Tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN   Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong  khoa Toán nói chung và trong tổ Giải tích nói riêng và các bạn sinh viên đã  giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.  Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tâm giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian  nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.   Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian  nghiên  cứu  có  hạn  nên khóa luận  không  tránh  khỏi  những  hạn  chế  và  thiếu  sót. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô  giáo và các bạn sinh viên.      Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012                           Sinh viên         Cao Thị Tung                          Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán   Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo   TS Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình  nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một  số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo.    Em xin  cam  đoan  khóa  luận này  là  kết  quả nghiên cứu  của  riêng  em.  Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà  khoa học với sự trân trọng và biết ơn.                        Hà Nội, tháng 05 năm 2012                 Sinh viên                      Cao Thị Tung Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán     Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC                         Trang LỜI MỞ ĐẦU 1  NỘI DUNG 3  CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3  1.1. Tích phân suy rộng loại 1 3  1.2. Tích phân suy rộng loại 2 22      Bài tập 34  CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 58  2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số 58  2.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số 61  2.3. Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận 63      Bài tập 70  KẾT LUẬN 89  TÀI LIỆU THAM KHẢO 90  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán   Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI MỞ ĐẦU     Toán học là ngành khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa  học khác. Trong đó Giải tích là bộ phận chiếm vị trí quan trọng trong Toán  học. Đã có rất nhiều nhà khoa học đi nghiên cứu và phát triển ngành Toán học  nói  chung  và  lĩnh  vực  Giải  tích  nói  riêng.  Không  chỉ  có  các  nhà  khoa  học  muốn nghiên cứu và tìm hiểu về Toán học mà còn rất nhiều sinh viên chuyên  ngành Toán cũng đam mê và ước muốn nghiên cứu Toán học.    Bản thân em cũng mong ước được nghiên cứu tìm hiểu và bồi dưỡng  thêm những tri thức liên quan đến Toán học nói chung và Giải tích nói riêng.  Trên cơ sở những kiến thức đã học, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo   TS Nguyễn Văn Hùng, cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tích  phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạnh dạn chọn đề  tài “Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số” nhằm nghiên cứu  một số kiến thức cơ bản như các tích chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân  suy  rộng  và  các  tính  chất,  các  dấu  hiệu  hội  tụ  đều  của  tích  phân  phụ  thuộc  tham số.    Được sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán nói chung  và trong tổ Giải tích nói riêng và đặc biệt là được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận  tình  của  thầy  giáo  TS Nguyễn Văn Hùng cùng  với  sự  cố  gắng  tìm  tòi  và  nghiên cứu của mình em đã hoàn thành đề tài nghiên cứu này.  