Chương IV Tích phân phụ thuộc tham số

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 46 Ch-ơng IV: tích phân phụ thuộc tham số tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng Tiết: 46 - 50 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Định nghĩa - Cho hàm số hai biến số ,f x u xác định trên hình chữ nhật ;R a x b u . Giả sử với mỗi giá trị ;u thì hàm số ,f x u khả tích theo biến số x Tức là ; b a f x u dx có một giá trị xác định. Vậy tích phân đó là một hàm số của u Ký hiệu là ; b a F u f x u dx (1) (1) - Tích phân trong (1) đ-ợc gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số; u đ-ợc gọi là tham số. - Hàm Fu trong (1) là hàm số xác định trên ; - Ví dụ: 1 1 0 22 0 sin sin 1 udx arc ux arc u ux là một hàm số xác định trên 1;1 vì sin 1;1arc u u 2 Tính liên tục, tính khả vi - Định lý 1: Nếu hàm số ,f x u liên tục trên hình chữ nhật ;R a x b u thì hàm số ; b a F u f x u dx liên tục trên ; - Định lý 2: Nếu với mỗi ;u hàm số ,f x u liên tục trên ;ab theo biến số x và nếu ' , u f x u là hàm liên tục trên hình chữ nhật ;R a x b u Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 47 - Dùng N_Lepnit thì công việc khá khó khăn thì hàm ; b a F u f x u dx khả vi trên ; và '' ; b u a F u f x u dx (3) - Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số 1 0 0 x F u arctg dx u u Ta có 2 11 ' 2 22 00 2 2 2 2 1 2 2 0 2 1 1 1 1 ln ln 1 ln ln 2 2 2 1 x xdx u F u dx x ux u u u x u u u * Chú ý: Nếu tại điểm a ( hay b ) hàm số ,f x u không xác định nh-ng lim , xa f x u hoặc lim , xb f x u là một số xác định với mỗi ;u thì điểm a ( hay b ) đ-ợc gọi là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc của tích phân (1) - Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 1 0 sin 0 xu F u dx u x +/. Điểm 0x là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc vì 0 sin lim x xu u x +/. Ta có 11 '1 0 00 1 sin . cos sin cosxu u F u xdx xudx xu x u u 3 Tính khả tích - Định lý 3: Nếu hàm ,f x u liên tục trên hình chữ nhật ;R a x b u thì hàm số ; b a F u f x u dx khả tích trên ; và ta có ,, bb aa f x u dx du f x u du dx ( Ta có thể viết ,, bb aa du f x u dx dx f x u du ) - Ví dụ: Tính 1 0 I x dx biết rằng 0 b y a x x dx a b 1 11 1 00 0 11 ln 1 ln 1 1 1 b b b b y b yy a a a a a xb I dx x dy dy x dx dy dy y y y a * Chú ý: Theo định nghĩa 1 2 1 2 , , , , , , , b nn a F u u u f x u u u dx 4 Bài tập Sv tự làm - Bài 1: Tìm miền xác định của hàm số 1 22 0 dz Fx xz KQ 0x - Bài 2: Tìm giới hạn 2 0 0 limI cos xdx ( Hoặc 2 2 0 0 limI x cos x dx ) Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 48 Giải 22 2 0 0 0 0 00 11 lim lim lim sinI cos xdx cos xd x x 00 1 sin2 lim sin2 sin0 2lim 2 2 * Làm bài tập ở nhà Tính giới hạn 1 22 0 1 limI x dx Giải: - Tính 1 22 1 J x dx Đặt 22 22 x du dx ux x dv dx vx 1 1 1 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 21 x J x x dx x dx dx xx Do đó 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 11 2 2 1 ln 2 1 ln 11 J x x Vậy 2 2 2 2 22 22 11 1 ln 1 ln 22 1 1 1 1 J 0 lim 1IJ Sv tự làm b/. - Bài 3: Tính đạo hàm hàm số a/. 1 0 0 x F u dx u u Giải: Theo công thức 1 ' 1 2 1 ' 2 2 2 0 0 0 1 1 1 22 u xx F u dx xdx u u u u b/. 2 2 1 F u u xdx 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 49 tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số Tiết: 51 - 54 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung Tích phân ; bu au u f x u dx trong đó ;a u b u là những hàm số của tham số u Gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số. Trong bài ta hạn chế là chỉ xét tính liên tục và tính khả vi của hàm u 1 Tính liên tục * Định lý 1: Nếu hàm số ;f x u liên tục trên hình chữ nhật ;R a x b u ; các hàm số ;a u b u liên tục trên ; và nếu ;a a u b b u với mọi ;u thì ; bu au u f x u dx là hàm số liên tục trên ; * Chứng minh: +/. Hàm ;f x u liên tục trên R suy ra tồn tại ; bu au u f x u dx +/. Với , , u u u u u u , , , , b u b u u a u a u b u b u u f x u u f x u dx f x u u dx f x u u dx (1) Do ;f x u liên tục trên R nên với mọi 0: , ,f x u u f x u trong đó u là đủ bé. +/. , , , , b u b u a u a u f x u u f x u dx f x u u f x u dx Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 50 b u a u b a +/. Mặt khác ;f x u liên tục trên R suy ra 0: ,M x u Ta có: ;, b u u bu f x u M f x u u dx M b u u b u (2) , au a u u f x u u dx M a u a u u (3) +/. Do ;a u b u liên tục trên ; nên vế phải (2), (3) nhỏ tuỳ ý miễn chọn u đủ bé. Suy ra 0 0 u Tức là u là hàm số liên tục trên ; 2 Tính khả vi * Định lý 2: Nếu các hàm số ;f x u ; ' ; u f x u liên tục trên hình chữ nhật ;R a x b u ; các hàm số ;a u b u khả vi trên ; và nếu ;a a u b b u với mọi ;u thì ; bu au u f x u dx khả vi trên ; và ta có ' ' ' ' ; ; ; bu u au u f x u dx f b u u b u f a u u a u * Chứng minh: Hàm số ,f x u liên tục trên R nên tồn tại ; bu au u f x u dx Nếu ,,u u u thì do (1) ta có: () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 11 ( , ) ( , ) bu au b u u a u u b u a u f u u u f x u dx uu f x u u dx f x u u dx uu (4) Với mỗi u xác định thì ( ), ( )a u b u là các hằng số nên suy ra ( ) ( ) ' 00 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim lim ( , ) b u b u u uu a u a u f x u u f x u dx f x u u dx u () ' () ( , ) 0 1 bu u au f x u dx (5) Mặt khác ( Định lý giá trị trung bình trong tích phân xác định ) () 1 () 11 ( , ) ( , ) ( ) ( ) b u u bu f x u u dx f c u u b u u b u uu trong đó 1 ( ), ( )c b u b u u . Do ()bu là hàm khả vi trên , và ( , )f x u liên tục Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 51 trên R nên () 0 () 1 lim ( , ) b u u u bu f x u u dx u ' 1 0 ( ) ( ) lim ( , ). ( ), ( ) u b u u b u f c u u f b u u b u u (6) T-ơng tự () ' 0 () 1 lim ( , ) ( ), ( ) uu u au f x u u dx f a u u a u u (7) Tóm lại, từ (4), (5), (6) và (7) suy ra ' ' ' ' ; ; ; bu u au u f x u dx f b u u b u f a u u a u (8) Tức là hàm số ' ()u khả vi trên , 4 Bài tập & Ví dụ: - Ví dụ: Tính ' u nếu 0 ln 1 0 u ux u dx u x +/. Điểm 0x là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc +/. Ta có 22 '2 0 0 ln 1 ln 1 ln 1 12 ln 1 1 u u uu ux u dx u ux u u u u Hd chậm - Bài 1: Tính ' u F với 2 2 u ux u F u e dx Giải: 2 3 5 2 , ; ; ; , ; , ux u u f x u e a u u b u u f a u u e f b u u e 2 2 5 3 2 2 5 3 ' ' ' '2 ' 2 xu u x xu x F e dx e u e u e dx ue e Gọi t.hành - Bài 2: Tính ' ()F biết sin b a x F dx x ( Dùng ' ' ' ' ; ; ; bu u au u f x u dx f b u u b u f a u u a u ) Giải: ' '' ' sin sin sin sin sin s sin sin sin b a b a b a ba x F dx b a x b a ba co xdx ba ba x ba Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 52 sin sin 1 sin sin 22 sin sin ba ba ba ba ba ba Tự làm * Sinh viên tự tính ' ()F biết 2 1 sin cos x F e dx - Bài 3: Tính '' ()Fx nếu 0 ( ) ( ) x F x x y f y dy trong đó ()fy là hàm số khả vi H-ớng dẫn giải: * Dùng công thức tính đạo hàm cấp 1 * Tính đạo hàm của đạo hàm cấp 1 theo công thức. - Bài 4: Tìm () () n x F nếu 1 0 ( ) ( ) x n F x f t x t dt với ()ft là hàm số liên tục H-ớng dẫn gải: +/. ' 1 1 ' ' 0 ( ) ( ) ( ) (0) 0 .0 x nn x x F x f t x t dt f x x x x f x 2 0 1 ( ) x n n f t x t dt +/. ' 22 '' 00 1 ( ) 1 2 ( ) xx nn x F x n f t x t dt n n f t x t dt +/. ( 1) ( 1) 0 ( ) 1 2 ( 1) ( ) x nn n F x n n n n f t x t dt 0 1 2 ( 1) ( ) x n n n n f t x t dt 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 53 tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn Tiết: 55 - 57 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Các định nghĩa - Cho hàm số ,f x u xác định trong miền ;R a x u . Giả sử với mỗi giá trị ;u thì tích phân ; a f x u dx hội tụ. Vậy tích phân đó là một hàm số của u xác định trên ; Ký hiệu: ; a I u f x u dx (1) Nói cách khác: Hàm số Iu là lim ; A a A I u f x u dx nếu giới hạn đó tồn tại với mỗi giá trị ;u Khi đó ta nói: Tích phân ; a f x u dx hội tụ về hàm số Iu trên ; - T-ơng tự định nghĩa 1 2 ; lim ; ; ; lim ; ; bb B B A B A B I u f x u dx f x u dx u I u f x u dx f x u dx u * Ví dụ 1: Tìm miền xác định của hàm số 22 1 1 u I u dx ux Ta có 1 22 1 1 A A u dx arctgux arctgAu arctgu ux Thấy Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 54 22 1 0 2 lim lim 0 0 1 0 2 A AA arctgu u u dx arctgAu arctgu u ux arctgu u Vậy hàm số đã cho xác định trên toàn trục số. * Ví dụ 2: Tìm miền xác định của hàm số 0 ux I u ue dx Ta có 0 0 1 A ux ux A Au ue dx e e Mặt khác 1 10 lim lim 1 0 0 0 A ux Au AA u ue dx e u u Vậy miền xác định của hàm số đã cho là 0u 2 Sự hội tụ đều - Định nghĩa: Tích phân ; a f x u dx gọi là hội tụ đều về hàm số Iu trên ; ( Hay ; hữu hạn hoặc vô hạn ) nếu với 0 cho tr-ớc nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, tồn tại 0 Aa sao cho với ;u và với 0 AA ta đều có ; A f x u dx - Ví dụ 1: Xét sự hội tụ đều của tích phân 0 sin 0 ux x e dx u x (2) Ta thấy 2 sin sin 1 ux ux u u x cosx e xdx e C x C u Mặt khác với 0; 0xu thì 2 2 2 2 1 1 1 3 sin 1 1 1 1 1 2 2 ux u e u u x u x cosx u u u u Ta -ớc l-ợng sin 0 ux A x e dx A x bằng Ph-ơng pháp tích phân từng phần: 22 sin u u u u ux A A A A x x x A x e dx dx dx x x x A x 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 A dx A x A A A Vì vậy nếu chọn 0 3 A thì với mọi 0 AA ta có: 0 sin 3 3 ux A x e dx x A A Trong đó là số d-ơng cho tr-ớc nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, chứng tỏ tích phân (2) hội tụ đều trên tập 0u * Dấu hiệu hội tụ đều: Nếu có một hàm số liên tục Fx trên tập xa sao cho với mọi u thuộc đoạn ; và với mọi x đủ lớn, ta có: ,f x u F x và nếu tích phân Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 55 a F x dx hội tụ thì tích phân , a f x u dx hội tụ đều trên đoạn ; - Ví dụ 2: Xét sự hội tụ đều trong nửa đoạn 00 ,0uu của tích phân 0 sin ux e xdx (3) Với mọi 0x và 0 0uu , ta có 0 sin ux ux ux e x e e Mặt khác có: 0 0 00 0 1 sin ux ux e e xdx uu , Tức là 0 0 ux e dx hội tụ. Vậy tích phân 0 sin ux e xdx hội tụ đều trong nửa đoạn 0 ,u 3 Tính liên tục - Tính khả tích - Định lý 1: Nếu hàm số ,f x u liên tục trong miền ;R a x u và tích phân , a f x u dx hội tụ đều trên đoạn ; thì hàm số , a I u f x u dx liên tục trên ; - Định lý 2: Nếu hàm số ,f x u liên tục trong miền ;R a x u và tích phân , a f x u dx hội tụ đều trên đoạn ; thì hàm số , a I u f x u dx khả tích trên ; và , a I u du f x u du dx Hoặc có thể viết ,, aa du f x u dx dx f x u du , tức là có thể lấy tích phân d-ới dấu tích phân hay hoán vị thứ tự lấy tích phân ( Trong tr-ờng hợp chỉ có một tích phân có cận vô hạn ) 4 Tính khả vi - Định lý 3: Nếu các hàm số ' , , , u f x u f x u liên tục trên ;R a x u , nếu tích phân , a f x u dx hội tụ và tích phân ' , u a f x u dx hội tụ đều trên đoạn ; thì hàm số , a I u f x u dx khả vi trên đoạn ; và ta có '' , u a I u f x u dx hoặc có thể viết ' ' ,, u aa u f x u dx f x u dx Tức là cũng có thể lấy đạo hàm d-ới dấu tích phân ( cận vô tận ) hay hoán vị thứ tự lấy đạo hàm và lấy tích phân. [...]...Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 - Ví dụ: Tính tích phân I sin x dx x a (1) +/ Tích phân trong (1) hội tụ +/ Xét hàm số I u e ux a sin x sin x dx có hàm số f x, u eux liên x x tục trong R 0 x , 0 u và ' e ux a sin x dx hội tụ đều trên 0, x với là số d-ơng tuỳ ý Do vậy hàm số I u e ux a sin x dx liên tục trên x 0, suy ra nó liên tục trên 0,... x, u dx e ' u 0 ux (*) sin xdx hội tụ đều trên u0 , , trong đó u0 là số 0 d-ơng bất kỳ và là số tuỳ ý lớn hơn u0 Vậy I u e ux a sin x dx khả vi x trên đoạn u0 , suy ra nó khả vi trong khoảng 0, Vì vậy với u 0 có I u e ' ux a u sin x cosx 1 sin xdx e 2 1 u 1 u2 0 ux I ' u du u Lấy tích phân hai vế đ-ợc u I u u arctgu u arctguNh-ng vì: du 1 u2 2 sin x 1... sin ux dx dx x x 2 0 sin ux dx 0 x Trang: 56 Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học 2 sin ux dx 0 Tóm tắt: x 0 2 Năm 2008 u 0 u 0 u 0 5 Bài tập - Bài 1: Tìm miền hội tụ của tích phân sau: cos ax 1 x 2 dx 0 Giải: - Bài 2: - Bài 3: - Bài 4: 4 Bài tập về nhà 5 Rút kinh nghiệm Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 57 . Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 46 Ch-ơng IV: tích phân phụ thuộc tham số tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng Tiết: 46 - 50 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu:. (1) (1) - Tích phân trong (1) đ-ợc gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số; u đ-ợc gọi là tham số. - Hàm Fu trong (1) là hàm số xác định trên ; - Ví dụ: 1 1 0 22 0 sin. Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 49 tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số Tiết: 51 - 54 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: