Tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số.... Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số .... Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận..... Chương 1: Tích phân su

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC 

LỜI MỞ ĐẦU 1  

NỘI DUNG 3 

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3  

1.1. Tích phân suy rộng loại 1 3  

1.2. Tích phân suy rộng loại 2 22  

    Bài tập 34  

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 58  

2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số 58  

2.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số 61  

2.3. Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận 63  

    Bài tập 70  

KẾT LUẬN 89  

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90  

    Chương 1: Tích phân suy rộng

    Chương 2: Tích phân phụ thuộc tham số

  Qua đây  em  cũng xin được  bày tỏ lòng biết ơn  sâu sắc  của  mình  đến 

thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ 

    0 0

f x dx

   (2)  

+  Nếu  giới hạn  (2)   tồn  tại và  hữu  hạn  thì tích  phân  ( ) 

a

f x dx

   được gọi là hội tụ.  

+ Nếu giới hạn  (2)   không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân 

  cũng phân kì.  

 Chú ý: Nếu  tích  phân  suy  rộng  trên  các  khoảng   ,  a,  a,      hoặc  

     của  hàm ,    f x( )  hội  tụ  thì  ta  nói  hàm  f x( )  khả  tích  trên  các 

khoảng tương ứng. 

dx A

dx A

Ta cũng có:  2

dx B

1.1.2 Cách tính tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton - Leibniz

Giả  sử  f x   khả  tích  trên  đoạn ( ) a b , ,      ,  và b a F x   là  nguyên ( )

hàm của  ( )f x  trên khoảng a    ,   

Khi đó:  ( )      ( )  ( ) ( )

a a

1.1.3 Tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 1.1.3.1 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)  

  Giả sử  ( )f x là hàm số xác định trong khoảng a  ,    khả tích trong 

Giả sử f x  là hàm số xác định trong khoảng   a    khả tích trong ,   

mọi  đoạn  hữu  hạn a A,   ,  A  Khi  đó  tích  phân a ( ) 

trong khoảng a    Do đó nếu  F(A) là hàm số bị chặn trên thì sẽ tồn tại ,   

giới  hạn  hữu  hạn  lim ( )

( )iii   Nếu  k     và  tích  phân  ( ) 

Muốn  vậy,  ta  cần  thay  thế  vô  cùng  bé  (VCB)  hoặc  vô  cùng  lớn  (VCL)  khi 

x   Tuy  nhiên  cần  phải chú  ý  cả hai hàm  f x   và  ( )( ) g x   cùng  khả tích 

Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của tích phân  2 2

0

sin 

  hội tụ (Theo dấu hiệu Đirichlet). 

1.1.6 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Tích phân:  2

1( )       

+  Nếu  giới  hạn  (1)  tồn  tại  hữu  hạn  thì  tích  phân  suy  rộng  ( ) 



  có điểm kì dị x   1

1 1

1 0

lim       lim 2 1    21

( )      lim ( ) 

b b

   Tích phân 

1

2

1 1

dx x

dx I

dx I

b a

1.2.2 Cách tính tính phân suy rộng loại 2

Công thức Newton – Leibnitz

  Cho  f x( )khả  tích  trên a b,   ,   0  đủ  nhỏ,  điểm  kỳ  dị  tại b , 

Ví dụ18: Xét sự hội tụ của tích phân 

1

0

ln 

1.2.4 Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm

1 ( 1)

1 ( 1)

( )iii  Nếu  k    và tích phân  ( ) 

1 2

x

 



  hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 2)

Nhận xét: Để  xét sự  hội tụ  của tích phân  suy  rộng loại 2,  bằng dấu hiệu so 

sánh 2, ta cần xây dựng hàm  ( )g x  sao cho  lim ( ) 1

1.2.5 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

x dx

x

  hội tụ tuyệt đối nên hội tụ. 

BÀI TẬP

1 Tích phân suy rộng loại 1

Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

+  Kiểm tra tích phân đã cho có phải là tích phân suy rộng loại 1 không 

(tính liên tục của hàm  ( )f x  dưới dấu tích phân). 

+    Nếu  f x   liên tục, thử  so  sánh nó với  hàm trong các tích phân cơ ( )

bản  (thường  dùng  dấu  hiệu  so  sánh2,  bằng  phép  thay  các  VCB  hay  VCL 

1.1 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định nghĩa và công thức Newton – Leibnitz

1.1.1  1 2

1

1 

1.1.1  1 2

1

1 

1.1.2  2

5 10

dx I

t A

2 3

2

1lim

3 2

Vậy tích phân  2

5 10

dx I

1.2.4  4

dx I

m n

Ta  có: ex3  là  VCB  (khi x   ,  nhưng  không  thể  tìm  được  VCB )

tương  đương  nào  để  thay  thế.  Do  đó  không  thể  xác  định  được  hàm  g x  ( )

x x

x x

x

3 2

5 3

g x

x

 , 

3 2

5 3

1( )

1( )

Ta có:  lim sinx 0

m n

6 1

1

m n

 1

m n

  hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh2)

Chú ý: Dấu  hiệu  so  sánh  2  có  thể  áp  dụng  đối  với  hàm  âm.  Nếu  thay  điều 

1.3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng dấu hiệu Dirichlet hoặc Abel

+ Ta có:  ( )f x sinx có nguyên hàm bị chặn: 

  sinx     cos       cos cos    2

A

A a a

  (Theo dấu hiệu Abel)  

1.4 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định lý hội tụ tuyệt đối của tích phân suy rộng

  Chọn 

2

1( )

2 Tích phân suy rộng loại 2

2.1 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định nghĩa và công thức Newton – Leibnitz

dx I

24

t x

t x

dx I

3 2

dx I

dx I

Do e x 1   x khi x 0  

1 2

0 2

dx x

dx I

0 sin cos

dx I

0 sin cos

dx I



2 32 3

sin cos

dx I

0 sin cos

dx I



   với điểm kì dị x   0

0 sin cos

dx I

3

sin cos

dx I

2 2

   

2 32

3

sin cos

dx I

0 sin cos

dx I



2.3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Dùng định lý về sự hội tụ tuyệt đối

1 1 0

sin 3

 1

ln    11

x x

* Chú ý: Tích phân

0

dx I

0

dx I

x

 ,  2

1

dx I

x



   

+ Với    ta có 1 I  hội tụ nhưng 1 I  phân kì do đó  I phân kì.  2

+ Với    ta có 1 I1 phân kì nhưng I2 hội tụ do đó  I phân kì. 

+ Với    ta có 1 I  phân kì nhưng 1 I  hội tụ do đó  I phân kì. 2

  Vậy tích phân 

0

dx I

1

0

1 1

3 2 1 11 0

1 1

12 1

1 1

3

2 2

2

1( )

12

1

1 1

1 0

1 1

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

 

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số

2.1.1 Định nghĩa

  Cho  ( ,   )f x y  là một hàm số xác định với  xa b,   và y thuộc một tập 

hợp số  thực  Y nào  đó, sao  cho với  mỗi  y  cố  định  thuộc  Y hàm  f x y khả ( ,   )

Ví dụ 2: Cho 

1

2 0

Giả sử hàm  f x y  xác định trong hình chữ nhật ( ,   ) D  và  f x y  liên ( ,   )

tục  theo  xa b,     với  mỗi  y  cố  định  yc d,   .Hàm  f x y có  đạo  hàm ( ,   )

2.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số

0

lim ( ,   )  ( ,   ) 

y y

2.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận

2.3.2 Sự hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều

Khi  nghiên  cứu  chuỗi  hàm  chúng  ta  đã  gặp  khái  niệm  hội  tụ  đều  của 

Định lý 2.3.2.2.2 (Tiêu chuẩn Weirstrass)

  Giả sử tồn tại hàm  ( ) x  trong khoảng 0 a   sao cho: ,   

xy dx x

Giả  sử  f x y   là  hàm  số  xác  định  và  liên  tục  theo  biến  x,  với  mọi ( ,   )

x   và a yc d,   ,  có  đạo  hàm  riên  theo  biến  y  sao  cho  f x y( ,   )

y



 liên  tục theo hai biến  ( ,   )x y  trong miền a,       ,   c d. Hơn nữa: 

 

BÀI TẬP

1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số

1.1. Tính giới hạn : 

2 3 0 0

4

y y

dx x n

e x

2 2 0

a a

2

2 2 0

x dy x

       1       ln 1       ln 1

b

b a a

x dy x

.    ,  1, 2,3,

n x

2

n n

A x

  

x m A

x dx

1

ln 

a

x dx

0

sin x 

t

   liên  tục  trên khoảng ,  2. 

xt a

xt a

ln  

I x  x dx. Biết 

1 1 0

1 

1 0

m n

t dt t

m n

t dt t





  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass)

Vậy đạo hàm theo tham số  n  thỏa mãn với mỗi    cố định, tức là thỏa 0

  Mặc  dù  rất  cố  gắng  nhưng  do  kinh  nghiệm  của  bản  thân  em  còn  hạn 

chế nên  khóa  luận  khó  tránh khỏi  những  thiếu  sót.  Em  rất  mong  nhận  được 

TÀI LIỆU THAM KHẢO