Đề tài của em gồm ba phần: Lời mở đầu, nội dung, kết luận.    Phần nội dung gồm:       Chương 1: Tích phân suy rộng     Chương 2: Tích phân phụ thuộc tham số Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 1  Khóa luận tốt nghiệp   Trường ĐHSP Hà Nội Qua đây  em  cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của  mình đến  thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ  bảo cho em trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.    Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên  trong khoa  toán đã gúp đỡ  và đóng góp ý kiến  cho  em trong suốt  quá  trình  hoàn thành khóa luận của mình.    Do  lần  đầu  tiên  tiếp  xúc  với việc  nghiên cứu  khoa  học,  hơn  nữa  thời  gian nghiên cứu có hạn, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên khóa luận  không  tránh  khỏi  những  hạn  chế  và  thiếu  sót.  Em  rất  mong  nhận  được  sự  thông cảm của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên.                                                         Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 2  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG   1.1 Tích phân suy rộng loại 1.1.1 Định nghĩa   * Cho hàm số  f  :   a,       R  khả tích trên mọi đoạn   a,  A ,    ( A  a)   A Kí hiệu:    lim A   f ( x) dx       a f ( x) dx   a  Ta gọi   f ( x) dx  là tích phân suy rộng loại 1 của hàm  f ( x)  trong khoảng  a  a,        A Xét giới hạn:      lim A  f ( x) dx    (1)   a  + Nếu giới hạn  (1)  tồn tại và hữu hạn thì tích phân   f ( x) dx  được gọi  a là hội tụ.   + Nếu giới hạn  (1)  không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân    f ( x ) dx  được gọi là phân kì.  a  Ví dụ 1: Tính tích phân   e x dx   Với mọi số thực  b  , ta có:   Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 3  Khóa luận tốt nghiệp b Trường ĐHSP Hà Nội     e  x dx  =  e  x  b  = 1  e b    b  e x dx  =  lim  e x dx  =  lim (eb  1)    1     b b  Do đó:       x e dx   hội tụ  và   e x dx      Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng    sinx dx   Với mọi số thực  b  , ta có:   b b Tích phân  sinx dx        cos x        1  cos b  không có giới hạn khi  b       sinx dx  phân kì.   Do đó     * Tương tự nếu   f :   ,  a   R  khả tích trên mọi đoạn   B,  a  ,    ( B  a)   a Kí hiệu:       lim B a  f ( x) dx       B f ( x) dx     a Ta gọi   f ( x) dx  là tích phân suy rộng loại 1 của hàm  f ( x)  trong khoảng    ,  a    a Xét giới hạn:  lim B  f ( x) dx   (2)   B Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 4  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a +  Nếu  giới hạn  (2)  tồn tại và hữu  hạn thì tích  phân   f ( x ) dx   được   gọi là hội tụ.   + Nếu giới hạn  (2)   không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân  a  f ( x ) dx  được gọi là phân kì.   Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân   xe 3x dx    Với mọi số thực  b  , ta có:     0  1  3x 3x 3x xe dx  x   d ( e )  xe    e dx         b 3 b b b       0 1 1        be3b  e3 x      be3b   e3b   b 3 3     1        be3b  e3b    9 3x  Do đó:   xe 3x dx  lim xe b  b  3x 1  dx  lim   be3b  e3b       b  9 Vậy tích phân   3x xe dx  hội tụ và   3x xe dx       * Nếu   f :   ,       R  khả tích trên mọi đoạn   B,  A ,    B,  A   ,        A Kí hiệu:    lim    f ( x) dx       A B B Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán f ( x) dx    5  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Ta  gọi  f ( x ) dx   là  tích  phân  suy  rộng  loại  1  của  hàm  f ( x) trong  khoảng     ,        A Xét giới hạn:       lim  f ( x) dx   A B B (3)        + Nếu giới hạn  (3)  tồn tại và hữu hạn thì tích phân   f ( x ) dx  được gọi   là hội tụ.  + Nếu giới hạn  (3)  không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân    f ( x ) dx  được gọi là phân kì.   *  Cho  a  là số thực bất kì:   a  +  Nếu cả hai tích phân    f ( x ) dx   và  a a  f ( x ) dx  cùng hội tụ thì :     f ( x) dx       f ( x) dx       f ( x) dx  và  a  a  +  Nếu  một  trong  hai  tích  phân     f ( x) dx  hội tụ.    f ( x ) dx     và  a  f ( x ) dx   phân  kì  thì  tích    phân   f ( x) dx  cũng phân kì.     Chú ý: Nếu  tích  phân  suy  rộng  trên  các  khoảng     ,  a  ,    a,        hoặc    ,        của  hàm  f ( x)   hội  tụ  thì  ta  nói  hàm  f ( x)   khả  tích  trên  các  khoảng tương ứng.  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 6  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của tích phân   dx    x  x   dx dx Ta có:      x  x  x  x      1 Đặt  A  dx  x  x  ,  B   dx   x  2x    dx   x2  x  +  Xét  A  dx , với mọi số thực  b  , ta có:  x  x    A 1 dx dx dx  lim  lim  x2  x  b  x2  x  b   x  12     b b 1 x 1 b  1        lim  arc tan    lim  arc tan1  arc tan    b   b b         3               2  8 Do đó  A   + Xét  B   dx  hội tụ.   x  x    dx   x  2x  Tương tự:    B  dx  lim x  x  a   dx  lim x  x  a a  dx   x  12    1 x  1 a 1         lim  arc tan    lim  arc tan  arc tan1    a   a    1              2 2  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 7  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội y ln(1  xy )  dx  Tính  I ( y )  ?    x 2.2. Cho  I ( y )   Giải:   Ta có:  f ( x,  y )     ln(1  xy )   x x x f ( x,  y ) 1  xy           y  xy x2 Áp dụng định lý 2.2.2.2 ta có:   y  dx  f ( y,  y ).( y )  f (0, y ).(0)    xy   I ( y )   y   y 1 ln(1  y ) ln(1  y )    d ( xy )           ln  xy           y  xy y y y   ln(1  y ) 2ln(1  y )      ln(1  y )        y y y x y 2.3. Cho  I ( y )   sin( x  t  y ) dx  Tính  I ( y )  ?    x y Ta có:  f ( x,  y )     sin( x  t  y )     f ( x,  y )     -2y  cos( x  t  y )   y Áp dụng định lý 2.2.2.2 ta có:   Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 76  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội x y I ( y )   -2y  cos( x  t  y ) dx  f ( x  y ,  y ).( x  y )    x y  f ( x  y , y ).( x  y )   x y   - 2y  cos( x  t  y ) dx      sin ( x  y )  t  y   -   x y  -  sin ( x  y )  t  y    Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận  3.1 Chứng minh rẳng tích phân   n n    x2  e  dx, n  1,2,3, hội tụ đều.  x3 Giải  Với mọi  A0   ta có:     A0 n n    x2  e  dx  x3     n e 2x  A0         d (          e n x2 n )  x2      1  e    n A0    1 (khi n  +)   A0 Do đó, với     , tìm được  n0  đủ lớn sao cho:        A0 n0 n0    x2  e  dx  >     x3 Do đó:    0 (  1),  A  1,  A  A,  n0  sao cho:         A0 n0 n0    x2  e  dx  >     x3 Vậy tích phân đã cho không hội tụ đều.  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 77  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  3.2.  Chứng  minh  rằng  tích  phân  I ( y )   ye  xy  dx   hội  tụ  trên  khoảng   a,      nhưng không hội tụ đều trên khoảng   a,      , với  a    Giải:    Ta xét tích phân:   ye  xy  dy ,  b    b + Với  y   tích phân bằng 0, với mọi b.  + Với  y  , đổi biến:  Đặt  u  yx  ta có:       ye   xy  dy    b e u  dy     eby   by  Do  sup   y a ,     ye  xy b  dy      sup  e by     e ba    0  ya b nên tích phân đã cho hội tụ  trên   a,   , trong đó  a   nhỏ tùy ý.  Tích phân đã cho không hội tụ đều do:   sup   y 0  ye b  xy  dy      sup e by    ,  b    y 0   Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 78  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  3.3. Xét sự hội tụ đều của tích phân  y  e  yx  dx,  0  y      Giải  Đổi biến:  t  x y    dt  y  dx   x  t  Ta có:      x   t      Do đó ta có:    y  e  yx   dx    e t  dt   Mà ta lại có: Với  t  đủ lớn thì  e    và  t t  dt  t ,  a   hội tụ.  a y  e yx  dx  hội tụ với mọi  y       Với  B   bất kì, ta xét tích phân:        B y  e  yx   dx   et  dt    B y  Chọn     sao cho      et  dt    Với mọi  B   ta chọn  B0  B  và  y0  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán   B0 79  Khóa luận tốt nghiệp  Ta có:   y0  e  Trường ĐHSP Hà Nội  y0 x   dx  B0   e t   dt  B0 y0  Theo định nghĩa, tích phân    e t  dt      y  e yx  dx  hội tụ không đều theo  y  trong   khoảng  y     3.4. Xét sự hội tụ đều của tích phân     yx  e    dx ,   a  y  b    Giải  Đặt  m  max  a ,   b   Ta có:   2 2     e y  x   e xm   nếu  x   và  y   a,  b        e y  x   e xm   nếu  x   và  y   a,  b    Do tích phân   x m e    dx  và tích phân       x m   dx  hội tụ nên:  Với     cho trước, tồn tại  số  A0   sao cho:   A  A0 ,  A   A0 , ta có:         A  x m   dx   A  và    x  m  e  dx      Do đó:  A  A0 ,  A   A0  ta có:   Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 80  Khóa luận tốt nghiệp    e  y  x  Trường ĐHSP Hà Nội A  dx    e A  dx  =    e A  A    y  x          dx     x m   dx  A      yx  e    dx   A   xm e    dx  Theo định nghĩa, tích phân   y  x       ,  y   a,  b     yx  e    dx  hội tụ đều theo  y   a,  b     3.5. Xét sự hội tụ đều của tích phân sau:    I ( y)   sin xy  dx ,  a    a2  x2 Giải: Ta có:   Mà  sin xy ,  x  0,  y  R        a2  x2 a2  x2  a  x  dx  hội tụ nên  I ( y)  hội tụ đều (Dấu hiệuWeirstrass).   3.6. Xét sự hội tụ đều của tích phân   ln a x  dx ,    a  10    x x Giải   10 ln a x ln10 x ln10 x  40  Ta có:  , khi  x             4          4 x x x x x x x  e  x x  Mà ta lại có:   1    dx  hội tụ      1    x x  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 81  Khóa luận tốt nghiệp  Do đó tích phân   Trường ĐHSP Hà Nội ln a x  dx  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass) x x  3.7. Xét sự hội tụ đều của tích phân  I ( x)  e  xy  y   cos y  dy , (  0)   Giải   + Ta có:  x  x0  :   e  xy y cos y     e  x0 y y    + Mà ta lại có:  I ( x)  e  x0 y  y  dx  hội tụ vì:       1:   lim y   e x0 y     0     y  Do đó  I ( x)  hội tụ đều  x  x0   (Tiêu chuẩn Weirstrass).  3.8. Xét sự hội tụ đều của tích phân sau:    I  sin xy  dx  trên  Y   y0 ,      với  y0    x Giải Đặt  f ( x,  y )     sin xy ,   ( x,  y )     b   x b + Ta có:   f ( x,  y ) dx       sin xy  dx       +   ( x,  y )  1  sin by       , với  b    y y0  hội tụ đều đến 0 khi  x     x Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 82  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Do đó: tích phân  I   sin xy  dx  hội tụ đều trên  Y   y0 ,      ,  y0    x (Theo tiêu chuẩn Dirichlet)  3.9. Xét sự hội tụ đều của tích phân  I   x sin xy  dx ,   y  y0     k  x2 Giải:   Ta đặt:  f ( x,  y )  sin xy   A A 1   cos Ay + Ta có:   sin xy  dx       coxy              y y0  y  0 + Hàm   ( x,  y )  x  hội tụ đều đến 0, khi  x     k  x2  Do đó: Tích phân  I   x sin xy  dx  hội tụ đều theo  y   y0 ,        k  x2 (Theo tiêu chuẩn Dirichlet)  3.10. Xét sự hội tụ đều của tích phân   1  dx ,   a     a  x x 1  x      Giải    Ta có:  x3 x  Mà tích phân         x2  dx  hội tụ  x2 Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 83  Khóa luận tốt nghiệp       x x Trường ĐHSP Hà Nội dx  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass)  Hơn nữa ta cũng có:   ( x,  a )  2(1       ( x,  a)      2(1   Do đó tích phân   x3 3.11. Chứng tỏ  I ( y )   a x2 ) a x2 )  bị chặn đều:        ,  x  1,      ,  a     dx  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Dirichlet).     x 1  x      y x  dx  là hàm liên tục trên khoảng   ,  2    y sin x Giải:   1 Đổi biến : Đặt  x       dx      dt   t t Đổi cận:    x  t       x  t       Ta có:   I ( y )   sin yt  dt   t 2 y  + Giả sử:    y  Khi đó, ta có:      sin yt t 2 y    t2   Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 84  Khóa luận tốt nghiệp  Do   t Trường ĐHSP Hà Nội   dt  hội tụ   I ( y )   y sin sin yt  dt   liên  tục.  Tức  là  I ( y )   y x  dx   liên  tục  trên  2 y t x  Do  đó  I ( y )  sin yt  dt  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass).  t 2 y  khoảng   ,  2    + Giả sử:   y    ,        A Ta có:   sin yt  dt          4   y Với  y  cố định hàm  t 2 y  hội tụ đều về   khi  t      Do đó: Tích phân  I ( y )   1 sin  Tức là  I ( y )   xy Vây  I ( y )   sin yt  dt  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Dirichlet)  t 2 y y x  dx  liên tục trên khoảng   ,  2    y x  dx  liên tục trên khoảng   ,  2    y sin x 3.12. Dùng phương pháp đạo hàm dưới dấu tích phân để tính tích phân sau:        I   pt t e  dt , biết  e  pt  dt  , ( p  0)    p     Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 85  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giải   + Ta có:  I ( p)  e  pt  dt  ,  ( p  0)   p       f ( p, t )  e  pt  thỏa mãn điều kiện định lý 2.3.3.3    Do đó ta lấy đạo hàm hai vế  1  theo p, ta được:        I ( p )     te  pt  dt     p2       (1)       (2)   + Tương tự: Ta lấy đạo hàm hai vế     theo p, ta được:        I ( p )     pt t e  dt  p 3    Vậy   pt t e  dt  p 3   3.13. Dùng phương pháp tích phân dưới dấu tích phân để tính tích phân sau:     ax   I    e  e bx sin mx  dx, ( a,  b  0)   x Giải   ax + Ta có:  I  e  e bx sin mx  dx   x   (1)     (2)   b eax  ebx   e xt dt ,  ( x  0)     + Do   x a   Thay     vào  1  ta được:     ax     I  e  ebx sin mx  dx  x   b    e a  xt  sin mx  dt  dx     f ( x, t )  e  xt sin mx   thỏa mãn định lý 2.3.2.3  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 86  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do đó ta có:       I   b  b    xt  xt e sin mx   dt dx  dt      e sin mx  dx   a a  b          e  a     xt  t sin mt  m cos mt      t  m2  b  m   dt    dt    t  m a  b   t m m     arctan    arctan      arctan   m a a b   1 3.14. Tính tích phân  I   x n 1 m ln x  dx  Biết   x n1  dx  0 ,   n     n Giải:   1 Ta có:   x n1  dx     n (1)   Đặt  f ( x,  n)    x n1    Ta có :   ( m) f ( x,  n)     x n1 ln m x   n Đạo hàm cả hai vế  (1) ,  m  lần theo tham số  n  ta được:      ( m ) f ( x,  n) 1  n  dx       n    n 1 m m  x ln x  dx  (1)  m   m!   n m1 hay  I   x n1 ln m x  dx  (1) m m!   n m1 Ta chứng tỏ đạo hàm bội m dưới dấu tích phân là hợp lý.      Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 87  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Thật vậy:  Đổi biến:  x  ,   t    Khi đó:  t    n 1 x  dx       dt t n1  , I  (1) m  ln m t  dt   t n1 Do  t  n1  và  t  n1 ln m t  là các hàm liên tục trong miền     n   ,   t     Mà tích phân   x n1  dx  hội tụ.   Ta chứng minh   Do  ln m t Mà  m ln m t ln m t  2m         1                 1 1 t e   t2 t t t n1    t 1 ln m t  dt  hội tụ đều trên     n     t n1   dt  hội tụ nên   ln m t  dt  hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass) t n1 Vậy đạo hàm theo tham số  n    thỏa mãn với mỗi     cố định, tức là thỏa  mãn khi  n                  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 88  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN   Toán học rất đa dạng và phong phú, mỗi một vấn đề đều có thể đi sâu  và nghiên cứu từng khía cạnh nhỏ. Kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng  và tích phân phụ thuộc tham  còn rất nhiều điều lý thú và  mới  mẻ cần  được  nghiên cứu. Tuy nhiên do điều kiện thời gian có hạn và năng lực của bản thân  còn hạn chế nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản  sau:  1. Các tính chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng.Tương ứng  lý thuyết là các bài tập áp dụng xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng cách  tính tích phân hoặc sử dụng các dấu hiệu hội tụ.  2. Các tính chất, các dấu hiệu hội tụ đều của tích phân phụ thuộc tham  số.Tương ứng lý thuyết là các bài tập áp dụng sử dụng các tính chất liên tục,  khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số và các bài toán xét sự hội tụ  đều của tích phân phụ thuộc tham số dựa vào các dấu hiệu hội tụ đều.    Mặc  dù  rất  cố  gắng  nhưng do  kinh  nghiệm  của  bản  thân  em  còn  hạn  chế nên khóa luận  khó  tránh khỏi những thiếu sót. Em rất  mong nhận  được  những đóng góp ý kiến các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên để khóa  luận được hoàn thiện.    Em xin chân thành cảm ơn!                       Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 89  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Bình, Bài tập giải tích tập tập 3,      NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật.  2. Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích lý thuyết tập, tập 2,      NXB Giáo Dục.  3. Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001),       Giáo trình giải tích, tập 3,      NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.   4. Nguyễn Thủy Thanh, Đỗ Đức Giáo (2001),   Hướng dẫn giải tập giải tích toán học, tập 1,        NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.  5. Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1977) ,   Giải tích toán học, tập 3, NXB Giáo Dục.                        Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 90  [...]... +  Nếu  giới  hạn  (1)  tồn  tại  hữu  hạn  thì  tích phân suy rộng  f ( x) dx   a được gọi là hội tụ và ta nói rằng hàm  f ( x) khả tích (suy rộng)  trên   a,  b     + Nếu giới hạn (1) không tồn tại hoặc bằng    hay    thì ta nói tích b phân suy rộng  f ( x) dx phân kì.  a 1 dx Ví dụ 12: Xét sự hội tụ của tích phân  1 x 0 1 dx Tích phân  1 x 0 1 Ta có:   0     1  x2    có điểm kì dị ... x) và g ( x)  là các hàm số xác định và không âm trong khoảng   a,  b  ,và xlim b  f ( x)    k   g ( x) b b (i )  Nếu  k  0 và tích phân  g ( x) dx  hội tụ thì tích phân  f ( x) dx  cũng hội  a a tụ.  b b (ii )   Nếu  0  k     thì  hai  tích phân  f ( x) dx   và  f ( x) dx   cùng    hội  tụ  a a hoặc cùng phân kì.  b b (iii )  Nếu  k   và tích phân  f ( x) dx  hội tụ thì tích phân ... 1  thì tích phân  a b   1  thì tích phân  a dx  b  x  dx  b  x        lim    0  ba    hội tụ.  phân kì.  b dx     0      ( x  a ) a *  Tương tự xét sự hội tụ của tích phân  Kết luận: +  Nếu  0    1  thì 2 tích phân trên hội tụ.  + Nếu    1  thì 2 tích phân trên phân kì.  1.2.2 Cách tính tính phân suy rộng loại 2 Công thức Newton – Leibnitz   Cho  f ( x) khả  tích ...  1 tích phân    a  +    1 tích phân    a 1 dx   hội tụ.   x 1 dx phân kì.   x  Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của các tích phân  2  Tích phân  2  2 3 x5   dx và  2 1 5 x3  dx   5    dx  hội tụ       1,  a  2    5 3   x 1 3  Tích phân 1 1 5 3    dx phân kì       1,  a  2    5   x3  Chú ý: Sau đây ta chỉ xét tích phân suy rộng loại 1 dạng   f ( x ) dx , còn các ...    2 dx phân kì   x  2 x  3 1  I2   2 2 Do đó tích phân I  dx  x 2  2 x  3 phân kì.  2 Chú ý: Đối với tích phân suy rộng loại 2:   b  b  f ( x) dx      lim  0  a Bằng  cách  đổi  biến  t  f ( x) dx   a 1 1   tức  là  x  b    thì  tích phân trên  đưa  về  tích bx t phân suy rộng loại 1:   b       f ( x) dx      1 a 1 dt f (b  )  2   t t b a b b dx dx   và     b... ( x ) dx   (2)   a  b  +  Nếu  giới hạn  (2)   tồn  tại  hữu  hạn  thì  tích phân suy rộng  f ( x) dx   a được gọi là hội tụ trong trường hợp ngược lại  giới hạn  (2)  không tồn tại hoặc  b bằng    hay    thì ta nói tích phân suy rộng  f ( x) dx phân kì.  a 1 dx   x Ví dụ13: Xét sự hội tụ của tích phân  0 1 Tích phân  0 dx  có điểm kì dị  x  0   x 1 1 1 1  dx dx Ta có:        lim... Tương tự như tích phân suy rộng loại 1 ta cũng có các dấu hiệu hội tụ  sau:  Định lí 1.2.4.1 (Dấu hiệu so sánh 1)  Cho  f ( x) và g ( x)   là  các  hàm  xác  định  và không  âm  trong  khoảng   a,  b  , thỏa mãn điều kiện:  0  f ( x)  g ( x)  với mọi  x   a,  b     Khi đó:   b b + Nếu tích phân  g ( x) dx  hội tụ thì tích phân  f ( x) dx  cũng hội tụ.  a a b b + Nếu tích phân  f ( x) dx phân kì thì tích phân ...  hội tụ thì tích phân  a f ( x) dx  cũng  a hội tụ.   (ii )  Nếu  0  k    thì hai tích phân   f ( x ) dx   và a  g ( x) dx   cùng  hội tụ  a hoặc cùng phân kì.   (iii )   Nếu  k     và tích phân   f ( x ) dx   hội  tụ  thì  tích phân a a cũng hội tụ.  Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán  g ( x) dx   13  Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  Nhận xét: Để xét sự hội tụ của tích phân ... 2 1.2.5 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ  1.2.5.1 Định nghĩa b b Nếu  tích phân  f ( x)  dx   hội  tụ  thì  ta  nói  tích phân  f ( x) dx   hội  tụ  a a b b tuyệt đối, nếu tích phân  f ( x) dx  hội tụ nhưng tích phân  f ( x)  dx phân kì  a a b thì ta nói tích phân  f ( x) dx  hội tụ  có điều kiện (hay bán hội tụ).  a Định lý 1.2.5.2 Giả sử  f ( x)  là hàm số xác trong khoảng   a,  b... f ( x ) dx  tồn tại   f ( x) dx  tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi  Alim   a b  hữu  hạn nên tích phân   f ( x) dx  hội tụ khi và chỉ khi  tích phân a  f ( x) dx    b hội tụ.   Định lý 1.1.3.3  Giả sử  tích phân   f ( x ) dx và a  g ( x) dx  hội tụ với   ,   R  Khi đó   a b tích phân   f ( x)   g ( x)  dx   cũng hội tụ và ta có: a Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 11  Khóa ... 58  2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số 58  2.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số 61  2.3. Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận... CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3  1.1. Tích phân suy rộng loại 1 3  1.2. Tích phân suy rộng loại 2 22      Bài tập 34  CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ... phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạnh dạn chọn đề  tài  Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số  nhằm nghiên cứu  một số kiến thức cơ bản như các tích chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân