hệ giửa sai số tương đối

và sai số tuyệt đối

1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn

a, Hiện tượng quy tròn số

Khi gặp một chữ số có quá nhiều số đáng nghi, người ta bỏ đi vài chữ số

ở cuối, việc làm đó gọi là quy tròn số

Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn tuyệt đối

b, Sai số quy tròn tuyệt đối

cho |x – x’|  θx được gọi là sai số quy tròn của x’

Vì |x* - x’ |  | x* - x | + | x – x’ |  Δx + θx nên ta thấy khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm θx

Trang 6

Gọi x là số gần đúng của x* với sai số tuyệt đối Δx Thế thì s được gọi

là chữ số chắc hay chữ số đáng tin nếu  x 0.5.10s và nếu  x 0.5.10s thì

Xét hàm số u của 2 biến x và y có dạng u = f (x,y) Cho biết sai số về x;

y Hãy lập công thức tính sai số về u

Ta kí hiệu: Δ1, Δ2, Δ3 là các số gia của x; y; u

dx, dy, du là các vi phân của x; y; u

Trang 7

1.2.3 Sai số của tích u = x.y

Ta có Δ3  du = ydx + xdy  yΔ1 + xΔ2

Suy ra |Δ3|  |y| |Δ1| + |x| |Δ2|  |y| Δx + |x|Δy

Trang 8

1.2.4 Sai số của thương u x,y 0

y

Tương tự như trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của một

n

f x

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện các phép tính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử Phương pháp này thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản được gọi là phương pháp gần đúng Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường,

ta luôn phải quy tròn các kết quả trung gian Sai số tạo bởi tất cả các lần quy tròn như vậy gọi là sai số tính toán

Sai số cuối cùng là tổng hợp của 2 loại sai số phương pháp và sai số tính toán

Chú ý:

Sai số tổng hợp cuối cùng của phần sai số phương pháp và sai số tính toán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai số cho phép

Trang 9

B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1.4 Đạo hàm

1.4.1 Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng (a,b) và x0  (a,b) nếu tồn tại

giới hạn (hữu hạn)

0

0 0

số y f x( ) tại điểm x0 và kí hiệu là f x hoặc '( )0 y x Tức là '( )0

0

0 0

là đạo hàm bên phải của hàm số y f x( ) tại điểm x0 và kí hiệu là f x'( 0)

Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)

0

0 0

1.4.3 Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn

Hàm số y f x( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có

đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó

x = b

1.4.4 Các quy tắc tính đạo hàm

a Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử uu x( ), vv x( ) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc

khoảng xác định

Trang 10

Nếu hàm số y f x( ) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y được

gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số y f x( ) và kí hiệu là y hoặc f( )x

Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, cấp 4…

Trang 11

Tổng quát: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp n  , kí hiệu là 1 yn1

hoặc fn1( )x với nN n, 2 Nếu hàm số yn1  f n-1( )x có đạo hàm thì

đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f x , kí hiệu là ( ) y n hoặc

Cho hàm số f liên tục trên K và ; a b là hai số bất kì thuộc K Nếu F

là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b( )F a( ) được gọi là tích

phân của f từ a đến b , và kí hiệu:

b

b a a

Trang 12

Trang 13

2.1 Mở đầu

2.2 Giải gần đúng đạo hàm nhờ áp dụng đa thức nội suy Lagrange

2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange

a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Bài toán

Cho x ia b, ; i  0,1, , ; n x i x j ,  và i j y i  f x( ); i i  0,1, ,n Hãy xây dựng đa thức nội suy P x n( ) thỏa mãn:

Trang 14

vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange

0, , ,1 n

Vậy tồn tại duy nhất 1 đa thức với các điều kiện kể trên

b, Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Trang 15

2.2.2 Áp dụng

Phương pháp chung

Để giải gần đúng đạo hàm của hàm f x tại x là ( ) f x( ) ta có thể thay

Trang 16

Trang 17

Trang 18

Đây là công thức đa thức nội suy Newton tiến

2.3.2 Đa thức nội suy Newton lùi

Trang 19

2.3.3 Đa thức nội suy Gauss 1 tiến, 1 lùi

Giải sử x i x0 ih i,( 0, 1, n) Ta tìm đa thức nội suy ở dạng

n n

Đây là công thức nội suy Gauss 1 tiến, 1 lùi

2.3.4 Đa thức nội suy Gauss 2 tiến, 1 lùi

Giải sử x i x0th i,( 0, 1, , n) Ta tìm đa thức nội suy ở dạng

Trang 20

n n

y

n y

Sau đây ta xét một trường hợp điển hình tính f x( ), ( )f x với xx0

nhờ công thức nội suy Newton tiến

Trang 21

t h

Trang 22

Trang 23

t h

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Như đã biết, phương pháp nội suy bằng đa thức có một hạn chế căn bản

là nếu tăng mốc nội suy lên thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên, điều này rất không thuận tiện trong viêc tính toán Nhằm khắc phục hạn chế đó, người ta đã đề xuất những giải pháp khác nhau, một trong những giải pháp là nội suy hàm số y f x( ) bằng các Spline đa thức

Sau đây ta xét một vài khái niệm ban đầu về nội suy hàm sốy f x( )nhờ Spline đa thức bậc 3 nội suy

Trang 28

Xét phân hoạch ax0 x1 x n1x n  Một đa thức bậc 3 trên b

đoạn [a,b] với phân hoạch   đã cho là hàm số y = S(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau:

m h

Thay x = xi+1 thì có mi+1 = i h i hay i1

i i

m h

Trang 29

S x C nên tại các xi (i=1, 2,…,(n-1) thì đạo hàm hai phía

h a

Trang 30

Hệ (2.2) gồm (n+1) phương trình, (n+1) ẩn, ma trận hệ số có dạng đường chéo trội Suy ra hệ số có duy nhất nghiệm là m= (m0, m1, , mn)

điều kiện bài toán đặt ra

Cho ( )f x sinx trên [0, ]

Trang 31

Trang 32

Vì vậy, người ta chia [a,b] thành N khoảng nhỏ và trên mỗi khoảng nhỏ

này ta xấp xỉ hàm số f(x) bằng một đa thức Sau đó lấy tích phân trên từng khoảng nhỏ cho mỗi đa thức tương ứng và tổng các tích phân tìm được là xấp

Trang 33

Trang 34

Trang 35

2tan

Trang 36

Trang 37

Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay hàm f x bằng một đã thức  

nội suy bậc hai P2(x)

Trang 38

3cos

Trang 39

1 8

6 4 2 10

0 2

)]

(4)(

2[

3

1,07

Trang 40

1 10

4 2 12

0 2

)]

(4)

(2[

32

Trang 41

1 18

4 2 20

Trang 42

3.4 Công thức Newton-Cotes

Nếu thay f x bởi đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều ( )

)(

j t

C n

n t t

t th

!

)) (

1()(

n j

n

dt x f h j

t

C n

n t t

t I

0 0

)( )1()(

!

)) (

1(

j n n

i t

n t t

t h i n i

A

0

)) (

1( )!

(

)1(

a

x f H a b dx x f

0

)()

()

Đặt N là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số H i 0i  n thì

H a b dx x

Dưới đây là bảng hệ số Cotes, ứng với n=1, 2, 3, 4, 5, 6

Trang 43

Xét các trường hợp đặc biệt của công thức Newton-Cotes

a, Nếu n1,x0 a,x1 b còn đa thức nội suy là L1(x) có degL1(x)1 thì ta

b

a

b f a f a b dx

x

2)

Công thức trên gọi là công thức hình thang (địa phương)

b, Nếu n x0 a x1  ab,x2 b

2,

24)([6)

Đây là công thức parabol (đại phương)

Nhận xét

Khi n lớn, các hệ số Newton-Cotes khá phức tạp Vì vậy, ta nên chia

đoạn [0;1] thành một số phần bằng nhau Sau đó áp dụng công thức Cotes với n’ nhỏ hơn trên từng đoạn con

Newton-Bài toán 7

2

0 4

Trang 44

180776224,

48.90

Trang 45

Áp dụng công thức Newton-Cotes ta được

693148062,

02443722,

x

là đúng khi ( )f x P x n( ) với Pn(x) là đa thức mà deg(P n(x))n Công thức (3.9) gọi là công thức Chebyshev

Nhận thấy công thức trên đúng với mọi P(x), deg(P(x))n khi và chỉ

) (

2 )

Trang 46

2

1

5 1

(

1

i n

i

i f x A dx

x f

đúng với mọi đa thức P(x) mà degP(x) n2 1

Trang 47

khi và chỉ khi nó đúng với mọi đơn thức 1, x, x2, …, x2n-1

j n

j

i i i

là thực, phân biệt và thuộc vào khoảng (-1,1)

Tìm đượcx i ta tính được Ai (I = 1, 2, …,n) từ n phương trình đầu tiên

của hệ phương trình (3.12) là:

1

1 ( 1)1

j n

j

i i i

Trang 48

Legendre L x và các A n( ) i được tính từ hệ (3.14) được gọi là công thức Gauss Sau đây là bảng các yếu tố của công thức Gauss với n= 1, 2, 3, 4

1

dx I

Trang 49

Áp dụng công thức Gauss ta được I=1,568574282

3.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte-Carlo

Phương pháp Monte-Carlo là phương páp giải bài toán bằng cách sử dụng nhiều phép thử ngẫu nhiên

Giả sử  là một miền giới nội trong n

Coi đây là n tích phân một lớp và cứ mỗi lớp có thể áp dụng một trong

những công thức giải gần đúng tích phân đa trình bày ở trên Cách này chỉ

k( 1 , , ), 1,2 , Các tọa độ của chúng là những đại lượng ngẫu nhiên, độc lập, phân phối đền trên đoạn [0,1]

I

1

)(Với M đủ lớn và xác suất lớn ta có I M  I

Với  0,0 1, xác suất  ta có I I M  khi 

2

1)(

Trang 50

Nhận xét

Phương pháp Monte - Carlo có ưu điểm là không phụ thuộc vào số lớp tích phân và tính phức tạp của miền lấy tích phân nên có nhiều áp dụng rộng rãi, tuy nhiên tính chính xác không cao

Trang 51

CHƯƠNG 4 BÀI TẬP

Trang 52

Hãy giải thích gần đúng đạo hàm

)3

Trang 53

2cos

1 x

dx I

Bài 16 Giải gần đúng tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=4

 



1

0 6 4

1

dx x

x I

Bài 17 Giải gần đúng tích phân sau nhờ phương pháp Gauss với n=5

sin(



dx x

x I

Trang 54

KẾT LUẬN

Trên đây em đã trình bày xong toàn bộ khóa luận của mình đó là “Giải

gần đúng đạo hàm và tích phân”

Khóa luận này đã cung cấp một số phương pháp để có thể giải đạo hàm

và tích phân một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn Cùng với các ví dụ minh họa cụ thể và được chọn lọc kỹ lưỡng khóa luận này sẽ giúp bạn đọc tiếp cận

hơn với bộ môn “Giải tích số” và có thể coi đây như một tài liệu tham khảo

Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu còn hạn chế, phạm vi nghiên cứu tương đối rộng nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót Rất mong được quý thầy cô và các bạn đóng góp

Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô là giang viên trong trường, các cán bộ trong thư viện nhà trường và đặc biệt là thầy

giáo TS.Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành

xong đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	499,14 KB